學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精3.1。2兩條直線平行與垂直的判定學習目標1。理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件。2.能根據已知條件判斷兩直線的平行與垂直.3。能應用兩條直線的平行或垂直解決實際問題。知識點一兩條直線(不重合）平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對應關系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識點二兩條直線垂直的判定圖示對應關系l1⊥l2（兩直線的斜率都存在）?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l21.若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行。（×)2.若l1∥l2，則k1＝k2。（×）3.若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直.（×)

類型一兩條直線平行的判定例1下列直線l1與直線l2(l1與l2不重合）平行的有________.（填序號）①l1經過點A(2,1），B（－3，5），l2經過點C（3，－3），D（8，－7）;②l1的斜率為2，l2經過點A(1,1)，B（2，2）；③l1的傾斜角為60°，l2經過點M（1，eq\r(3)），N（－2，－2eq\r（3))；④l1經過點E（－3，2）,F(－3，10），l2經過點P(5，－2)，Q(5，5)。考點兩條直線平行題點兩條直線平行的判定答案①③④解析①∵kAB＝eq\f(5－1,－3－2）＝－eq\f（4，5),kCD＝eq\f（－7＋3,8－3）＝－eq\f(4,5），∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.②∵＝eq\f(2－1，2－1)＝1≠＝2，∴l1不平行于l2.③∵＝tan60°＝eq\r（3），＝eq\f（\r（3)＋2\r（3），1＋2）＝eq\r（3)，∴＝，∴l1∥l2。④l1,l2斜率均不存在，∴l1∥l2.反思與感悟判斷兩條不重合的直線是否平行的方法跟蹤訓練1已知Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1，－\f(a＋1,3)）)，Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,－\f（1，3)））,C（2－2a,1），D（－a,0)四點，若直線AB與直線CD平行，則a＝________.考點兩條直線平行題點由兩條直線平行求參數的值答案3解析kAB＝eq\f(－\f(1,3)＋\f(a＋1,3），0－1)＝－eq\f（a,3)，當2－2a＝－a，即a＝2時，kAB＝－eq\f(2，3），kCD不存在.∴AB和CD不平行；當a≠2時,kCD＝eq\f(0－1，－a－2＋2a)＝eq\f(1,2－a）.由kAB＝kCD，得－eq\f（a,3）＝eq\f（1，2－a），即a2－2a－3＝0.∴a＝3或a＝－1。當a＝3時,kAB＝－1,kBD＝eq\f(0＋\f（1，3)，－3)＝－eq\f（1,9）≠kAB，∴AB與CD平行.當a＝－1時，kAB＝eq\f(1，3)，kBC＝eq\f（1＋\f（1,3）,4）＝eq\f（1,3)，kCD＝eq\f（1－0,4－1)＝eq\f（1,3），∴AB與CD重合。∴當a＝3時，直線AB和直線CD平行.類型二兩條直線垂直的判定值。考點兩條直線垂直題點由兩條直線垂直求參數的值解若∠A為直角，則AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq\f（m＋1,2－5）·eq\f(1＋1，1－5）＝－1，解得m＝－7;若∠B為直角,則AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即eq\f（1＋1,1－5)·eq\f(m－1,2－1）＝－1,解得m＝3；若∠C為直角，則AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1,即eq\f（m＋1,2－5）·eq\f(m－1，2－1）＝－1,解得m＝±2.綜上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.反思與感悟判斷兩條直線是否垂直的依據是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可,但應注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時，這兩條直線也垂直.跟蹤訓練2若不同兩點P,Q的坐標分別為(a，b），（3－b，3－a),則線段PQ的垂直平分線的斜率為________.考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點與其他知識或實際問題交匯的問題答案－1解析由kPQ＝eq\f（3－a－b,3－b－a）＝1，得線段PQ的垂直平分線的斜率為－1.類型三垂直與平行的綜合應用例3已知四邊形ABCD的頂點B（6，－1),C(5,2），D（1,2).若四邊形ABCD為直角梯形,求A點坐標.(A，B，C，D按逆時針方向排列）考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點已知四邊形的形狀求點的坐標解①若∠A＝∠D＝90°，如圖（1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB,而kCD＝0,故A（1，－1）。②若∠A＝∠B＝90°，如圖（2）.設A(a,b），則kBC＝－3，kAD＝eq\f（b－2,a－1)，kAB＝eq\f（b＋1，a－6）。由AD∥BC，得kAD＝kBC,即eq\f（b－2，a－1)＝－3；①由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1，即eq\f(b＋1,a－6）·（－3）＝－1.