點與直線1.點x在直線l上的充要條件是xTl=0；2.兩直線l和l’的交點是點x=lXl’；3.過兩點x和x’的直線是l=xXx’；4.理想點：(x1,x2,0)T無窮遠線l=(0,0,1)T5.IP2中的一個點對應IR3中的一條過原點的直線,IP2中的直線對應IR3中的過原點的平面；IP2中的兩點確定一直線對應IR3中的兩過原點的直線確定一個平面，IP2中的兩直線交于一點對應IR3中的兩過原點的平面交于一條直線。6.對偶原理：互換原定理中點和線的作用。點與直線1.點x在直線l上的充要條件是xTl=0；1二次曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0齊次化得：ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0xTCx=05點定義一條二次曲線二次曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=02對偶二次曲線過（非退化：矩陣C是可逆矩陣）二次曲線C上點x的切線l由l=Cx確定；因為xTCx=0；l=Cx；所以(C-1l)TC(C-1l)=lTC-1l=0；退化二次曲線：C=lmT+mlT由l和m兩線組成,矩陣C是秩為2的對稱矩陣，它的零矢量為x=lXm,它是l和m的交點;退化的線二次曲線包含兩個點（秩2），或一個重點（秩1）。對偶二次曲線過（非退化：矩陣C是可逆矩陣）二次曲線C上點x3射影變換射影映射是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點x1,x2,x3共線當且僅當h(x1),h(x2),h(x3)也共線。映射h：IP2→IP2是射影映射的充要條件是：存在一個3X3非奇異矩陣H，使得IP2的任何一個用矢量x表示的點都滿足h(x)=Hx。點：x’=Hx；H為3X3非奇異矩陣直線：l’=H-Tl；二次曲線：C’=H-TCH-1；對偶二次曲線：C*’=HC*HT；射影變換射影映射是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆4變換的層次1.一般線性群：nXn可逆實矩陣的群稱為（實的）一般線性群或GL(n)；2.射影線性群：當把相差非零純量因子的矩陣都視為等同時，得到射影線性群，記為PL(n)；在平面射影變換時，n=3；PL(3)的重要子群包括仿射群和歐氏群；3.仿射群：由PL(3)中最后一行為(0,0,1)的矩陣組成的子群；4.歐氏群：歐氏群是仿射群的子群，其左上角的2X2矩陣是正交的。當左上角的2X2矩陣的行列式為1時稱為定向歐氏群；變換的層次1.一般線性群：nXn可逆實矩陣的群稱為（實的）一5等距變換當=1時，該變換是保向的且是歐氏變換（歐氏變換是等距變換的一種，只有平移和旋轉），當=-1時，該變換是逆向的（包含了反射）。不變量：長度，角度，面積群和定向：如果左上角的2X2矩陣的行列式為1，它是保向的。保向的等距變換形成一個群，但逆向的不是。這種區別對于下面的相似和仿射變換同樣如此。等距變換6相似變換相似變換是一個等距變換與一個均勻縮放的復合。當歐氏變換（即沒有反射）與均勻縮放復合時，相似變換的矩陣表示為：不變量：夾角，平行線，兩長度的比率，面積的比率度量結構：確定到只差一個相似變換的結構。相似變換相似變換是一個等距變換與一個均勻縮放的復合。當歐氏變7仿射變換仿射變換是一個非奇異線性變換與一個平移變換的復合。平面仿射變換有六自由度。A是非奇異矩陣。A可以看作是旋轉和非均勻縮放的復合。A=UDVT=(UVT)(VDVT)不變量：平行線，平行線段長度比，面積比（任何形狀的面積都被縮放了detA倍，即detD倍）。仿射變換仿射變換是一個非奇異線性變換與一個平移變換的8射影變換并不是總能通過對矩陣縮放而取v為1，因為v可能是零。不變量：四共線點的交比。