學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1函數的零點及應用一、要點掃描1．函數零點的理解：（1)函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸的交點的橫坐標，實質是同一個問題的三種不同表達形式；(2）若函數f(x）在區間[a，b］上的圖象是一條連續的曲線且f（a)f(b）＜0，則f(x）在區間(a,b)內有零點．2．函數零點的判定常用方法：（1）零點存在性定理；(2)數形結合法；(3）解方程f(x)＝0.3．曲線的交點問題:（1)曲線交點坐標即為方程組的解，從而轉化為方程的根；（2)求曲線y＝f(x)與y＝g(x）的交點的橫坐標,實際上就是求函數y＝f(x)－g(x)的零點，即求f(x)－g(x）＝0的根．二、典型例題剖析1．求函數的零點例1求函數f(x)＝x3－3x＋2的零點．解令f（x）＝x3－3x＋2＝0，∴(x＋2）（x－1）2＝0。∴x＝－2或x＝1,∴函數f（x）＝x3－3x＋2的零點為－2,1。評注求函數的零點，就是求f(x）＝0的根，利用等價轉化思想,把函數的零點問題轉化為方程根的問題，或利用數形結合思想把函數零點問題轉化為函數圖象與x軸的交點問題．2．判斷函數零點的個數例2已知函數f（x)＝ax＋eq\f(x－2，x＋1)(a＞1）,判斷函數f（x）＝0的根的個數．解設f1（x）＝ax（a＞1)，f2(x）＝－eq\f（x－2,x＋1),則f（x）＝0的解，即為f1（x)＝f2(x）的解,即為函數f1（x)與f2（x)的交點的橫坐標．在同一坐標系下,分別作出函數f1(x）＝ax(a＞1）與f2(x）＝－eq\f（x－2，x＋1）的圖象（如圖所示)．所以方程f(x）＝0的根有一個．評注利用數形結合的思想解決，在同一坐標系下作出f1（x)與f2(x)兩函數的圖象，從而觀察出兩函數的交點的個數（即是原函數的零點的個數）．3．確定零點所在的區間例3設函數y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）))x－2的圖象的交點為(x0,y0），則x0所在的區間是（）A．(0,1） B．（1,2)C．（2,3) D．(3，4)解析y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））x－2的圖象的交點的橫坐標即為x3＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2））)x－2的根，即f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))x－2的零點，f(1)＝1－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))－1＝－1＜0，f(2)＝23－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2）)）0＝7＞0，∴f（x)的零點在區間(1，2）內．答案B評注本題考查函數零點性質的應用，利用了函數與方程的轉化思想，體現對運算能力和理解能力的要求．4．利用函數零點的存在性求參數范圍例4關于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在［0,2]上有解，求實數m的取值范圍．解設f（x）＝x2＋（m－1)x＋1，x∈[0，2],又∵f（0)＝1>0,由題意得①eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈－\f(m－1,2)≤2,,Δ＝m－12－4≥0）)或②eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（m－1,2)〉2，,f2≤0。)）解①得－3≤m≤－1，解②得m〈－3，即m≤－1。所以m的取值范圍為（－∞，－1］．評注本題實質是對一元二次方程根的個數的討論,解題過程中利用了函數與方程的轉化、分類討論思想、方程與不等式的轉化等知識，對運算能力和分析問題的能力有很高的要求．

2零點問題考向探究函數零點就是方程的根，這為我們提供了一個通過函數性質確定方程根的途徑,是近幾年課標高考命題的熱點．本節結合實例歸納有關函數零點問題的幾類熱點題型．一、判斷函數零點的存在性例1已知函數f(x）＝2x3－4x2－3x＋1，那么在區間長度為1的條件下，下列敘述不正確的是()A．函數在區間(－1,0)內有零點B．函數在區間(0,1）內有零點C．函數在區間(1，2）內有零點D．函數在區間（2，3)內有零點分析根據選項提供的區間來看，需要計算f(－1），f(0)，f（1）,f（2），f(3）的值，然后看相鄰兩個函數之間的符號關系,進而確定函數零點所在的區間．解析因為f(－1)＝－2<0,f(0)＝1〉0，f(1)＝－4〈0,f(2)＝－5〈0,f（3)＝10>0,所以f（－1)·f（0)〈0，f(0）·f（1）<0，f(2)·f(3)<0.又因為一個三次方程最多有三個實根,所以函數f（x）＝2x3－4x2－3x＋1在區間(－1，0)，(0，1）,(2,3)內各有一個零點．