②由①②得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(12,5)，，b＝－\f（11，5),))故Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（12,5)，－\f(11，5)））.綜上所述，A點坐標為（1，－1)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（12，5),－\f（11,5）)).反思與感悟（1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率關系進行判定.(2）由幾何圖形的形狀求參數(一般是點的坐標)時，要根據圖形的特征確定斜率之間的關系，既要考慮斜率是否存在，又要考慮到圖形可能出現的各種情形。跟蹤訓練3已知?ABCD中，A(1，2),B(5,0），C(3,4）。(1）求點D的坐標;(2)試判定?ABCD是否為菱形？考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點判斷四邊形的形狀解（1）設D點坐標為（a,b）,因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（0－2,5－1）＝\f（b－4,a－3），，\f(b－2,a－1）＝\f（4－0,3－5），))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，，b＝6.））所以D（－1，6）。（2）因為kAC＝eq\f(4－2，3－1）＝1，kBD＝eq\f(6－0，－1－5）＝－1，所以kAC·kBD＝－1,所以AC⊥BD,所以?ABCD為菱形。1.已知兩條直線l1,l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個根，則l1與l2的位置關系是（)A.平行 B.垂直C。可能重合 D。無法確定考點兩條直線垂直題點兩條直線垂直的判定答案B解析由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.故方程有兩相異實根,即l1與l2的斜率k1,k2均存在。設兩根為x1，x2,則k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故選B.2.若過點P（3，2m）和點Q（－m，2）的直線與過點M(2，－1)和點N(－3,4)的直線平行，則m的值是（）A.eq\f(1，3)B.－eq\f(1，3)C.2D.－2考點兩條直線平行題點由兩條直線平行求參數的值答案B解析由kPQ＝kMN，即eq\f（2m－2,3－－m)＝eq\f(4－－1,－3－2），得m＝－eq\f（1,3)。經檢驗知，m＝－eq\f（1，3）符合題意.3.直線l過(m,n），(n，m)兩點，其中m≠n，mn≠0，則（)A.l與x軸垂直B.l與y軸垂直C。l過原點和第一、三象限D。l的傾斜角為135°考點兩條直線垂直題點兩條直線垂直的判定答案D解析∵直線的斜率k＝eq\f(m－n,n－m)＝－1，∴直線l的傾斜角為135°。4.已知平面內有A（5，－1），B（1,1），C(2,3)三點，則下列說法正確的是________。（填序號)①△ABC是直角三角形,且∠BAC＝90°；②△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°；③△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°；④△ABC不是直角三角形。考點兩條直線垂直題點兩條直線垂直的判定答案②解析∵kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，則∠ABC＝90°，∴△ABC為直角三角形。5.當m為何值時，過兩點A(1,1）,B（2m2＋1,m－2）的直線：（1)傾斜角為135°；(2)與過兩點（3，2），（0，－7）的直線垂直；（3)與過兩點（2，－3)，(－4,9)的直線平行。考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點有關平行和垂直的綜合問題解（1)由kAB＝eq\f（m－3,2m2)＝tan135°＝－1，解得m＝－eq\f(3,2)或m＝1.（2）由kAB＝eq\f（m－3,2m2），且eq\f(－7－2，0－3）＝3，則eq\f（m－3，2m2)＝－eq\f（1,3），解得m＝eq\f（3，2）或m＝－3。（3)令eq\f(m－3，2m2）＝eq\f(9＋3，－4－2）＝－2，解得m＝eq\f(3，4）或m＝－1.經檢驗，當m＝eq\f(3，4)或m＝－1時，均符合題意.兩直線平行或垂直的判定方法斜率直線斜率均不存在平行或重合一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合積為－1垂直一、選擇題1.若直線l1的傾斜角為135°，直線l2經過點P（－2，－1），Q(3，－6)，則直線l1與l2的位置關系是()A.垂直 B。平行C.重合 D。平行或重合考點兩條直線平行題點兩條直線平行的判定答案D解析∵直線l1的斜率為tan135°＝－1，直線l2的斜率為eq\f（－6－－1，3－－2）＝－1，∴直線l1與l2平行或重合.2。如果直線l1的斜率為a，l1⊥l2，那么直線l2的斜率為（)A.eq\f(1,a) B.aC.－eq\f(1,a) D.－eq\f（1，a)或不存在考點兩條直線垂直題點由兩條直線垂直求參數的值答案D解析當a≠0時，由l1⊥l2,得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－eq\f(1,a）。當a＝0時，l1與x軸平行或重合，則l2與y軸平行或重合，k2不存在.3。設點P(－4，2)，Q(6，－4），R（12,6)，S(2，12),下面四個結論:①PQ∥SR；②PQ⊥PS;③PS∥QS；④PR⊥QS.其中正確的個數是（）A。1 B.2C.3 D。