第3章量子力學基礎第3章量子力學基礎1一.德布羅意波§3-1微觀粒子的波粒二象性實物粒子與光一樣也具有波粒二象性----德布羅意公式或一.德布羅意波§3-1微觀粒子的波粒二象性實物粒子與光一樣21927年美國的戴維孫和革末在實驗中二.微觀粒子波動性實驗觀察到在晶體表面電子的衍射現象與x射線的衍射現象相類似電子槍探測器鎳單晶加速電極----電子具有波動性與實物粒子相聯系的波----德布羅意波(物質波)1929年獲諾貝爾物理學獎1927年美國的戴維孫和革末在實驗中二.微觀粒子波動性實驗3同年，小湯姆遜用電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x射線實驗極其相似的衍射圖樣戴維孫、小湯姆遜同獲1937年諾貝爾物理學獎x-射線電子同年，小湯姆遜用電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x4大量實驗證實：除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波動性，且符合德布羅意公式----一切微觀粒子都具有波動性單縫雙縫三縫四縫1961年約恩遜的電子衍射實驗大量實驗證實：除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波5[例]靜止電子經電勢差為U的電場加速，具有速度v，設v<<c。求德布羅意波長解：說明：v較大時，需考慮相對論效應[例]靜止電子經電勢差為U的電場加速，具有速度v，設v<<6經典力學：運動物體有確定的位置、動量、能量、角動量等§3-2不確定關系微觀粒子：由于波動性，粒子以一定的概率在空間出現----任一時刻不具有確定的位置動量、能量和角動量等也不確定經典力學：運動物體有確定的位置、動量、能量、角動量等§3-27電子單縫衍射：設一束電子垂直入射到單縫上只考慮中央明區第一級暗紋滿足：電子單縫衍射：設一束電子垂直入射到單縫上只考慮中央明區第一級8考慮其它高次衍射條紋有----位置、動量不確定關系能量與時間之間：1932年海森伯獲諾貝爾物理學獎----能級寬度和能級壽命之間的不確定關系考慮其它高次衍射條紋有----位置、動量不確定關系能量與時間9說明：不確定性關系是波粒二象性及統計關系的必然結果，而不是測量儀器對粒子的干擾，也不是儀器的誤差所致說明：10[例]設電子在原子中運動速度為106m/s，原子的線度10-10m，求此電子速度的不確定量解：電子位置的不確定量v、v在數量級上相當，討論原子中電子的速度沒有實際意義[例]設電子在原子中運動速度為106m/s，原子的線度111描述的微觀粒子運動的波函數課件12

描述德布羅意波的波函數無直接的物理意義1926年德國物理學家玻恩首先指出：

德布羅意波是概率波在某一時刻，空間某點附近粒子出現的概率與該時、該處物質波的強度成正比。

它描述粒子在某處出現的概率由此定量描述微觀粒子的狀態§3-3波函數薛定諤方程

一.波函數----描述波動規律的數學表達式描述德布羅意波的波函數無直接的物理意義在某一時刻，13----粒子的概率密度t時刻、在(x,y,z)附近單位體積內發現粒子的概率----粒子的概率幅歸一化函數性質：復數函數----對粒子出現的空間積分----粒子的概率密度t時刻、在(x,y,z)附近單位體積內14單開縫1----單開縫2----概率幅疊加：概率分布：----出現了干涉、----歸一化系數為單值、連續、有限函數----波函數的標準條件滿足疊加原理單開縫1----單開縫2----概率幅疊加：概率分布：---15二.有關量子力學哲學基礎的爭論由波函數描述的微觀粒子的運動，即使給定初始條件、邊界條件，也不可能精確地預制結果，而只能預言可能結果的概率----與經典物理嚴格的因果律矛盾1.哥本哈根學派：描述的微觀粒子運動的波函數，表明了自然界的最終本質2.愛因斯坦學派：之所以對描述的微觀粒子運動不能精確描述，是因為還有未找到的隱變量上帝不是在跟宇宙玩擲骰子的游戲二.有關量子力學哲學基礎的爭論由波函數描述的微16三.薛定諤方程----描述微觀粒子運動的動力學方程----勢場中一維運動粒子的定態S.Eq.在勢場U(x)中，粒子的總能量：或與時間無關—定態三.薛定諤方程----描述微觀粒子運動的動力學方程----勢17----三維定態S.Eq.引入能量算符----哈密頓算符則有推廣到三維空間--拉普拉斯算符----三維定態S.Eq.引入能量算符----哈密頓算符則有18如果勢函數與時間有關:由S.Eq.求得空間波函數后,再由即可求得總波函數只能由直接求S.Eq.方程的一般形式如果勢函數與時間有關:由S.Eq.求得空間波函數后,再由即19說明：S.Eq.是量子力學的基本方程，其正確性由方程的解與實驗結果相符得到證實1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經典能量表達式，則可由S.Eq.求出波函數說明：1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經典能20討論：定態時，概率密度不隨t變定態時，解得的E為一些確定值----本征值，相應的波函數----本征函數討論：定態時，概率密度不隨t變定態時，解得的E為一些確定21四.求解的方法及的用途1.求的步驟：2.的用途求概率密度函數