理想點被映射到有限點，平行線不再平行射影變換9射影變換分解射影變換的分解：且是上三角矩陣這里用到矩陣的QR分解：非奇異矩陣A可以分解為一個正交矩陣Q與一個非奇異上三角矩陣R相乘。不變量的數目：與函數無關的不變量數等于或大于配置的自由度數減去變換的自由度數。射影變換分解射影變換的分解：101D射影幾何x’=H2X2x3個自由度，由3組對應點來確定。交比：1D射影幾何x’=H2X2x11共點線共點線是直線上共線點的對偶。任何四條共點線都有一個確定的交比。共點線共點線是直線上共線點的對偶。任何四條共12從圖像恢復仿射和度量性質無窮遠線：(0,0,1)T在射影變換H下，無窮遠直線l為不動直線的充要條件是H是仿射變換。（在仿射變換下，l不是點點不動的）如果無窮遠直線的像是l=(l1,l2,l3)T，假定l3不為0，那么把l映射回無窮遠處的一個合適的射影變換是從圖像恢復仿射和度量性質無窮遠線：(0,0,1)T13仿射矯正消影線l的確定：1.由平行線的影像的交點來計算。2.給定一條直線上已知長度比的兩個線段，該直線上的無窮遠點便可以確定(利用交比）。1）a，b，c坐標分別是0，a，a+b。2）a’，b’，c’坐標分別是0，a’，a’+b’。3）計算1D射影變換H2X24）在變換H2X2下無窮遠的像可以求出。3.消影點可以用幾何作圖的方法得到。仿射矯正消影線l的確定：14虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠直線上有兩個不動點。他們是虛圓點。I=(1,i,0)T,J=(1,-i,0)T在射影變換H下，虛圓點為不動點的充要條件是H是相似變換。與虛圓點對偶的二次曲線C*=IJT+JIT。C*是由這兩個虛圓點構成的退化的線二次曲線。在歐氏坐標系下對偶二次曲線C*在射影變換H下不變的充要條件是H是相似變換。虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠直線上有兩個不動點。他們15射影平面上的夾角此夾角在射影變換下不變。一旦二次曲線C*在射影平面上被辨認，那么歐氏角便可以用上式測量。如果，則直線l和m正交。長度比：一旦C*被辨認，長度比可以測量。可以通過測量角度獲長度比。射影平面上的夾角16由圖像恢復度量性質C*’=(HPHAHS)C*(HPHAHS)T=(HPHA)(HSC*HST)(HATHPT)=(HPHA)C*(HATHPT)射影成分V和仿射成分K可以直接由C*的像確定。在射影平面上，一旦C*被辨認，那么射影失真可以矯正到相差一個相似變換。利用SVD，相差一個相似變換的矯正射影變換為H=U-1。由圖像恢復度量性質C*’=(HPHAHS)C*(HPHAHS17射影變換的分解逆變換是相同性質的變換，且矩陣結構相同，所以這里的矩陣的參數與上面的不同射影變換的分解18度量矯正11.假定一幅圖像已經仿射矯正（V=0）：假設圖像中的直線l’和m’與世界平面上的一對垂直線l和m對應，則它是關于2X2矩陣S=KKT的線性約束，矩陣S是齊次對稱矩陣，有2個自由度,公式化簡為度量矯正11.假定一幅圖像已經仿射矯正（V=0）：19度量矯正1其中S=(s11,s12,s22)T是S的三維矢量形式。兩個這樣的正交直線對能提供兩個約束，這樣，在相差一個尺度因子的情況下獲得S,并進一步獲得K。補充：1）一個圓的影像：其像在仿射矯正過的圖像中是橢圓，該橢圓和無窮遠直線的交點直接確定被影像的虛圓點。2）兩個已知的長度比：度量矯正120度量矯正2這里我們從平面的原有透視圖像入手，假定直線l和m是世界平面上兩正交直線的像，則lTC*m=0c=(a,b,c,d,e,f)T是C*的二次曲線矩陣的6維矢量形式。5個這樣的約束聯合起來，形成一個5X6矩陣，使得c和C*作為其零矢量求得。度量矯正2這里我們從平面的原有透視圖像入手，假定21二次曲線的其他性質1.點x和二次曲線C定義一條直線l=Cx。l稱為x關于C的極線，而點x稱為l關于C的極點。