5/5臨界條件與極值問題專題【高考要求】1.解決臨界與極值問題要綜合運用物理知識和數(shù)學知識。2.高考中臨界與極值問題的考查往往比擬復雜,通常屬于中檔題或是難度較大的題。解題時必須仔細閱讀題目,弄清楚條件,判斷出現(xiàn)臨界、極值的條件,同時結(jié)合數(shù)學知識才能解決問題。【知識梳理】一、臨界問題1.臨界問題是量變、質(zhì)變在物理學上的生動表達。當物質(zhì)的運動從一種形式〔或性質(zhì)〕轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式〔或性質(zhì)〕時,存在的轉(zhuǎn)折點常稱為臨界點或臨界狀態(tài)；發(fā)生轉(zhuǎn)折所需的條件稱為臨界條件。研究臨界狀態(tài)、臨界條件的問題就稱為臨界問題。2.常見的有：靜力學中的臨界平衡；機車運動中的臨界速度；碰撞中的能量臨界、速度臨界、位移臨界；電磁感應中的動態(tài)問題的臨界速度或加速度；光學中的臨界角；光電效應中的極限頻率；帶電粒子在磁場中運動的邊界條件；電路中電學量的臨界轉(zhuǎn)折等。3.思路：找出發(fā)生臨界問題的原因找準臨界狀態(tài)找到臨界條件4.方法：一般有兩種方法。第一是以定律、定理為依據(jù),首先求出所研究問題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后再分析、討論臨界特殊規(guī)律和特殊解；第二是直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件求出臨界值。在研究臨界問題時,應著重于相應物理量的取值范圍和有關物理現(xiàn)象發(fā)生或消失條件的討論。二、極值問題1.在物理問題中常有一些物理量隨另一物理量呈現(xiàn)非單調(diào)性的變化,從而存在極值問題,如電源的輸出功率,兩體運動中的最短距離,力學中的最小拉力等問題。另外,物理學中還有一些具有邊緣特征的問題〔過程〕,其中就包含著一個界限,超過這個界限,將有不同的物理現(xiàn)象和不同的結(jié)果,如臨界角、極限頻率、熔點等。2.方法：求解極值問題的方法從大的角度可分為物理方法和數(shù)學方法。物理方法包括：⑴利用臨界條件求極值；⑵利用問題的邊界條件求極值；⑶利用矢量圖求極值。數(shù)學方法包括：⑴用三角函數(shù)關系求極值；用二次函數(shù)的判別式求極值；用不等式的性質(zhì)求極值。一般而言,用物理方法求極值直觀、形象,對構(gòu)建模型及動態(tài)分析等能力要求較高,而用數(shù)學方法求極值思路嚴謹,對數(shù)學能力要求較高。假設將二者融合那么將相得益彰,對增強解題能力大有裨益。●鏈接就數(shù)學方法來講,高考中可能出現(xiàn)以下幾種極值類型：⑴形如“〞的極值類型,其極值點為,且當a＞0時為極小值。⑵形如“〞的極值類型,一般先將函數(shù)處理為形式,其極值點為。⑶形如“〞的極值類型,其極值點可由方程求得,且為極小值。⑷形如“〞的極值類型,其極值點可由方程求得,且為極大值。【典型例題】［例1］當物體從高空下落時,空氣阻力隨速度的增大而增大。球形物體速度不大時所受的空氣阻力正比于速度v,且正比于球半徑r,即阻力f＝kvr,k為比例系數(shù)。對于常溫下的空氣,比例系數(shù)k＝3.4×10－4Ns/m2.水的密度ρ＝1.0×103kg/m3,試求半徑r＝0.10mm的球形雨滴在無風情況下的終極速度。