第一章邏輯代數基礎1.1概述

補充數制及二—十進制碼（BCD碼）1.5邏輯函數的公式化簡法1.7具有無關項的邏輯函數及其化簡1.6邏輯函數的卡諾圖化簡

1.2邏輯變量與邏輯運算1.4邏輯函數及其表示方法1.3邏輯代數的公式和定理1.8邏輯函數變換與實現

1.1概述一、數字信號的特點數字信號在時間上和數值上均是離散的。數字信號在電路中常表現為突變的電壓或電流典型的數字信號

有兩種邏輯體制：正邏輯體制規定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0

負邏輯體制規定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0

如果采用正邏輯，數字電壓信號就成為下圖所示邏輯信號二、正邏輯與負邏輯

數字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。

三、數字信號的主要參數

一個理想的周期性數字信號，可用以下幾個參數來描繪：

Vm——信號幅度。

T——信號的重復周期。

tW——脈沖寬度。

q——占空比。其定義為：

下圖所示為三個周期相同（T=20ms），但幅度、脈沖寬度及占空比各不相同的數字信號。

補充：數制二、不同數制之間的相互轉換

1．二進制轉換成十進制一、幾種常用的計數體制

1.十進制(Decimal)

2.二進制(Binary)

3.十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）例1.1將二進制數10011.101轉換成十進制數。解：將每一位二進制數乘以位權，然后相加，可得(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝（19.625)D例1.2將十進制數23轉換成二進制數。

解：整數：用“除2取余逆排”法轉換

2.十進制轉換成二進制（整數）則（23)D=（10111)B補充：二—十進制碼（BCD碼）

BCD碼——用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數。

要用二進制代碼來表示十進制的0～9十個數，至少要用4位二進制數。

4位二進制數有16種組合，可從這16種組合中選擇10種組合分別來表示十進制的0～9十個數。

選哪10種組合，有多種方案，這就形成了不同的BCD碼。

1.2邏輯變量與運算

邏輯代數：英國數學家喬治.布爾1849提出描述客觀事物因果關系的一種數學方法(布爾代數,開關代數)

二值邏輯(數理邏輯)

多值邏輯(模糊邏輯)

形式邏輯(語言邏輯)

辯證邏輯(動態邏輯)1938年應用于電話繼電器開關電路,而后并用作為計算機的數學工具1、邏輯變量：用于描述客觀事物對立統一的二個方面。

{0，1}集合，用單個字母或單個字母加下標表示是、非；有、無；開、關；低電平、高電平2、基本邏輯運算：用于描述客觀事物的三種不同的因果關系，包括與、或、非。一、基本邏輯運算與邏輯舉例：設1表示開關閉合或燈亮；0表示開關不閉合或燈不亮，則得真值表。

與運算——只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發生。我們把這種因果關系稱為與邏輯。1．與運算若用邏輯表達式來描述，則可寫為2．或運算——當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發生。我們把這種因果關系稱為或邏輯。

或邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

L＝A+B

3．非運算——某事情發生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發生；條件不具備時事情才發生。非邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

二、其他常用邏輯運算2．或非——由或運算和非運算組合而成

1．與非——由與運算和非運算組合而成

異或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為1。異或的邏輯表達式為：3．異或(a)1001(b)BA0AB0010111L=L4．同或同或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數值為1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為0。同或的邏輯表達式為：L=A⊙B=A⊙BA⊙B=5.與或非

只有AB或者CD同時具備時,結果才不會發生

&ABY與或非門的符號CD≥1與或非門真值表ABCDYABCDY000000010010001101000101011001111110111010001001101010111100110111101111111000001.3邏輯代數的公式與定理一、邏輯代數的基本公式二、邏輯等式的證明例如：證明證明：等式的左邊分配律=A+B=等式的右邊等式得證互補律例如：證明證明：等式的左邊=等式的右邊等式得證互補律分配律吸收律例如：證明000011111001110110111100BA

對偶規則的基本內容是：如果兩個邏輯函數表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。基本公式中的公式l和公式2就互為對偶式。對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：

將一個邏輯函數Y進行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數表達式叫做Y的對偶式，用表示。1.代入定理

2.對偶定理三、邏輯代數的基本定理3.反演定理

將一個邏輯函數Y進行下列變換：

·→＋，＋→·；

0→1，1→0

原變量→反變量，反變量→原變量。所得新函數表達式叫做Y的反函數，用表示。在應用反演規則求反函數時要注意以下兩點：（1）保持運算的優先順序不變，必要時加括號表明，如例1.3。（2）變換中，幾個變量（一個以上）的公共非號保持不變，如例1.4。

