第5章時變電磁場與電磁波5.1法拉第電磁感應定律

5.2位移電流

5.3麥克斯韋方程及邊界條件

5.4坡印廷定理與坡印廷矢量5.5時諧電磁場5.6波動方程與電磁波

習題5.1法拉第電磁感應定律法拉第(MichaelFaraday)通過大量的實驗總結出：當穿過線圈所包圍面積S的磁通發生變化時，線圈回路Ｃ中將會感應一個電動勢。感應電動勢在閉合回路中產生感應電流。法拉第定律(Faraday’sLaw)指出感應電動勢的大小與磁通對時間的變化率成正比，其方向由楞次定律(Lenz’sLaw)給出：感應電動勢在閉合回路中引起的感應電流的方向是使它所產生的磁場阻止回路中磁通的變化。法拉第定律和楞次定律的結合就是法拉第電磁感應定律(Faraday’sLawofElectromagneticInduction)，其數學表達式為(5-1-1)式中，E為感應電動勢，它與穿過曲面S和回路C交鏈的磁通Ψ的正向成右手螺旋關系。時變磁通可通過在線圈附近移動磁鐵來產生，如圖5-1所示，或者由打開或接通另一個線圈的電路來建立，如圖5-2所示。由第2章知道，在導體內維持電流必須在導體內存在非保守場，我們可以用導體內的感應電場(非庫侖電場)來定義感應電動勢圖5-1由磁通量增加產生的感應電動勢與電流圖5-2接通線圈1的開關S時，在線圈2中的感應電動勢如果空間中同時存在由靜止電荷產生的保守電場Ec，則總電場E=Ein+Ec，因此電場沿閉合路徑的積分為即(5-1-2)式(5-1-2)為電磁場表示的法拉第電磁感應定律的積分形式。其中，穿過線圈回路磁通的變化可能是由于：隨時間變化的磁場穿過(交鏈)靜止的線圈，或線圈在均勻磁場中連續改變它的形狀或位置，或上述兩種情況的綜合，因此，式(5-1-2)是普遍適用的公式。如果線圈是靜止的，則穿過線圈回路的磁通變化只可能是由于磁場隨時間變化而引起的，此時式(5-1-2)可表示為(5-1-3)對上式應用斯托克斯定理，可得(5-1-4)式(5-1-4)稱為法拉第電磁感應定律的微分形式。它表明時變場中，電場不再是無旋場，且變化的磁場激發電場，這正是變壓器和感應電動機的工作原理。5.2位移電流變化的磁場會產生電場，那么變化的電場能否產生磁場呢？回答是肯定的。麥克斯韋把恒定磁場中的安培定律用于時變場時出現了矛盾，為此提出位移電流的假說，對安培定律做了修正。位移電流的假說就是變化的電場產生磁場的結果。設一個電容器與時變電源相連，外加電源電壓隨時間上升或下降，表征由電源送至每一極板上的電荷量q在變化。電荷的變化形成隨時間變化的電流，該時變電流i(t)必然在此區域內建立時變磁場。選擇一個閉合路徑C,包圍電容器外的開曲面S，如圖5-3所示，由安培定律得(5-2-1)圖5-3電容器的位移電流但若考慮同一路徑C所包圍的包含電容器極板的另一個開曲面S′，由于電容器內傳導電流等于零，故(5-2-2)顯然，式(5-2-1)與式(5-2-2)相矛盾。上述矛盾導致麥克斯韋斷言，電容器中必然有電流存在。由于這種電流并非由傳導產生，他認為，在電容器的兩極板間存在著另一種電流，其量值與傳導電流相等，因為對于S和S′構成的閉合面，應用電流連續性方程，有再對上式應用高斯定理，則有即(5-2-3)麥克斯韋稱式(5-2-3)為位移電流(DisplacementCurrent)密度，單位為A/m2。一般來說，空間同時存在傳導電流和位移電流，所以，安培定律的修正形式為(5-2-4)式(5-2-4)稱為全電流定律，它表明時變場中的磁場是由傳導電流和位移電流共同產生的，位移電流產生磁效應代表了變化的電場能夠產生磁場。其微分形式為(5-2-5)對安培定律的修正是麥克斯韋最重大的貢獻之一。正是由于這一項的存在，使麥克斯韋能夠預言電磁場將在空間以波的形式傳播。稍后數年(1880年)，赫茲(Hertz)用實驗證明了電磁波的存在，并證實了波的性質正如麥克斯韋所預言的。可以說，所有現代的通信手段，都是基于安培定律的這項修正。

