第二講計算專題益思對話羅馬切夫斯基（Lobachevsky.1792-1856），俄羅斯數學家、教育家，在數學上，他獨立發展非歐幾何、Dandelin-Graffe方法，自1811年，他便在喀山大學任教，并曾任校長，他教授了許多數學、物理和天文的課程，以講解清晰、詳細著稱，1893年，在喀山大學樹立了世界上第一個為數學雕塑的塑像，這位數學家就是羅馬切夫斯基.簡便算法一天，俄國老師拉欽斯基在課堂上出這樣一道題，有無簡便算法？當學生們經過一番思考而一籌莫展時，拉欽斯基給出了自己的算法：無獨有偶，愛因斯坦有一次生病在床，一位朋友去看他，為了解悶，那位朋友信口出了一道算題愛因斯坦立即答道“8701824”.他是如何解答的呢？原來愛因斯坦發現2976與2924兩數前兩位均為29，后兩位之和為76+24=100.而這樣的算式有速算法其實上述結論我們不難從下面的幾何事實中得到解釋（如下圖）.益思互動1.運算律加法交換律；加法結合律；乘法交換律；乘法結合律；乘法分配律.2.運算順序先乘除后加減；有括號的，先算括號內的，后算括號外的.益思練場1..2..3..4..5..6..益思精析類型一：去括號法【例1】【變式1】類型二：變換優先法【例2】【變式2】類型三：結合優先法【例3】（1）（2）【變式3.1】【變式3.2】類型四：整體代入法【例4】=.【變式4.1】【變式4.2】類型五：裂項相消法【例5】（1）（2）（3）【變式5.1】【變式5.2】【變式5.3】.類型六：放縮法LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK5"\a\r【例6】LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK6"\a\r的整數部分是多？【變式6】的整數部分是多少？益思拓展A.夯實基礎1.2.3.B.能力拓展4.5.6.C.綜合創新7.LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK8"\a\r8.9.LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK9"\a\r10.的整數部分是多少?第三講數論專題（一）整除、帶余除法益思對話函數概念認識（1）——代數觀念下的函數約翰·貝努利是巴塞爾大學醫學博士.歷任荷蘭格羅根大學和巴塞爾大學教授.曾被選為法蘭西科學院院士和英國皇家學會會員.在微積分學、微分方程論、變分法、幾何學和力學等方面都有貢獻.首先將函數概念規定為由變量和常量組成的解析表達式.1696年提出最速降落線問題，與其兄雅科布一起奠定了變分法的基礎.1715年給出空間坐標的定義，研究了多種特殊曲線.1742年出版《積分學教程》一書，系統的闡述了微積分學.1718年的約翰·貝努利（瑞士，1667-1748）在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量.”他的意思是凡變量和常量構成的式子都叫做的函數，并強調函數要用公式來表示.1755年，歐拉（L．Euler，瑞士，1707－1783）把函數定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數.”他把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代表函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”.不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.以上是18世紀的函數概念.益思互動具有整除的數的特點：（1）被2整除：末位數字能被2整除的數必能被2整除，即末位數字是0、2、4、6、8的數能被2整除.（2）被4整除：末位兩位數字組成的兩位數能被4整除，則該數必能被4整除.（3）被8整除：末三位數字組成的三位數能被8整除，則該數必能被8整數.（4）被3整除：各位數字之和能被3整除，則該數能被3整除.（5）被5整除：末位數字是0或5的數必能被5整除.（6）被9整除：各位數字之和能被9整除，則該數能被9整除.（7）被7、11或13整除：末三位數字與末三位以前的數字的差（以大減小）能被7、11或13整除，那么這個數必能7、11或13整除.（8）被11整除：奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（以大減小）能被11整除，那么這個數必能被11整除.益思練場1.在下面各組數中，哪一組的第一個數能被第二個數整除.（）A.26和13B.35和17C.210和4 D.5.6和82.一個三位數，它的各位數字之和是8，它能被5整除，寫出符合條件的三位數.3.有一個四位數能能被9整除，求的值.4.求除以的余數.5.2011年“五·一勞動節”是星期天，2012年的“五·一勞動節”是星期幾？6.能被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整數是多少？益思精析類型一：數的整除性問題【例1】（1）在（）內填上一個合適的數字，使下面的數能被3整除.A.8（）4597 B.（）8（）C.7（）82 D.4509（）7（2）在（）內填上合適的數，使下面的數能被25整除.A.1000（） B.17（）（）C.257（）D.4（）5（）【變式1.1】判斷下列各數，哪些能被4整除，并說明理由.25217242512420008256【變式1.2】從1到3998這3998個正整數中，有多少個數能被4整除？類型二：整除性特征問題【例2】六位數能被3、4、5整除，要使這六位數盡可能小，求的值.【變式2.1】某個七位數能同時被5、8、9整除，那么它的最后三位數分別是多少？LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK11"\a\r【變式2.2】五位數能同時被3、7、11整除，則類型三：同余問題中求被除數問題【例3】一個大于1的整數，除300、262、205，得到相同的余數，這個整數是多少？【變式3.1】有一個大于1的整數，它除381、210、286的余數相同，這個整數是多少？【變式3.2】一個數除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合此條件的最小自然數.類型四：同余問題，求余數問題【例4】兩個數被13除分別余7和10，這兩個數的和被13除余幾？LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【變式4.1】自然數除以5余2，自然數B除以5余3，那么A和B的和除以5余幾？LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【變式4.2】如果兩個數被3除都余2，那么他們的積被3除，余數是多少？類型五：實際問題中的余數類LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【例5】今天是星期日，再過39天是湖南省培訓聯盟會召開的日子，那么湖南省培訓聯盟年會是星期幾？LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【變式5.1】求下列各式的余數：（1）（2）LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【變式5.2】今天是星期六，求再過天后的一天是星期幾？類型六：求被除數問題LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【例6】一個兩位數除253，得到的余數是43，求這個兩位數.LINKWord.Document.8"E:\\2012年思齊打字.doc""OLE_LINK12"\a\r【變式6】小平在一次除法計算中，把被除數錯寫成，結果商少了3而余數恰好不變，這題中的除數是多少？益思拓展A.夯實基礎1.在（）內填上合適的一個數字，使得下面的數能被9整除.A．222（） B．5（）（）44C．4（）18（）7 D．6212（）12.有一個數為，請問這個數能被9整除嗎？3.已知整數能被11整除，求值.B.能力拓展4.一個六位數，它能被9和11整除，去掉這個六位數的首尾兩個數字，那么這樣的六位數剩下的四位數為1997，這個六位數是多少？5.某個七位數1993（）（）（）能夠同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后的三位數字依次是什么？6.求被4除的余數.7.兩個自然數被7除分別余2和4，則求這兩個數的和除以7余幾？8.69，90和125被某個大于1的正整數N除時，余數相同，試求N的值.C.綜合創新9.將分別寫有數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9的九張卡片排成一排，發現恰是能被11整除的最大的九位數，試求這個數.10.一個正整數除以5、7、9及11的余數依次是1、2、3、4，請問滿足上述條件的最小的正整數是多少？

