材料力學劉鴻文主編(第4版)高等教育出版社目錄材料力學目錄1彎曲變形第六章目錄彎曲變形第六章目錄2第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-6提高彎曲剛度的一些措施§6-5簡單超靜定梁目錄目錄第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓3§6-1工程中的彎曲變形問題7-1目錄§6-1工程中的彎曲變形問題7-1目錄4目錄§6-1工程中的彎曲變形問題目錄§6-1工程中的彎曲變形問題5目錄§6-1工程中的彎曲變形問題目錄§6-1工程中的彎曲變形問題6§6-2撓曲線的微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度y：截面形心在y方向的位移向上為正轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。逆時針為正7-2目錄§6-2撓曲線的微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形72.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響§6-2撓曲線的微分方程目錄2.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變8由數學知識可知：略去高階小量，得所以§6-2撓曲線的微分方程目錄由數學知識可知：略去高階小量，得所以§6-2撓曲線的微分方9由彎矩的正負號規定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。§6-2撓曲線的微分方程目錄由彎矩的正負號規定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數10§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次11積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續條件確定。位移邊界條件光滑連續條件－彈簧變形§6-3用積分法求彎曲變形目錄積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續條件確定12目錄§6-3用積分法求彎曲變形課堂練習寫出圖示各梁的邊界條件。在圖中桿的抗拉剛度剛度為EI。目錄§6-3用積分法求彎曲變形課堂練習寫出圖示各梁的邊界條13例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF§6-3用積分法求彎曲變形目錄例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁144）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF§6-3用積分法求彎曲變形目錄4）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度15例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁163）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：§6-3174）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續條件§6-3用積分法求彎曲變形目錄4）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續條185）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：§6-3用積196）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，§6-3用積分法求彎曲變形目錄6）確定最大轉角和最大撓度令得20討論積分法求變形有什么優缺點？§6-3用積分法求彎曲變形目錄討論積分法求變形有什么優缺點？§6-3用積分法求彎21§6-4用疊加法求彎曲變形設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為y，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4目錄§6-4用疊加法求彎曲變形設梁上有n個載荷同時作22故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。§6-4用疊加法求彎曲變形目錄故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：§6-4用疊加法求彎23例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉角B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解§6-4用疊加法求彎曲變形目錄例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截243）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

§6-4用疊加法求彎曲變形目錄yC1yC2yC33）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和§6-4用疊25例4

按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxdxbxfC查表：§6-4用疊加法求彎曲變形例4按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的26例5已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

解§6-4用疊加法求彎曲變形目錄例5已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截273）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。

§6-4用疊加法求彎曲變形目錄3）將結果疊加2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，28討論疊加法求變形有什么優缺點？§6-4用疊加法求彎曲變形目錄討論疊加法求變形有什么優缺點？§6-4用疊加法求彎29課堂練習：在簡支梁的一半跨度內作用均布載荷q，試求跨度中點的跨度。設EI為常數。疊加法求變形舉例=+課堂練習：在簡支梁的一半跨度內作用均布載荷q，試求跨度中點的30——逐段剛化法=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf疊加法求變形——逐段剛化法=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價31課堂練習：求圖示變截面梁自由端的撓度和轉角。課堂練習：求圖示變截面梁自由端的撓度和轉角。32§6-5簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統——比較變形，列變形協調條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統：用多余約束力代替多余約束的靜定系統7-6目錄§6-5簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于33解例6求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數2）解除多余約束，建立相當系統目錄3）進行變形比較，列出變形協調條件§6-5簡單超靜定梁解例6求梁的支反力，梁的抗彎1）判定超靜定次數2）解除多344）由物理關系，列出補充方程

所以5）由整體平衡條件求其他約束反力目錄§6-5簡單超靜定梁4）由物理關系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約35例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。

從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協調方程為：FBMAFAyB1

FBMCFCyB2物理關系解目錄§6-5簡單超靜定梁例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁36FB

FBMAFAMCFCyB1yB2代入得補充方程：確定A端約束力目錄§6-5簡單超靜定梁FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得補充方程：確定37FB

F′BMAFAMCFCyB1yB2確定C端約束力目錄§6-5簡單超靜定梁FBF′BMAFAMCFCyB1yB2確定C端約束力目38MAFAMCFCA、C端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩圖目錄§6-5簡單超靜定梁MAFAMCFCA、C端約束力已求出最后作梁的剪力圖和彎矩39例8長度為L,重量為P的等截面直梁,放置在水平剛性平面上。若在端點施力P/3上提,未提起部分仍保持與平面密合,試求提起部分的長度。§6-5簡單超靜定梁例8長度為L,重量為P的等截面直梁,放置在水平剛性平面40解:A點處梁的曲率半徑為