答案C評注由于本題所涉及的函數在各個區間上的單調性不容易判斷，因此通過找全函數的可能存在的零點,用排除法找到正確答案．二、判斷函數零點所在的大致區間例2函數f（x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是()A．(－2,－1)B．（－1,0）C．(0，1)D．(1,2)解析因為f（－1）＝eq\f（1,2）－3＜0，f（0)＝1＞0,所以f（x)在區間(－1,0）上存在零點．答案B評注若f(a)·f(b）〈0，且f（x)在［a，b］上連續，則y＝f(x）在區間(a,b）內一定有零點，但要注意，若f(a)·f(b）≥0，并不能證明f(x）在（a，b)內沒有零點。3函數與方程，唇齒相依函數的思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系式或構造函數，運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決．方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組或構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決．方程的思想與函數的思想密切相關，對于函數y＝f（x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以寫成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f（x)的形式），當y＝0時,就轉化為方程f（x）＝0，也可以把函數式y＝f（x）看作二元方程y－f（x）＝0，函數與方程這種相互轉化的關系很重要，我們應熟練掌握．下面我們就具體看一下函數與方程的應用舉例．一、判斷方程解的存在性例1已知函數f(x)＝3x3－2x2＋1,判斷方程f（x)＝0在區間［－1，0]內有沒有實數解？分析可通過研究函數f（x）在［－1,0］上函數的變化情況判斷函數是否有零點，從而判定方程是否有解．解因為f(－1)＝3×(－1）3－2×(－1)2＋1＝－4〈0,f（0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f（0）〈0.又因為函數f（x）＝3x3－2x2＋1的圖象是連續的曲線,所以f（x)在［－1,0]內有零點，即方程f（x)＝0在區間［－1,0]內有實數解．評注要判斷f(x)＝0是否存在實根，即判斷對應的連續函數y＝f（x)的圖象是否與x軸有交點．因此，只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可．二、確定方程根的個數例2若f(x)＝ax3＋ax＋2（a≠0)在［－6,6]上滿足f（－6)>1，f（6)<1,則方程f（x）＝1在[－6,6]內的解的個數為（）A．1B．2C．3D．4分析利用等價轉化將方程根的問題轉化為函數的零點問題，再結合函數零點的性質進行判斷．解析設g(x)＝f（x）－1，則由f（－6）〉1,f（6)〈1，得［f(－6)－1][f(6)－1]<0,即g(－6）g（6）<0。因此g（x）＝f(x)－1在(－6,6）上有零點．由于g（x)＝ax3＋ax＋1(a≠0),易知當a〉0時,g(x)單調遞增;當a<0時，g（x）單調遞減，即函數g（x）為單調函數，故g(x)僅有一個零點．因此方程f(x）＝1僅有一個根．故選A。答案A評注在區間［a，b]上單調且圖象連續的函數y＝f（x），若f（a）·f(b)〈0，則函數y＝f（x)的圖象在(a,b)內有唯一的零點．三、求參數的取值范圍例3已知一次函數y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f（x0）＝0，則實數m的取值范圍是________．分析將方程解的問題，轉化為一次函數在區間上有零點的問題，最后通過不等式求得m的取值范圍．解析因為一次函數f(x)在[－2,0]上存在x0使f（x0)＝0,即函數f（x）在［－2,0］內有一個零點,所以f(－2）f(0)≤0，即（－4m＋4）（0＋4)≤0，解得m≥1.答案[1，＋∞)評注本題對方程實根的研究轉化為對一次函數f(x）在［－2,0]上有一個零點的研究,最后建立關于m的不等式求出m的取值范圍．整個解題過程利用了對函數、方程、不等式的研究和轉化，充分體現了函數與方程的相互作用．例4已知關于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的兩實根一個小于1，另一個大于1，求實數k的取值范圍．分析若直接利用求根公式解題，則要解復雜的無理不等式組．如果從函數觀點出發，令f(x）＝2kx2－2x－3k－2，則由根的分布，函數f(x)的圖象只能如圖所示.對應的條件是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k〉0，,f1〈0）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k〈0，,f1>0,））解出即可．