評委名額的公平分配摘要本題是一個關于評委名額公平分配的問題，題目給出了參考學校的信息，參賽學校評審人數的限制條件。問題一是對K=3,J=40，確定總評審人數，問題二是給出一個參賽校的評審人數分配方案。對于該種問題，我們第一步進行數據處理，進行江蘇賽區各院校競賽論文分類，根據學校類型以及論文類型，學校類型分為往年競賽成績優秀學校、本科院校、高職高專類學校、近年剛參賽學校、參賽學校總數，論文類型分為A、B、C、D四類，為下一步的進行做好準備。針對該問題，我們采用比例分配法。根據公式DJS>MK，我們得到S>36，以A題為例，P=冬，我們對各類型論文的評審人數進行統計，最終用LINGO得到結果，總評審人數為37人。下一步，我們對題目中所給條件進行分析；針對條件1，要求高職高專的評審人數不低于30%，因此高職高專的評審人數Nb=03*S=0.3*37=11.1，取整后NB=12；針對條件二，分配中要考慮方案的公平性，令Q=i為對i組的不公平度以此建立模型，得到目標函數min=QA+Qb；針對條件三：少數歷年競賽成績優秀的學?？梢赃m當增加評審人數，但每個學校至多2人，得：0<Na[<2i=1,2,3,4,5,6；針對條件4:有些近年才參賽的學校不邀請評審人，可得條件二，分配中要考慮方案的公平性，令Q=i為對i組的不公平度以此最終我們結合各個條件以及題目要求，利用LINGO求出參賽校的評審人數分配方案。關鍵字：公平分配，數據處理，比例分析法，評審人數分配、問題重述全國大學生數學建模競賽是目前國內最有影響的一項大學生課外科技活動。競賽采取全國范圍內同時分賽區進行。各賽區負責本賽區的競賽組織工作。競賽論文是評獎的主要依據。評審分初評、賽區評審、全國統一評審3個階段。賽區評審的工作量非常大，各賽區都采取了一些積極的措施，以保證評審的公正，并盡可能減少評審工作量。江蘇賽區目前的做法是由賽區組委會根據各校的參賽情況及其它因素聘請若干專家參與評審，這些專家基本上都來自參賽學校。評審時將參賽論文按賽題分成四組，評審人也分成四組。假設總共有M篇論文，每篇論文至少需要經K名評審人評閱，每個評審人一天可以評閱J篇論文。題目要求解決如下問題：評審是匿名且評審工作必須2天內完成，根據參賽學校信息（見附錄表1.1）中的數據，對K=3,J=40，確定總評審人數，并根據以下要求給出一個參賽校的評審人數分配方案。（1）少數歷年競賽成績優秀的學?？梢赃m當增加評審人數，但每個學校全多2人；（2）有些近年才參賽的學校不邀請評審人；（3）來自高職高專類學校的評委（只做C，D題）人數不低于30%；（4）分配中要考慮方案的公平性。二、問題分析問題是一個席位分配的問題，要求確定總評審人數，并根據條件給出一個參賽校的評審人數分配方案。本題的關鍵是定出評審人數的分配標準，因此我們建立了比例分配法這個模型來解決此問題。三、模型的假設1、假設一個評審人基本上只批改A和B、C和D中的一類論文；2、假設評審人之間互相獨立、互不相十；3、假設往年的參賽成績排名能較好的反映各學校的真實水平，可以作為制定今年評審分配方案的依據；4、假設各評審人在整個評審過程中評審的寬嚴尺度保持一致，所評閱的論文是隨機選取的，基本反映了賽區論文的水平；5、假設各評委獨立進行評閱，每個評委都有勝任評審工作的素質和經驗，他們對同一份論文的評閱具有較高的一致性；四、定義與符號說明M論文篇數；J每個評審人每天評閱論文數；D評閱天數；K每篇經過評閱的評審人數；P參賽隊伍總數nWn；ii=1N排名第i所學校派出的評審人數，i=1,2,……，60；M排名第i所學校派出的參賽隊伍數，j=1,2,……，60；jMA類論文的數量；AMB類論文的數量；BMC類論文的數量；CMD類論文的數量；DP評審A題論文的評審人數；AP評審B題論文的評審人數；BP評審C題論文的評審人數；CP評審D題論文的評審人數；DS評審的總人數S=￡x；ii=1S本科院校的隊數；AS高職高專學校的評隊數；BN本科院校出席評審人數；ANB高職高專學校出席評審人數。

