試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山西省臨汾市高三上學期11月月考數學試題一、單選題1．已知復數z滿足，則z在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復數運算求得，進而求得對應點所在象限.【詳解】因為，所以，即，所以，故z在復平面內對應的點為，位于第四象限．故選：D2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合，解絕對值不等式求得集合，由此求得.【詳解】由，得或，所以；由，得或，所以或，從而．故選：C3．若，，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據三角函數值域的求法求得中的范圍，解分式不等式求得中的范圍，由此判斷出充分、必要條件.【詳解】對于：由，得，，所以，即；對于：由，得，故p是q的必要不充分條件．故選：B4．已知某圓錐的側面展開圖為半圓，該圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為（

）A．27π B． C． D．16π【答案】A【分析】根據條件先算出母線長與底面半徑的關系，再根據體積計算出底面半徑即可.【詳解】設圓錐底面半徑為r，母線長為l，則，所以，所以圓錐的高為，所以，解得，故其表面積；故選：A．5．用一個平面去截正方體，如果截面是三角形，則截面三角形的形狀不可能是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，結合正方體的性質，即可判斷.【詳解】如圖1，易知為正三角形，于是答案B,C,D都有可能，對A，如圖2，若為直角三角形，根據正方體的對稱性，不妨假設EF⊥FG，由正方體的性質可知：，，所以平面，而平面，于是過同一點作出了一個平面的兩條垂線，顯然不成立，A錯誤.故選：A.6．若函數的圖象與直線的兩相鄰公共點的距離為π，要得到的圖象，只需將函數的圖象向左平移（

）A．個單位長度 B．個單位長度C．個單位長度 D．個單位長度【答案】D【分析】先求出函數的周期，然后根據函數解析式以及平移規則求解即可.【詳解】由題意，得，解得，所以，其圖象向左平移個單位長度，可得的圖象，即為的圖象，所以，解得，又，則；故選：D．7．如圖，在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在三棱錐內構造直線使其平行于，然后構造三角形，運用異面直線夾角的定義求解即可.【詳解】取的中點D，連接交于點E，連接DE，則且，則為異面直線與所成的角或其補角．易求，，則，所以.故選：B．8．已知函數是定義域為R的偶函數為奇函數，當時，，若，則（

）A．2 B．0 C．-3 D．-6【答案】C【分析】根據條件，可以證明是周期為4的周期函數，計算出和k，由周期性可得，再利用函數的對稱性即可求解.【詳解】因為為奇函數，所以，又為偶函數，所以，所以，即，所以，故是以4為周期的周期函數；由，易得，，所以，所以，，解得，；所以；故選：C．二、多選題9．已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用不等式的基本性質判斷不等關系．【詳解】因為，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A錯誤，B正確；因為，，所以，所以故D錯誤，C正確．故選：BC．10．已知數列的前項和為，則（

）A．若，則是等差數列B．若，則是等比數列C．若是等差數列，則D．若是等比數列，且，，則【答案】AC【分析】利用與的關系，結合等差數列與等比數列的定義，可得A、B的正誤；根據等差中項以及等差數列求和公式，可得C的正誤；取時的特殊情況驗證不等式，可得D的正誤.【詳解】對于A，若，則，當時，，顯然時也滿足，故，由，則為等差數列，故A正確；對于B，若，則，，，顯然，所以不是等比數列，故B錯誤；對于C，因為為等差數列，則，故C正確；對于D，當時，，故當時，不等式不成立，即不成立，故D錯誤．故選：AC．11．已知函數，是其導函數，，恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】構造函數，利用導數判斷函數的單調性，依次判斷各個選項，進而得解.【詳解】設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，即，所以，故A正確；因為，所以，又，所以，故B正確；因為，所以，，即，，因為，所以，，故C錯誤，D正確．故選：ABD．12．如圖，正四棱錐的底面邊長與側棱長均為，正三棱錐的棱長均為，（

