關于最小方差無偏估計和有效估計1第一頁，共三十頁，2022年，8月28日2一、最小方差無偏估計

由定義2.4知，最小方差無偏估計（MVUE）是在無偏估計類中，使均方誤差達到最小的估計量，即在均方誤差最小意義下的最優估計。它是在應用中，人們希望尋求的一種估計量。

第二頁，共三十頁，2022年，8月28日3第三頁，共三十頁，2022年，8月28日4第四頁，共三十頁，2022年，8月28日5第五頁，共三十頁，2022年，8月28日6第六頁，共三十頁，2022年，8月28日7

定理2.7給出了最小方差無偏估計的一種判別方法，但由上例可見，該判別法使用并不方便，而且還只是一個充分條件。為了尋求更好的方法，需要借助充分統計量甚至充分完備統計量的概念。

第七頁，共三十頁，2022年，8月28日8定理2.8的說明：如果無偏估計不是充分統計量的函數，則將之對充分統計量求條件期望可以得到一個新的無偏估計，該估計的方差比原來的估計的方差要小，從而降低了無偏估計的方差。

換言之，考慮的估計問題只需要在基于充分統計量的函數中進行即可，該說法對所有的統計推斷問題都是正確的，這便是所謂的充分性原則。

第八頁，共三十頁，2022年，8月28日9第九頁，共三十頁，2022年，8月28日10第十頁，共三十頁，2022年，8月28日11第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日12第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日13第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日14第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日15第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日16第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日172.要直接驗證某個估計量是最小方差無偏估計量是困難的.若能求出無偏估計中方差的下界,而且又能說明參數的一切無偏估計中存在某個估計的方差能達到這個下界，那么就是的最小方差無偏估計.下面給出一個判別準則：1.最小方差無偏估計提供了一種優良的估計，然而一個更深入的問題是：無偏估計的方差是否可以任意??？如果不可以，那么它的下界是多少？這個下界等否達到？第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日定理2.10(Cramer-Rao不等式)設X1,X2,…Xn是從密度函數為的總體抽取的樣本,是的一個無偏估計,若集合與無關;對積分與微分可交換且存在，即(3)

則有第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日其中常稱為Fisher信息量.特別當,有常用的另一個表達式常稱為C-R不等式.第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日

費希爾信息量是數理統計學中一個基本概念，很多的統計結果都與費希爾信息量有關。如極大似然估計的漸近方差，無偏估計的方差的下界等都與費希爾信息量I()有關。I()的種種性質顯示，“I()越大”可被解釋為總體分布中包含未知參數的信息越多。第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日例2.22設總體服從泊松分布，X1,X2,…Xn

是來自總體的一個樣本，試求參數的無偏估計的下界？解:(1)寫出密度函數

(2)求密度函數對數、再求導

(3)計算fisher信息量

(4)代入C-R不等式求方差下界第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日1.寫出密度函數，求對數2.計算fiser信息量3.代入C-R不等式求方差下界第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例2.23

設X1,X2,…Xn

是取自總體X~的一個樣本,求的無偏估計的方差下界.

解:(1)寫出密度函數

(2)求密度函數對數、再求導

(3)計算

(4)代入C-R不等式求方差下界最后尋找無偏估計中滿足方差下界的估計量.第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日1.寫出密度函數2.求密度函數對數3.計算fiser信息量4.代入C-R不等式求方差下界第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日2.求密度函數對數的導數3.計算fiser信息量4.代入C-R不等式求方差下界5.計算最小方差無偏估計的方差第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日262、有效估計1)

定義2.8P57第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日

例2.24

設X1,X2,…Xn

是取自總體X~B(N,p)的一個樣本，驗證

是參數P的有效估計量.1.寫出概率函數,再求對數2.計算fiser信息量3.代入C-R不等式求方差下界第二十七頁