求概率密度的極（大或小）值點：令，解出x=xm由體系的勢函數寫出S.Eq.解方程得一般解根據標準條件、歸一化條件確定有關常數四.求解的方法及的用途1.求的步驟：2.的用途求22進一步求粒子在某區域內出現的概率求粒子某一力學量的平均值進一步求粒子在某區域內出現的概率求粒子某一力學量的平均值23§3-4一維無限深勢阱阱外:阱內:設粒子作一維運動，勢函數§3-4一維無限深勢阱阱外:阱內:設粒子作一維運動，勢24由波函數的連續條件：令其通解為C、---待定常數由波函數的連續條件：令其通解為C、---待定常數25由歸一化條件得----能量量子化n：粒子能量量子數由歸一化條件得----能量量子化n：粒子能量量子數26討論：n0：因n=0

則n0，無意義

n=1：----基態能

，能量間隙不均勻，隨n的增大而增大討論：n=1：----基態能，能量間隙不27除端點(x=0,x=a)外，阱內n=0處為節點。基態無節點，第一激發態有一個節點，，第n

激發態有n個節點除端點(x=0,x=a)外，阱內n=0處為節點。基態無節點28[例]質量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求：粒子在0xa/4區間中出現的概率，并對n=1和n=的情況算出概率值。在哪些量子態上，a/4處的概率密度最大？解：已知粒子出現在0xa/4中的概率：[例]質量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求29時時時時30處最大時有處最大時有31設粒子在x方向運動，勢能分布：經典觀點：時：粒子可越過勢壘到達3區時：粒子被勢壘反彈回去§3-5一維勢壘諧振子一.一維勢壘設粒子在x方向運動，勢能分布：經典觀點：時：粒子可越過勢壘到32量子力學：解S.Eq.可得：當E<U0時,仍有粒子穿過2區進入3區:1區：入射波+反射波2區：透射波+反射波3區：透射波量子力學：解S.Eq.可得：當E<U0時,仍有粒子33在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定概率穿過勢壘討論：----隧道效應貫穿勢壘的概率(貫穿系數)為:即：T與勢壘寬度a、高度U0有關應用:ScanningTunnelMicroscope(STM)

在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定概率穿過勢壘討論：-34癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)35描述的微觀粒子運動的波函數課件36描述的微觀粒子運動的波函數課件37一氧化碳“分子人”“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮“掃描隧道繪畫”一氧化碳“分子人”“掃描隧道繪畫”38

二.諧振子一維諧振子的勢能為其中薛定諤方程為二.諧振子其中薛定諤方程為39

可解得(3)最小能量為(1/2)h討論：(1)線性諧振子的能量是量子化的(2)能級均勻分布，能隙為h或可解得(3)最小能量為(1/2)h討論：(1)線性諧振子40氫原子H

中，可認為N不動，e在N周圍運動S.eq.：系統的勢函數：§3-6氫原子的量子力學處理方法轉換到球坐標系中求解得：氫原子S.eq.：系統的勢函數：§3-6氫原子的量子力學處411.能量量子化和主量子數----能量量子化----主量子數由(3)可得H能量：基態激發態E>0，表HH+1.能量量子化和主量子數----能量量子化----主量子數由42其中----玻耳半徑En可改寫為能級躍遷：----形成譜線其中----玻耳半徑En可改寫為能級躍遷：----形成譜線432.角動量量子化和角量子數對一定的n值,

l

有n個可能取值由(2)可得e繞N運動的角動量----角量子數----量子化2.角動量量子化和角量子數對一定的n值,l有n個可能取443.角動量空間量子化和磁量子數對一定的l