第四講數論專題（二）益思對話希臘幾何學（1）——柏拉圖學園柏拉圖（公元前427-前347）是古希臘數學哲學家、數學教育家，原名阿里斯托勒斯（Aristocles），卻又何以改稱“柏拉圖”？溯其源，阿里斯托勒斯自幼身體強壯，胸寬肩闊.因此體育老師就替他取了“柏拉圖”一名，“柏拉圖”希臘語意為“寬闊”.后來，柏拉圖的名字被延用下來，流行至今.柏拉圖出身于雅典貴族（他的母親是雅典立法者梭倫的后裔），青年時師從蘇格拉底.蘇格拉底死后，他游歷四方，曾到埃及、北非、小亞細亞沿岸和意大利南部從事政治活動，企圖實現他的貴族政治理想.公元前387年后，柏拉圖回到雅典，在一所稱為阿卡德米（Academy）的體育館附近建立了一所學園，此后執教40年，直至逝世.他一生著述頗豐，其教學思想主要集中在《理想國》（TheRepublic）（又譯作《國家篇》）和《法律篇》中.柏拉圖創建他的“學園”（Academy），在數學上的成就和貢獻是多方面的，他的認識論、數學哲學和數學教育思想對于古希臘科學的形成和數學的發展，具有不可磨滅的推進作用，柏拉圖還闡明了負數的概念，對偶數、圖形等定義也有深入的研究，作為數學教育家，柏拉圖被教學史家稱為“數學家的創造者”，他悉心研究傳授數學的思想方法，大力倡導普及數學教育，極力鼓勵探索新領域，吸引了許多有才智之士，柏拉圖學園中產生了不少數學家，亞里士多德就是他的得意門生.益思互動約數、倍數：如果數A能被數B整除（B不為零），A就叫做B的倍數，B就叫做A的約數（或因數、因子），倍數和約數是相互依存的.公約數：幾個數公有的約數叫做這幾個數的公約數，一個數的約數的個數是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身，例如在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公約數.公倍數：幾個數公有的倍數叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，一個數的倍數是無限的，幾個數的公倍數也是無限的.所有的整數被分成奇數和偶數，奇數偶數的一些性質是很明顯的；奇數+奇數=偶數偶數+偶數=偶數奇數+偶數=奇數奇數×奇數=奇數偶數×偶數=偶數奇數×偶數=偶數如果整數和同為奇數或同為偶數，我們就說和有相同的奇偶性，巧妙地利用奇偶性，可以解決許多有趣的問題.益思練場1.求下列各組數的最大公約數：12，15，30 30，24，4248，32，56 30，20.，272.求下列各組數的最小公倍數：2，4，6 12，15，303，7，13 16，24，563.325×472×765×895末尾有多少個零？4.一個長方形操場的長為60米，寬為42米，學校為了開運動會，要分配旗手站在操場的外圍，要求4個角上要站有旗手且每個旗手之間的距離要相等，那么每個旗手之間的距離要取多長才能使需要的旗手最少？5.兩個數的最大公約數是3，最小公倍數是30，其中的一個數是6，那么另外一個數是多少？6.在1、2、3……、10這10個數前面任意的添加“+”或“”，那么最后的運算結果是奇數還是偶數？益思精析類型一：最大公約數【例1】有三根長繩，分別長24米、60米和42米，現在要把這些長繩截成盡可能長而又相等的小段，請問能截成多少段？【變式1.1】思齊學校初一（1）（2）（3）班分別有人數42，48，60人，年級組要求在各個班分學習小組，要求整個年級分得的每個小組人數要相同，請問每個學習小組最多能有多少個人？【變式1.2】有三根鐵絲，分別長3米、4.44米和5.16米，把它們截成同樣長且盡可能長的整厘米小段（不許剩余），每小段折成1個小正方形，然后將這些小正方形混放在一起拼成一個長方形（每拼一次都必須全部用上這些小正方形），這樣可能拼成的長方形有幾種？類型二：最小公倍數【例2】一個圓形球場的周長是60米，從圓周的某一點開始，沿著圓周每隔16米取一點，直到與原始點重合為止，圓周上共取了多少個點？【變式2.1】甲每三個星期理發一次，乙每27天理發一次，已知4月1日甲理發，4月7日乙理發，那么他們以后在同一天理發的最近日期是幾月幾號？【變式2.2】電力部門要在一條新開的馬路一邊安裝電線桿，在432米的路邊每隔24米挖了一個坑，后來又重新設計，改為每隔36米豎一根電線桿，請你算一算，有多少個坑可以保留，要重新挖多少個坑？類型三：末尾“0”模型【例3】325×472×765×895×A的積的最后六位都是“0”，那么A最小是多少？【變式3】1×2×3×4×…×50得到的數，末尾有幾個零？類型四：利用最大公約和最小公倍數求自然數【例4】兩個自然數的最大公約數是6，最小公倍數是72，已知其中一個自然數是18，求另一個自然數.【變式4.1】兩個自然數的最大公約數是7，最小公倍數是210，這兩個自然數的和是77，求這兩個自然數.【變式4.2】老師在黑板上寫下三個數108，396，A，讓同學們求他們的最小公倍數，小馬虎誤將108當作180進行計算，結果竟與正確答案一致，問A最小等于幾？類型五：含分數的最大公約數【例5】求的最大公約數.【變式5.1】有甲乙丙三種溶液，分別重千克，千克，千克，現在要將它們全部分別裝在小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同，請問每瓶最多裝多少千克？【變式5.2】狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳米，黃鼠狼每次跳米，它們每次都只跳一次，比賽途中，從起點開始，每隔米設有一個陷阱，它們之中誰先掉入陷阱？它掉入陷阱中另一個跳了多遠？類型六：奇數與偶數【例6】袋中放有51個白球和100個黑球，小明每次從中任意摸兩個球放在外面，如果是同色球，小明就放一個黑球到袋中，如果是異色球則將白色球放回，小明從袋中摸了149次后，袋中還剩幾個球？它們是什么顏色？

【變式6.1】一次數學考試共有30題，規定答對一題得5分，答錯一題扣1分，未答題得一分，請說明：該班同學得分總和一定是偶數.【變式6.2】A、B、C、D、E、F、G七盞燈各自裝有一個拉線開關，開始B、D、F亮著，一個小朋友按從A到G，再從A到G的順序依次拉開關，一共拉了2000次，這時亮著的燈是多少盞燈？益思拓展A.夯實基礎1.（1）求下列各組數的最大公約數.10，12，15 84，64，36 24，42，60（2）求下列各組數的最小公倍數. 10，12，15 20，32，18 24，42，602.環衛部門計劃在路邊隔6米栽一棵樹，他們先在每個要栽樹的位置做了一個記號，連兩端共做了21個記號；后來發現兩棵樹之間的距離過大，要改成每隔4米栽1棵，還需要新做多少個記號？3.975×935×932×（），要使這個乘積的最后四位數字都是0，括號里最小應該填什么數？4.兩個自然數的最大公約數是12，最小公倍數是72，滿足條件的自然數有哪幾組？B.能力拓展5.排練團體操時，要求隊伍變成10行、15行、18行、24行時，隊形都能成為長方形，問最少需要多少人參加團體操的排練？6.從運動場一端到另一端全長96米，每隔4米插一面紅旗，現在改成每隔6米插一面紅旗，問有多少面紅旗不必拔出來？7.已知兩個自然數的差為2，他們的最大公約數與最小公倍數之和為86，求這兩個自然數.8.某班學生畢業后相約彼此通信，每兩個人之間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信，問：寫了奇數封信的畢業生人數是奇數還是偶數.C.綜合創新9.，都是自然數，求的最小值.10.三條圓形跑道，圓心都在操場中心的旗桿處，甲、乙、丙三人分別在里圈、中圈、外圈沿同樣的方向開始跑步，開始時三個人都在旗桿的正東方向，里圈、中圈、外圈跑道分別長千米、千米、千米，甲、乙、丙三人的速度每小時分別為3千米、4千米、5千米，問三人同時出發后，經過幾小時第一次同時回到出發點？