）A．B．正四棱錐的內切球半徑為C．，，，四點共面D．平面平面【答案】ACD【分析】結合選項逐個驗證，線線垂直通常轉化為線面垂直，錐體的內切球半徑通常采用分割法求解，四點共面借助余弦定理來判斷，平面與平面平行通常借助線面平行來判斷.【詳解】對于A，取的中點，連接，，則，，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又，所以，故A正確.對于B，設內切球半徑為，易求得四棱錐的一個側面的面積為，所以，解得，故B錯誤.對于C，取的中點，連接，，，，易知，，，所以，分別是二面角，二面角的平面角，易求得，所以，，又，，所以與互補，所以，，，共面，故C正確因為，，，共面，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，故D正確．故選：ACD.三、填空題13．已知向量，，且，則______．【答案】【分析】由向量線性運算及垂直的數量積表示可得方程解出m，即可由坐標計算向量模.【詳解】，由得，解得．則，故．故答案為：.14．已知，若是與的等比中項，則的最小值為__________．【答案】【分析】由是與的等比中項，得到，再結合“1”的代換，利用基本不等式求解.【詳解】解：由題意得，即，所以，又，所以，，所以，當且僅當，即，時等號成立．故的最小值為．故答案為：15．已知函數，將的圖象繞原點逆時針旋轉角后得到曲線C，若曲線C仍是某個函數的圖象，則θ的最大值為______．【答案】##【分析】求得在點處的切線方程，從而求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，故函數的圖象在處的切線為，切線向上的方向與y軸正方向的夾角為，函數的圖象繞原點旋轉不超過時，仍為某函數圖象，若超過，y軸與圖象有兩個公共點，與函數定義不符，故的最大值為．故答案為：16．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，則該幾何體的外接球的表面積為______．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，運用空間坐標計算出外接球的球心和半徑即可.【詳解】以正方形ABCD的中心O為原點，過O點平行于AB的直線為y軸，過O點平行于BC的直線為x軸，EF的中點為M，以直線OM為z軸，建立空間直角坐標系如圖：過F點作平面ABCD的垂線，垂足為G，在中，，由余弦定理得：在中，，，外接球的球心必定在線段OM上，設，則有：，即，解得：，即O就是外接球的球心，外接球半徑，所以外接球表面積；故答案為：.四、解答題17．在各項均為正數的等比數列中，為其前n項和，，，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)若，數列的前n項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據條件，結合等比數列基本量，列等式求，即可求數列的通項公式；（2）根據（1），再利用裂項相消法求數列的和，根據數列的單調性，即證明不等式.【詳解】（1）設數列的公比為q，由題意知，即，因為，，所以，所以，所以．（2）證明：由（1）得，所以，所以，所以．顯然單調遞增，所以，因為，所以，所以．18．產品宣傳在企業的生產銷售中占據著比較重要的地位，好的宣傳對產品打開市場，提高銷售額有著重要的作用．某生產企業通過市場調研發現，年銷售量y（萬件）與宣傳費用x（萬元）的關系為．已知生產該產品y萬件除宣傳費用外還要投入萬元，產品的銷售單價定為元，假設生產的產品能全部售出．(1)求產品的年利潤的解析式；(2)當宣傳費用為多少萬元時，生產該產品獲得的年利潤最大？【答案】(1)(2)1萬元【分析】(1)根據利潤等于總收入減去成本和宣傳費用，寫出函數解析式即可；(2)結合（1）的解析式，利用基本不等式即可求出最值，進而求解.【詳解】（1）．（2）由（1）知，所以，當且僅當，即時等號成立．所以當宣傳費用為1萬元時，生產該產品獲得的年利潤最大．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．(1)求B；(2)若的周長為，求BC邊上中線的長．【答案】(1)(2)．【分析】（1）已知條件結合余弦定理求得，再由正弦定理求.（2）由（1）求出角，利用三角形周長求出各邊的長，再由余弦定理求BC邊上中線的長．【詳解】（1）由，有，又，所以，即，由余弦定理，得．又，所以，由及正弦定理，得，所以，由，得，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，所以，由，得．因為的周長為，所以，解得．設BC的中點為D，則，如圖所示:在中由余弦定理，得：，所以BC邊上中線的長為．20．如圖，E，F分別為正方形ABCD的邊AB，AD的中點，平面ABCD，平面ABCD，AC與EF交于點M，，，．(1)證明：平面PMC；(2)求點B到平面PEF的距離；(3)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)1(3)90°．【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）將點B到平面PEF的距離，轉化為點O到平面PEF的距離，結合相似三角形對應邊成比例求得正確答案.（3）判斷出二面角的平面角，解三角形求得二面角的大小.【詳解】（1）連接BD，因為E，F分別為AB，AD的中點，所以．因為平面ABCD，平面ABCD，所以，所以．因為四邊形ABCD為正方形，所以，又，所以，又AC，平面PMC，，所以平面PMC．（2）由（1）知，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF．設AC與BD的交點為O，則點B到平面PEF的距離等于點O到平面PEF的距離，由（1）知平面PMC，又平面PEF，所以平面平面PMC，作，N為垂足，因為平面平面且交線為，平面PMC，所以平面PEF．因為，，E，F為AB，AD的中點，所以，，，由得，得，即點B到平面PEF的距離為1．（3）由平面PMC可得，同理可證，所以為二面角的一個平面角，因為平面ABCD，平面ABCD，所以，同理，又，，所以，所以，即二面角的大小為90°．21．如圖所示的幾何體是由等高的個圓柱和半個圓柱組合而成，點G為的中點，D為圓柱上底面的圓心，DE為半個圓柱上底面的直徑，O，H分別為DE，AB的中點，點A，D，E，G四點共面，AB，EF為母線．(1)證明：平面BDF；(2)若平面BDF與平面CFG所成的較小的二面角的余弦值為，求直線OH與平面CFG所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）過構造與平面平行的平面，通過面面平行，即可證明線面平行；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，結合已知二面角的余弦值求得圓柱的高與底面半徑之間的關系，再由向量法求解線面角即可.【詳解】（1）證明：取EF的中點M，連接OM，HM，又O為DE的中點，所以，又平面BDF，平面BDF，所以∥平面BDF，因為，，H，M分別為AB，EF的中點，所以，且，所以四邊形BFMH為平行四邊形，所以，又平面BDF，平面BDF，所以平面BDF，又OM，平面OMH，，所以平面平面BDF，因為平面OMH，所以平面BDF．（2）由題意知CB，CF，CD兩兩垂直，故以點C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系：設圓柱的底面半徑為r，高為h，則，，，，，，，所以，，，，．設平面BDF的一個法向量，則，即令，解得，，所以；設平面CFG的一個法向量，則，即令，解得，，所以，所以，化簡，得，所以，所以，．設OH與平面CFG所成的角為，所以．22．已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)設，若，且，使得，證明：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導，分和兩種情況討論，根據導數的符號即可得出答案；（2）不妨設，由，得，構造函數，利用導數證明，再通過放縮構造新的函數，進而可得出結論.【詳解】（1）解：的定義域為，，當時，在上恒成立，所以