數(shù)學(xué)物理方法柱函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法柱函數(shù)1柱函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)貝塞爾方程本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題一般柱面問題本章小結(jié)柱函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)2柱函數(shù)的基本性質(zhì)m階柱函數(shù)定義：分類：m階貝塞爾函數(shù)m階諾伊曼函數(shù)m階漢克爾函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)m階柱函數(shù)分類：3柱函數(shù)的基本性質(zhì)柱函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)諾伊曼函數(shù)柱函數(shù)的性質(zhì)對稱性對整數(shù)階柱函數(shù)有Zm(-x)=(-1)mZm(x)漸近性質(zhì)零點分布遞推公式柱函數(shù)的基本性質(zhì)柱函數(shù)的圖象4貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)的圖象5諾伊曼函數(shù)的圖象諾伊曼函數(shù)的圖象6柱函數(shù)的漸近性質(zhì)x→0時的行為：x→∞時的行為：柱函數(shù)的漸近性質(zhì)x→0時的行為：x→∞時的行為：7柱函數(shù)的零點分布由漸近公式，在x較大時由圖象：m階貝塞爾函數(shù)有無限多個正零點相鄰階貝塞爾函數(shù)的正零點交替出現(xiàn)第一個正零點的大小隨著貝塞爾函數(shù)的階數(shù)增加柱函數(shù)的零點分布由漸近公式，在x較大時由圖象：相鄰階貝塞8柱函數(shù)的遞推公式基本遞推公式推論二推論一柱函數(shù)的遞推公式基本遞推公式推論二推論一9遞推公式的證明遞推公式的證明10遞推公式的應(yīng)用遞推公式的應(yīng)用11遞推公式的應(yīng)用例題1例題2例題4例題3例題5遞推公式的應(yīng)用例題1例題2例題4例題3例題512貝塞爾方程的本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解一般本征值問題本征值問題本征值和本征函數(shù)正交性和完備性典型本征值問題有界和第一類邊界條件有界和第二類邊界條件兩邊第一類邊界條件貝塞爾方程的本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解13轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解14一般本征值問題本征值問題：令x=kρ,y(x)=R(ρ),問題化為：一般本征值問題本征值問題：令x=kρ,y(x)=15本征值和本征函數(shù)泛定方程的通解為：根據(jù)邊界條件可以得出本征值：本征函數(shù)為：本征值和本征函數(shù)泛定方程的通解為：根據(jù)邊界條件可以得出本征值16正交性和完備性模正交性完備性廣義傅立葉系數(shù)為正交性和完備性模正交性完備性廣義傅立葉系數(shù)為17有界和第一類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性和模：有界和第一類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性18有界和第一類邊界條件完備性：廣義傅立葉系數(shù)：有界和第一類邊界條件完備性：廣義傅立葉系數(shù)：19有界和第一類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[0,b]區(qū)間用m階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[020有界和第一類邊界條件例2：把函數(shù)f=ρm在[0,b]區(qū)間用m階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例2：把函數(shù)f=ρm在[0,b]21有界和第一類邊界條件例3：把函數(shù)f=ρ2在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例3：把函數(shù)f=ρ2在[0,b]22有界和第二類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性和模：有界和第二類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性23有界和第二類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第二類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[024有界和第二類邊界條件例2：把函數(shù)f=1在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第二類邊界條件例2：把函數(shù)f=1在[0,b]25兩邊第一類邊界條件本征值問題為：代入邊界條件：通解為：非零解條件：兩邊第一類邊界條件本征值問題為：代入邊界條件：通解為：非零解26轉(zhuǎn)動對稱柱面問題軸對稱柱面問題(m=0時的特例)熱傳導(dǎo)問題波動問題穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題熱傳導(dǎo)問題波動問題穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題軸對稱柱面問題(m=0時的特例)27軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題1半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫度分布為f=b2–ρ2，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題1半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為28軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題2半徑為b的無限長圓柱體，柱面上絕熱，初始溫度分布為f=Aρ2