值，ml

有(2

l+1)個可能取值解(1)可得----磁量子數ml決定電子繞核運動角動量在空間的取向Lz，zyxml滿足：3.角動量空間量子化和磁量子數對一定的l值，45結論：H原子中電子的狀態由３個量子數決定(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）決定電子軌道角動量在外磁場中的取向。(1)主量子數n（n=1,2,）決定電子的能量(2)角量子數l（l=0,1,2,,n-1）決定電子的軌道角動量的大小結論：(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）46氫原子的電子云圖氫原子的電子云圖47

施特恩-格拉赫實驗：1921年，為驗證電子角動量空間量子化，設計了如圖實驗：無磁場有磁場原子源§3-7電子的自旋施特恩-格拉赫實驗：1921年，為驗證電子角動量空間量子化48實驗結果：不加磁場：底板上呈現一條正對狹縫的原子沉積加磁場：底板上呈現上下兩條原子沉積矛盾：角量子數為

l

時，角動量在空間的取向有(2l+1)種可能無磁場有磁場奇數實驗結果：矛盾：角量子數為l時，角動量在空間的取向有(249為解釋此結果，1925年，烏倫貝克和古茲密特提出電子自旋假說:

電子除軌道運動外，還存在自旋運動。電子自旋角動量S在空間任一方向上的投影Sz只能取兩個值----自旋磁量子數即為解釋此結果，1925年，烏倫貝克和古茲密特提出電子自旋假50由量子力學，得自旋角動量：----自旋量子數s只能取：由量子力學，得自旋角動量：----自旋量子數s只能取：51結論:多電子原子中每個電子的狀態由4個量子數決定:(1)主量子數n（n=1,2,）大體決定電子的能量(2)角量子數l（l=0,1,2,,n-1）決定電子軌道角動量的大小(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）決定電子軌道角動量在外磁場中的取向。(4)自旋磁量子數ms（ms=1/2）決定電子自旋角動量在外磁場中的取向結論:(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）52對多電子原子，核外電子的分布由下面兩條原理決定：泡利不相容原理：在一個原子中不能有兩個或兩個以上的電子處在完全相同的量子態，即不能具有相同的四個量子數能量最小原理：原子系統處于正常狀態時，每個電子趨向占有最低的能級§3-8原子的殼層結構n+0.7l最小對多電子原子，核外電子的分布由下面兩條原理決定：泡利不相容原53根據泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數n的電子數最多為1916年柯塞耳提出原子殼層結構：n相同的電子組成一個殼層，對應n=1,2,3,的殼層分別用K,L,M,N,O,P,來表示根據泡利不相容原理，原子中具有相同主量子數n的電子數最多為154l相同的電子組成支殼層，對應l=0,1,2,的支殼層分別用s,p,d,f,g,h,來表示例如：K殼層上可能有2個電子(s電子)，表示為1s2L殼層、s分層上可能有2個電子，表示為2s2L殼層、p分層上可能有6個電子，表示為2p6L殼層最多可有(2+6)=8個電子l相同的電子組成支殼層，對應l=0,1,2,的支殼層分別用55即：3s2、3p6、3d10M殼層最多可有18個電子即：3s2、3p6、3d10M殼層最多可有18個電子56第3章量子力學基礎第3章量子力學基礎57一.德布羅意波§3-1微觀粒子的波粒二象性實物粒子與光一樣也具有波粒二象性----德布羅意公式或一.德布羅意波§3-1微觀粒子的波粒二象性實物粒子與光一樣581927年美國的戴維孫和革末在實驗中二.微觀粒子波動性實驗觀察到在晶體表面電子的衍射現象與x射線的衍射現象相類似電子槍探測器鎳單晶加速電極----電子具有波動性與實物粒子相聯系的波----德布羅意波(物質波)1929年獲諾貝爾物理學獎1927年美國的戴維孫和革末在實驗中二.微觀粒子波動性實驗59同年，小湯姆遜用電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x射線實驗極其相似的衍射圖樣戴維孫、小湯姆遜同獲1937年諾貝爾物理學獎x-射線電子同年，小湯姆遜用電子束穿過多晶薄膜后的衍射實驗，得到了與x60大量實驗證實：除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波動性，且符合德布羅意公式----一切微觀粒子都具有波動性單縫雙縫三縫四縫1961年約恩遜的電子衍射實驗大量實驗證實：除電子外，中子、質子以及原子、分子等都具有波61[例]靜止電子經電勢差為U的電場加速，具有速度v，設v<<c。求德布羅意波長解：說明：v較大時，需考慮相對論效應[例]靜止電子經電勢差為U的電場加速，具有速度v，設v<<62經典力學：運動物體有確定的位置、動量、能量、角動量等§3-2不確定關系微觀粒子：由于波動性，粒子以一定的概率在空間出現----任一時刻不具有確定的位置動量、能量和角動量等也不確定經典力學：運動物體有確定的位置、動量、能量、角動量等§3-263電子單縫衍射：設一束電子垂直入射到單縫上只考慮中央明區第一級暗紋滿足：電子單縫衍射：設一束電子垂直入射到單縫上只考慮中央明區第一級64考慮其它高次衍射條紋有----位置、動量不確定關系能量與時間之間：1932年海森伯獲諾貝爾物理學獎----能級寬度和能級壽命之間的不確定關系考慮其它高次衍射條紋有----位置、動量不確定關系能量與時間65說明：不確定性關系是波粒二象性及統計關系的必然結果，而不是測量儀器對粒子的干擾，也不是儀器的誤差所致說明：66[例]設電子在原子中運動速度為106m/s，原子的線度10-10m，求此電子速度的不確定量解：電子位置的不確定量v、v在數量級上相當，討論原子中電子的速度沒有實際意義[例]設電子在原子中運動速度為106m/s，原子的線度167描述的微觀粒子運動的波函數課件68

