第十八章18.2.3菱形及其性質人教版數學八年級下冊第十八章18.2.3菱形及其性質人教版數學八年級下冊1平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；對角線平行四邊形的對角線互相平分；溫故知新復習舊知平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相2同學們，將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發現這是一個什么樣的圖形呢？菱形及其性質導入新知同學們，將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打3學習目標1.掌握的定義和性質及菱形面積的求法.2.靈活運用菱形的性質解決問題．學習目標1.掌握的定義和性質及菱形面積的求法.41知識點菱形的定義在平行四邊形中，如果內角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？

平行四邊形有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形鄰邊相等合作探究1知識點菱形的定義在平行四邊形中，如果內角大5有一組的叫做鄰邊相等平行四邊形ADCB∵四邊形ABCD是平

行四邊形

AB=BC∴四邊形ABCD是菱形菱形.

有一組的6感受生活你能舉出生活中你看到的菱形嗎？感受生活你能舉出生活中你看到的菱形嗎？7生活感受生活感受8例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于

點F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？因為DE∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導引：例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB因9四邊形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF為菱形(有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形)．解：四邊形DECF是菱形．理由如下：解：10

本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．新知小結本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可新知小結111如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB鞏固新知1如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC122知識點菱形的邊的性質

菱形具有平行四邊形的所有性質．此外，菱形還具有哪些特殊性質呢?根據菱形的軸對稱性，你發現菱形的四條邊具有什么大小關系?問

題菱形的四條邊都相等.合作探究2知識點菱形的邊的性質菱形具有平行四邊形的所13例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因為∠B＝60°，連接AC，則△ABC是等邊三角形，又因為E分別是BC的中點，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周長為

，故選B.B分析：例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，14四邊形不具有的一些特殊性質呢？點O，且AB=5，AO=4.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角證△AEF為等邊三角形，由AE＝AF知，只需證∠EAFA．5cm∵四邊形ABCD是菱形，所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.四邊形DECF是菱形．理由如下：由于菱形的四條邊都相等，三角形中利用勾股定理來進行計算．【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為()例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB點F.如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②

在菱形中作輔助線經常連接對角線，構造三角形來做題，能夠迎刃而解.新知小結四邊形不具有的一些特殊性質呢？在菱形中作輔助151邊長為3cm的菱形的周長是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cmC鞏固新知1邊長為3cm的菱形的周長是()C鞏固新知162【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，則△AEF的面積是(

)A．4B．3C．2D.B2【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60173【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點D為圓心，菱形的高DF為半徑畫弧，交AD于點E，交CD于點G，則圖中陰影部分的面積是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA3【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝184【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點，BP＝3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′.當CA′的長度最小時，CQ的長為(

)A．5B．7C．8D.B4【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°193知識點菱形的對角線的性質

因為菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質.由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？思考菱形的兩條對角線AC與BD之間具有什么位置關系?合作探究3知識點菱形的對角線的性質因為菱形是平行四邊20

對于菱形，我們仍然從它的對角線等方面進行研究.可以發現并證明(請你自己完成證明)，菱形還有以下性質：

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.對于菱形，我們仍然從它的對角線等方面進行研21問題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時，要靈活運用使計算簡單.問題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：22由于菱形的四條邊都相等，所以要求其周長就要先求出其邊長．由菱形的性質可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理來進行計算．例3如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于

點O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周長．導引：由于菱形的四條邊都相等，例3如圖，在菱形ABCD中，對23∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周長＝4AB解：∵四邊形ABCD是菱形，解：24別是CB，CD上的點，且BE＝DF.D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為()菱形的面積如何計算呢？C．D．3∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.又因為AB＝5，AO＝4，∴四邊形ABCD是菱形稱軸是分別經過兩組對角頂點的兩條直線．A．③→②→①→④B．③→④→①→②三角形中利用勾股定理來進行計算．四邊形不具有的一些特殊性質呢？A．2B.∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．掌握的定義和性質及菱形面積的求法.所以在Rt△AOB中，OB＝∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，