【例5-1】海水的電導率σ=4S/m，相對介電常數εr=81，求頻率為1MHz時，位移電流與傳導電流的比值。設電場是正弦變化的，且E=axE0cosωt。

解根據位移電流的定義所以位移電流的幅值為

Jdm=ωεE0而傳導電流的幅值為 Jcm=σE0從上式可見，位移電流的大小與頻率成正比。因此，位移電流與傳導電流的比值為5.3麥克斯韋方程及邊界條件麥克斯韋方程組(MaxwellEquations)是在基本實驗定律的基礎上經過推廣建立起來的，是麥克斯韋以完美的數學形式對電磁場規律的高度概括和總結，它深刻反映了電磁場運動的實質和全部特性，經典電磁場的求解問題都是從麥克斯韋方程組出發討論的。麥克斯韋方程組包含豐富的內容和深刻的物理意義。5.3.1麥克斯韋方程及其物理意義麥克斯韋方程組可以寫成積分形式：相應的微分形式為(5-3-1)(5-3-2a)(5-3-2b)(5-3-2c)(5-3-2d)麥克斯韋方程組的微分形式表示某點的場與場源的關系，它只適用于媒質的物理性質不發生突變的點。積分形式表示在任一閉合曲線及其所圍成的面積內或任一閉合曲面及其所包圍的體積內場與場源的時空變化關系。積分形式與微分形式的麥克斯韋方程組所表示的場與場源的關系是一致的。麥克斯韋方程組中兩個旋度方程是表示電場與磁場相互作用的方程，這兩個方程表明：電流與變化的電場產生磁場，而變化的磁場又產生電場。J、D/t是磁場的旋渦源，-B/t是電場的旋渦源。麥克斯韋方程(5-3-2c)表示磁通的連續性，即不存在自由的磁荷；方程(5-3-2d)表示電荷產生電場，且電荷是電場的發散源。方程組(5-3-2)表明：時變電場是有旋有散的，因此電力線可以是閉合的，也可以是不閉合的。而時變磁場則無散有旋，因此磁力線總是閉合的。閉合的電力線和磁力線相交鏈，不閉合的電力線從正電荷出發，終止于負電荷。而閉合的磁力線要么與電流相交鏈，要么與電力線相交鏈。在沒有電荷也沒有電流的無源區域中，時變電場和時變磁場都是有旋無散的，電力線和磁力線相互交鏈，自行閉合，即變化的電場產生變化的磁場，變化的磁場也會激起變化的電場。正是由于電場與磁場之間的相互激發、相互轉化，形成了電磁波動，使電磁能量以有限的速度(光速)向遠處傳播出去，即電磁波。麥克斯韋方程組不僅揭示了電磁場的運動規律，而且揭示了電磁場可以獨立于電荷與電流之外而單獨存在，這從理論上預言了電磁波的存在，并指出光波就是一種電磁波。式(5-3-1)和式(5-3-2)稱為麥克斯韋方程的非限定形式，適用于任意媒質。在線性、均勻、各向同性的媒質中，由于D=εE，B=μH和J=σE,將其代入式(5-3-1)和式(5-3-2)可得到僅用場量E和H表達的方程，稱為限定形式的麥克斯韋方程。5.3.2時變電磁場的邊界條件麥克斯韋方程組的微分形式描述一種媒質內電磁場的變化規律。實際問題所涉及的場域中往往會有不同的媒質的交界面。在邊界上，由于媒質性質有一突變，電磁場量一般也要發生變化。對于邊界上的點，麥克斯韋方程組的微分形式已失去意義，必須用新的方程代替，這就是邊界條件。兩種不同媒質的分界面上各場量所滿足的方程稱為邊界條件，邊界條件與麥克斯韋方程組相當，是麥克斯韋方程組在邊界面上的表述形式。麥克斯韋方程組的積分形式在包括交界面的整個區域都是成立的，因此邊界條件由積分形式的麥克斯韋方程導出。如圖5-4所示，假定媒質1和媒質2的參數分別為ε1、μ1、σ1和ε2、μ2、σ2，其中的場分量分別為E1、D1、H1、B1、J1和E2、D2、H2、B2、J2，在它們的分界面上應滿足的邊界條件為標量形式矢量形式

E1t=E2tn×(E1－E2)=0(5-3-3)

H1t－H2t=JS

n×(H1－H2)=JS(5-3-4)B1n=B2nn·(B1－B2)=0(5-3-5)