〔結(jié)果保存兩位有效數(shù)字〕(1.2m/s)［例2］物體以初速度v0沿傾角為θ的光滑斜面向上運動,求物體沿斜面最多能向上運動多遠？〔〕〔極值類型1〕［例3］質(zhì)量為m的物體與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ,為使物體沿地面運動,那么所施加的拉力至少為多大？vLBAvLBA［例4］如圖,一平直傳送帶以恒定速度v0＝2m/s勻速運動。當把工件無初速地放在A端時,經(jīng)時間t0＝6s被傳送到相距L＝10m的B端。欲用最短的時間把工件從A端傳到B端,傳送帶運動速度至少為多大？最短時間是多少？〔極值類型4,設加速度為a,傳送帶速度為v,那么傳送時間可表示為〕(m/s；s)［例5］如下圖,一圓盤可以繞基豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,圓盤半徑為R0,A、B兩物體質(zhì)量分別為M和m〔M＞m〕,它們與圓盤之間的最大靜摩擦力均為正壓力的μ倍,兩物體用一要根長為L〔L＜R〕的不可伸長的輕質(zhì)繩連在一起,A、B的大小可忽略不計,假設將A物體放在轉(zhuǎn)軸的位置上,A、B之間的連線剛好沿半徑方向被拉直,要使兩物體與轉(zhuǎn)盤之間不發(fā)生相對滑動,那么轉(zhuǎn)盤旋轉(zhuǎn)的角速度的最大值不能超過為〔D〕［例6］在水平直軌道上有兩輛長為l的汽車,中心相距為S.開始時,A車在后面以初速度v0,加速度大小為2a正對著B車作勻減速直線運動,而B車同時以初速度為零,加速度大小為a做勻加速直線運動,兩車運動方向相同,要使兩車不相撞,求v0應滿足的條件。〔v0≤〕［例7］如下圖,滑塊A的質(zhì)量m=0.01kg,與水平地面間的摩擦因數(shù)μ=0.2,用細線懸掛的小球質(zhì)量均為m=0.01kg,沿x軸排列,A與第1只小球及相鄰兩小球間距離均為s=2m,線長分別為L1、L2、L3……〔圖中只畫出三只小球,且小球可視為質(zhì)點〕,開始時,滑塊以速度v0=10m/s沿x軸正方向運動,設滑塊與小球碰撞時不損失機械能,碰撞后小球均恰能在豎直平面內(nèi)完成完整的圓周運動并再次與滑塊正碰,g取10m/s2,求：⑴滑塊能與幾個小球碰撞？⑵求出碰撞中第n個小球懸線長Ln的表達式。〔由動能定理可求得n＝12個；由臨界條件、機械能守恒和動能定理可求得Ln＝〔50－4n〕/25〕［例8］如下圖,電池電動勢E=6V,內(nèi)電阻r=0.5Ω,R1=3Ω,R2=2Ω,滑動變阻器總阻值R=5Ω。求滑動片P滑動過程中電源的最大功率和最小輸出功率。〔極值類型3〕〔當時有,當滑片滑到a端和b端時對應著得電流是和,即電流變化范圍2A≤I≤,所以電源的最大功率是；當外電路電阻最大時輸出功率最小,為10W)［例9］如下圖的裝置是在豎直平面內(nèi)放置光滑的軌道,處于水平向右的勻強電場中,一帶負電荷的小球從高h的A處靜止開始下滑,沿軌道ABC運動后進入圓環(huán)內(nèi)做圓周運動。小球所受到的電場力是其重力的3/4,圓環(huán)半徑為R,斜面傾角為,SBC=2R。假設使小球在圓環(huán)內(nèi)能做完整的圓周運動,h至少為多少？