第五講列方程解應用題益思對話歐拉（Euler.1707-1783），瑞士數學家歐拉是18世紀數學研究的中心人物，他研究的范圍幾乎涉及當時所有的數學領域：微積分學、微分方程解析幾何、微分幾何寺等.1737年，歐拉首次提倡用π表示圓周率：爾后，他又用e來表示自然對數的底等等.數學中的不少定理、公式是以歐拉命名的.他是一位多產的數學大師.農婦與雞蛋研究工作之余，歐拉總喜歡去附近的農貿市場逛逛.市場上的商販們都認識這位大名鼎鼎的數學家，一天，兩名賣雞蛋的農婦見到歐拉，她們想為難一下這位其貌不揚的學者.當歐拉問及她倆今天的收獲時，兩人答道：她們帶來100個雞蛋，雖然兩人的售價不一樣，雞蛋個數也不同，可賣得的錢數相同.農婦甲說：“如果乙的雞蛋讓我賣，可賣得15個硬幣.”農婦乙說：“如果甲的雞蛋讓我賣，只能賣得個硬幣.”“歐拉先生，”兩個農婦齊聲問道：“我們各自帶來多少雞蛋？”歐拉撓了一下稀疏的頭發，又閉目心算一陣：“你（指著甲）有40個雞蛋；你（指著乙）有60個雞蛋.”兩農婦佩服至極.歐拉是這樣算的：設乙的雞蛋為甲的倍，因為她們賣得的錢數一樣，知甲的雞蛋售價是乙的倍.如果兩人手中的雞蛋交換一下再售，這時甲賣得的錢應是乙的倍.這就是說，，得.100按2:3的比例分，知甲有雞蛋40個，乙有雞蛋60個.益思互動一、問題類型：和、差、倍、分問題（1）倍數關系，通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加到百分之幾，增長率……”來體現.（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現.二、列一元一次方程解應用題步驟有哪些？（1）設未知數，一般問什么設什么；（2）尋找相等關系（畫出來）；（3）把各個數量關系用含有未知數的代數式表示出來；（4）根據相等關系列方程；（5）解方程；（6）寫出答案.益思練場1.三角形的一邊長為，第二邊比第一邊長，第三邊是第一邊長的倍，用代數式表示這個三角形的周長.2.一輛汽車，每小時行駛千米，上午行駛4小時，下午行駛了千米.（1）用式子表示這輛汽車行駛的千米數.（2）當時，這輛汽車行駛了多少千米？3.有甲、乙兩缸金魚，甲缸的金魚條數是乙缸的一半，如從乙缸里取出9條金魚放入甲缸，這樣兩缸魚的條數相等，求甲缸原有的金魚多少條？4.熊貓電視機廠生產一批電視機，如果每天生產40臺，要比原計劃多生產6天，如果每天生產60臺，可以比原計劃提前4天完成，求原計劃的生產時間和這批電視機的總臺數.5.甲倉存糧32噸，乙倉存糧57噸，以后甲倉每天存入4噸，乙倉每天存入9噸，請問幾天后乙倉存糧是甲倉的2倍？6.汽車從甲地到乙地，去時每小時行60千米，比計劃時間早到1小時；返回時，每小時行40千米，比計劃時間遲到1小時，求甲乙兩地的距離.益思精析類型一：和、差、倍問題 【例1】減去一個數，所得差與1.35加上的和相等，求這個數. 【變式1】某數的比它的倍少11，求這個數. 【例2】甲有書的本數是乙有書的本數的3倍，甲、乙兩人平均每人有82本書，求甲、乙兩人各有書多少本. 【變式2】今年爸爸的年齡是小明的4倍，爺爺的年齡是小明的7倍，三人共96歲，則小明、爸爸、爺爺今年多少歲？ 【例3】一個兩層書架，上層放的書是下層的3倍，如果把上層的書搬60本到下層，那么兩層的書一樣多，求上、下層原來各有書多少本. 【變式3】甲車間的員工是乙車間的2倍，從乙車間調10個員工到甲車間，此時甲車間是乙車間的人數的3倍少2人，則甲、乙車間原來各有多少人？ 【例4】已知籃球、足球、排球平均每個36元，籃球比排球每個多10元，足球比排球每個多8元，每個足球多少元？ 【變式4】在一次期中測試中，齊思同學語文、數學、英語三門課程的平均成績是88分，其中數學比語文多6分，英語比語文少9分，請問你知道齊思同學的數學成績是多少嗎？類型二：贏虧問題 【例5】媽媽買回一筐蘋果，按計劃天數，如果每天吃4個，則多出48個蘋果，如果每天吃6個，則又少8個蘋果，問：媽媽買回蘋果多少個？計劃吃多少天？【變式5】汽車若干輛裝運一批貨物，如果每輛裝3.5噸，這批貨物就有2噸不能運走，如果每輛裝4噸，裝完這批貨物后.還可以裝1噸貨.這批貨物有多少噸?類型三：比例問題 【例6】一塊長方形的地，長和寬的比是5：3，長比寬多24米，這塊地的面積是多少平方米？ 【變式6】某車間有77個工人，已知每個工人平均每天可以加工甲種零件5個或乙種零件4個，或丙種零件3個，但加工3個甲種零件，1個乙種零件和9個丙種零件才恰好配成一套，問：應安排生產甲、乙、丙種零件各多少人時，才能使生產的三種零件恰好配套？益思拓展A.夯實基礎1.加上一個數，所得的和與3.2的差為3，求這個數.2.今年爺爺78歲，三個孫子的年齡分別是27歲，23歲、16歲，經過幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡和？3.姐姐和弟弟都參加了集郵，姐姐集的郵票的張數比弟弟的多160張，姐姐集的郵票的張數又恰好是弟弟的2倍，問：姐姐和弟弟各集了多少張郵票？B.能力拓展4.甲、乙兩個糧倉存糧數相等，從甲倉運出130噸、從乙倉運出230噸后，甲糧倉剩糧是乙糧倉剩糧的3倍，原來每個糧倉各存糧多少噸？5.小張和王強一起跳繩，小張先跳了2分鐘，然后兩人共同跳了3分鐘，一共跳了780下，已知小張比王強每分鐘多跳12下，那么小張比王強一共多跳了多少下？6.一個兩位數，十位數是個位數的2倍，將個位數與十分數字調換，得到一個新的兩位數，這兩個兩位數的和是132，求這個兩位數.7.某圖書館原有科技書，文藝書共有630本，其中科技書占20%，后來又買進一些科技書，這時科技書占總書數的30%，買進科技書多少本？C.綜合創新8.甲、乙、丙、丁四個人共做零件270個，如果甲多做10個，乙少做10個，丙做的個數乘以2，丁做的個數除以2，那么四人做的零件數恰好相等，問：丙實際做了多少個？9.商店有膠鞋、布鞋共46雙，膠鞋每雙7元，布鞋每雙5元，全部賣出后，膠鞋比布鞋多收入10元，問：膠鞋有多少雙？10.已知每立米的木材可加工成10個桌面或12條桌腿，現有13立方米的木材如何分配才能使桌面和桌腿配套？（已知一個桌面配四條桌腿）

第六講行程問題（一）益思對話楊輝（1127-1279）南宋時期杰出的數學家和數學教育家，被譽為宋元數學四大家之一，他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖并討論其構成規律的數學家．楊輝對籌算乘除捷算法進行了總結和發展，創“縱橫圖”之名，又將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為九類．畢達哥拉斯與萬物皆數“萬物皆數”這句名言揭示了畢達哥拉斯的哲學觀點，他認為世界的基本屬性是數．他告訴學生，每個數字都有其特別的性質．這些性質決定了世上一切事物的特質和表現．“1”并不能簡單地認為是一個數，它體現了所有數的特質．“2”代表了女性以及觀點的差異．“3”代表了男性和認同的和諧．“4”可以形象化地理解成一個正方形，它的四個角和四條邊都相等，代表了一種平等、公正和公平．“5”是“3”與“2”的和，代表了男人和女人的結合，也就是婚姻．通過諸如“公平和公正”以及“一次公平的交易”等言論可以看出，畢達哥拉斯的思想已經成為希臘語文和文化中最常用的一部分了．數字擁有的奇妙性質讓畢達哥拉斯著迷．他稱“7”是一個有趣的數字，因為它是2～10之間唯一一個不能通過乘法得到的數字，或者說它是2～10之間唯一一個不能被分成兩個別的數字的數．像，，和這樣的等式就可以求得2～10這一系列數字，卻唯獨得不到7這個數字．他發現邊長是4的正方形的面積和周長都是16，且只有16這個數字有這個特點．他還發現長和寬分別是6和3的矩形的面積和周長都是18．