D1n－D2n=ρS

n·(D1－D2)=ρS(5-3-6)(5-3-7)(5-3-8)式中，下標t表示切向分量，下標n表示法向分量，ρS和JS分別為分界面上的自由面電荷密度和自由面電流密度，交界面處單位法向矢量n由媒質2指向媒質1。圖5-4不同媒質的交界面若兩種媒質均為理想介質，則邊界面上不存在面電荷和面電流，此時邊界條件為

n×(E1－E2)=0 (5-3-9)

n×(H1－H2)=0 (5-3-10)

n·(B1－B2)=0

(5-3-11)

n·(D1－D2)=0 (5-3-12)若媒質1為理想介質，媒質2為理想導體，即σ1=0，σ2=∞，則在理想導體中，E2必定為零，否則J2將為無窮大。此時由麥克斯韋第二方程可得理想導體中的時變磁場也必為零。因此在理想導體表面的邊界條件為

n×E1=0,n×H1=JS,n·D1=ρS,n·B1=0(5-3-13)

【例5-2】在兩導體平板(z=0和z=d)之間的空氣中傳播的電磁波，如圖5-5所示。已知其電場強度為，式中，kx為常數。試求：

(1)磁場強度H；

(2)這個電磁場滿足的邊界條件是什么？并求兩導體表面的電流密度JS。

解

(1)由麥克斯韋第二方程圖5-5兩導體平板之間傳播的電磁波而可得

(2)在z=0和z=d的理想導體表面的單位法向矢量分別為az和-az。顯然，在兩理想導體的表面均滿足切向電場和法向磁場等于零的邊界條件。兩導體表面的電流密度分別為由此可見，電磁波可被限制在一定的區域內傳輸，這就是平行板波導的原理。5.4坡印廷定理與坡印廷矢量5.4.1坡印廷定理和坡印廷矢量設封閉曲面S包圍的體積為V的空間中既沒有電荷也沒有電流，區域內的電場強度和磁場強度分別為E和H，V內充滿線性、各向同性的媒質，媒質參數為μ、ε和σ，則電場在此導電媒質中引起的傳導電流為J=σE，而傳導電流在體積V內引起的功率損耗為(5-4-1)將麥克斯韋第一方程代入式(5-4-1)中，并利用矢量恒等式：并將麥克斯韋第二方程代入式(5-4-1)中，得(5-4-2)對上式應用散度定理得(5-4-3)式(5-4-3)即為適合任意媒質的坡印廷定理(Poynting’sTheorem)。對于非色散媒質，利用矢量函數求導公式：得而(5-4-4)式中,w為單位體積內的電磁能量。于是，坡印廷定理可以寫成如下形式:(5-4-5)式(5-4-5)中，左邊這一項表示單位時間內體積V內電磁總能量的減少量。根據能量守恒定律，體積V內能量的減少就意味著體積V內有能量的耗損與流失，那么式中右邊兩項必定反映這兩個方面。而右邊第一項表示能量的耗損，第二項是一個在封閉面上進行的面積分，顯然，這個積分表示單位時間內從體積V內穿出封閉面向外流失的能量。定義被積函數：

S(r,t)=E(r,t)×H(r,t)(5-4-6)式(5-4-6)稱為坡印廷矢量(PoyntingVector)，其單位為W/m2(瓦/平方米)，它的方向表示該點功率流的方向，也稱為能流密度矢量。坡印廷矢量的方向總是與考察點處的電場強度E和磁場強度H相垂直，且E、H、S三者之間成右手螺旋關系；它的數值表示單位時間內穿過與能量流動方向垂直的單位面積的能量。在時變電磁場中，S=E×H代表瞬時功率流密度，它沿著與坡印廷矢量相垂直的截面積的積分代表通過該面積的瞬時功率。如果閉合面S為理想導電壁，則式(5-4-5)右端第二項的積分為零，此時S所包圍的體積V內的總能量保持恒定。若用W表示體積V內的電場和磁場的總能量，即則有式(5-4-7)表明，體積V內傳導電流所消耗的功率是由電場和磁場能量提供的。此時可以等效為一個有耗的二階電路。如果體積V內的媒質是不導電的，即σ=0，則有