菱形的對角線將菱形分成四個全等的直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關線段的長轉化為求直角三角形中相關線段的長，再利用勾股定理來計算．新知小結別是CB，CD上的點，且BE＝DF.菱形的對25如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(結果保留小數點后兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).例4如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿26∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).解：∵花壇ABCD的形狀是菱形，解：27菱形的面積有三種計算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半．說明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應

用(3)這種方法時不要忽視“一半”．新知小結菱形的面積有三種計算方法：新知小結281四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長.如圖所示，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因為AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：鞏固新知1四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于如圖所示，因為292已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因為AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周長為AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面積為

AC·BD＝×8×6＝24.解：2已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.303【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(

)A．2B.C．3D．4D3【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角314【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O.求證：AC⊥BD.以下是排亂的證明過程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四邊形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.證明步驟正確的順序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②B4【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．B325【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cmD5【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別33我們已經知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是中心對稱圖形，想一想菱形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，對稱軸各幾條？菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條.拓展延伸我們已經知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是34

菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.對稱軸是分別經過兩組對角頂點的兩條直線．菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.對35例5如圖①，在菱形ABCD中，E，F分

別是CB，CD上的點，且BE＝DF.(1)求證：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，點E，F分

別是BC，CD的中點，求證：△AEF為等邊三角形.(1)要證AE＝AF，只需證△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相關性質進行證明即可．(2)如圖②，要證△AEF為等邊三角形，由AE＝AF知，只需證∠EAF＝60°即可，要證∠EAF＝60°，只需證∠1＝∠2＝30°即可，這可由菱形及等邊三角形相關知識證出．導引：例5如圖①，在菱形ABCD中，E，F分(1)要證AE＝36(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如圖②，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.∵E為BC的中點，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形．證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，證明：37

菱形的每條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形(特殊時為兩個全等的等邊三角形)，兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關菱形的一些證明與計算問題常常與特殊的三角形的有關問題綜合在一起．新知小結菱形的每條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三新381菱形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數為(

)A．2條B．4條C．6條D．8條A鞏固新知1菱形是軸對稱圖形，其對稱軸的條數為()A鞏固新知392【中考·益陽】下列性質中菱形不一定具有的性質是(

)A．對角線互相平分B．對角線互相垂直C．對角線相等D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C2【中考·益陽】下列性質中菱形不一定具有的性質是()C401．菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做

菱形

2．菱形的性質：(1)它具有平行四邊形的一切性質.(2)菱形的四條邊相等.(3)菱形的對角線互相垂直，并且一條對角線平分

一組對角.歸納新知1．菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做歸納新知41鄰邊鄰邊相等課后練習鄰邊鄰邊相等課后練習42BB43BB44把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關菱形的四邊形不具有的一些特殊性質呢？證明步驟正確的順序是()證明步驟正確的順序是()所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.點O，BD＝12cm，AC＝6cm.菱形的兩條對角線AC與BD之間具有什么位置關系?又因為AB＝5，AO＝4，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.由于菱形的四條邊都相等，同學們，將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發現這是一個什么樣的圖形呢？如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以要求其周長就要先求四邊形DECF是菱形．理由如下：(1)它具有平行四邊形的一切性質.花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB的平行四邊形是菱形求證即∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四條邊12cm把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關菱形的四條邊12c45CC46CC47CC48互相平分且垂直平分一組對角一半對稱軸互相平分且垂直平分一組對角一半對稱軸49BB50CC51CC52菱形的面積如何計算呢？又∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．又因為AB＝5，AO＝4，C．6條D．8條別是CB，CD上的點，且BE＝DF.C．12cmD．15cm∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是()兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).(1)它具有平行四邊形的一切性質.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.C．①→②→④→③D．①→④→③→②邊長為3cm的菱形的周長是()角線AC，BD交于點O.三角形中利用勾股定理來進行計算．例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB菱形的面積如何計算呢？53【答案】B【答案】B54數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課55數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課56數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課57數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課58數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課59數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課60數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課61數學八年級下冊菱形及其性質課件公開課62再見再見63第十八章18.2.3菱形及其性質人教版數學八年級下冊第十八章18.2.3菱形及其性質人教版數學八年級下冊64平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；對角線平行四邊形的對角線互相平分；溫故知新復習舊知平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相65同學們，將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發現這是一個什么樣的圖形呢？菱形及其性質導入新知同學們，將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打66學習目標1.掌握的定義和性質及菱形面積的求法.2.靈活運用菱形的性質解決問題．學習目標1.掌握的定義和性質及菱形面積的求法.671知識點菱形的定義在平行四邊形中，如果內角大小保持不變僅改變邊的長度，能否得到一個特殊的平行四邊形？