描述德布羅意波的波函數無直接的物理意義1926年德國物理學家玻恩首先指出：

德布羅意波是概率波在某一時刻，空間某點附近粒子出現的概率與該時、該處物質波的強度成正比。

它描述粒子在某處出現的概率由此定量描述微觀粒子的狀態§3-3波函數薛定諤方程

一.波函數----描述波動規律的數學表達式描述德布羅意波的波函數無直接的物理意義在某一時刻，69----粒子的概率密度t時刻、在(x,y,z)附近單位體積內發現粒子的概率----粒子的概率幅歸一化函數性質：復數函數----對粒子出現的空間積分----粒子的概率密度t時刻、在(x,y,z)附近單位體積內70單開縫1----單開縫2----概率幅疊加：概率分布：----出現了干涉、----歸一化系數為單值、連續、有限函數----波函數的標準條件滿足疊加原理單開縫1----單開縫2----概率幅疊加：概率分布：---71二.有關量子力學哲學基礎的爭論由波函數描述的微觀粒子的運動，即使給定初始條件、邊界條件，也不可能精確地預制結果，而只能預言可能結果的概率----與經典物理嚴格的因果律矛盾1.哥本哈根學派：描述的微觀粒子運動的波函數，表明了自然界的最終本質2.愛因斯坦學派：之所以對描述的微觀粒子運動不能精確描述，是因為還有未找到的隱變量上帝不是在跟宇宙玩擲骰子的游戲二.有關量子力學哲學基礎的爭論由波函數描述的微72三.薛定諤方程----描述微觀粒子運動的動力學方程----勢場中一維運動粒子的定態S.Eq.在勢場U(x)中，粒子的總能量：或與時間無關—定態三.薛定諤方程----描述微觀粒子運動的動力學方程----勢73----三維定態S.Eq.引入能量算符----哈密頓算符則有推廣到三維空間--拉普拉斯算符----三維定態S.Eq.引入能量算符----哈密頓算符則有74如果勢函數與時間有關:由S.Eq.求得空間波函數后,再由即可求得總波函數只能由直接求S.Eq.方程的一般形式如果勢函數與時間有關:由S.Eq.求得空間波函數后,再由即75說明：S.Eq.是量子力學的基本方程，其正確性由方程的解與實驗結果相符得到證實1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經典能量表達式，則可由S.Eq.求出波函數說明：1933年薛定諤獲得諾貝爾物理學獎只要找到體系的經典能76討論：定態時，概率密度不隨t變定態時，解得的E為一些確定值----本征值，相應的波函數----本征函數討論：定態時，概率密度不隨t變定態時，解得的E為一些確定77四.求解的方法及的用途1.求的步驟：2.的用途求概率密度函數