W=const (5-4-8)(5-4-7)式(5-4-8)表明，在體積V內只存在電場能量與磁場能量的相互轉換，總電磁能量保持不變，這正是理想空腔中固有振蕩的情況。式(5-4-4)為電磁場能量密度，其中第一項為電場能量密度，第二項為磁場能量密度。分別表示為在線性、均勻、各向同性的媒質中，有式(5-4-9)和式(5-4-10)同樣適用于靜態場。在恒定電流的空間中，由于式(5-4-5)的左邊為零，因此坡印廷定理可改為(5-4-11)式(5-4-11)表明，在無源區域中，單位時間內通過閉合曲面流入體積V內的能量等于體積V內的焦耳損耗。(5-4-9)(5-4-10)

【例5-3】設同軸線的內導體半徑為a,外導體的內半徑為b，兩導體間為空氣。設內、外導體間的電壓為U，導體中流過的電流為I。求：

(1)若同軸線的導體為理想導體時，計算空氣中的能流密度矢量及其傳輸的功率；

(2)當導體的導電率為σ時，計算通過內導體表面進入導體內的功率。解(1)建立圓柱坐標系，并假設z軸為軸向。由于導體為理想導體，因此在半徑ρ<a的內導體內部電場強度等于零。由于內、外導體間有電壓，因此在內、外導體的空間中存在著電場，其電場強度的表達式為又因為導體中流過的電流為I，根據安培環路定律，在半徑為ρ的內、外導體的空間中存在的磁場為所以內、外導體間的空氣中的能流密度矢量為上式說明電磁能量是沿著同軸線的軸線方向流動的，其傳輸的功率為由上述分析可見，沿同軸線傳輸的功率等于電壓和電流的乘積，這與電路理論中的結果是一致的。值得注意的是：這個結果是在不包括導體本身在內的橫截面上積分得到的。因此，由理想導體構成的同軸線在傳輸能量時，功率全部是從內、外導體之間的絕緣空間中通過的，導體本身并不傳輸能量。

(2)導體中流過的電流為I，導體的導電率為σ，則在ρ<a的內導體內部的電場強度為根據電場的切向分量連續的邊界條件，在半徑ρ>a的內導體表面附近的空氣中，除了存在徑向電場分量Eρ外，還存在切向分量Ez，其大小為因此，能流密度矢量除了沿著同軸線的軸線方向流動的分量外，還有一個沿著徑向進入導體內的分量，即進入內導體單位長度的功率為式中，R為該導體單位長度的電阻。上式表明，從導線表面流入的電磁能量等于導體內部的焦耳熱損耗功率。5.4.2場的互能量由于電磁場的能量密度和能流密度不是場強的線性函數，因此，能量和能流不滿足疊加原理。這就是說，兩個電磁場系統疊加后的總能量一般不等于兩者單獨存在時所具有的能量之和，還會出現兩場量的交叉項，該交叉項代表兩個電磁場系統相互作用的能量，稱為場的互能量。假設在線性、均勻、各向同性的媒質中同時存在兩個電場E1和E2，則合成場的電場能量密度為(5-4-12)上式中前兩項為兩個電場的自能量密度，第三項為兩個電場系統相互作用時的互能量密度，記(5-4-13)為兩電場系統的互能量。實際上，互能量就是將兩個電場系統的場源從無窮遠搬到現在所處位置時外力所做的功。因此兩個場系統疊加時，其合成場的總能量等于兩者的自能量與它們的互能量之和。5.4.3時變電磁場的唯一性定理在研究電磁現象時，實際的空間總是存在各種不連續的分界面，例如導體與介質的分界面、介質與介質的分界面等。當我們研究這些“邊值問題”時，或者說在給定的邊界條件下確定有限區域中的電磁場問題時，在什么邊界條件下，麥克斯韋方程組的解是唯一的？時變電磁場的唯一性定理回答了這個問題。時變電磁場的唯一性定理敘述如下：在一有限的區域V中，如果t=0時的電場強度和磁場強度的初始值處處是已知的，并且在t≥0時邊界面上電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量也是已知的，那么在t>0時，區域V中的電磁場也就唯一地確定了。下面我們用反證法來證明它的正確性。如圖5-6所示，考慮由封閉曲面S所包圍的有限區域V，設體積V內的媒質是各向同性的線性媒質，且場源不在V內，并假設t=0時的電場強度E1和E2及磁場強度H1和H2在V內處處相同。由于V內是線性媒質，因此麥克斯韋方程組是線性方程組。設E1和H1及E2和H2都是麥克斯韋方程組的解，根據疊加原理，則E=E1－E2和H=H1－H2也是麥克斯韋方程組的解。根據線性、各向同性媒質中的坡印廷定理，有(5-4-14)圖5-6時變電磁場的唯一性定理由于t≥0時電場強度和磁場強度的切向分量是給定的，在邊界面上有n×E=0和n×H=0，因此在邊界面上有