2.點x關于二次曲線C的極線l=Cx與C交于兩點，C的過這兩點的兩條切線相交于x。3.如果點x在C上，則它的極線就是二次曲線過x點的切線。4.如果點y在極線l=Cx上，則yTl=yTCx=0。滿足yTCx=0的任何兩點x，y稱為關于二次曲線C共軛。5.如果x在y的極線上，那么y也在x的極線上。二次曲線的其他性質1.點x和二次曲線C定義一條直線l=Cx。22二次曲線分類1.二次曲線的射影標準形式：因為C是對稱矩陣，所以有實特征值并可分解為乘積C=UTDU,其中U是正交矩陣，而D是對角矩陣。以射影變換U作用于二次曲線C，則C變成另一條二次曲線C’=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D這表明任何二次曲線都攝影等價于一個由對角矩陣表示的二次曲線。令其中或0且則D可以寫為其中用變換再進行一次變換，二次曲線D變為具有矩陣的二次曲線二次曲線分類1.二次曲線的射影標準形式：23二次曲線的分類2.二次曲線的仿射分類：在歐氏幾何中，非退化二次曲線可以分為雙曲線，橢圓和拋物線。在射影幾何中這三種類型的二次曲線卻都射影等價于圓。而在仿射幾何種，這種分類不變，因為在仿射變換下，無窮遠直線是不動線，而且交點保持不變，橢圓無實交點，拋物線相切，雙曲線有兩個實交點。二次曲線的分類2.二次曲線的仿射分類：24不動點與直線關鍵思想是變換的一個特征矢量對應一個不動點，因為對于特征值λ及其對應的特征矢量e有He=λe，一個3X3矩陣有三個特征值，如果特征值互不相同，則一個平面射影變換最多有三個不動點。類似的推導可以用于不動直線，它對應于H-T的特征矢量，因為直線的變換為l’=H-Tl，注意直線的不動是集合不動，而不是點點不動。不動點與直線關鍵思想是變換的一個特征矢量對應一個不25不動點與直線假定兩個特征值λ2，λ3相等，而對于這個特征值有兩個不同的特征矢量e2，e3，那么包含特征矢量e2，e3的直線將是點點不動的。另一種可能是λ2=λ3，但只有一個對應的特征矢量(線性代數120頁例6），其不動點少了一個。仿射變換以及比它更特殊的變換有兩個特征矢量，他們都是理想點(x3=0)并且對應于左上角2X2矩陣的特征矢量。第三個特征矢量通常是有限矢量。不動點與直線假定兩個特征值λ2，λ3相等，而對于這個26不動點與直線1.歐氏矩陣：兩個不動理想點是虛圓點I和J。對應于特征值1的第三個特征矢量，稱為極點，歐氏變換等價于繞該點旋轉θ角的純旋轉。一種特殊情況是純平移，這時特征值三重退化。無窮遠線點點不動，且有一束過點t(tx,ty,0)T的不動直線，該點對應于平移方向，因此平行于t的直線是不動的。不動點與直線1.歐氏矩陣：兩個不動理想點是虛圓點I和J。27不動點與直線相似矩陣：兩個不動理想點仍是虛圓點。相似變換的作用可以理解為繞它的有限不動點的旋轉和取s為因子的均勻縮放。仿射變換：兩個不動理想點可以是實或復共軛的，但過這些點的不動直線(0,0,1)T是實的。不動點與直線相似矩陣：兩個不動理想點仍是虛圓點。相28點與直線1.點x在直線l上的充要條件是xTl=0；2.兩直線l和l’的交點是點x=lXl’；3.過兩點x和x’的直線是l=xXx’；4.理想點：(x1,x2,0)T無窮遠線l=(0,0,1)T5.IP2中的一個點對應IR3中的一條過原點的直線,IP2中的直線對應IR3中的過原點的平面；IP2中的兩點確定一直線對應IR3中的兩過原點的直線確定一個平面，IP2中的兩直線交于一點對應IR3中的兩過原點的平面交于一條直線。6.對偶原理：互換原定理中點和線的作用。點與直線1.