五、模型的建立與求解第一部分：數據處理首先對表1.1中的數據進行初步處理，得到表5.1如下:表5.1江蘇賽區各院校競賽論文分類論文類型篇數學校類型各類學校數量A341往年競賽成績優秀學校6B319本科院校40C143高職高專類學校20D138近年剛參賽學校5參賽論文總數940參賽學?？倲?0第二部分：模型建立及求解一一比例分配法根據題目所給數據，可估計評審人數應滿足:DJS>MK(5.1)帶入(5.1)式解得S>36。根據表格中的數據和實際情況我們認為影響公平性的因素有參賽學校的成績和參賽隊伍的規模。以A題為例可以利用公式p=MAKAJD(5.2)將MA=341,K=3,D=2,J=40,(5.1)帶入(5.1)式解得S>36。根據表格中的數據和實際情況我們認為影響公平性的因素有參賽學校的成績和參賽隊伍的規模。以A題為例可以利用公式p=MAKAJD(5.2)將MA=341,K=3,D=2,J=40,帶入(5.2)式解得SA=13。同理，根據已知條件D=2,J=40,Mb二319,M廣143,Md=138可以得到相應的B、C、D題的評審人數p、孔、P?？偨Y如下表:D論文類型論文篇數評審人數A34113B31912C1436D1386由此可得總評審人數P=P+尸疽P+P=37。ABCD用LINGO得到（代碼見附錄代碼1）：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:37.00000Objectivebound:37.00000Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:1551VariableValueReducedCostPA13.000001.000000PB12.000001.000000PC6.0000001.000000PD6.0000001.000000MA341.00000.000000MB319.00000.000000MC142.00000.000000MD138.00000.000000K3.0000000.000000J40.000000.000000E1.3577450.000000RowSlackorSurplusDualPrice137.00000-1.00000020.0000000.00000030.0000000.00000040.0000000.00000050.0000000.00000060.0000000.00000070.0000000.00000080.0000000.00000090.0000000.000000100.0000000.000000110.0000000.000000121.3076920.000000130.25000000.000000149.0000000.0000001511.000000.000000根據題目給出的條件：條件1：要求高職高專的評審人數不低于30%，因此高職高專的評審人數、=03*S=0.3*37=11.1，取整后NB=12。將學校分為A類和B類，A類為本科院校共40所，B類是高職高專類學校共20，則A類分得的總席位為NA=25,B類分得的總席位為NB=12。條件2：分配中要考慮方案的公平性。為對i組的不公平度以此建立模型:目標函數min=Q+QABNAS——A-~ArAi~Ari=1,2,3...40Qa=如QAiBiBii=1,2,3...14=尤QBii=1但每個學校至多條件3：少數歷年競賽成績優秀的學校可以適當增加評審人數，2人，得：但每個學校至多0<N,<2i=1,2,3,4,5,6條件4：有些近年才參賽的學校不邀請評審人Nb=0i=15，16，17，18，19，20