4考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點有關平行和垂直的綜合問題答案C解析由斜率公式知,kPQ＝eq\f(－4－2,6＋4）＝－eq\f(3，5）,kSR＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kPS＝eq\f（12－2，2＋4)＝eq\f（5，3)，kQS＝eq\f(12＋4，2－6)＝－4，kPR＝eq\f（6－2，12＋4)＝eq\f（1，4)，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS。而kPS≠kQS，∴PS與QS不平行，①②④正確，故選C.4.已知直線l的傾斜角為20°，直線l1∥l，直線l2⊥l，則直線l1與l2的傾斜角分別是（）A.20°，110° B.70°，70°C。20°，20° D.110°，20°考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點有關平行和垂直的綜合問題答案A解析如圖，∵l∥l1，∴l1的傾斜角為20°，∵l2⊥l，∴l2的傾斜角為90°＋20°＝110°。5.順次連接A（－4，3)，B(2,5)，C(6,3)，D（－3，0）所構成的圖形是（）A。平行四邊形 B。直角梯形C。等腰梯形 D。以上都不對考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點判定四邊形的形狀答案B解析kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD·kAB＝kAD·kDC＝－1，故構成的圖形為直角梯形.6.已知點A(m，3），B（2m,m＋4）,C（m＋1,2)，D(1，0)，且直線AB與直線CD平行,則m的值為（)A.1 B.0C。0或1 D.0或2考點兩條直線平行題點由兩條直線平行求參數的值答案C解析當m＝0時，直線AB與直線CD的斜率均不存在，此時AB∥CD.當m≠0時，kAB＝eq\f(m＋4－3，2m－m）,kCD＝eq\f(2－0，m＋1－1），則kAB＝kCD，即eq\f(m＋1，m)＝eq\f(2，m）,得m＝1，∴m＝0或1。7。已知△ABC的頂點B(2,1）,C(－6，3），其垂心為H（－3，2),則其頂點A的坐標為（）A.(－19，－62） B.(19，－62）C.（－19,62） D。（19，62）考點兩條直線垂直題點由兩條直線垂直求點的坐標答案A解析設A(x，y），由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直線AH,BH的斜率均存在,所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（kAH·kBC＝－1，，kBH·kAC＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2，x＋3）×\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,4）)）＝－1，,\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，5）））×\f(y－3,x＋6)＝－1,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－19，,y＝－62，））即A(－19，－62)。二、填空題8．已知直線l1經過點A（0，－1)和點B（eq\f（4，a），1)，直線l2經過點M(1，1)和點N(0,－2)，若l1與l2沒有公共點，則實數a的值為________．考點兩條直線平行題點由兩條直線平行求參數的值答案6解析由題意得l1∥l2，∴k1＝k2。∵k1＝eq\f（a，2)，k2＝3,∴eq\f（a,2)＝3,∴a＝6。9。若點P(a，b）與點Q(b－1，a＋1）關于直線l對稱,則直線l的傾斜角α為________.考點兩條直線垂直題點由兩條直線垂直求參數的值答案45°解析由kPQ＝eq\f(a＋1－b,b－1－a）＝eq\f（a－b＋1,b－a－1）＝－1,由題意知PQ⊥l，則kPQ·kl＝－1，得kl＝1，∴直線l的傾斜角為45°.10。直線l1，l2的斜率k1，k2是關于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根,若l1⊥l2，則b＝____________；若l1∥l2,則b＝____________。考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點有關平行和垂直的綜合問題答案2－eq\f（9,8)解析若l1⊥l2，則k1k2＝－eq\f（b,2）＝－1，∴b＝2.若l1∥l2,則k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，∴b＝－eq\f(9，8)。11。已知點A(－3,－2），B（6，1)，點P在y軸上,且∠BAP＝90°，則點P的坐標是________.考點兩條直線垂直題點由兩條直線垂直求點的坐標答案(0，－11)解析設P（0，y)，由∠BAP＝90°知，kAB·kAP＝eq\f（1－－2,6－－3)×eq\f（y＋2，3)＝eq\f(y＋2,9）＝－1，解得y＝－11.所以點P的坐標是（0，－11).三、解答題12．已知直線l1經過點A(3，a），B(a－1，2),直線l2經過點C(1，2），D(－2，a＋2)．（1）若l1∥l2，求a的值;(2)若l1⊥l2，求a的值．考點兩條直線平行和垂直的綜合應用題點有關平行和垂直的綜合問題解設直線l2的斜率為k2,則k2＝eq\f（2－a＋2,1－－2）＝－eq\f(a，3）.（1）若l1∥l2，則l1的斜率k1＝－eq\f（a,3）.∵k1＝eq\f（2－a,a－4），∴eq\f（2－a,a－4）＝－eq\f(a,3)，解得a＝1或a＝6。經檢驗，當a＝1或a＝6時，l1∥l2。（2）若l1⊥l2，①當k2＝0時,此時a＝0，k1＝－eq\f（1，2），不符合題意；②當k2≠0時，l1的斜率存在，此時k1＝eq\f(2－a，a－4）。由k1k2＝－1，可得eq\f(2－a，a－4)·eq\b\lc\(\rc\)(