解令f(x）＝2kx2－2x－3k－2，為使方程f(x)＝0的兩實根一個小于1，另一個大于1，只需eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k>0,，f1<0））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k<0，,f1>0，））即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,2k－2－3k－2〈0））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k<0,,2k－2－3k－2>0，))解得k〉0或k<－4.故k的取值范圍是{k｜k>0或k<－4}．評注本題是一個利用函數圖象解方程根的分布問題的典例．一般的,關于根的分布問題，可引入函數，由函數圖象的特征聯想解決，使問題得到巧妙解決.4函數應用問題“講"與“練”講解一求函數模型例1某地方政府為保護地方電子工業發展，決定對某一進口電子產品征收附加稅．已知這種電子產品國內市場零售價為每件250元，每年可銷售40萬件,若政府增加附加稅率為每百元收t元時，則每年銷售量將減少eq\f（8,5）t（t＞0)萬件．請將稅金收入表示為征收附加稅的函數．解設每年銷售量為x萬件，則每年銷售收入為250x萬元，征收附加稅為y＝250x·eq\f(t，100)＝eq\f（5,2)tx.依題意,知x＝40－eq\f（8，5）t＞0，即t＜25。故所求的函數關系式為y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(40－\f(8，5）t)）t＝－4t2＋100t（0＜t＜25)．評注在引入自變量建立目標函數解決函數應用題時，一要注意自變量的取值范圍，二要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合實際問題的要求．練習1將進貨單價為70元的商品按100元一個售出時,能賣出500個，已知這種商品每個漲價1元時,其銷售量就減少15個，求利潤y與每個商品漲價x元之間的函數關系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100，3))）講解二函數模型的選用例2某蔬菜基地種植青瓜,由歷年市場行情得知，從4月1日起的300天內，青瓜的種植成本Q（萬元)與上市時間t(天）的關系如下表所示:種植成本Q（萬元）150100上市時間t（天)50150模擬函數可以選用二次函數Q＝a(t－150）2＋b（a，b為常數，且a≠0)或一次函數Q＝kt＋m(k,m為常數，且k≠0)．已知種植成本Q＝112。5萬元時,上市時間t＝200天，則用以上哪個函數作為模擬函數較好?并說明理由．分析根據題目給定的兩組Q，t的值,可分別求出模擬函數中的未知量a,b，k，m。解設f（t）＝a(t－150)2＋b（其中a，b為常數,a≠0），g（t)＝kt＋m（k≠0）．由已知，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，，f150＝100，）)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（g50＝150，，g150＝100。））所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a50－1502＋b＝150，，a150－1502＋b＝100，）)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100。))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(1,200)，，b＝100,)）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝－\f（1，2），,m＝175。))所以f(t）＝eq\f(1，200）（t－150)2＋100，g(t)＝－eq\f（1,2)t＋175。因為f（200)＝eq\f（1,200)（200－150)2＋100＝112。5，g（200)＝－eq\f(1,2)×200＋175＝75，所以選用f(t）＝eq\f(1，200)(t－150）2＋100作為模擬函數較好．評注本題不能憑空下結論，而要通過具體計算得到．在實際問題向數學問題的轉化過程中,要充分使用數學語言，如引入字母、列表、畫圖、建立坐標系等,以使實際問題數學化．練習2現有一組數據如下表所示：x123…y1。53.517.5…其中最能近似地表達這些數據規律的函數是(）A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－eq\f(1,2) D．y＝x3－x＋1答案C講解三轉化為熟悉的函數模型例3有A，B兩種商品，經營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是M(萬元)和N(萬元)，它們與投入資金x（萬元）的關系式分別為：M＝eq\f(1，2)x，N＝eq\f(3\r(x），2），今有4萬元資金投入經營A,B兩種商品．為獲得最大利潤，應分別