除此之外，再沒有別的矩形和數字有這樣的特點．畢達哥拉斯認為“l0”是一個神圣的數字，因為它是l，2，3，4的和．而這4個數字正好定義了這個物理世界的所有維度：1個點代表了零維數，2個點確定了一條一維的線，3個點確定了一個=維的角，4個點則確定了一個三維的立體錐體．畢達哥拉斯證明了僅有一個正方形和一個長方形的面積與周長的數值相等．聰明的讀者．你會證明嗎？不妨一試．益思互動一、相遇類型甲從A地到B地，乙從B地到A地．然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A，B之間這段路程，如果兩人同時出發．那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=(甲的速度+乙的速度)×相遇時間=速度和×相遇時間．一般地，相遇問題的關系式為：速度和×相遇時間=路程和，即二、追及類型有兩個人同時行走．一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他，這就產生了“追及問題”，實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程），如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間=（甲的速度-乙的速度）×追及時間=速度差×追及時間.一般地，追及問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差×追及時間，即益思練場1.一列客車和一列貨車同時從兩個車站相對開出，貨車每小時行35千米，客車每小時行45千米，2.5小時相遇，兩車站相距多少千米？2.甲、乙二人分別從相距110千米的兩地相對而行，5小時后相遇，甲每小時行2千米，問乙每小時行多少千米？6.小燕上學時騎車，回家時步行，路上共用分鐘，若往返都步行，則全程需分鐘，問往返都騎車需_____________分鐘.（用、表示）3.兩列火車同時從相距650千米的兩地相向而行，甲列火車每小時行50千米，乙列火車每小時行52千米，4小時后還差多少千米才能相遇？4.某船在靜水中的速度是每小時20千米，它從上游甲地順流開往乙地共花去6小時，水速每小時4千米，問從乙地返回甲地需要多少時間？5.甲、乙兩人從A，B兩地同時出發，相向而行，甲從A地到B地，每小時行米，乙從B地到A地，每小時行米，已知A、B兩地相距1000米，問甲、乙出發________小時后兩個相遇.（用、表示）益思精析類型一：一次相遇問題【例1】甲、乙兩站相距486千米，兩列火車同時從兩站相對開出，5小時相遇，第一列火車比第二列火車每小時快1.7千米，兩列火車每小時的速度各是多少？【變式1.1】兩個縣城相距52.5千米，甲、乙二人分別從兩城同時相對而行，甲每小時行5千米，乙每小時比甲快0.5千米，幾小時后相遇？【變式1.2】東西兩村相距64千米，甲、乙二人同時騎車從東西兩村相對出發，2.5小時相遇，甲每小時行12.5千米，乙每小時比甲快多少千米？類型二：二次相遇問題【例2】快慢兩車同時從甲乙兩站相對出發，快車每小時行60千米，慢車每小時行48千米，兩車相遇后又以原速前進，到達對方站后立即返回，兩車再次相遇時快車比慢車多行24千米，求甲乙兩地距離？【變式2.1】A、B兩地相距960千米，甲車和乙車同時從A地出發駛向B地，甲車每小時行80千米，乙車每小時行60千米，甲車到達B地后修車用了半小時，又以原速返回A地，兩車相遇時距B地多遠？【變式2.2】甲、乙兩人從A、B兩地同時相向而行，甲、乙第一次相遇時距離A地20千米，到達各地后原速返回，第二次相遇時距離B地30千米，求A、B兩地相距多少千米？類型三：環形相遇問題【例3】甲、乙兩人同時從操場上一點A相背而行，甲的速度為5m/s，乙的速度為7m/s，他們從出發到第一次相遇共用了30s，求操場一圈的長？【變式3】如下圖，A、B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點，兩人沿圓弧同時出發反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇，已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長.類型四：簡單追及問題【例4】弟弟以每分鐘50米的速度從家步行去書店，10分鐘后哥哥從家出發騎自行車去追弟弟，結果在離家900米處追上弟弟，求哥哥騎自行車的速度.【變式4】甲以20千米/時的速度從A地到B地，2小時后乙騎摩托車以60千米/時的速度追甲，在A地到B地距離的一半處追上了甲，問A、B兩地相距多遠？類型五：復雜追及問題【例5】A、B兩人跑步，若B先跑20米，則A跑10秒鐘追上B，若B先跑4秒鐘，則A跑8秒鐘就能追上B，A、B二人的速度各是多少？【變式5.1】快慢兩列火車在雙軌鐵路上同時同向出發，快車每秒行20米，慢車每秒行10米，行15秒鐘后，快車超過慢車；如果兩列火車車尾相齊行進，則10秒鐘后快車超過慢車，求兩列火車的車長.【變式5.2】一列隊伍前進的速度不變，隊尾的士兵從隊尾跳到隊首又回到隊尾，發現隊尾前進了75米，已知這士兵跑步的速度是隊伍前進速度的3倍，求這名士兵共跑了多少米？這支隊伍長多少米？類型六：環形追及問題【例6】甲乙兩只兔子繞著圓形池塘玩耍，已知甲跑一圈要15分鐘，乙跑一圈要20分鐘，如果它們分別從直徑的兩端同時出發，那么出發后多少分鐘甲追上乙？【變式6.1】A、B兩人騎車同時同地出發，沿著長2000米環形路行駛，如果他們反向而行，那么經過4分鐘相遇，如果同向而行，那么每經過20分鐘A就追上B，求兩人騎車的速度？【變式6.2】思齊學校的春季運動會上，長跑項目有10人參加，跑道每圈400米，其中甲每秒鐘跑6米，乙每秒跑4米，問甲第一次追上乙時兩人各跑了多少米？第二次追上乙時兩人各跑了幾圈？益思拓展A.夯實基礎1.東西兩城相距254千米，甲、乙兩輛汽車相對開出，甲車每小時行27千米，先行2小時后，乙車開始出發，速度為每小時23千米，乙車出發幾小時后兩車相遇？2.甲每分鐘走60米，乙每分鐘走40米，兩人同時同地出發相背而行，10分鐘后甲轉身追乙，甲多長時間可追上乙？3.甲車從A地出發，每小時行45千米，小時后乙車從B地出發，以每小時30千米的速度迎面開來，甲車出發小時后與乙車相遇，A、B兩地相距多少千米？B.能力拓展4.A、B相距2000千米，甲從A地，乙從B地同時出發，相向而行，甲每分鐘行50米，乙每分鐘行20米，第一次在C處相遇，A、C之間的距離是多少？相遇后繼續前進分別到達A、B兩地后立即返回，第二次在D處相遇，問C、D之間的距離是多少？5.甲乙兩人同時從東西兩地相向而行，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走65米，二人相遇后繼續向前走，走到兩地后，再繼續按原路返回，二人再次相遇，由出發到第二次相遇共經過30分鐘，東西兩地相距多少米？6.甲乙兩人在一邊長為200米的等邊三角形場地上練習開車，甲自A點，乙自B點同時出發，按順時針方向沿三角形邊行走，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，過每個頂點時因為轉彎耽擱15秒，問經過多少時間甲追上乙？7.A、B兩車相向而行，A車行全程需10小時，B車行全程需15小時，兩車在途中相遇后，A車又行了90千米，正好行了全程的80%，求甲乙兩地的距離.8.一名鐵路工人沿著鐵路由東向西行，檢查鐵軌，這時有一列火車長760米，從背后開來，此人在行進中測出整列火車通過的時間為52秒，而這段時間內，他本人行走72米，這列火車的速度是多少？C.綜合創新9.三名長跑運動員在一環形跑道上進行長跑，跑道周長為360米，A與B同向，C與A背向，都從同一地點出發，每秒鐘A跑8米，B跑5米，C跑7米，出發后，三人第一次相遇，是出發后多少秒？10.A、B兩車都從甲地去乙地，A以每小時行40千米的速度從甲地開往乙地，3小時后，B以每小時60千米的速度也從甲地開往乙地，經過多長時間可以追上A？11.小明于17時離開學校，以每分鐘50米的速度步行回家，小明的好朋友文文發現小明的課本忘在了學校，于是他在17時30分騎車從學校出發追趕小明，結果在學校2000米處追上小明，請問文文的騎車速度是多少？