(不計小球經(jīng)過B處時的機械能損失)mv0［例10］如下圖,電容器固定在一個絕緣座上,絕緣座放在光滑水平面上,平行板板間距離為d,右極板有一小孔,通過孔有一絕緣桿,左端固定在左極板上,電容器極板連同底座、絕緣桿總質(zhì)量為M,給電容器充電后,有一質(zhì)量為m的帶電圓環(huán)恰套在桿上以某一初速度v0對準小孔向左運動,設帶電環(huán)不影響電容器板間電場的分布,帶電環(huán)進入電容器后距左板的最小距離為mv0vCBA［例11］邊長為100cm的正三角形光滑且絕緣的剛性框架ABC固定在光滑的水平面上,內(nèi)有垂直于框架平面B=4×10-3C的勻強磁場。以質(zhì)量為m=2.4×10-4kg,帶電荷量為q=4×10-3C小球,從BC邊的中點小孔PvCBA〔1〕為使小球在最短的時間內(nèi)從P點射出,小球的入射速度v1.〔2〕假設小球以v2＝1m/s的速度入射,那么需要多長時間才能從P點出來？〔5m/s;4.1s〕［例12］半徑為R的半圓柱形玻璃磚,其橫截面如下圖,O為圓心,該玻璃的折射率,一束與MN平面成45o 角的平行光線射到玻璃磚的半圓面上,經(jīng)玻璃磚折射后能從MN平面上射出的光束,在MN上的寬度是多少？［例13］長為L,折射率為n的光導纖維置于空氣中,從一端射入的光束恰能在其側(cè)面產(chǎn)生全反射,求光通過該光導纖維的時間。【穩(wěn)固練習】1.如圖,三角形木塊放在傾角為θ的斜面上,假設木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ＞tanθ,那么無論作用在木塊上豎直向下的外力多大,木塊都不會滑動,這種現(xiàn)象叫作“自鎖〞。試證明自鎖現(xiàn)象。2.如下圖,一細線的一端固定于傾角為45o的光滑楔形滑塊A的頂端P處,細線的另一端拴一質(zhì)量為m的小球。當滑塊至少以加速度a1＝向加速PA45o運動時,小球?qū)瑝K的壓力等于零；當滑塊以加速度a2PA45o線的拉力T=。(g；左；mg)3.如下圖,質(zhì)量為m的物體A放置在質(zhì)量為M的物體B上,B與彈簧相連,它們一起在光滑水平面上作簡諧運動,設A、B之間最大靜摩擦力為重力的μ倍,彈簧的輕度系數(shù)為k,假設使兩者在運動過程中始終保持相對靜止,那么運動的振幅最大為〔A〕A．μ〔M+m〕g/kB．μMg/kC．μmg/kD．μ〔M+m〕Mg/mk4.某人劃船在靜水中劃行速度是v1＝1.8m/s,假設他在水速為v2＝3.0m/s的河中勻速劃行,問：⑴怎樣劃行才能在最短時間內(nèi)到達對岸？⑵怎樣劃行才能使船的實際軌跡最短？5.光滑水平面上的木板質(zhì)量為M,木板上A處有一只質(zhì)量為m的青蛙〔可視為質(zhì)點〕,青蛙沿著與水平方向成θ角的方向以初速度跳起,最后落在木板上的B點,測得A、B兩點間的距離為l,試分析青蛙跳起的初速度至少為多大？6.組成星球的物質(zhì)是靠引力吸引在一起的,這樣的星球有一個最大的自轉(zhuǎn)加速度,如果超過了該加速度,星球的萬有引力將缺乏以維持其在赤道附近的物體做圓周運動。由此能得到半徑為R、密度為ρ、質(zhì)量為M且均勻分布的星球的最小自轉(zhuǎn)周期T=或。7.甲車從靜止開始以1m/s2的速度前進,其前方18m處的乙車同時以5m/s的速度追甲車,問能否追上？假設不能追上,兩車之間的最小距離是多少？假設要追上,乙的速度最小應多大？〔追不上；5.5m；假設要追上v=6m/s〕v08.如下圖,一滑塊以初速度v0=20m/s沿光滑固定的跳臺向上運動,跳臺頂部是水平的,試求跳臺的高度h為何值時,滑塊從跳臺頂部飛出的水平距離s最大？最大值為多少？〔取g＝10m/s2v0(10m；20m)9.如下圖,一個阻值為5的電燈與一阻值為0～10的滑動變阻器串聯(lián)后接到電壓為2V的電源上〔電源內(nèi)阻不計〕,當滑動變阻器接入電路的阻值是多大時,滑動變阻器消耗的功率為最大,其值是多少？