平行四邊形有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形鄰邊相等合作探究1知識點菱形的定義在平行四邊形中，如果內角大68有一組的叫做鄰邊相等平行四邊形ADCB∵四邊形ABCD是平

行四邊形

AB=BC∴四邊形ABCD是菱形菱形.

有一組的69感受生活你能舉出生活中你看到的菱形嗎？感受生活你能舉出生活中你看到的菱形嗎？70生活感受生活感受71例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB

于點D，DE∥AC交BC于點E，DF∥BC交AC于

點F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？因為DE∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導引：例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB因72四邊形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF為菱形(有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形)．解：四邊形DECF是菱形．理由如下：解：73

本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．新知小結本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可新知小結741如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB鞏固新知1如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點，DE∥AC752知識點菱形的邊的性質

菱形具有平行四邊形的所有性質．此外，菱形還具有哪些特殊性質呢?根據菱形的軸對稱性，你發現菱形的四條邊具有什么大小關系?問

題菱形的四條邊都相等.合作探究2知識點菱形的邊的性質菱形具有平行四邊形的所76例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分別是BC、CD的中點，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因為∠B＝60°，連接AC，則△ABC是等邊三角形，又因為E分別是BC的中點，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周長為

，故選B.B分析：例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，77四邊形不具有的一些特殊性質呢？點O，且AB=5，AO=4.∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角證△AEF為等邊三角形，由AE＝AF知，只需證∠EAFA．5cm∵四邊形ABCD是菱形，所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.四邊形DECF是菱形．理由如下：由于菱形的四條邊都相等，三角形中利用勾股定理來進行計算．【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為()例1已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB點F.如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②

在菱形中作輔助線經常連接對角線，構造三角形來做題，能夠迎刃而解.新知小結四邊形不具有的一些特殊性質呢？在菱形中作輔助781邊長為3cm的菱形的周長是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cmC鞏固新知1邊長為3cm的菱形的周長是()C鞏固新知792【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EF，則△AEF的面積是(

)A．4B．3C．2D.B2【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60803【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點D為圓心，菱形的高DF為半徑畫弧，交AD于點E，交CD于點G，則圖中陰影部分的面積是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA3【中考·重慶】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝814【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點，BP＝3，Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應點為A′.當CA′的長度最小時，CQ的長為(

)A．5B．7C．8D.B4【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°823知識點菱形的對角線的性質

因為菱形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質.由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？思考菱形的兩條對角線AC與BD之間具有什么位置關系?合作探究3知識點菱形的對角線的性質因為菱形是平行四邊83

對于菱形，我們仍然從它的對角線等方面進行研究.可以發現并證明(請你自己完成證明)，菱形還有以下性質：

菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.對于菱形，我們仍然從它的對角線等方面進行研84問題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時，要靈活運用使計算簡單.問題菱形的面積如何計算呢？菱形的面積有兩種計算方法：85由于菱形的四條邊都相等，所以要求其周長就要先求出其邊長．由菱形的性質可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理來進行計算．例3如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于