點x在直線l上的充要條件是xTl=0；29二次曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0齊次化得：ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0xTCx=05點定義一條二次曲線二次曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=030對偶二次曲線過（非退化：矩陣C是可逆矩陣）二次曲線C上點x的切線l由l=Cx確定；因為xTCx=0；l=Cx；所以(C-1l)TC(C-1l)=lTC-1l=0；退化二次曲線：C=lmT+mlT由l和m兩線組成,矩陣C是秩為2的對稱矩陣，它的零矢量為x=lXm,它是l和m的交點;退化的線二次曲線包含兩個點（秩2），或一個重點（秩1）。對偶二次曲線過（非退化：矩陣C是可逆矩陣）二次曲線C上點x31射影變換射影映射是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點x1,x2,x3共線當且僅當h(x1),h(x2),h(x3)也共線。映射h：IP2→IP2是射影映射的充要條件是：存在一個3X3非奇異矩陣H，使得IP2的任何一個用矢量x表示的點都滿足h(x)=Hx。點：x’=Hx；H為3X3非奇異矩陣直線：l’=H-Tl；二次曲線：C’=H-TCH-1；對偶二次曲線：C*’=HC*HT；射影變換射影映射是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆32變換的層次1.一般線性群：nXn可逆實矩陣的群稱為（實的）一般線性群或GL(n)；2.射影線性群：當把相差非零純量因子的矩陣都視為等同時，得到射影線性群，記為PL(n)；在平面射影變換時，n=3；PL(3)的重要子群包括仿射群和歐氏群；3.仿射群：由PL(3)中最后一行為(0,0,1)的矩陣組成的子群；4.歐氏群：歐氏群是仿射群的子群，其左上角的2X2矩陣是正交的。當左上角的2X2矩陣的行列式為1時稱為定向歐氏群；變換的層次1.一般線性群：nXn可逆實矩陣的群稱為（實的）一33等距變換當=1時，該變換是保向的且是歐氏變換（歐氏變換是等距變換的一種，只有平移和旋轉），當=-1時，該變換是逆向的（包含了反射）。不變量：長度，角度，面積群和定向：如果左上角的2X2矩陣的行列式為1，它是保向的。保向的等距變換形成一個群，但逆向的不是。這種區別對于下面的相似和仿射變換同樣如此。等距變換34相似變換相似變換是一個等距變換與一個均勻縮放的復合。當歐氏變換（即沒有反射）與均勻縮放復合時，相似變換的矩陣表示為：不變量：夾角，平行線，兩長度的比率，面積的比率度量結構：確定到只差一個相似變換的結構。相似變換相似變換是一個等距變換與一個均勻縮放的復合。當歐氏變35仿射變換仿射變換是一個非奇異線性變換與一個平移變換的復合。平面仿射變換有六自由度。A是非奇異矩陣。A可以看作是旋轉和非均勻縮放的復合。A=UDVT=(UVT)(VDVT)不變量：平行線，平行線段長度比，面積比（任何形狀的面積都被縮放了detA倍，即detD倍）。仿射變換仿射變換是一個非奇異線性變換與一個平移變換的36射影變換并不是總能通過對矩陣縮放而取v為1，因為v可能是零。不變量：四共線點的交比。理想點被映射到有限點，平行線不再平行射影變換37射影變換分解射影變換的分解：且是上三角矩陣這里用到矩陣的QR分解：非奇異矩陣A可以分解為一個正交矩陣Q與一個非奇異上三角矩陣R相乘。不變量的數目：與函數無關的不變量數等于或大于配置的自由度數減去變換的自由度數。射影變換分解射影變換的分解：381D射影幾何x’=H2X2x3個自由度，由3組對應點來確定。交比：1D射影幾何x’=H2X2x39共點線共點線是直線上共線點的對偶。任何四條共點線都有一個確定的交比。共點線共點線是直線上共線點的對偶。任何四條共40從圖像恢復仿射和度量性質無窮遠線：(0,0,1)T在射影變換H下，無窮遠直線l為不動直線的充要條件是H是仿射變換。（在仿射變換下，l不是點點不動的）如果無窮遠直線的像是l=(l1,l2,l3)T，假定l3不為0，那么把l映射回無窮遠處的一個合適的射影變換是從圖像恢復仿射和度量性質無窮遠線：(0,0,1)T41仿射矯正消影線l的確定：1.