第七講行程問題（二）益思對話陳景潤（1933-1996），世界著名解析數論學家,主要研究解析數論，1966年發表《表達偶數為一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和》（簡稱“（1+2）”），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑.而他所發表的成果也稱之為陳氏定理.這項工作還使他與王元、潘承洞在1982年共同獲得中國自然科學獎一等獎.他研究哥德巴赫猜想和其他數論問題的成就，至今，仍在世界上遙遙領先.金字塔下的“神棍”據說．埃及的金字塔建成后一千多年.沒有人能準確測出它的高度．一年春天，古希臘數學家秦勒斯來到埃及．人們問他能否解決這個難題．他向法老說：“我用一根小木棍就能解決這個問題．”第二天，艷陽高照．金字塔周圍聚集了很多圍觀的老百姓．泰勒斯手執一根三寸長的小木棍，并將木梗豎直插在地上，然后跑到一旁乘涼．他告訴協助的奴隸，等木棍的影長等于棍長時再叫他．奴隸頂著大日頭，汗流浹背，好不容易等到泰勒斯要求的情況出現，迫不及待地把他叫喚過來．這時泰勒斯跑到金字塔邊上測量出金字塔影子的長度．于是宣告金字塔的高度即為它的影長．益思互動在行程問題這個大家族中，除了我們常常研究的相遇與追及外，還有三大類我們妊須了解的問題：火車過橋、流水行程和時鐘問題，它們雖然也涉及速度、時間、路程這三個基本關系，但在應用中要兼顧考慮一些其它因素，譬如：火車車長、水流速度等等．其中火車過橋、流水行程是我們在以前的學習中已經有所接觸的內容．在下面的學習中我們先鞏固原有基本概念，而后相應的拓展提高!一、火車過橋問題（1）火車過橋時間是指從車頭上橋起到車尾離橋所用的時問．因此火車的路程是橋長與車身長度之和．（2）火車與人錯身時．忽略人本身的長度，兩者路程和為火車本身長度；火車與火車錯身時，兩者路程和則為兩車身長度之和．（3）火車與火車上的人錯身時，只要認為人具備所在火車的速度，而忽略本身長度．那么他所看到的錯車的相應路程和是對面火車的長度．對于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人、以及火車和火車之間的相遇、追及等等這兒種類型的題目．在分析題目的時候一定得結合著圖來進行．二、流水行船中的相遇與追及問題（1）兩只船在河流中相遇問題．當甲、乙兩船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向開出．它們單位時間靠攏的路程等于甲、乙兩船速度和．這是因為：甲船順水速度乙船逆水速度（甲船速水速）（乙船速水速）甲船船速乙船船速．這就是說，兩船在水中的相遇問題與靜水中的及兩車在陸地上的相遇問題一樣．與水速沒有關系.（2）同樣道理，如果兩只船，同向運動，一只船追上另一只船所用的時間，也只有與路程差和船速有關，與水速無關.這是因為：甲船順水速度乙船順水速度（甲船速水速）（乙船速水速）甲船速乙船速.也有：甲船逆水速度乙船逆水速度=（甲船速水速）（乙船速水速）甲船速乙船速.這說明水中追及問題與在靜水追及問題一樣，由上述討論知，解流水行船問題，更多地是把它轉化為已學過的相遇和追及問題來解答.順水速度船速水速，，逆水速度船速水速，，（其中為船在靜水中的速度，為水流的速度）.由上可知：船速（順水速度逆水速度）÷2；水速（順水速度逆水速度）÷2.益思練場1.一條隧道長760米，現有一列長240米的火車以每秒25米的速度經過這條隧道要用多少時間？2.思齊夏令營的小同學們要過一座296米長的大橋，他們共有162人，排成兩路縱隊，每兩個人前后相距0.5米，隊伍行進的速度是每分鐘56米，問整個隊伍過橋共需多少分鐘？3.甲乙二船航行A、B兩個碼頭之間，全程180千米，甲順水航行3小時，返回原地用5小時，乙船順水航行同一段水路用4.5小時，問乙船返回原地比去時多用幾小時？4.一列火車通過440米的橋需要40秒，以同樣的速度通過310米的隧道需要30秒，這列火車的速度和車身長各是多少？5.一個人從縣城騎車去鄉辦廠，他從縣城騎車出發，用30分鐘時間騎完了一半路程，這時，他加快了速度，每分鐘比原來多行50米，又騎了20分鐘后，他從路旁的里程標志牌上知道，必須再騎2千米才能趕到鄉辦廠，求縣城到鄉辦廠之間的總路程.6.一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需6小時，逆流需8小時，水流速度為千米/小時，問輪船在靜水中的速度為_________.（用表示）益思精析類型一：火車過橋問題【例1】一列火車通過一座長1000米的大橋需要用65秒種，如果以同樣的速度穿過一條長730米的隧道則要用50秒鐘，求這列火車的車身長和速度.【變式1】一個車隊以4米/秒的速度緩緩通過一座長200米的大橋，共用115秒鐘，已知每輛車長5米，兩車間隔10米，問這個車隊共有多少輛車？類型二：火車行程問題【例2】一人以每分鐘120米的速度沿鐵路邊跑步，一列長288米的火車從對面開來，從他身邊通過用了8秒鐘，求火車的速度.【變式2】一列火車長600米，從路邊的一棵大樹旁邊通過，用了2分鐘，以同樣的速度通過一座大橋，即從車頭上橋到車尾離橋共用了5分鐘，這座大橋長多少米？類型三：流水問題（1）【例3】甲、乙兩船在靜水中分別為每小時24千米和每小時32千米，兩船從某河邊相距336千米的A、B兩港同時相向而行，幾小時相遇？如果同向而行，幾小時后，乙船追上甲船？【變式3.1】一條小船順流航行32千米，逆流航行16千米共用8小時，順流航行24千米，逆流航行20千米也用了同樣多的時間，求這只小船順流航行24千米，然后返回要用多少時間？【變式3.2】長江沿線甲乙兩港間的水路長216千米，一只般從甲港開往乙港，順水9小時到達，從乙港返回甲港，逆水12小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度.類型四：流水問題（2）【例4】小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎將頭上的帽子掉進江中，當他們發現后調過船頭時，帽子與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水速是每小時2千米，那么追上帽子要多少時間？【變式4】有人在河中游泳逆流而上，某時某地丟了水壺，水壺順流而下，經30分鐘此人才發覺此事，他立即返回尋找，結果在離丟失地點下游6千米處找到水壺，此人返回尋找用了多少時間？水流速度是多少？類型五：坡度問題【例5】從A到B是1千米的下坡路，從B到C是3千米的平路，從C到D是2.5千米的上坡路，小張和小王步行，下坡路速度都是每小時6千米，平路速度都是每小時2千米，問小張和小王分別從A、D同時出發，相向而行經過多少長時間兩人相遇？

【變式5】A、B兩地有一段平路和一段坡路，一輛車，在平路上的速度為30km/h，在上坡時的速度為28km/h，在下坡時的速度為35km/h；現在，從A到B地用了4.5小時，從B地到A地用了4時42分，問這段路平路有多少km？類型六：時鐘問題【例6】在3點與4點之間的哪一時刻，時鐘與分鐘在一條直線上？哪一個時刻時針與分針成一直角？【變式6】小明在7點到8點之間解了一道題，開始時，時針與分針剛好成一條直線，解完題時兩針剛好重合，小明解題的起始時間是多少？小明解題共用了多久？益思拓展A.夯實基礎1．一列火車長150米，每秒鐘行19米，問全車通過420米的大橋，需要多少時間？2．一艘船在靜水中的速度為每小時15千米，它從上游甲地開往乙地共花了8小時，已知水速為每小時3千米，那么從乙地返回甲地需多少時間？3．甲、乙兩港相距360千米，一輪船往返兩港需35小時，逆流航行比順流航行多花了5小時，現在一只帆船，靜水中每小時行12千米，這只帆船往返兩港要多少小時？B.能力拓展4．一列車通過530米的隧道需要40秒，以同樣的速度通過380米的大橋需要30秒鐘，求這列車的速度及車長.5．某河有相距45千米的上、下兩碼頭，每天定時有甲、乙兩艘船速相同的客輪分別從兩碼頭同時相向而行，一天甲船從上游碼頭出發時掉下一物，此物浮于水面順水漂下，4分鐘后，與甲船相距1千米，預計乙船出發幾小時后，可以與此物相遇.