利用反演規則，可以非常方便地求得一個函數的反函數:

解：例1.4

求以下函數的反函數：解：例1.3求以下函數的反函數：一、邏輯函數的建立

如果以邏輯變量作為輸入,以運算結果作為輸出,那么當輸入變量的取值確定后,輸出的取值便唯一確定,輸出與輸入之間乃是一種函數關系,寫作:

Y=F(A,B,C,·····)

邏輯網絡ABCY輸入邏輯變量輸出邏輯變量1.4邏輯函數及其表示方法

一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量Y的值也唯一地確定了，就稱Y是A、B、C的邏輯函數，寫作：

Y=F（A，B，C…）

邏輯函數與普通代數中的函數相比較，有兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值0和1。（2）函數和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。例1.5三個人表決一件事情，結果按“少數服從多數”的原則決定，試建立該邏輯函數。第三步：根據題義及上述規定列出函數的真值表如表。解第一步：設置自變量和因變量。第二步：狀態賦值。對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量Y設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。二、邏輯函數的表示方法1、邏輯真值表2、邏輯函數式3、邏輯圖4、卡諾圖5、幾種表示方法之間的相互轉換

1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數值排列在一起而組成的表格。

2．邏輯函數表達式——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算符所構成的表達式。由真值表可以轉換為函數表達式。例如，由“三人表決”函數的真值表可寫出邏輯表達式：

反之，由函數表達式也可以轉換成真值表。解：該函數有兩個變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表。例1.6

列出下列函數的真值表：由函數表達式可以畫出其相應的邏輯圖。例1.7

畫出下列函數的邏輯圖：3．邏輯圖——邏輯圖是由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。由邏輯圖也可以寫出其相應的函數表達式。例1.8

寫出如圖所示邏輯圖的函數表達式。解：可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達式：解：可用兩個非門、兩個與門和一個或門組成。4.幾種表示方法之間的相互轉換1)已知邏輯函數式求真值表：把輸入邏輯變量所有可能的取值的組合代入對應函數式算出其函數值例：ABCY000000110100111001011101111011112）已知真值表寫邏輯函數式ABCY00000011010101101000101111001111步驟：1、找出使Y＝1的輸入變量取值的組合；2、每個組合對應一個乘積項，其中取值為1的寫成原變量，取值為0的寫成反變量；3、將這些乘積項相加，即得Y的邏輯函數式ABCY000000100100011010001011110111113）已知邏輯函數式畫邏輯圖&&&≥111ABCY4）已知邏輯圖寫邏輯函數式≥1≥1

≥111ABY三、邏輯函數的兩種標準形式（一）最小項和最大項

1、最小項：在n變量邏輯函數中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現一次，則稱m為該組變量的最小項Y=F(A,B,C)m0=m1=m2=m3=m4=m5=m6=m7=Y=F(A,B,C,D)m11=m9=m19=Y=F（A，B，C，D，E）①在輸入變量的任何取值下必有一個最小項,而且僅有一個最小項的值為1②全體最小項之和為1③任意兩個最小項的乘積為0④相鄰兩個最小項之和可合并為一項并消去一個不同的因子兩個最小項只有一個因子不同m0+m1=最小項的性質

2、最大項：在n變量邏輯函數中，若M為包含n個變量之和，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現一次，則稱M為該組變量的最大項Y=F(A,B,C)M7=M6=M5=M4=M3=M2=M1=M0=①在輸入變量的任何取值下必有一個最大項,而且僅有一個最大項的值為0②全體最大項之積為0③任意兩個最大項的之和為1④相鄰兩個最大項之乘積等于各相同變量之和⑤=M5最大項的性質（二）邏輯函數的最小項之和的形式推論：任一邏輯函數都可以用唯一最小項之和的形式表示（三）邏輯函數的最大項之積形式推論：任一邏輯函數都可以用唯一最大項之積的形式表示1．邏輯函數式的常見形式

一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互轉換。例如：1.5邏輯函數的公式化簡法其中，與—或表達式是邏輯函數的最基本表達形式。

2．邏輯函數的最簡“與—或表達式”的標準

（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數最少，即表達式中“·”號最少。（4）配項法

（1）并項法（2）吸收法（3）消去法運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。如運用吸收律A+AB=A，消去多余的與項。如