，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題2半徑為b的無限長圓柱體，柱面上絕熱，29軸對稱波動問題例題3半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是旋轉(zhuǎn)拋物面f=b2–ρ2，初始速度為零，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。軸對稱波動問題例題3半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是30軸對稱波動問題例題4半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始位移為零，初始速度為f=δ(ρ-c)，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。軸對稱波動問題例題4半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始位移為31軸對稱穩(wěn)定問題例題5半徑為b，高為L的圓柱體，下底和側(cè)面都保持零度，上底的溫度分布為ρ2，求柱內(nèi)的穩(wěn)恒溫度分布。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。軸對稱穩(wěn)定問題例題5半徑為b，高為L的圓柱體，下底和側(cè)面都32軸對稱穩(wěn)定問題例題6半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面電勢保持為零，上底的電勢為A，下底的電勢分布為Bρ2，求柱內(nèi)的電勢分布。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。軸對稱穩(wěn)定問題例題6半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面電勢保持33轉(zhuǎn)動對稱熱傳導(dǎo)問題例題7半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫度分布為f=Aρcosφ，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動對稱熱傳導(dǎo)問題例題7半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度34轉(zhuǎn)動對稱波動問題例題8半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是ρ2sin2φ，初始速度為零，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動對稱波動問題例題8半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀35轉(zhuǎn)動對稱穩(wěn)定問題例題9半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面和上底保持零度，下底的溫度分布為Aρsinφ，求柱內(nèi)的穩(wěn)恒溫度分布。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動對稱穩(wěn)定問題例題9半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面和上底36一般柱面問題思路先把非對稱的條件分解為三角函數(shù);含三角函數(shù)的條件求出對稱柱面解;再對所得對稱柱面解進(jìn)行疊加。一般熱傳導(dǎo)問題一般波動問題一般穩(wěn)定問題一般柱面問題思路37一般熱傳導(dǎo)問題半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫度分布為f(ρ,φ)，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。一般熱傳導(dǎo)問題半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫38一般波動問題半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是f(ρ,φ)，初始速度為零，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。一般波動問題半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是f(ρ39一般穩(wěn)定問題解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面和上底保持零度，下底的溫度分布為f(ρ,φ)，求柱內(nèi)的穩(wěn)恒溫度分布。一般穩(wěn)定問題解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，40本章小結(jié)一般柱面問題可以分解為對稱柱面問題的疊加；對稱柱面問題可以分離出貝塞爾方程的本征問題;貝塞爾本征問題本征函數(shù)為柱函數(shù)，本征值由有界或齊次邊界條件確定;典型的柱函數(shù)有貝塞爾函數(shù)和諾伊曼函數(shù)，它們的對稱性質(zhì)、遞推性質(zhì)、漸近性質(zhì)和零點分布等對于柱面問題的求解有重要作用。本章小結(jié)一般柱面問題可以分解為對稱柱面問題的疊加；41數(shù)學(xué)物理方法柱函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法柱函數(shù)42柱函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)貝塞爾方程本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題一般柱面問題本章小結(jié)柱函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)43柱函數(shù)的基本性質(zhì)m階柱函數(shù)定義：分類：m階貝塞爾函數(shù)m階諾伊曼函數(shù)m階漢克爾函數(shù)柱函數(shù)的基本性質(zhì)m階柱函數(shù)分類：44柱函數(shù)的基本性質(zhì)柱函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)諾伊曼函數(shù)柱函數(shù)的性質(zhì)對稱性對整數(shù)階柱函數(shù)有Zm(-x)=(-1)mZm(x)漸近性質(zhì)零點分布遞推公式柱函數(shù)的基本性質(zhì)柱函數(shù)的圖象45貝塞爾函數(shù)的圖象貝塞爾函數(shù)的圖象46諾伊曼函數(shù)的圖象諾伊曼函數(shù)的圖象47柱函數(shù)的漸近性質(zhì)x→0時的行為：x→∞時的行為：柱函數(shù)的漸近性質(zhì)x→0時的行為：x→∞時的行為：48柱函數(shù)的零點分布由漸近公式，在x較大時由圖象：m階貝塞爾函數(shù)有無限多個正零點相鄰階貝塞爾函數(shù)的正零點交替出現(xiàn)第一個正零點的大小隨著貝塞爾函數(shù)的階數(shù)增加柱函數(shù)的零點分布由漸近公式，在x較大時由圖象：相鄰階貝塞49柱函數(shù)的遞推公式基本遞推公式推論二推論一柱函數(shù)的遞推公式基本遞推公式推論二推論一50遞推公式的證明遞推公式的證明51遞推公式的應(yīng)用遞推公式的應(yīng)用52遞推公式的應(yīng)用例題1例題2例題4例題3例題5遞推公式的應(yīng)用例題1例題2例題4例題3例題553貝塞爾方程的本