(R=5Pm=0.2W)10.如圖,電流表內(nèi)阻忽略不計,電源電動勢E＝10V,內(nèi)阻r＝1Ω,定值電阻PRR0ErAR0和滑動變阻器PRR0ErA電流表示數(shù)如何變化？最大值和最小值各是多少？〔電流表示數(shù)先從2A減小到1.52A,然后再增加到1.67A〕11.如下圖,在方向方向豎直向下的勻強電場中,一個帶負電q質(zhì)量為m且重力大于所受電場力的小球,從光滑的斜面軌道的點A由靜止下滑,假設小球能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而做圓周運動,問點A的高度h至少應為多少？(5R/2)v0AO12.如下圖,用一根長為l＝1.9m的不可伸長的絕緣細線,一端拴質(zhì)量m＝0.1kg、帶電量q＝－1×10－4C的小球,另一端固定在O點。現(xiàn)在最低點A給小球一個沿水平方向、大小為v0＝6m/s的初速度,使小球在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動,還需在豎直方向上加一個勻強電場。〔v0AO⑴試問電場的方向如何？〔要求定量說明〕⑵求出電場強度大小的范圍。13.如下圖,在xoy坐標平面的第Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強磁場,磁感應強度為B,而第Ⅲ、Ⅳ象限內(nèi)有沿y軸負方向的勻強電聲,場強為E,帶負電的微粒從坐標原點以速度沿y軸正方向運動,欲使之能垂直撞擊到x=L處的屏上,其帶電量至少為＿＿＿＿＿〔重力不計〕。〔mv0/BL〕14.如下圖,水平放置的光滑平行長導軌為L,置于磁感應強度為B,方向豎直向下的勻強磁場中,導體1和2的質(zhì)量均為m,總電阻為R,導軌電阻不計,假設以水平向右的恒力拉動導體1,試求：⑴導體1的加速度的最小值和導體2的加速度的最大值是多少？⑵兩導體的加速度到達極值時受到的安培力是多大？⑶兩導體的加速度到達極值時,導體1相對導體2的速度多大？(由運動狀態(tài)分析得,；；)15.理想變壓器原線圈接在電動勢為E、內(nèi)電阻為r的交變電源上,副線圈那么接在阻值為R的負載上。當理想變壓器原,副線圉匝數(shù)之比為多大時,消耗在負載上的電功率最大？最大值為多少？〔當原、副線圈匝數(shù)比時負載消耗得電功率最大,〕ddlM16.如下圖,一要根長為l的直薄木條上有兩上觀察小孔,觀察孔間距離為d,d恰好為一個人兩眼間的寬度,當木條水平放置時,此人想要通過兩觀察孔看見此木條在平面鏡M里完整的像,那么選用的平面鏡寬度至少是〔D〕A、l/2B、d/2C、(l+d)/2D、(l-d)/217.如下圖,一外半徑為a,內(nèi)半徑為b的中空玻璃球,玻璃的折射率為n,內(nèi)半徑用對光完全吸收的材料涂滿,當一束平行光照射到球的外外表時,試求光能被內(nèi)半徑完全吸收的平行光的正對面積是多大？18.在厚度為h、折射率為n的大玻璃板的下外表,緊貼著一個半徑為r的圓形發(fā)光面,為了從玻璃板的上方看不到發(fā)光面,可在玻璃板的上外表貼一黑紙片,試求所貼紙片的最小面積。〔〕19.如下圖,某種透明液體的折射率,與空氣的界面為水平面,液體中有一點光源S,上方空氣中有一無限長細桿,與液面的夾角為45o,交點為A。A點與點光源的水平距離大于S液體中的深度,細桿與S在同一豎直平面內(nèi)。求,點光源S所發(fā)出的光束與豎