6．一列火車長600米，它以每秒10米的速度穿過長200米的隧道，從車頭進入隧道車尾離開隧道共需多少時間？7．一條船在靜水中的速度是每小時16千米，它逆水航行了12小時，行了144千米，如果這時按原路返回每小時要航行多少千米？C.綜合創新8．甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘，離開甲后5分鐘又遇到乙，從乙身邊離開時，只用了7秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇？9．甲、乙之間的水路是234千米，一只船從甲港到乙港需要9小時，從乙港返回甲港需13小時，問船速和水速各是多少？10．甲乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時他們的速度比為3：2，他們第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，這樣當甲到達B地時，乙離A地還有28千米，那么A、B兩地的距離是多少千米？11．一艘貨輪順流航行36千米，逆流航行12千米共用了10小時；順流航行20千米，再逆流航行20千米也用了10小時；那么順流航行12千米，又逆流航行24千米要用幾個小時？12．在10點與11點之間，哪一個時刻時針與分針成一直線？哪一個時刻時針與分針成直角？

第八講分數、百分數應用題益思對話用分數書寫的人生格言一句著名的格言說數字比科學大得多，因為它是科學的語言，數字不僅用來寫科學，而且可以用來描寫人生，下面介紹幾位中外名人的人生格言.1．王菊珍的百分數.我國科學家王菊珍對待實驗失敗有句格言，叫做“干下去還有50%成功的希望，不干便是100%的失敗”.2．托爾斯泰的分數.俄國大文豪托爾斯泰在談到人的評價時，把人比作一個分數，他說：“一個人就好像一個分數，他的實際才能好比分子，而他對自己的估價好比分母，分母越大，則分數值就越小.”3．愛迪生的公式.大發明家愛迪生在談天才時用一個加號來描述他說：“天才=1%的靈感+99%的血汗”.數學語言不僅用來表達和研究科學，而且可以精妙地表達人的思想，性格及追求，讓我們數字，學好數字.益思互動求常見的百分率如：達標率、及格率、成活率、發芽率、出勤率等.求百分率就是一個數是另一個數的百分之幾.2.求一個數比另一個數多（或少）百分之幾實際生活中，人們常用增加了百分之幾，減少了百分之幾，節約了百分之幾等來表示增加或減少的幅度.求甲比乙多百分之幾（甲－乙）÷乙.求乙比甲少百分之幾（甲－乙）÷甲.求一個數的百分之幾是多少一個數（單位“1”）×百分率.4.已知一個數的百分之幾是多少，求這個數部分量÷百分率一個數（單位“1”）5.折扣幾折就是十分之幾，即百分之幾十益思練場1.若甲是乙的，乙是丙的，則甲、乙、丙三個數的比是.2.甲、乙、丙三人共儲蓄387元，甲比乙多儲蓄13元，丙是乙的75%，甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？3.一種石英表，先漲價，然后降價，這時的售價為49.5元，原價是多少元？4.某項目的成本包括：人力成本、差旅費、活動費、會議費、辦公費、招待費有及其他運行費用，它們所占比例比例如下圖所示，其中活動費是10320元，則該項目的成本是元.5.王叔叔加工一批零件，第一天完成計劃的，第二天完成880個，第三天完成計劃的，結果超額完成10%，求計劃生產的零件多少個？6.小紅看一本故事書，第一天看了全書的，第二天看了全書的還多6頁，這時還剩下全書的沒有看，求這本故事書共多少頁？益思精析類型一：單位“1”已知問題【例1】某工廠計劃生產一批零件，第一次完成計劃的，第二次完成計劃的，第三次完成450個，結果超出計劃的，計劃生產零件多少？【變式1】一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，還剩下22千克，原來這桶油有多少千克？類型二：單位“1”未知問題【例2】有兩筐西瓜，已知第一筐的重量是第二筐的，若第一筐中拿出20千克放入第二筐，則第一筐西瓜的重量是第二筐的，求第一筐西瓜的重量.【變式2.1】甲、乙、丙、丁四筐蘋果，甲筐蘋果的質量是其它三筐總質量的一半，乙筐蘋果的質量是其它三筐總質量的，丙筐蘋果的質量是其它三筐總質量的，丁筐蘋果比乙筐重15千克，求四筐蘋果共重多少千克？【變式2.2】一種揮發性藥水，原來有一整瓶，第二天揮發后變為原來的瓶；第三天變為第二天的瓶，第四天變為第三天的瓶…請問照此規律第天時藥水還剩下瓶.類型三：分數圖形問題【例3】下圖為長沙園林規劃，其中草地占正方形的，竹林占圓形的，正方形和圓形的公共部分是水池，已知竹林面積比草地面積大450平方米，水池的面積是多少？【變式3】下圖為某小區娛樂規劃圖，其中高爾夫場占橢圓的，游泳池占長水形的，已知高爾夫球場面積比游泳池面積大500平方米，求高爾夫球場面積.類型四：分數工程問題【例4】加工一批玩具，若甲、乙合作則24天可以完成，現在由甲先做16天，然后乙再做12天，還剩下這批零件的沒有完成，已知甲每天比乙多加工3件，求這批玩具的件數.【變式4】長沙市政府安排甲乙工程隊去完成一段高速公路，若甲、乙合作，則30天可完成任務，現安排甲單獨先做25天，然后乙接替甲做了20天后還剩下未完成，已知甲比乙每天多完成3千米，則這段高速公路長是多少千米？類型五：百分數有關（存活率、利率）問題【例5】逸夫中學去年植樹800棵，成活率為90%，今年植樹成活率為95%，已知去年春季比今年春季多死了20棵.兩年一共成活了多少棵樹？【變式5】花花媽媽2009年存了年利率為4.68%的兩年期存款，到期后扣除了5%利息稅.實得利息剛好為花花買一個價值111.15元的書包，花花媽媽存入銀行多少元？類型六：百分數有關濃度問題【例6】有含鹽25%的甲種溶液80克，與含鹽50%的乙種溶液120克混合后，得到溶液的濃度是多少？【變式6】有濃度為25%的A種鹽水溶液80克，將其與120克B種鹽水溶液混合后，得到濃度為16%鹽水溶液.求B種鹽水溶液的濃度？益思拓展A.夯實基礎1.新華書店運進的科技書是文藝書的，當科技書賣出后.剩下的科技書比文藝書少1200本，運進的科技書有多少本？2.一桶油，第一次取出全桶油的20%，第二次取出20千克，第三次取出的等于前兩次的總和，桶里還剩下8千克，原來桶里共有多少千克油？3.一輛汽車從甲地開往乙地，在平路上行駛的路是全程的，剩下的路程中是上坡路，其余的是下坡路，已知回來時上坡路是千米，問甲、乙兩地相距多少千米？B.能力拓展4.甲、乙兩種商品的價格是7：3，如果它們的價格都上漲70元，那么它們的價格比是7：4.甲商品原來的價格是多少元？5.如果空瓶質量占裝滿糖果后的瓶子總質量的10%中，倒出一部分糖果后，剩下的總質量是原來總質量的60%，那么剩下的糖果是原來糖果的質量的（）.6.思齊學校閱覽室里有若干名學生在看書，其中女生占，后來又有2名女生來看書，這時女生人數占所有看書人數的，問閱覽室原來有多少名學生在看書？7.小明和小華共有人民幣若干元，其中小明的錢占，小明取走12元后，小明的錢占余下總數的56.25%，小明和小華原來各有人民幣多少元？C.綜合創新8.甲、乙兩書架共有書102本，從甲書架拿出24本放入乙書架，則乙書架本數的正好是甲書架的，乙書架原有多少本書？9.思齊三個校區，共有學生1275人，第一校區人數的與第二校區人數的相等，第三校區人數是三個校區總人數的16%，第二校區有多少人？10.往日用同樣數量的錢能買1頭牛或99只雞.現在一頭牛的價格已下跌10%，一只雞的價格卻上升，那么現在只雞的價值與一頭牛的價值相等.