求概率密度的極（大或小）值點：令，解出x=xm由體系的勢函數寫出S.Eq.解方程得一般解根據標準條件、歸一化條件確定有關常數四.求解的方法及的用途1.求的步驟：2.的用途求78進一步求粒子在某區域內出現的概率求粒子某一力學量的平均值進一步求粒子在某區域內出現的概率求粒子某一力學量的平均值79§3-4一維無限深勢阱阱外:阱內:設粒子作一維運動，勢函數§3-4一維無限深勢阱阱外:阱內:設粒子作一維運動，勢80由波函數的連續條件：令其通解為C、---待定常數由波函數的連續條件：令其通解為C、---待定常數81由歸一化條件得----能量量子化n：粒子能量量子數由歸一化條件得----能量量子化n：粒子能量量子數82討論：n0：因n=0

則n0，無意義

n=1：----基態能

，能量間隙不均勻，隨n的增大而增大討論：n=1：----基態能，能量間隙不83除端點(x=0,x=a)外，阱內n=0處為節點。基態無節點，第一激發態有一個節點，，第n

激發態有n個節點除端點(x=0,x=a)外，阱內n=0處為節點。基態無節點84[例]質量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求：粒子在0xa/4區間中出現的概率，并對n=1和n=的情況算出概率值。在哪些量子態上，a/4處的概率密度最大？解：已知粒子出現在0xa/4中的概率：[例]質量為m的微觀粒子處在寬度為a的一維無限深勢阱中，試求85時時時時86處最大時有處最大時有87設粒子在x方向運動，勢能分布：經典觀點：時：粒子可越過勢壘到達3區時：粒子被勢壘反彈回去§3-5一維勢壘諧振子一.一維勢壘設粒子在x方向運動，勢能分布：經典觀點：時：粒子可越過勢壘到88量子力學：解S.Eq.可得：當E<U0時,仍有粒子穿過2區進入3區:1區：入射波+反射波2區：透射波+反射波3區：透射波量子力學：解S.Eq.可得：當E<U0時,仍有粒子89在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定概率穿過勢壘討論：----隧道效應貫穿勢壘的概率(貫穿系數)為:即：T與勢壘寬度a、高度U0有關應用:ScanningTunnelMicroscope(STM)

在粒子總能量低于勢壘壁高時，粒子有一定概率穿過勢壘討論：-90癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)癌細胞表面圖像硅表面圖像掃描隧道顯微鏡(STM)91描述的微觀粒子運動的波函數課件92描述的微觀粒子運動的波函數課件93一氧化碳“分子人”“原子和分子的觀察與操縱”--白春禮“掃描隧道繪畫”一氧化碳“分子人”“掃描隧道繪畫”94

二.諧振子一維諧振子的勢能為其中薛定諤方程為二.諧振子其中薛定諤方程為95

可解得(3)最小能量為(1/2)h討論：(1)線性諧振子的能量是量子化的(2)能級均勻分布，能隙為h或可解得(3)最小能量為(1/2)h討論：(1)線性諧振子96氫原子H

中，可認為N不動，e在N周圍運動S.eq.：系統的勢函數：§3-6氫原子的量子力學處理方法轉換到球坐標系中求解得：氫原子S.eq.：系統的勢函數：§3-6氫原子的量子力學處971.能量量子化和主量子數----能量量子化----主量子數由(3)可得H能量：基態激發態E>0，表HH+1.能量量子化和主量子數----能量量子化----主量子數由98其中----玻耳半徑En可改寫為能級躍遷：----形成譜線其中----玻耳半徑En可改寫為能級躍遷：----形成譜線992.角動量量子化和角量子數對一定的n值,

l

有n個可能取值由(2)可得e繞N運動的角動量----角量子數----量子化2.角動量量子化和角量子數對一定的n值,l有n個可能取1003.角動量空間量子化和磁量子數對一定的l

值，ml

有(2

l+1)個可能取值解(1)可得----磁量子數ml決定電子繞核運動角動量在空間的取向Lz，zyxml滿足：3.角動量空間量子化和磁量子數對一定的l值，101結論：H原子中電子的狀態由３個量子數決定(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）決定電子軌道角動量在外磁場中的取向。(1)主量子數n（n=1,2,）決定電子的能量(2)角量子數l（l=0,1,2,,n-1）決定電子的軌道角動量的大小結論：(3)磁量子數ml（ml=0,1,2,,l）102氫原子的電子云圖氫原子的電子云圖103

施特恩-格拉赫實驗：1921年，為驗證電子角動量空間量子化，設計了如圖實驗：無磁場有磁場原子源§3-7電子的自旋施特恩-格拉赫