用LINGO11得到（代碼見附錄代碼2和代碼3）：類別學校編號參賽隊數注解評審數隊別學校編號參賽隊數注解評審數隊別A類1109*2x2690x261*2x27100x340*1x2880x433*1x29100x528*1x30110x622*1x31120x7181x32161x8181x33161x9241x34161x10151x35110x11141x36171x12130x37161x13191x38151x15100x39151x16171x40141x21151x41120x22151x42120x23151x43100x2490x44100x2590x45100x類別學校編號參賽隊數注解評審數隊別學校編號參賽隊數注解評審數隊別B類190y11111y2101y12111y3101y13101y4101y1490y5101y156#0y6101y166#0y7101y176#0y8121y188#0y9131y198#010121y205#0y注：1.*為往年競賽成績優秀的學校，#為近年剛參賽學校。2.隊別中X表示該校為本科院校，Y表示該校為高職高專類學校。結果分析本模型中我們采用不公平度Q進行求解，得出各個學校的不公平度，從lingo代碼結果可以知道，其中x值為不公平度，此模型結果很好的分配評審人數，使不公平度達到最小。A類的評審人數運行結果：31.6286731.628670.2147060E-11

011Global31.6286731.628670.2147060E-11

011Objectivevalue:Objectivebound:Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:VariableValueReducedCostM1754.00000.000000N126.000000.000000X31.628670.000000XRS1(X1)109.00000.000000XRS1(X2)61.000000.000000XRS1(X3)40.000000.000000XRS1(X4)33.000000.000000XRS1(X5)28.000000.000000XRS1(X6)22.000000.000000XRS2(XX1)18.000000.000000XRS2(XX2)18.000000.000000XRS2(XX3)24.000000.000000XRS2(XX4)15.000000.000000XRS2(XX5)14.000000.000000XRS2(XX6)13.000000.000000XRS2(XX7)19.000000.000000XRS2(XX8)10.000000.000000XRS2(XX9)17.000000.000000XRS2(XX10)15.000000.000000XRS2(XX11)15.000000.000000XRS2(XX12)15.000000.000000XRS2(XX13)9.0000000.000000XRS2(XX14)9.0000000.000000XRS2(XX15)9.0000000.000000