,即§6-5簡單超靜定梁解:A點處梁的曲率半徑為,即§6-5簡單411）選擇合理的截面形狀目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施1）選擇合理的截面形狀目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施422）改善結構形式，減少彎矩數值改變支座形式目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施2）改善結構形式，減少彎矩數值改變支座形式目錄§6-6提高432）改善結構形式，減少彎矩數值改變載荷類型目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施2）改善結構形式，減少彎矩數值改變載荷類型目錄§6-6提高443）采用超靜定結構目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施3）采用超靜定結構目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施45目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施目錄§6-6提高彎曲剛度的一些措施46小結1、明確撓曲線、撓度和轉角的概念2、掌握計算梁變形的積分法和疊加法3、學會用變形比較法解簡單超靜定問題目錄小結1、明確撓曲線、撓度和轉角的概念2、掌握計算梁變形的積分47材料力學劉鴻文主編(第4版)高等教育出版社目錄材料力學目錄48彎曲變形第六章目錄彎曲變形第六章目錄49第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-6提高彎曲剛度的一些措施§6-5簡單超靜定梁目錄目錄第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓50§6-1工程中的彎曲變形問題7-1目錄§6-1工程中的彎曲變形問題7-1目錄51目錄§6-1工程中的彎曲變形問題目錄§6-1工程中的彎曲變形問題52目錄§6-1工程中的彎曲變形問題目錄§6-1工程中的彎曲變形問題53§6-2撓曲線的微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉角關系為：撓曲線撓度轉角撓度y：截面形心在y方向的位移向上為正轉角θ：截面繞中性軸轉過的角度。逆時針為正7-2目錄§6-2撓曲線的微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形542.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響§6-2撓曲線的微分方程目錄2.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變55由數學知識可知：略去高階小量，得所以§6-2撓曲線的微分方程目錄由數學知識可知：略去高階小量，得所以§6-2撓曲線的微分方56由彎矩的正負號規定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉角和撓度。§6-2撓曲線的微分方程目錄由彎矩的正負號規定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數57§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉角方程為：再積分一次得撓度方程為：7-3目錄§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次58積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續條件確定。位移邊界條件光滑連續條件－彈簧變形§6-3用積分法求彎曲變形目錄積分常數C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續條件確定59目錄§6-3用積分法求彎曲變形課堂練習寫出圖示各梁的邊界條件。在圖中桿的抗拉剛度剛度為EI。目錄§6-3用積分法求彎曲變形課堂練習寫出圖示各梁的邊界條60例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF§6-3用積分法求彎曲變形目錄例1求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁614）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度方程6）確定最大轉角和最大撓度ABF§6-3用積分法求彎曲變形目錄4）由位移邊界條件確定積分常數代入求解5）確定轉角方程和撓度62例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄例2求梁的轉角方程和撓度方程，并求最大轉角和最大撓度，梁633）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：§6-3644）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續條件§6-3用積分法求彎曲變形目錄4）由邊界條件確定積分常數代入求解，得位移邊界條件光滑連續條655）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：§6-3用積分法求彎曲變形目錄5）確定轉角方程和撓度方程AC段：CB段：§6-3用積666）確定最大轉角和最大撓度令得，令得，§6-3用積分法求彎曲變形目錄6）確定最大轉角和最大撓度令得67討論積分法求變形有什么優缺點？§6-3用積分法求彎曲變形目錄討論積分法求變形有什么優缺點？§6-3用積分法求彎68§6-4用疊加法求彎曲變形設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉角為，撓度為y，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，7-4目錄§6-4用疊加法求彎曲變形設梁上有n個載荷同時作69故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉角的代數和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。§6-4用疊加法求彎曲變形目錄故由于梁的邊界條件不變，因此重要結論：§6-4用疊加法求彎70例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC

；B截面的轉角B1）將梁上的載荷分解yC1yC2yC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。解§6-4用疊加法求彎曲變形目錄例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截713）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和

§6-4用疊加法求彎曲變形目錄yC1yC2yC33）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果求和§6-4用疊72例4

按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的簡單載荷變形表，查簡單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxdxbxfC查表：§6-4用疊加法求彎曲變形例4按疊加原理求C點撓度。解：載荷無限分解如圖由梁的73例5已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

解§6-4用疊加法求彎曲變形目錄例5已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截743）將結果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉角。

§6-4用疊加法求彎曲變形目錄3）將結果疊加2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，75討論疊加法求變形有什么優缺點？§6-4用疊加法求彎曲變形目錄討論疊加法求變形有什么優缺點？§6-4用疊加法求彎76課堂練習：在簡支梁的一半跨度內作用均布載荷q，試求跨度中點的跨度。設EI為常數。疊加法求變形舉例=+課堂練習：在簡支梁的一半跨度內作用均布載荷q，試求跨度中點的77——逐段剛化法=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf疊加法求變形——逐段剛化法=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價78課堂練習：求圖示變截面梁自由端的撓度和轉角。課堂練習：求圖示變截面梁自由端的撓度和轉角。79§6-5簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于有效平衡方程數目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數：多余約束或多余支反力的數目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統——比較變形，列變形協調條件——由物理關系建立補充方程——利用靜力平衡條件求其他約束反力。相當系統：用多余約束力代替多余約束的靜定系統7-6目錄§6-5簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數目大于80解例6求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數2）解除多余約束，建立相當系統目錄3）進行變形比較，列出變形協調條件§6-5簡單超靜定梁解例6求梁的支反力，梁的抗彎1）判定超靜定次數2）解除多814）由物理關系，列出補充方程

所以5）由整體平衡條件求其他約束反力目錄§6-5簡單超靜定梁4）由物理關系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約82例7梁AB和BC在B處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。

從B處拆開，使超靜定結構變成兩個懸臂梁。變形協調方程為：FBMAFAyB1

FBMCFCy