第九講濃度與利潤問題益思對話弗賴登塔爾曾任國際數學教育委員會主席，他在《思辨數學與算法數學》中提出問題：“設有白酒和紅酒各一杯，份量相同，現從白酒中舀一匙放入紅酒杯中，調勻后，舀回一匙放進白酒杯中，問白酒杯中所含的紅酒是否少于紅酒杯中所含的白酒？”紅酒與白酒就以上題目，費氏說，會出現兩種解法，多數人會設酒杯和匙羹的容積之后，實際計算一番（其中不少人還會遇到困難）不妨設份量相同的一杯酒的體積為，匙羹的容積為，則白酒杯中的紅酒份量為：；紅酒杯中的白酒份量為：；因此，白酒杯中所含的紅酒與紅酒杯中所含的白酒份量相同只有少數人會作如下“思辨”求解：兩個杯子最終所盛液體相同，設想將每杯中的白酒和紅酒分離，則白酒杯中的紅酒是來自紅酒杯中的“所失”，而紅酒杯中“所失”的份量正好由白酒來置換.因此，白酒杯中所含紅酒與紅酒杯中所含白酒份量相同.益思互動1.濃度問題（1）濃度問題相關公式：溶液=溶質+溶劑；濃度=×100%=×100%.（2）常用方法：①抓不變量：一般情況下在經濟問題中成本是不變量，濃度問題中溶劑是不變量，我們可以用畫圖來分析；②方程法：對于經濟濃度問題，采用方程來求解是簡便、有效的方法；③十字交叉法；④濃度三角：濃度三角在解決濃度問題時非常有用.2.利潤問題商店出售商品時，為了獲得最大的利潤，商家總是“低進高出”，只有這樣才能賺取差價，這個差價就會產生利潤，實際上，在商品貿易上的許多數學問題都會涉及到三個量：成本、利潤及定價.成本——購進商品所需的本錢，又叫進價或成本價；定價——商品出售的價格，又叫售價或賣價；利潤——產品定價中高于成本以上的那一部分.為了衡量獲得利潤的大小，通常采用：“利潤百分數”或“利潤率”這個量：售價=成本+利潤，利潤率=×100%=×100%=（）×100%；售價=成本×（利潤率）；成本=.商品有時會打折出售，“幾折”就是表示十分之幾，也就是百分之幾十.益思練場1.現在濃度為20%的糖水300克，要把它變為濃度為40%的糖水，需要加糖多少克？2.用含氨0.15%的氨水進行油菜施肥，現有含氨16%的氨水30千克，配置時需加水多少千克？3.有若干千克4%的鹽水，蒸發了一些水分后變成了10%的鹽水，再加300克4%的鹽水，混合后變成6.4%的鹽水，問最初的鹽水是多少千克？4.一件衣服的進價為60元，若按原價的8折出售獲利20元，則原價是元，利潤率是.5.一件夾克衫先按成本提高50%標價，再以八折（標價的80%）出售，結果獲利28元，這件夾克衫的成本是多少元？6.某商店在某段時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？益思精析類型一：配比問題【例1】現有濃度為10%的鹽水20千克.再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水？【變式1】在100千克濃度為50%的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5%的硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？【例2】一個容器里裝有10升純酒精，倒出1升后，用水加滿，再倒出1升，用水加滿，再倒出1升，用水加滿，這時容器內的酒精溶液的濃度是多少？【變式2.1】從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿，如此反復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？【變式2.2】有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升純酒精，第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？類型二：混裝問題【例3】甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水，把某種質量分數的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中，現在丙管中的鹽水的質量分數為0.5%.最早倒入甲管中的鹽水質量分數是多少？【變式3】甲種酒含純酒精40%，乙種酒含純酒精36%，丙種酒含純酒精36%，將三種酒混在一起得到含酒精38.5%的酒11千克.已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？類型三：利潤問題【例4】商店以每雙13元的價格購進一批涼鞋，售價為每雙14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批涼鞋的成本還獲利88元，這批涼鞋共多少雙？【變式4】商店以每雙6.5元的價格購進一批涼鞋，售價為每雙8.7元，賣到還剩200雙時，除去購進這批涼鞋的成本外還獲利20元.這批涼鞋共多少雙？類型四：利潤率問題【例5】某商場在促銷活動中，將一批商品降價處理，如果減去定價的12%出售，那么可盈利170元；如果減去定價的20%出售，那么虧損150元.此商品的購入價是多少元？【變式5】某商場將商品按原價增加20%重新標價，然后按新定價降低20%出售，其賣出的價格為2880元，這種商品的原價是多少元？類型五：折扣問題【例6】紅星商店購回一批商品，按20%的利潤定價，然后打八折出售，結果虧損400元，這批商品的成本是多少元？【變式6】某商品按定價出售，每個可獲得45元錢的利潤，現在按定價的八五折出售8個所獲得的利潤，與按定價每個減價35元出售12個獲得的利潤一樣，這一商品每個定價是多少元？益思拓展A.夯實基礎1．有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20%，需加鹽多少千克？2．甲瓶鹽水濃度為8%，乙瓶鹽水濃度為5%，混合后濃度為6.2%，若從甲瓶取鹽水，從乙瓶取鹽水中，求混合后的濃度.3．已知鹽水若干克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變為3%，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變為2%，求第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度.4．商店以每副30元的價格購進一批羽毛球拍，又以每副40元的價格售出，當剩下80副時，除已收回購進這批球拍所用的錢以外，還賺了100元，這批羽毛球拍共有多少副？B.能力拓展5．有A、B、C三種鹽水，按A與B的數量之比為2:1混合，得到濃度為13%的鹽水；按A與B的數量之比為1:2混合，得到濃度為14%的鹽水；按A、B、C的數量之比為1:1:3混合，得到濃度為10.2%的鹽水，問鹽水C的濃度是多少？6．某書店出售一種掛歷，每出售一本可得18元利潤，售出一部分后每本減價10元出售，全部售完，已知減價出售的掛歷本數是原價出售掛歷的，書店售完這種掛歷共獲利潤2870元，書店售出這種掛歷多少本？7．已知甲、乙兩種商品原單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少？C.綜合創新8．商家獲得的利潤按照如下公式計算：利潤=售價進價售價×稅率，若稅率由調整為，且商品的進價和利潤都未改變，則商品的售價是原來的多少倍？9．在中關村電腦節上，希望電腦在讓利288元后，再以八折銷售，售價是5280元，在得知如此銷售仍可獲利5.6%后，希望公司董事會決定將按原價售出的100臺電腦的利潤全部捐給希望工程，那么此次希望工程可獲得捐款多少元？10．成本為0.25元的練習本1200本，按40%的利潤定價出售，當銷掉80%后，剩下的練習本打折扣出售，結果獲得的利潤是預定的86%，問剩下的練習本出售時按定價打了多少折扣？