點O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周長．導引：由于菱形的四條邊都相等，例3如圖，在菱形ABCD中，對86∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周長＝4AB解：∵四邊形ABCD是菱形，解：87別是CB，CD上的點，且BE＝DF.D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為()菱形的面積如何計算呢？C．D．3∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.又因為AB＝5，AO＝4，∴四邊形ABCD是菱形稱軸是分別經過兩組對角頂點的兩條直線．A．③→②→①→④B．③→④→①→②三角形中利用勾股定理來進行計算．四邊形不具有的一些特殊性質呢？A．2B.∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．掌握的定義和性質及菱形面積的求法.所以在Rt△AOB中，OB＝∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，

菱形的對角線將菱形分成四個全等的直角三角形，我們通常將菱形問題中求相關線段的長轉化為求直角三角形中相關線段的長，再利用勾股定理來計算．新知小結別是CB，CD上的點，且BE＝DF.菱形的對88如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(結果保留小數點后兩位)和花壇的面積(結果保留小數點后一位).例4如圖，菱形花壇ABCD的邊長為20m，∠ABC=60°，沿89∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=×20=10，∴花壇的兩條小路長AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).解：∵花壇ABCD的形狀是菱形，解：90菱形的面積有三種計算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；(2)對角線分得的四個全等直角三角形面積之和；(3)兩條對角線乘積的一半．說明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應

用(3)這種方法時不要忽視“一半”．新知小結菱形的面積有三種計算方法：新知小結911四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的長.如圖所示，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，OB＝OD.又因為AB＝5，AO＝4，所以在Rt△AOB中，OB＝所以BD＝2OB＝2×3＝6，AC＝2AO＝2×4＝8.解：鞏固新知1四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于如圖所示，因為922已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.如圖，由已知得，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6.所以OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.又由題意知AC⊥BD，所以在Rt△OAB中，AB＝又因為AB＝BC＝CD＝AD，所以菱形的周長為AB＋BC＋CD＋AD＝4AB＝4×5＝20，菱形的面積為

AC·BD＝×8×6＝24.解：2已知菱形的兩條對角線的長分別是6和8，求菱形的周長和面積.933【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(

)A．2B.C．3D．4D3【中考·南充】已知菱形的周長為4，兩條對角944【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O.求證：AC⊥BD.以下是排亂的證明過程：①又BO＝DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四邊形ABCD是菱形；④∴AB＝AD.證明步驟正確的順序是(

)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②B4【中考·河北】求證：菱形的兩條對角線互相垂直．B955【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6cm，8cm，則這個菱形的周長為(

)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cmD5【中考·長沙】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別96我們已經知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是中心對稱圖形，想一想菱形是不是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，對稱軸各幾條？菱形是軸對稱圖形，對稱軸有兩條.拓展延伸我們已經知道菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形是97

菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.對稱軸是分別經過兩組對角頂點的兩條直線．菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.對98例5如圖①，在菱形ABCD中，E，F分

別是CB，CD上的點，且BE＝DF.(1)求證：AE＝AF.(2)若∠B＝60°，點E，F分

別是BC，CD的中點，求證：△AEF為等邊三角形.(1)要證AE＝AF，只需證△AEB≌△AFD，由BE＝DF及菱形的相關性質進行證明即可．(2)如圖②，要證△AEF為等邊三角形，由AE＝AF知，只需證∠EAF＝60°即可，要證∠EAF＝60°，只需證∠1＝∠2＝30°即可，這可由菱形及等邊三角形相關知識證出．導引：例5如圖①，在菱形ABCD中，E，F分(1)要證AE＝99(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF.(2)如圖②，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC.

又∵∠B＝60°，∴△ABC為等邊三角形．∴∠BAC＝60°.∵E為BC的中點，∴∠1＝∠BAC＝30°.

同理∠2＝30°，∴∠EAF＝60°.

又∵AE＝AF，∴△AEF為等邊三角形．證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形，證明：100

菱形的每條對角線把菱形分成兩個全等的等腰三角形(特殊時為兩個全等的等邊三角形)，兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形．所以有關菱形的一些證明與計算問題常常與特殊的三角形的有關問題綜合在一起．新知小結菱形的每條對角線把