定積分習1、問題的實例1（求曲邊梯形的面積曲邊梯形由連續曲

yfx)(fx0)x軸與兩條直線xaxb所圍成nAlimfn0i定積分習實例2（求變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知速度vv(t)是時間間隔[T1,T2上t的續函數，且v(t0，求nn0i方法:分割、近似、求和、取極限定積分習2、定積分的記max{x1x2xnbnbaf(x)dxIlim

定積分習3、存在定定理 當函數f(x)在區間[a,b]上連續，fx)在區間[ab]上可積定理

設函數fx)在區間[ab]上有界且只有有限個間斷點fx在區[a,b]上可積定積分習bbb4、定積分的bbbb性質b

a[f(x)g(x)]dx

f(x)dx

b性質b

akf(x)dxk

f(

(k為常數b性質b

假設acbc f(x)dxbc

f(x)dx

f(bb定積分習bb性質

a1dx

dxb性質 b則

f(x)dx

(ab推論（）如果在區間[ab]fxgx)，bbbb則bbb

f(x)dx

ag( (a

f(x)dx

f( (a定積分習性質 設M及m分別是函數f(x)在區間[a,上的最大值及最小值b m(ba)b

f(x)dxM(ba).5 公

定積分習xxdx) f(t)dt在[ab]上具有導數，且它的導xxd是x)

dx

f(t)dtf( (ax定理2（原函數存在定理）如果fx)在[abx連續，則積分上限的函數(x) fx)在[ab]上的一個原函數定積分習定理3（微積分基本公式也可

f(x)dx[F(x)]bbaaba

公定積分習6、定積分的計換元b f(x)dxb

換元公分部積分公換元公分部積分公abbaudvb

[uv]b

a7、定積分中值定

定積分習則存在(ab)滿足: 積分第一中 f(x)g(x)dxf() g(積分第一中推bfC[ab(abb

f(x)dxf()(b例1利用定義計算定積分

定積分的基本21dx.2x解在[1,2]中插入分點qq2qn1典型小區間為[qi1qi]，（i1,2,小區間的長度i

qiqi1qi1(qiqi1，（i1,2,inf()x n

1x

1qi1(q i

i1

nninn

qi定積分的基本nn(q n(qi

取qn2即qn1ni

11limx(21x1

1)lim2x

1ln2,xlim 1)ln 2 n

dx 0i1

limn(2n1)ln定積分的基本思考：若區間變為一般的區間b ba0,怎么ba在[ab]內插入aqaq2aqn1且aqnb對ax2 ba0,怎么求取同樣分點，求和不同定積分習試試nf12nnf fnn0lnf(x1.證 1 2 n

f

n n n 1 2

nln

f f f e

n n n極限運算與對數運算換序

定積分習 1 2

nlim

f f f en

n n n1 i

i lnf limlnf enni

n

eni

nx iini）定積分習

11lnf 11

0lnf(n

nn故

f

f

2

n n n n1e0lnf(x)dx定積分習例例x證Fx)2xx

f(t)dt FF(0)1F(1)110f(tF(1)110f(t1f(x)

F(x)2f(x)FF(x)在[0,1]上為單調增加函數定積分習b例4fx在區間[a,b上連續，且fx)bbb

f(x)dx

f(x)

(ba)2x 作輔助函xxF(x)x

f(t)dt

f(t

(xa)2F(x)f(x)

dt

f(t)dt

2(xxxx f(t f(xxx

f(xxf(t

f(tx f(x

dt

af(x)

f(x) f(t)f(t f(

定積分習Fx)

(f(x)f(t

2)dtx f(t f(xFx)單調增加b又F(a) F(b)F(a)bbb

f(x)dx

f(x)

(ba)2 sin

定積分習例5

sinxcos sin

cos解I

J

2 sinxcos

sinxcosIJ

2dx IJ

sinsinxcos sinxcos

d(cosxsin sinxcos

故得2I2

I4例6

ln0

e2x

定積分習 令exsinxlnsintdxcostdtsin cos cos2 sin sin原式 6cos2

)dt

2 26sin6

2sintdtln(26

3) 323例7

4lnsin

2lnsin

定積分習解I

4lnsin2xdx0

4ln(2sinxcosx)dx0 4(ln20ln2ln2 4lnsinxdx 2lnsin

lnsinxlncosx)dx ln24

2lnsin 0

ln24Iln4 x

2lnsinxdx24lnsin2tdt

定積分習 sin例8

2x2 8x21

ln2(100

ln(1x)dx21

1ln(1x)dx2

2ln(10

3ln3

定積分習例1解1

xf(2

2

(21111xf(2x)1 f(2111

1f(2)1f(2 2

51f(2)f(0) 例

f(x)在0，

定積分習f(1)f證

使(0, 0f(x)cosxdx f(x)cosxdxf(x)cos 2 f

2cosxdxf