第十講工程問題益思對話中國古代有一個丁謂施工的故事，蘊含著運籌學的思想.傳說宋真宗在位時，皇宮曾起火，一夜之間，大片的宮寶室樓臺殿閣亭榭變成了廢墟，為了修復這些宮殿，宋真宗派當時的晉國公丁謂主持修繕工程，當時，要完成這項重大的建筑工程，面臨著三個大問題，第一，需要把大量的廢墟垃圾清理掉；第二，要運來大批木材和石料；第三，要運來大量新女，不論是運走垃圾還是運來建筑材料和新土，都涉及到大量的運輸問題，如果安排不當，施工現場會雜亂無章，正常的交通和生活秩序都會受到嚴重影響.丁謂研究了工程之后，制訂了這樣的施工方案；首先，從施工現場向外挖了若干條大深溝，把挖出來的土作為施工需要的新土備用，于是就解決了新土問題，第二步，從城外把汴水引入所挖的大溝中，于是就可以利用木排及船只運送木材石料，解決了木材石料的運輸問題，最后，等到材料運輸任務完成之后，再把溝中的水排掉，把工地上的垃圾填入溝內，使溝重新變為平地.簡單歸納起來，不是這樣一個過程；挖溝（取土）—引水入溝（水運運輸）—填溝（處理垃圾）.按照這個施工方案，不僅節約了許多時間和經費，而且使工地秩序井然，使城內的交通和生活秩序不受施工太大的影響，因而確實是很科學的施工方案.益思互動1.工程問題工程問題，究其本質是運用分數應用題的量率對應關系，即用對應分率表示工作總量與工作效率，這種方法可以稱作是一種“工程習慣”，這一類問題稱之為“工程問題”.其基本數量關系：工作總量=工程效率×工作時間；合作的效率=各單獨做的效率的和.當工作總量未給出具體數量時，常設總工作量為“1”，分析時可彩列表或畫圖幫助理解題意.2.牛吃草問題牛吃草的解題步驟：同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結為：（1）設定1頭牛1天吃草量為“1”；（2）草的生長速度=（對應牛的頭數×較多天數－對應牛的頭數×較少天數）÷（較多天數－較少天數）；（3）原來的草量=對應牛的頭數×吃的天數+草地的生長速率×吃的天數；（4）吃的天數=原來的草量÷（牛的頭數－草的生長速度）；（5）牛的頭數=原來的草量÷吃的天數=草的生長速度.多塊草地的牛吃草的問題多塊草地的“牛吃草”問題，一般要將草地面積變得統一，一般情況下可以找多塊草地面積的最小公倍數，這樣可以避開小數分數運算，但如果數據較大時我們一般把面積統一為“1”相對會簡單些.益思練場1.有一批書，小明9天可裝訂，小麗20天可裝訂，小時和小麗兩個人合作幾天可以裝完？2.一件工程，甲乙兩人合作8天可能完成，乙丙兩人合作6天可以完成，丙丁兩人合作12天可以完成，那到甲丁丙合作幾天可以完成？3.某村挖一條水渠，若甲乙兩個隊各單獨挖，甲隊要12天挖完，乙隊要15天挖完，現在甲、乙兩隊合挖2天后，丙隊也來參加，自丙隊加入后3天便完工，若丙隊單獨挖，需幾天完工？4.思齊資助希望工程的一批物資，如用8輛大卡車裝運，3天可以運完，如用5輛小卡裝運，8天可以運完全部的，現用3輛大卡車、4輛小卡車裝運，幾天可裝運完？5.一個蓄水池裝了一根進水管和三根放水速度一樣的出水管，單開一根進水管20分鐘可以注滿池，單開一根出水管，45分鐘可以放完滿池的水，現有池水，如果四管齊開，多少分鐘后池水還剩？益思精析類型一：合作問題【例1】一項工作，甲、乙合做要12天完成，若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成這件工程的，如果這件工作由甲、乙單獨做，甲需要多少天？乙需要多少天？【變式1】甲、乙兩隊合作20天可以完成一項工程，如果兩隊合作8天后，乙隊再單獨做4天，還剩下這項工程的沒有完成，求甲、乙隊工作效率之比.【例2】一個工程隊承包甲、乙兩項工程，甲工程工作量是乙工程工作量的2倍，前半個月全體工人都在甲工地工作，后半個月工人分成相等的兩組，一組仍在甲工地工作，另一組到乙工地工作，一個月后甲工程完成，而乙工程的剩余量剛好夠一個工人一個月的工作量，如果每個工人的工作效率都相同，問這個工程隊有多少工人？ 【變式2】甲、乙、丙三人合修一堵圍墻，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，現在共領工資18000元，依工作量分配，甲、乙、丙各得多少元？類型二：注水問題【例3】有一水池，裝有甲乙兩個注水管，下面裝有丙管放水，池空時，單開甲管5分鐘可注滿，單開乙管10分鐘可注滿，水池裝滿水后，單開丙管15分鐘可將水放完，如果在池空時，將甲、乙、丙三管齊開，2分鐘后關閉乙管，還有多少分鐘可注滿水池？【變式3】有一個水池，甲、乙兩個水管同時打開，5小時可以灌滿水池；若甲管打開8小時后關閉，然后打開乙管，再工作3小時也可灌滿水池，問：甲管先工作2小時候關閉，乙管再工作幾小時可以灌滿全水池？ABC時間開開ABC時間開開關3小時開關開4小時關開開5小時【變式4.1】蓄水池有甲、丙兩根進水管和乙、丁兩根排水管，要注滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時，要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時，現在池內沒有池水，如果按照甲、乙、丙、丁、甲、乙……的順序，輪流各開1小時，多少時間后水開始溢出水池？【變式4.2】有甲、乙兩根水管，分別同時給A、B兩個大小相同的水池注水，在相同的時間里，甲、乙兩管注水量比是7:5，經過小時，A、B兩池中注入的水之和恰好是一池，這時，甲管注水速度提高25%，乙方的注水速度不變，那么，當甲管注滿A池時，乙管再經過多少小時注滿B池？類型三：牛吃草問題【例5】有一片牧草地，如果飼養20頭牛，6天可以把草吃完，如果飼養16頭牛，則這些牛9天可以把草吃完，如果飼養32頭牛，多少天可把草吃完？【變式5.1】一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20頭牛5天可以將草吃完，如果用14頭牛則10天可以把草吃完，那么要想4天把草吃完，需要多少頭牛？【變式5.2】有三塊草地，面積分別是5，15，24畝上，草地上的草一樣厚，而且長得一樣快，第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草可供28頭牛吃45天，問題第三塊地要以多少頭牛吃80天？益思拓展A.夯實基礎1.一項工程，甲單獨做完要50天，乙單獨做完要60天，兩人合做，甲每做3天休息1天，乙每做5天休息1天，完成全部工作需要多少天？2.一項工程，甲單獨做12天完成，如果甲單獨做3天，余下的工程由乙去做，乙需要6天完成，如果甲單獨做6天，余下的的工程由乙做要幾天完成？3.甲、乙兩個工程隊分別負責兩項工程，晴天，甲完成工程需10天，乙完成工程需16天；雨天，甲隊和乙隊的工作效率分別是晴天時的30%和80%，實際情況是兩隊同時開工、完工，問在施工期間下雨的天數是？B.能力拓展4.某工程先由甲單獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成，如果由甲、乙兩人合作，需48天完成，現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么還要做幾天？5.有一條公路，甲隊單獨修需10天，乙隊單獨修需12天，丙隊單獨修需15天完成，現在讓三隊合修，但中間甲隊撤出到另外工地，結果總共用了6天才把這條公路修完，當甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合修了多少天才完成？6.師徒三人合作承包一項工程，4天能夠全部完成，已知師傅單獨做所需要的天數與兩個徒弟合作所需要的天數相等，而師傅與乙徒弟合作所需天數的2倍與甲徒弟單獨做完成所需的天數相等，那么甲徒弟單獨做，完成這項工程需要多少天？乙徒弟單獨做，完成這項工程需要多少天？C.綜合創新7.一個水池，地下水從四壁滲入，每小時滲入該水池的水量是固定的，當這個水池水滿時，打開A管，8小時可將水池排空，打開B管10小時可將水池排空，打開C管，12小時可將水池排空，那么打開B、C兩管，將水池排空需要多少時間？8.一個蓄水池底部有一道裂縫，滿池水40小時全部漏完，甲、乙兩個進水管，水池蓄滿水后，經過30小時，開始打開兩個進水管，12小時后水池注滿，關閉進水管后，又經過10小時，打開乙管，經過6小時后水池注滿，如果把水放掉，把池底裂縫堵好，甲、乙兩管分別單獨注水，各需幾小時可把水池注滿？9.有一個蓄水池裝有9根水管，其中一根為進水管，其余8根為相同的出水管，進水管以均勻的速度不停地向這個水池注水，后來有人想打開出水管，使水池的水全部排光（這時池內已注入了一些水），如果把8根出水管全部打開，需3小時把池內的水全部排光，如果僅打開5根出水管，需6小時把池內的水全部排出，問要想在4.5小時內把池內的水全部排光，需同時打開幾根出水管？10.有一塊牧場上長滿了草，每天草均勻生長，這塊牧場上的草可供17頭牛吃25天，也可供15頭牛吃30天，開始有一些牛在草地上吃草，8天后，有