n·(E×H)=0因而式(5-4-14)可以寫為(5-4-15)式(5-4-15)右端永遠小于或等于零，而左端永遠大于或等于零，且在t=0時等于零。因此在t>0時，要使式(5-4-15)成立，只有滿足條件：E=E1－E2=0和H=H1－H2=0，即兩個解完全相同。這就是說，對于時變電磁場，在已知初始狀態的條件下，只要給定邊界面上電場強度和磁場強度的切向分量，則區域V內的電磁場就唯一地確定了,這就是時變電磁場的唯一性定理。與靜態場中的唯一性定理相比，除了要給定邊界條件之外，還必須給定初始狀態條件。5.5時諧電磁場時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧(時諧)場(Ｔime-HarmonicField)，在這種形式的場中，激勵源以單一頻率隨時間作正弦變化。在線性系統中，一個正弦變化的源，在系統中所有的點都產生隨時間作正弦變化的場。在線性媒質中，以任意規律隨時間變化的電磁場，都可看成是一系列時諧場分量的疊加。因此，分析時諧電磁場獲得單頻穩態響應是分析所有時變電磁場的基礎。在電路理論中，我們將隨時間作正弦變化的電壓和電流用相量來表示。任何矢量都能用它沿三個互相垂直坐標軸的分量來表示，每一分量可視為標量。因此，時諧電磁場也可以用相量來表示，或者說時諧電磁場可以用相量(Phasor)分析法。5.5.1時諧電磁場的相量表示法在直角坐標系中，任意時諧電場強度E可表示為E(x,y,z,t)=axEx(x,y,z,t)+ayEy(x,y,z,t)+azEz(x,y,z,t)(5-6-1)式中，電場強度各分量為(5-6-2)其中，Exm、Eym、Ezm分別為各坐標分量的振幅，φx、φy、φz則是各坐標分量的相位，每一坐標分量都可以寫成將上式代入式(5-6-1)得(5-5-3)式中，稱為電場強度的復振幅矢矢量，它只是空間坐標的函數，與時間t無關。ejωt稱為時間因子，它反映了電場強度隨時間變化的規律。對于其他場分量，也可以寫成相量表示式(5-5-4)由式(5-5-3)和式(5-5-4)可見，只要已知場量的復振幅矢量，將其乘以時間因子ejωt，再取實部就可得到場量的瞬時值表達式。因此，以后一般只研究場量的復振幅。5.6.2麥克斯韋方程的相量形式將各個場量的相量表示式代入式(5-3-2)，并注意到，且去掉下標m，即可得到(5-5-5)式(5-5-5)稱為麥克斯韋方程的相量形式，也稱為頻域表達式。不難看出，當用相量形式表示后，麥克斯韋方程中的場量和場源都由四維變成了三維，偏微分方程變成了代數方程，使問題簡化了。以后為了方便，表示復數的符號“·”均省略。

【例5-4】將下列用相量形式表示的場矢量變換成瞬時值，或作相反的變換。

(1)E=axE0ejφ(2)E=axjE0e－jkz(3)E=axE0cos(ωt

－

kz)+ay2E0

sin(ωt

－

kz)

解(1)E(x,y,z,t)=Ｒe[axE0ejφejωt]=axE0cos(ωt+φ)(2)E(x,y,z,t)=Re[axE0ej(－kz)ejωt=axE0cos(ωt

－

kz+)(3)E(x,y,z,t)=Re[axE0ej(ωt－kz)－ay2E0ej(ωt－kz+)

因此，有 E=(ax－ayj2)E0e－jkz

5.5.3復坡印廷矢量及平均坡印廷矢量對于時諧電磁場，其電場強度和磁場強度用相量表示為E(t)=Re［Eejωt］=［Eejωt+E*e-jωt］

H(t)=Re［Hejωt］=［Hejωt+H*e-jωt］其中，E*、H*分別是E、H的共軛復相量，將其代入坡印廷矢量的瞬時表達式，有S(t)=E(t)×H(t)=［Eejωt+E*e-jωt

］×［Hejωt+H*e-jωt］

=Re［E×H*］+Re［E×Hej2ωt］在一個周期內求其平均值，得式中(5-5-6)S稱為復坡印廷矢量，它與時間無關，代表復功率流密度。注意式中的電場強度和磁場強度是復振幅而不是有效值。復坡印廷矢量的實部為平均功率流密度，也稱為平均坡印廷矢量，記作Sav，即(5-5-7)