XRS2(XX16)10.000000.000000XRS2(XX17)8.0000000.000000XRS2(XX18)10.000000.000000XRS2(XX19)11.000000.000000XRS2(XX20)12.000000.000000XRS2(XX21)16.000000.000000XRS2(XX22)16.000000.000000XRS2(XX23)16.000000.000000XRS2(XX24)11.000000.000000XRS2(XX25)17.000000.000000XRS2(XX26)16.000000.000000XRS2(XX27)15.000000.000000XRS2(XX28)15.000000.000000XRS2(XX29)14.000000.000000XRS2(XX30)12.000000.000000XRS2(XX31)12.000000.000000XRS2(XX32)10.000000.000000XRS2(XX33)10.000000.000000XRS2(XX34)10.000000.000000XPW1(NX1)2.000000-1.301769XPW1(NX2)2.000000-1.511124XPW1(NX3)1.000000-1.760714XPW1(NX4)1.000000-1.914502XPW1(NX5)1.0000000.000000XPW1(NX6)1.0000000.2824675XPW2(NX1)1.0000000.5753968XPW2(NX2)1.0000000.5753968XPW2(NX3)1.0000000.1726190XPW2(NX4)1.0000000.8976190XPW2(NX5)1.0000001.035714XPW2(NX6)0.000000-3.266484XPW2(NX7)1.0000000.4906015XPW2(NX8)0.000000-3.935714XPW2(NX9)1.0000000.6701681XPW2(NX10)1.0000000.8976190XPW2(NX11)1.0000000.8976190XPW2(NX12)1.0000000.8976190XPW2(NX13)0.000000-4.257937XPW2(NX14)0.000000-4.257937XPW2(NX15)0.000000-4.257937XPW2(NX16)0.000000-3.935714XPW2(NX17)0.000000-4.660714XPW2(NX18)0.000000-3.935714XPW2(NX19)0.000000-3.672078XPW2(NX20)0.000000-3.452381XPW2(NX21)1.0000000.7767857XPW2(NX22)1.0000000.7767857XPW2(NX23)1.0000000.7767857XPW2(NX24)0.000000-3.672078XPW2(NX25)1.0000000.6701681XPW2(NX26)1.0000000.7767857XPW2(NX27)1.0000000.8976190XPW2(NX28)1.0000000.8976190XPW2(NX29)1.0000001.035714XPW2(NX30)0.000000-3.452381XPW2(NX31)0.000000-3.452381XPW2(NX32)0.000000-3.935714XPW2(NX33)0.000000-3.935714XPW2(NX34)0.000000-3.935714RowSlackorSurplusDualPrice10.000000-0.4194782E-0120.0000000.1807617331.62867-1.00000040.0000001.03571450.000000-1.000000B類的評審人數運行結果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:Objectivebound:Infeasibilities:Extendedsolversteps:Totalsolveriterations:3.9016323.9016320.2220446E-1500VariableValueReducedCostY3.9016320.000000N212.000000.000000M2147.00000.000000YRS(Y1)9.0000000.000000YRS(Y2)10.000000.000000YRS(Y3)10.000000.000000YRS(Y4)10.000000.000000YRS(Y5)10.000000.000000YRS(Y6)10.000000.000000YRS(Y7)YRS(Y8)YRS(Y9)10.0000012.0000013.000000.0000000.0000000.000000YRS(Y10)12.000000.000000YRS(Y11)11.000000.000000YRS(Y12)11.000000.000000YRS(Y13)10.000000.000000YRS(Y14)9.0000000.000000YPW(NY1)0.000000-2.586111YPW(NY2)1.0000000.000000YPW(NY3)1.0000000.000000YPW(NY4)1.0000000.000000YPW(NY5)1.0000000.000000YPW(NY6)1.0000000.000000YPW(NY7)1.0000000.000000YPW(NY8)1.000000-0.2041667YPW(NY9)1.000000-2.167308YPW(NY10)1.000000-0.2041667YPW(NY11)1.000000-0.1113636YPW(NY12)1.000000-0.1113636YPW(NY13)1.0000000.000000YPW(NY14)0.000000-2.586111RowSlackorSurplusDualPrice13.901632-1.00000020.000000-1.00000030.000000-0.8096348E-0140.000000-0.233217550.0000001.225000六、模型評價與推廣該模型在一定程度上既保證了評審的公正，又提高了評審工作的效率，能借助一些簡單的軟件較快的得到評審人數分配方案，但是由于數據輸入量較大，造成計算不簡便。對于分配方案的公平性，除了比例慣例法，Q值法等常用方法，還可以使用最大概率法，遺傳算法等。七、參考文獻

八、附錄表1.1江蘇賽區各院校競賽情況表學校編號參賽隊數A題B題C題D題注解隊別1109504298*x2613526*x340201046*x4331320*x5281612*x6226844*x718810x81899x9241113x101578x111486x121385x1319109x14954y151046x16173644x171055y181064y191046y201055y21153255x22156333x23153255x24954x25954x26936x271055x28844x291046x301156x311257x321697x331688x341688x351165x3617107x371688x381578x

391596x401477x學校編號參賽隊數A題B題C題D題注解隊別411257x4212246x43102332x44103232x45101450x461037y471064y481284y491376y501257y511165y521165y531055y54954y55633#y56624#y57633#y58835#y59844#y60523#y總計940341319142138注：*為往年競賽成績優秀的學校，#為近年剛參賽學校；排名靠前的學校成績一般好于排名靠后的學校；隊別中X表示該校為本科院校，Y表示該校為高職高專類學校。代碼1:model:min=na+nb+nc+nd;MA=341;MB=319;MC=142;MD=138;K=3;J=40;na=@floor(NA-e"-5)+1;nb=@floor(NB-e"-5)+1;nc=@floor(NC-e"-5)+1;nd=@floor(ND-e"-5)+1;MA/(NA/K)<2火J;MB/(NB/K)<2火J;MC/