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解一般本征值問題本征值問題本征值和本征函數(shù)正交性和完備性典型本征值問題有界和第一類邊界條件有界和第二類邊界條件兩邊第一類邊界條件貝塞爾方程的本征值問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解54轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解轉(zhuǎn)動對稱柱面問題的分解55一般本征值問題本征值問題：令x=kρ,y(x)=R(ρ),問題化為：一般本征值問題本征值問題：令x=kρ,y(x)=56本征值和本征函數(shù)泛定方程的通解為：根據(jù)邊界條件可以得出本征值：本征函數(shù)為：本征值和本征函數(shù)泛定方程的通解為：根據(jù)邊界條件可以得出本征值57正交性和完備性模正交性完備性廣義傅立葉系數(shù)為正交性和完備性模正交性完備性廣義傅立葉系數(shù)為58有界和第一類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性和模：有界和第一類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性59有界和第一類邊界條件完備性：廣義傅立葉系數(shù)：有界和第一類邊界條件完備性：廣義傅立葉系數(shù)：60有界和第一類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[0,b]區(qū)間用m階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[061有界和第一類邊界條件例2：把函數(shù)f=ρm在[0,b]區(qū)間用m階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例2：把函數(shù)f=ρm在[0,b]62有界和第一類邊界條件例3：把函數(shù)f=ρ2在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第一類邊界條件例3：把函數(shù)f=ρ2在[0,b]63有界和第二類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性和模：有界和第二類邊界條件本征值問題為：本征值和本征函數(shù)為：正交性64有界和第二類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第二類邊界條件例1：把函數(shù)f=δ(ρ-c)在[065有界和第二類邊界條件例2：把函數(shù)f=1在[0,b]區(qū)間用0階貝塞爾函數(shù)展開。有界和第二類邊界條件例2：把函數(shù)f=1在[0,b]66兩邊第一類邊界條件本征值問題為：代入邊界條件：通解為：非零解條件：兩邊第一類邊界條件本征值問題為：代入邊界條件：通解為：非零解67轉(zhuǎn)動對稱柱面問題軸對稱柱面問題(m=0時的特例)熱傳導(dǎo)問題波動問題穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題熱傳導(dǎo)問題波動問題穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)動對稱柱面問題軸對稱柱面問題(m=0時的特例)68軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題1半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫度分布為f=b2–ρ2，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題1半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為69軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題2半徑為b的無限長圓柱體，柱面上絕熱，初始溫度分布為f=Aρ2

，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。軸對稱熱傳導(dǎo)問題例題2半徑為b的無限長圓柱體，柱面上絕熱，70軸對稱波動問題例題3半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是旋轉(zhuǎn)拋物面f=b2–ρ2，初始速度為零，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。軸對稱波動問題例題3半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是71軸對稱波動問題例題4半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始位移為零，初始速度為f=δ(ρ-c)，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。軸對稱波動問題例題4半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始位移為72軸對稱穩(wěn)定問題例題5半徑為b，高為L的圓柱體，下底和側(cè)面都保持零度，上底的溫度分布為ρ2，求柱內(nèi)的穩(wěn)恒溫度分布。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。軸對稱穩(wěn)定問題例題5半徑為b，高為L的圓柱體，下底和側(cè)面都73軸對稱穩(wěn)定問題例題6半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面電勢保持為零，上底的電勢為A，下底的電勢分布為Bρ2，求柱內(nèi)的電勢分布。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，下底中心為原點，建立柱坐標(biāo)。軸對稱穩(wěn)定問題例題6半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面電勢保持74轉(zhuǎn)動對稱熱傳導(dǎo)問題例題7半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度為零，初始溫度分布為f=Aρcosφ，確定柱內(nèi)溫度u的變化。解：以圓柱體的對稱軸為z軸，建立柱坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動對稱熱傳導(dǎo)問題例題7半徑為b的無限長圓柱體，柱面上溫度75轉(zhuǎn)動對稱波動問題例題8半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀是ρ2sin2φ，初始速度為零，求膜的振動情況。解：以圓形膜的中心為原點，建立極坐標(biāo)。轉(zhuǎn)動對稱波動問題例題8半徑為b的圓形膜，邊緣固定，初始形狀76轉(zhuǎn)動對稱穩(wěn)定問題例題9半徑為b，高為L的圓柱體，側(cè)面和上底保持零度，下底的溫