3、用代數法化簡邏輯函數運用公式消除多余因子，如先通過乘以或加上增加必要的乘積項，再用以上方法化簡，

解：例1.9

化簡邏輯函數

（利用）（利用A+AB=A）（利用

）再舉幾個例子：在化簡邏輯函數時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯數化為最簡。

解：例1.20化簡邏輯函數

（利用反演律）

（利用）

（配項法）

（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）代數化簡法優點是：不受變量數目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復雜的邏輯函數時還需要一定的技巧和經驗；有時很難判定化簡結果是否最簡。（一）邏輯函數卡諾圖表示法1、什么是卡諾圖？將n變量的相鄰最小項在幾何位置上相鄰地排列起來所組成的圖形Y=F(A,B)YB01A01m0m1m2m31.6邏輯函數的卡諾圖化簡法Y=F(A,B,C)

YA01BC00011110m0m1m2m3m4m5m6m7Y=F(A,B,C,D)YAB00011110CD00011110m8m9m10m11m12m13m15m14m1m3m2m6m7m5m4m0

YA01BC00011110111100002、用卡諾圖表示邏輯函數1）間接填入法YAB00011110CD000111100000000011110111YAB00011110CD0001111000000000111001112）直接填入法（二）利用卡諾圖化簡邏輯函數1、基本原理由于卡諾圖幾何位置相鄰與邏輯上相鄰性一致，所以幾何位置相鄰的最小項可合并（1）2個相鄰的最小項結合，可以消去1個取值不同的變量而合并為l項。

（2）4個相鄰的最小項結合，可以消去2個取值不同的變量而合并為l項。

（3）8個相鄰的最小項結合，可以消去3個取值不同的變量而合并為l項。總之，2n個相鄰的最小項結合，可以消去n個取值不同的變量而合并為l項。

YAB00011110CD0001111011(1)若兩個最小項相鄰，可合并為一項消去一個不同因子1111YAB00011110CD000111101111(2)若四個最小項相鄰，可合并為一項消去二個不同因子11111YAB00011110CD000111101111(3)若八個最小項相鄰，可合并為一項消去三個不同因子11111111A（1）盡量畫大圈，但每個圈內只能含有2n（n=0,1,2,3……）個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。

2．用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

①應包含所有的最小項②矩形組數目最少③矩形組應盡量包含多的最小項3、步驟1）畫出對應邏輯函數的卡諾圖2）找出可以合并的最小項的矩形組3）選擇化簡后的乘積項

YA01BC000111

1011110011舉例：YAB00011110CD000111101111111111110000AL（A,B,C,D）=∑m(0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15)

例1.27用卡諾圖化簡邏輯函數：注意：圖中的虛線圈是多余的，應去掉。

練習：例1.26用卡諾圖化簡邏輯函數：

（2）畫包圍圈，合并最小項，

得簡化的與—或表達式:

解：（1）由表達式畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈合并最小項，得簡化的與—或表達式:解：（1）由表達式畫出卡諾圖解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（b）：寫出表達式：

通過這個例子可以看出，一個邏輯函數的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結果有時不是唯一的。

例1.28某邏輯函數的真值表如表4所示，用卡諾圖化簡該邏數。

（2）畫包圍圈合并最小項。有兩種畫圈的方法：（a）：寫出表達式：（2）用圈0法畫包圍圈，得：

卡諾圖化簡邏輯函數的另一種方法——圈0法例1.29已知邏輯函數的卡諾圖如下圖所示，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：1、約束項：輸入邏輯變量的取值不是任意的，對取值外加限制;2、任意項：在某些輸入變量的取值下，函數值為1，還是為0皆不影響電路的功能;3、無關項：約束項、任意項統稱無關項1.7具有無關項的邏輯函數及其化簡4、帶無關項的邏輯函數及其表示例：描述電機的狀態:可用A、B、C三個邏輯變量A=1：表示電機正轉，A=0：表示電機不正轉；B=1：表示電機反轉，B=0：表示電機不反轉；C=1：表示電機停止，C=0：表示電機轉動；ABCY000001010011100101110111×√√×√×××約束條件YAB00011110CD0001111011111××××00000005、帶無關項的邏輯函數的化簡解：設紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數的真值。顯而易見，在這個函數中，有5個最小項為無關項。帶有無關項的邏輯函數的最小項表達式為：L=∑m（）+∑d（）如本例函數可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）

例1.30：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系。不考慮無關項時，表達式為：注意:在考慮無關項取值為1或為0，以盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數，使邏輯函數更簡為原則?？紤]無關項時，表達式為:

化簡具有無關項的邏輯函數時，要充分利用無關項可以當0也可以當1的特點，盡量擴大卡諾圈，使邏輯函數更簡。例1.31：如果不考慮無關項，如圖（b）所示，寫出表達式為：用卡諾圖法化簡該邏輯函數例1.32：某邏輯函數輸入是8421BCD碼，其邏輯表達式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15）解（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號小方格填入×。（2）合并最小項，如圖（a）所示。注