2022-2023學年上海市浦東復旦附中分校高一上學期期中數學試題一、單選題1．下列函數中，不是偶函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據偶函數的定義，對選項逐一判斷.【詳解】對選項A，函數的定義域為，解得的定義域為，定義域關于原點對稱，且，故是偶函數.B選項，函數的定義域為，解得，定義域關于原點對稱，則，，所以函數是偶函數.C選項，當，，所以不是偶函數.D選項，，的定義為，當，，當，所以函數為偶函數.故選：C2．存在函數滿足：對任意都有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據的奇偶性可以判斷A和B選項的正誤；再根據的對稱性判斷C和D.【詳解】必定是一個偶函數，故可以判斷A和B選項是錯誤的；是由的圖像向左平移一個單位得到，所以的圖像關于對稱，對于C，不關于對稱，故舍去；對于D，關于對稱，故正確，故選：D.3．已知函數，若方程有實根，則集合的元素個數可能是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根據方程有實根可求得，根據二次函數性質可求得；設，分別在和的情況下，討論的根的個數，并根據方程的根與的大小關系，確定的根的個數，即為所求集合的元素個數.【詳解】有實根，，解得：；；設，則；①當時，，，即，解得：，；②當時，由得：，；，，，又恒成立，，即，共有四個不等實根，；綜上所述：集合的元素個數可能為或.故選：C.4．設對任意恒成立，當時，函數在上的最大值是，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】令，則任意都有，，，將用表示，則可變形得，結合絕對值三角不等式即可得出最大值.【詳解】令，則任意都有，，，由得，∴.故選：A二、填空題5．函數的定義域為______．【答案】【分析】根據給定的函數，直接列出不等式求解作答.【詳解】函數有意義，則，解得且，所以函數的定義域是.故答案為：6．已知集合，，若，則實數______．【答案】1【分析】由集合中元素的互異性可得，由集合相等可得或，再求解即可得解.【詳解】解：由集合，，又，則有或，解得無解或，綜上可得實數，故答案為.【點睛】本題考查了集合相等的充要條件及集合中元素的互異性，重點考查了元素與集合的關系及運算能力，屬基礎題.7．已知實數，滿足，，則以為根的一元二次方程是__________．【答案】.【分析】本題考查一元二次方程韋達定理得逆向運用【詳解】將變形可得，可得即，由一元二次方程的韋達定理可知為方程的兩根.故答案為：.8．若在區間上為奇函數，則t的取值為________．【答案】【詳解】奇函數的定義域關于原點對稱，且區間的右端點不比左端點小，有．解得．9．若，，則的取值范圍是____________．【答案】【分析】直接根據不等式的性質即可得結果.【詳解】因為，，所以，，即的取值范圍是，故答案為：.10．函數的遞減區間是__________．【答案】【分析】分別在、和的情況下得到函數解析式，結合一次函數的單調性可確定遞減區間.【詳解】當時，，此時函數單調遞減；當時，；當時，，此時函數單調遞增；的遞減區間是.故答案為：.11．函數的值域是__________．【答案】【分析】分三種情況討論，運用基本不等式求值域.【詳解】當時，當，.若時，，當且僅當，即時等號成立，此時，即.若時，，當且僅當，即時等號成立，此時，即.綜上所述，函數的值域為.故答案為：12．已知的周長為定值，則它的面積最大值為__________.【答案】.【分析】設出三角形的邊長，根據周長和勾股定理列方程組，利用基本不等式求得的最大值，進而求得三角形面積的最大值.【詳解】設三條邊長分別為，其中為斜邊長，所以，，，所以，所以，則三角形的面積.故答案為.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求三角形面積的最大值，考查直角三角形的性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.13．若函數的值域為，則實數的取值范圍為__________．【答案】【分析】依題意可得能夠取到大于等于的所有數，然后對分類求解得答案．【詳解】解：因為函數的值域為，所以能夠取到大于等于的所有數，當時，不合題意；當時，則，解得；綜上可得.故答案為：．14．函數，，若在定義域上滿足：①沒有奇偶性；②不單調；③有最大值，則a的取值范圍是_______．【答案】【分析】因為函數沒有奇偶性，所以一次項系數不為零；因為函數在定義域上不單調，所以二次項系數不為零，且對稱軸在區間內；又因為二次函數在開區間上有最大值，所以二次項系數小于零，求出a的取值范圍.【詳解】因為函數沒有奇偶性，所以，即；又因為函數在上不單調，所以且；又因為二次函數在開區間上有最大值，所以，綜上，解得.故答案為：.15．已知函數，若對于任意的，都有，則的最小值是_____.【答案】【分析】根據及可得即可求出函數解析式，令，將函數轉化為二次函數，求出函數的最小值.【詳解】解：對任意的，都有令則所以的最小值為故答案為：【點睛】本題考查函數的最值，利用換元法將函數轉化為二次函數，利用二次函數的性質求函數的最值，屬于中檔題.16．設，若存在定義城為的函數同時滿足下列兩個條件：①對于任意，的值為或；②關于的方程無實數解．則實數不能取的值的集合為__________．【答案】【分析】根據條件①可知或1，進而結合條件②可得的范圍，并分析函數的構成，即可確定的范圍，從而可得實數不能取的值的集合.【詳解】解：根據條件①可得或，根據條件②關于的方程無實數解，所以且；由條件①可知函數的圖象是由函數和函數的圖象分段拼接而成的，若，只需取，則無解；若，只需取，則無解；若，只需取，則無解；故的取值范圍是，則實數不能取的值的集合為.故答案為：．三、解答題17．已知函數．