由平行線的影像的交點來計算。2.給定一條直線上已知長度比的兩個線段，該直線上的無窮遠點便可以確定(利用交比）。1）a，b，c坐標分別是0，a，a+b。2）a’，b’，c’坐標分別是0，a’，a’+b’。3）計算1D射影變換H2X24）在變換H2X2下無窮遠的像可以求出。3.消影點可以用幾何作圖的方法得到。仿射矯正消影線l的確定：42虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠直線上有兩個不動點。他們是虛圓點。I=(1,i,0)T,J=(1,-i,0)T在射影變換H下，虛圓點為不動點的充要條件是H是相似變換。與虛圓點對偶的二次曲線C*=IJT+JIT。C*是由這兩個虛圓點構成的退化的線二次曲線。在歐氏坐標系下對偶二次曲線C*在射影變換H下不變的充要條件是H是相似變換。虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠直線上有兩個不動點。他們43射影平面上的夾角此夾角在射影變換下不變。一旦二次曲線C*在射影平面上被辨認，那么歐氏角便可以用上式測量。如果，則直線l和m正交。長度比：一旦C*被辨認，長度比可以測量。可以通過測量角度獲長度比。射影平面上的夾角44由圖像恢復度量性質C*’=(HPHAHS)C*(HPHAHS)T=(HPHA)(HSC*HST)(HATHPT)=(HPHA)C*(HATHPT)射影成分V和仿射成分K可以直接由C*的像確定。在射影平面上，一旦C*被辨認，那么射影失真可以矯正到相差一個相似變換。利用SVD，相差一個相似變換的矯正射影變換為H=U-1。由圖像恢復度量性質C*’=(HPHAHS)C*(HPHAHS45射影變換的分解逆變換是相同性質的變換，且矩陣結構相同，所以這里的矩陣的參數與上面的不同射影變換的分解46度量矯正11.假定一幅圖像已經仿射矯正（V=0）：假設圖像中的直線l’和m’與世界平面上的一對垂直線l和m對應，則它是關于2X2矩陣S=KKT的線性約束，矩陣S是齊次對稱矩陣，有2個自由度,公式化簡為度量矯正11.假定一幅圖像已經仿射矯正（V=0）：47度量矯正1其中S=(s11,s12,s22)T是S的三維矢量形式。兩個這樣的正交直線對能提供兩個約束，這樣，在相差一個尺度因子的情況下獲得S,并進一步獲得K。補充：1）一個圓的影像：其像在仿射矯正過的圖像中是橢圓，該橢圓和無窮遠直線的交點直接確定被影像的虛圓點。2）兩個已知的長度比：度量矯正148度量矯正2這里我們從平面的原有透視圖像入手，假定直線l和m是世界平面上兩正交直線的像，則lTC*m=0c=(a,b,c,d,e,f)T是C*的二次曲線矩陣的6維矢量形式。5個這樣的約束聯合起來，形成一個5X6矩陣，使得c和C*作為其零矢量求得。度量矯正2這里我們從平面的原有透視圖像入手，假定49二次曲線的其他性質1.點x和二次曲線C定義一條直線l=Cx。l稱為x關于C的極線，而點x稱為l關于C的極點。2.點x關于二次曲線C的極線l=Cx與C交于兩點，C的過這兩點的兩條切線相交于x。3.如果點x在C上，則它的極線就是二次曲線過x點的切線。4.如果點y在極線l=Cx上，則yTl=yTCx=0。滿足yTCx=0的任何兩點x，y稱為關于二次曲線C共軛。5.如果x在y的極線上，那么y也在x的極線上。二次曲線的其他性質1.點x和二次曲線C定義一條直線l=Cx。50二次曲線分類1.二次曲線的射影標準形式：因為C是對稱矩陣，所以有實特征值并可分解為乘積C=UTDU,其中U是正交矩陣，而D是對角矩陣。以射影變換U作用于二次曲線C，則C變成另一條二次曲線C’=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D這表明任何二次曲線都攝影等價于一個由對角矩陣表示的二次曲線。令其中或0且則D可以寫為其中用變換