（新高考）此卷只裝訂不密封此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號數學（十三）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合，，若，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．復數滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．3．若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．5．地震的震級越大，以地震波的形式從震源釋放出的能量就越大，震級與所釋放的能量的關系如下：（焦耳）（取），那么8級地震釋放的能量是7級地震釋放的能量的（）A．306倍 B．316倍 C．316倍 D．306倍6．已知圓關于直線對稱，圓的標準方程是，則圓與圓的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．內含7．設是首項為正數的等比數列，公比為，則“"是“對任意的正整數，”成立的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．圖中長方形的總個數中，其中含陰影部分的長方形個數的概率為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．關于變量x，y的n個樣本點及其線性回歸方程．，下列說法正確的有（）A．相關系數r的絕對值|r|越接近0，表示x，y的線性相關程度越強B．相關指數的值越大，表示線性回歸方程擬合效果越好C．殘差平方和越大，表示線性回歸方程擬合效果越好D．若，，則點一定在線性回歸方程上10．已知，直線，是的圖象的相鄰兩條對稱軸，則下列說法正確的是（）A．函數為偶函數 B．的圖象的一個對稱中心為C．在區間上有個零點 D．在區間上為單調函數11．已知正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為2，則（）A．棱臺的側面積為 B．棱臺的體積為C．棱臺的側棱與底面所成角的余弦值為 D．棱臺的側面與底面所成銳二面角的余弦值為12．定義在上的函數滿足，且時，，時，．令，，若函數的零點有個，則的可能取值為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．展開式中的系數為__________．14．在抗擊新冠肺炎疫情期間，甲、乙兩所醫院各選派了6名醫護人員加入“援鄂醫療隊”，其中甲院選派人員中有4名男醫生、2名女醫生；乙院選派人員中有1名男醫生、5名女醫生．現需要分別從甲、乙兩院選派的人員中各隨機抽調出一名醫生作為聯絡人，則抽調出的兩名醫生都是男醫生的概率為________．15．已知的內角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為__________．16．已知F是拋物線的焦點，設點，點M為拋物線C上任意一點，且的最小值為3，則_________，若線段AF的垂直平分線交拋物線C于P、Q兩點，則四邊形APFQ的面積為__________．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對應邊，已知．（1）求A；（2）若，，求的面積．18．（12分）已知數列中，，前項和為，且滿足．（1）證明：數列是等差數列，并求的通項公式；（2）設，求的前項和．19．（12分）如圖①，在平面四邊形中，，，且，將沿折起得到四棱錐，如圖②，且為的中點．（1）求證：平面；（2）若，，問：在線段上是否存在一點使二面角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．20．（12分）乒乓球是中國國球，它是一種世界流行的球類體育項目．某中學為了鼓勵學生多參加體育鍛煉，定期舉辦乒乓球競賽，該競賽全程采取“一局定輸贏”的比賽規則，首先每個班級需要對本班報名學生進行選拔，選取3名學生參加校內終極賽與其他班級學生進行同臺競技．（1）若高三（1）班共有6名男生和4名女生報名，且報名參賽的選手實力相當，求高三（1）班選拔的校內終極賽參賽選手均為男生的概率；（2）若高三（1）班選拔的選手甲、乙、丙分別與高三（2）班選拔的選手A，B，C對抗，甲、乙、丙獲勝的概率分別為，，，且甲、乙丙三人之間獲勝與否互不影響，記為在這次對抗中高三（1）班3名選手獲勝的人數，．（ⅰ）求；（ⅱ）求隨機變量的分布列與數學期望．21．（12分）已知橢圓的左頂點為，離心率，過點A的直線與橢圓交于點B．（1）求橢圓C的方程；（2）設AB的中點為，射線與橢圓交于點，是否存在直線使的面積是面積的3倍？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．22．（12分）設函數，．（1）若，求函數的最大值；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．（新高考）2021屆高考考前沖刺卷數學（十三）答案注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】B【解析】因為集合，，且，所以實數的取值范圍是，故選B．2．【答案】D【解析】，，，所以的虛部為1，故選D．3．【答案】A【解析】因為，所以，即，當且僅當，即時取“=”，所以的取值范圍是，故選A．4．【答案】B【解析】由已知可得，因為，解得，故選B．5．【答案】B【解析】設7級地震釋放的能量為，8級地震釋放的能量為，，，，即8級地震釋放的能量是7級地震釋放的能量的倍，故選B．