(1)求函數的值域；(2)若直線與的圖象有無窮多個交點，求實數的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用分段討論法去絕對值，求出解析式，畫出圖象，可求值域；（2）要使交點有無數多個，即直線或，解方程即可.【詳解】（1）當時，；當時，；當時，，故，如圖：可知；（2）要使直線與的圖象有無窮多個交點，即或（無解），解得或，故實數的取值集合18．已知函數，其中．(1)討論函數的奇偶性，并說明理由；(2)若，，判斷函數在上的單調性，并證明．【答案】(1)見解析(2)單調遞增，證明見解析【分析】（1）由奇偶性的定義求解，（2）由單調性的定義證明，【詳解】（1）的定義域為，當時，為非奇非偶函數，當時，，，令，解得，令，得無解，綜上，當時，為奇函數，當或時，為非奇非偶函數，（2），設，且，則，由，得，而，故，在上單調遞增．19．某網店有(萬件)商品，計劃在元旦旺季售出商品x(萬件)，經市場調查測算，花費t(萬元)進行促銷后，商品的剩余量與促銷費t之間的關系為(其中k為常數)，如果不搞促銷活動，只能售出1(萬件)商品.（1）要使促銷后商品的剩余量不大于0.1(萬件)，促銷費t至少為多少(萬元)？（2）已知商品的進價為32(元/件)，另有固定成本3(萬元)，定義每件售出商品的平均成本為(元)，若將商品售價定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”與“每件售出商品平均促銷費的一半”之和，則當促銷費t為多少(萬元)時，該網店售出商品的總利潤最大？此時商品的剩余量為多少？【答案】（1）(萬元)；（2）當促銷費為7萬元時，網店利潤的最大為42萬元，此時商品的剩余量為0.25(萬件).【解析】（1）可得當時，，解得，則可列不等式求出；（2）根據題意可列出y關于的函數關系，再利用基本不等式可求出.【詳解】解：（1）由，當時，，得，∴，由，解得，所以促銷費至少為19萬元；（2）網店的利潤y(萬元)，由題意可得：，當且僅當，即時取等號，此時；所以當促銷費為7萬元時，網店利潤的最大為42萬元，此時商品的剩余量為0.25(萬件).20．已知函數．(1)當時，求方程的實數解；(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍；(3)若存在兩個不相等的正實數，，滿足，試比較、2、這三個數的大小關系，并證明你的結論．【答案】(1)；(2)；(3)，證明見解析.【分析】（1）化簡后分和兩種情況求解即可；（2）分，和三種情況求解函數的最大值，使其最大值小于零即可；（3）不妨設，然后根據分段函數的性質將分三種情況：，和，可得到.【詳解】（1）當時，，由，得，，當，即時，，解得或（舍去），當，即時，，解得（舍去），綜上，方程的實數解為；（2）①當時，因為，所以，則在上單調遞增，所以，符合題意，②當時，，則由對勾函數的性質可知，在上單調遞增，所以，因為，所以，得，所以，③當時，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，所以，符合題意，綜上，，即實數的取值范圍為；（3）不妨設，當時，在上單調遞增，所以不存在兩個不相等的正實數，滿足，舍去，當時，為定值，不合題意，當時，，由對勾函數的性質可知，當時，在上單調遞增，在上單調遞增，而兩個分段函數在處函數值相同，所以在上單調遞增，所以不存在兩個不相等的正實數，滿足，舍去，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，且，即分段函數在處函數值相同，所以要存在兩個不相等的正實數，滿足，則有三種類型，第一種：，則，令，則，當時，任取，且，則因為，當且僅當時取等號，因為，所以取不到等號，所以，所以，所以，即所以在上單調遞增，所以，所以，因為，所以，因為，所以，因為，在上單調遞增，所以，所以，綜上，，第二種情況：，顯然，令，，當時，，任取，且，則，因為，且，所以，，，所以，即，所以在上單調遞增，所以，因為，所以，因為，所以，因為，在上單調遞增，所以，所以，綜上，第三種情況：，由第一種情況可知，則第二種情況可知，所以，綜上.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的應用，考查函數單調性的應用，第（3）問解題的關鍵是分情況討論可得當時，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，然后再對分三種情況求解，考查分類思想和數計算能力，屬于較難題.21．已知定義城為的函數，若存在實數，使得對任意，都存在滿足，則稱函數具有性質．(1)判斷下列函數是否具有性質，無需說明理由；①；

②(2)若函數的定義域為，且具有性質，則“有解”是“”的__________條件（橫線上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并證明你的結論；(3)若存在唯一的實數，使得函數，具有性質，求實數的值．【答案】(1)不具有性質，具有性質(2)必要非充分、證明詳見解析(3)或【分析】（1）根據性質對兩個函數進行分析，從而確定正確答案.（2）根據充分、必要條件的知識，結合性質作出判斷.（3）對進行分類討論，求得的值域，結合性質以及的唯一性求得的值.【詳解】（1）性質：對任意，都存在滿足，.①，取，則，而，所以不具有性質.②，的定義域為，值域是，對于任意，，即存在，使，所以具有性質.（2）函數的定義域為，且具有性質，即使得對任意，都存在滿足，當“有解”時：如，則，，即的值域是，對任意，即存在使，也即具有性質，但，所以“有解”“”.當“”時，即對任意，都存在滿足，即“有解”，所以“”“有解”，所以“有解”是“”的必要不充分條件.（3）依題意，存在唯一的實數，使得函數，具有性質，即：存在唯一的實數，對任意，都存在滿足，，，