9/92.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型解讀及當(dāng)堂達(dá)標(biāo)題一．解讀目標(biāo)：1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2.會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))二解讀知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑．(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑．(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝eq\r(x0－a2＋y0－b2).位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2三解讀題型題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知圓過(guò)點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓心在直線(xiàn)2x－y－4＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．鞏固訓(xùn)練：1．求滿(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4)；(2)求過(guò)兩點(diǎn)C(－1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．題型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外C．點(diǎn)P在圓上 D．不確定(2)已知點(diǎn)M(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為_(kāi)_______．鞏固訓(xùn)練：2．已知點(diǎn)A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿(mǎn)足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)點(diǎn)A在圓的內(nèi)部；(2)點(diǎn)A在圓上；(3)點(diǎn)A在圓的外部．題型3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，試求x2＋(y－4)2的最值．鞏固訓(xùn)練

3．設(shè)P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上任意一點(diǎn)，則eq\r(x－12＋y－12)的最大值為_(kāi)_______．當(dāng)堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑長(zhǎng)分別為()A．(－1,5)，eq\r(3) B．(1，－5)，eq\r(3)C．(－1,5)，eq\r(3) D．(1，－5)，32．圓心為(1,1)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝23．點(diǎn)P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．不確定4．已知P(x，y)是圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一點(diǎn)，則x2＋y2的最小值為_(kāi)_______．2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型解讀及當(dāng)堂達(dá)標(biāo)題一．解讀目標(biāo)：1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2.會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(易錯(cuò)點(diǎn))二解讀知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑．(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑．(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓．知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝eq\r(x0－a2＋y0－b2).位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2三解讀題型題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知圓過(guò)點(diǎn)A(1，－2)，B(－1,4)．(1)求周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓心在直線(xiàn)2x－y－4＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解](1)當(dāng)線(xiàn)段AB為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即所求圓以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)(0,1)為圓心，eq\f(1,2)|AB|＝eq\r(10)為半徑．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝10.(2)法一：直線(xiàn)AB的斜率k＝eq\f(4－－2,－1－1)＝－3，則線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程是y－1＝eq\f(1,3)x，即x－3y＋3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋3＝0，,2x－y－4＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))即圓心的坐標(biāo)是(3,2)．所以圓的半徑r＝eq\r(3－12＋2＋22)＝2eq\r(5).所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.法二：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為R(R>0)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝R2，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－2－b2＝R2，,－1－a2＋4－b2＝R2，,2a－b－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,R2＝20.))所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.鞏固訓(xùn)練：1．求滿(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4)；(2)求過(guò)兩點(diǎn)C(－1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解](1)設(shè)圓心C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)設(shè)圓心為M(a,0)，∵|MC|＝|MD|，∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，∴a＝2，r＝|MC|＝eq\r(10)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝10.題型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外C．點(diǎn)P在圓上 D．不確定(2)已知點(diǎn)M(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為_(kāi)_______．(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點(diǎn)P在圓外．(2)由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1.]鞏固訓(xùn)練：2．已知點(diǎn)A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿(mǎn)足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)點(diǎn)A在圓的內(nèi)部；(2)點(diǎn)A在圓上；(3)點(diǎn)A在圓的外部．[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不為0，解得a<－2.5.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.(3)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不為0，解得a>－2.5且a≠0.題型3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，試求x2＋(y－4)2的最值．[解](1)由已知得，圓心C(3,0)，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝2，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4.(2)x2＋(y－4)2表示點(diǎn)M(0,4)與圓C上任意一點(diǎn)P(x，y)的平方，即|PM|2的距離．由(0－3)2＋42>4知點(diǎn)M(0,4)在圓C外部．又|MC|＝eq\r(3－02＋0－42)＝5，∴|PM|max＝5＋2＝7，|PM|min＝5－2＝3.∴|PM|eq\o\al(2,max)＝49，|PM|eq\o\al(2,min)＝9.即x2＋(y－4)2的最大值為49，最小值為9.鞏固訓(xùn)練

3．設(shè)P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上任意一點(diǎn)，則eq\r(x－12＋y－12)的最大值為_(kāi)_______．因?yàn)镻(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上任意一點(diǎn)，所以eq\r(x－12＋y－12)表示點(diǎn)M(1,1)與該圓上任意一點(diǎn)P(x，y)的距離|PM|.因?yàn)?2＋(1＋4)2>4，所以點(diǎn)M(1,1)在圓外．設(shè)圓心為C(0，－4)，則|MC|＝eq\r(1－02＋1＋42)＝eq\r(26)，所以|PM|max＝eq\r(26)＋2，即eq\r(x－12＋y－12)的最大值為eq\r(26)＋2.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑長(zhǎng)分別為()A．(－1,5)，eq\r(3) B．(1，－5)，eq\r(3)C．(－1,5)，eq\r(3) D．(1，－5)，3由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑r＝eq\r(3)，故選B．2．圓心為(1,1)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2由圓過(guò)原點(diǎn)知r＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，選D．3．點(diǎn)P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．不確定由12＋32<24知，點(diǎn)