6．【答案】B【解析】，即，圓心，因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，即，解得，，圓心，半徑為；，圓心，半徑為，圓心間距離為，因為圓心間距離等于兩圓半徑之和，所以圓與圓的位置關系是相切，故選B．7．【答案】B【解析】若，結合是首項為正數的等比數列可知數列的各項均為正數，據此可得成立，即充分性成立；反之，取，則，據此可知必要性不成立，即“”是“對任意的正整數，”的充分而不必要條件，故選B．8．【答案】B【解析】長方形可由橫著的5條線段選2條，豎著的7條線段選2條構成，故有種，若含陰影部分，則橫向共有種可能，縱向有6種可能，共72種可能，故概率，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．【答案】BD【解析】根據線性相關系數的意義可知，當的絕對值越接近于0時，兩個隨機變量線性相關性越弱，則A錯誤；用相關指數來刻畫回歸效果，越大，說明模型的擬合效果越好，則B正確；擬合效果的好壞是由殘差平方和來體現的，殘差平方和越大，擬合效果越差，則C錯誤；樣本中心點一定在回歸直線上，則D正確，故選BD．10．【答案】ABC【解析】由題意可知，函數的最小正周期為，則，，所以，則，所以．對于A選項，，所以，函數為偶函數，A選項正確；對于B選項，，所以，的圖象的一個對稱中心為，B選項正確；對于C選項，當時，，所以，函數在上有個零點，C選項正確；對于D選項，當時，，所以，函數區間上不單調，D選項錯誤，故選ABC．11．【答案】ACD【解析】作正四棱臺如圖所示：對于A．過作于，，所以，所以棱臺的側面積為，所以A正確；對于B．連接，過作于點，過作于點，，，，，上底面面積，下底面面積，棱臺的體積為，故B錯誤；對于C．因為為在底面的投影，所以為側棱與底面所成角，，所以C正確；對于D．為側面與底面所成銳二面角的平面角，，所以D正確，故選ACD．12．【答案】BC【解析】，自變量每增加2個單位，縱坐標擴大為原來的2倍，時，，時，，作出圖象如圖，的零點有8個，即與在上有8個交點，由圖象可知，需滿足，，，解得，所以可取，，故選BC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】展開式的通項公式是，要求，只需，解得，∴，故答案為．14．【答案】【解析】抽調出的兩名醫生都是男醫生的概率為，故答案為．15．【答案】【解析】因為，由正弦定理可得，又，可得，可得，因為，可得，可得，可得，因為，可得，可得，可得，故答案為．16．【答案】2，【解析】過M作拋物線C準線的垂線，垂足為，根據拋物線定義知，由拋物線方程，當時，，∴當時，A在拋物線內部，，當且僅當共線時，最小，即；當時，A在拋物線上或外部，當且僅當共線時，最小，而，得與矛盾，舍去，綜上，．顯然，故AF的中點為，直線AF的斜率，∴線段AF的中垂線方程為，聯立方程組，消元得，設，，則，，∴，又到直線PQ的距離為，∴四邊形APFQ的面積為，故答案為2，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，根據正弦定理可得，則，所以，因為，所以，則．（2）由（1）知，則，所以或，即或，因為為三角形內角，所以，因此，所以，因此，所以，又，根據正弦定理可得，則，因此的面積為．18．【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解析】（1）因為，所以，即，所以，且，所以是以為首項，為公差的等差數列，所以，所以①，所以②．①②得，又，滿足上式，所以．（2）由（1）知，．所以．19．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）證明：取的中點，連接，，∵為的中點，∴，，∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）解：假設存在點滿足題意，取的中點，連接，∵，，∴，，∵，，，、平面，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，故以為原點，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，設，，則，∴，設平面的法向量為，則，即，令，則，∴，∵平面軸，∴平面的一個法向量為，∵二面角為，∴，化簡得，∵，∴，解得，∴，∴，故存在點滿足題意，且．20．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析，．【解析】（1）設“高三（1）班選拔的參數選手均為男生”為事件，則．（2）（ⅰ）由題意，解得．（ⅱ）隨機變量的可能取值為0，1，2，3，所以；；；，故的分布列為：0123所以的數學期望．21．【答案】（1）；（2）存在，或．【解析】（1）因為，，且，解得，所以橢圓C的方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線，，消化簡可得，設，，故，，所以，，所以，故，所以，，解得，，所以，，由，，且，即，即，所以，即，所以，解得，所以直線的方程為或．22．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，則．所以當時，，得在上遞增；當時，，得在上遞減，從而函數的最大值為．（2）法一：設，則，若，由于，不符合題意，舍去；若，，設，則，對于方程，其判別式．①當時，，所以，所以即單調遞增，因為，所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，從而成立；②當時，設方程有兩根，因為，則，當時，有，推出即單調遞減，于是，得在上單調