【例5-5】已知無源(ρV=0和J=0)的自由空間中，時變電磁場的電場強度復矢量為 E(z)=ayE0e-jkz式中，k、E0均為常數。求：

(1)磁場強度復矢量；

(2)坡印廷矢量的瞬時值；

(3)平均坡印廷矢量。

解

(1)由×E=－jωμ0H，得

(2)電場、磁場的瞬時值分別為

E(z,t)=Re［E(z)ejωt］=ayE0

cos(ωt-kz)

H(z,t)=Re［H(z)ejωt］=-ax

E0cos(ωt-kz)坡印廷矢量的瞬時值為S(z,t)=E(z,t)×H(z,t)=azcos2(ωt-kz)

(3)平均坡印廷矢量為5.6波動方程與電磁波5.6.1亥姆霍茲方程設媒質的介電常數為ε、磁導率為μ、電導率為σ，對于線性(Linear)、均勻(Homogeneous)和各向同性(Isotropic)媒質，ε和μ都是標量常數。除非特別說明，一般我們均假定媒質是線性、均勻和各向同性。在線性、均勻和各向同性的無源媒質中，麥克斯韋方程組為(5-6-1)對上述方程(2)求旋度，得利用矢量恒等式并將式(5-7-1)的(1)代入得類似地推導可得(5-6-2)(5-6-3)式(5-6-2)和式(5-6-3)稱為一般波動方程(GeneralWaveEquation)。這些方程支配著無源均勻導電媒質中電磁場的行為。在二階微分方程中，一階項的存在表明電磁場在導電媒質中的傳播是衰減的(有能量損耗)。因此導電媒質(ConductingMedium)也稱為有耗媒質(LossyMedium)。當媒質為完全電介質(PerfectDielectric)或無耗媒質(LosslessMedium)，即媒質的導電率σ=0時，上述波動方程變為(5-6-4)式(5-6-4)稱為時變亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)，它表明電磁場在無耗媒質中的傳播是不衰減的。對于時諧電磁場，，將場量的相量形式代入式(5-7-4)，并考慮到k2=ω2με可得(5-6-5)式(5-7-5)稱為亥姆霍茲方程，也稱為無源、無耗媒質中時諧電磁場的波動方程。時變電磁場在空間以波的形式傳播，即電磁波。電磁波的傳播規律由波動方程來約束。所有電磁波問題均可以歸結為在給定的邊界條件和初始條件下解波動方程的問題。習題

5.1設有一個斷開的矩形線圈與一根長直導線位于同一平面內，如題5.1圖所示。假設：

(1)長直導線中通過的電流為i=I

cosωt，線圈不動；

(2)長直導線中通過的電流為不隨時間變化的直流電流i=I，線圈以角速度ω旋轉；

(3)長直導線中通過的電流為i=Icosωt，線圈以角速度ω旋轉。在上述三種情況下，分別求線圈中的感應電動勢。

5.2圓柱形電容器，內導體半徑和外導體內半徑分別為a和b，長度為l。設外加電壓為U0

sinωt，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于引線中的傳導電流。題5.1圖

5.3設y=0為兩種磁介質的分界面，y<0為媒質1，其磁導率為μ1，y>0為媒質2，其磁導率為μ2,如題5.3圖所示。分界面上有以電流密度JS=2ax

A/m分布的面電流，已知媒質1中的磁場強度為

H1=ax+2ay+3azA/m求媒質2中的磁場強度H2。

5.4一平板電容器的極板為圓盤狀，其半徑為a，極板間距離為d(d<<a)，如題5.4圖所示。

(1)假設極板上電荷均勻分布，且ρS=±ρm

cosωt，忽略邊緣效應，求極板間的電場和磁場；

(2)證明這樣的場不滿足電磁場基本方程。題5.3圖題5.4圖

5.5計算下列媒質中的傳導電流密度與位移電流密度在頻率f1=1kHz和f2=1MHz時的比值。

(1)銅：σ=5.8×107S/m，εr=1;(2)蒸餾水：σ=2×10-4S/m，εr=80;(3)聚苯乙烯：σ=10-16S/m，εr=2.53。

5.6已知在空氣中，電場強度矢量為

E=ay0.1sin(10πx)cos(6π×109t-βz)V/m試求磁場強度H和相位常數β。

5.7自由空間中，已知電場