課標專用5年高考3年模擬A版2020高考數學專題十一概率與統計5變量間的相關關系統計案例試題理課標專用5年高考3年模擬A版2020高考數學專題十一概率與統計5變量間的相關關系統計案例試題理PAGEPAGE29課標專用5年高考3年模擬A版2020高考數學專題十一概率與統計5變量間的相關關系統計案例試題理變量間的相關關系、統計案例挖命題【考情探究】考點內容解讀5年考情預測熱度考題示例考向關聯考點1。變量間的相關關系①會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，會利用散點圖認識變量間的相關關系.②了解最小二乘法的思想,能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程2018課標Ⅱ,18,12分利用回歸方程進行預測折線圖★★☆2016課標Ⅲ，18,12分求線性回歸方程和預測值折線圖2015課標Ⅰ,19,12分求線性回歸方程和預測值函數最值2.獨立性檢驗了解下列一些常見的統計方法,并能應用這些方法解決一些實際問題。①了解獨立性檢驗(只要求2×2列聯表)的基本思想、方法及其簡單應用.②了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用2018課標Ⅲ,18，12分獨立性檢驗莖葉圖2017課標Ⅱ,18,12分獨立性檢驗頻率分布直方圖分析解讀對于回歸分析,高考考查較多，主要考查求線性回歸方程、利用回歸方程進行預測,一般以解答題的形式出現，難度中等，有時也會以小題的形式考查變量間的相關關系;對于獨立性檢驗，一般以解答題的一問進行考查，常與概率知識交匯命題.考查學生的數據分析能力、邏輯推理能力.破考點【考點集訓】考點一變量間的相關關系1.(2018河南焦作四模，3）已知變量x和y的統計數據如下表:x34567y2.5344.56根據上表可得回歸直線方程為y^=b^x—0。25,據此可以預測當x=8時,A。6.4B。6。25C.6.55D。6。45答案C2.根據如下樣本數據：x34567y4。0a-5。4—0。50.5b—0.6得到的回歸方程為y^A.增加1。4個單位B。減少1.4個單位C.增加7。9個單位D。減少7。9個單位答案B考點二獨立性檢驗1。（2017湖南邵陽二模,3）假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯表：y1y2總計x1a10a+10x2c30c+30總計6040100對同一樣本，以下數據能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為（）A。a=45，c=15B。a=40,c=20C.a=35，c=25D.a=30，c=30答案A2.（2018遼寧丹東期末教學質量監測,7)某校為了研究學生的性別和對待某一活動的態度（支持與不支持）的關系,運用2×2列聯表進行獨立性檢驗,經計算K2=6.705，則所得到的統計學結論是:有的把握認為“學生性別與支持該活動沒有關系”。()

附：P（K2≥k）0.1000.0500.0250。0100.001K2.7063.8415.0246。63510。828A。99.9%B。99%C。1％D。0.1％答案C煉技法【方法集訓】方法1回歸直線方程的求解與運用1。(2018湖南張家界三模，4)已知變量x,y之間的線性回歸方程為y^=-0。7x+10.3,且變量x，y之間的一組相關數據如下表所示，則下列說法錯誤x681012y6m32A.變量x,y之間呈負相關關系B?？梢灶A測，當x=20時,y^C。m=4D。該回歸直線必過點（9，4)答案C2。(2017安徽皖南一模,4）下列說法錯誤的是()A?；貧w直線過樣本點的中心（x，y）B.兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數的絕對值就越接近1C。在回歸直線方程y^=0.2x+0。8中，當解釋變量x每增加1個單位時,預報變量yD.對于分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關系"的把握程度越小答案D方法2獨立性檢驗1。（2018安徽黃山一模,3)在吸煙與患肺癌這兩個分類變量的獨立性檢驗的計算中，下列說法正確的是（）A。若K2的觀測值為k=6。635,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺癌B。由獨立性檢驗可知，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系時，我們說某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺癌C.若從統計量中求出在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為吸煙與患肺癌有關系,是指有1%的可能性使得判斷出現錯誤D.以上三種說法都不正確答案C2。（2017安徽池州4月模擬,18）某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計,繪制的頻率分布直方圖如圖所示。規定80分以上者晉級成功，否則晉級失敗(滿分為100分)。（1)求圖中a的值；（2)估計該次考試的平均分x(同一組中的數據用該組的區間中點值代表)；（3）根據已知條件完成下面2×2列聯表,并判斷能否有85％的把握認為晉級成功與性別有關.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計參考公式：K2=n(ad-P(K2≥k）0。400.250。150。100.050。025k0.7081。3232。0722.7063。8415.024解析(1)由頻率分布直方圖中各小長方形面積總和為1，得(2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0。005.（2）由頻率分布直方圖知各小組的中點值依次是55,65，75，85,95,對應的頻率分別為0.05,0.30，0.40，0。20,0.05,則估計該次考試的平均分x=55×0.05+65×0.3+75×0。4+85×0.2+95×0.05=74(分）.(3)由頻率分布直方圖知,晉級成功的頻率為0.2+0。05=0.25，故晉級成功的人數為100×0.25=25,填寫2×2列聯表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100K2=n(ad-所以有85%的把握認為晉級成功與性別有關.過專題【五年高考】A組統一命題·課標卷題組考點一變量間的相關關系1.（2018課標Ⅱ,18，12分)下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y（單位:億元）的折線圖.為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型。根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2,…,17）建立模型①：y^=-30。4+13.5t;根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：y（1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值;(2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.解析(1)利用模型①,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為y^利用模型②,該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為y^（2)利用模型②得到的預測值更可靠.理由如下：(i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13。5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型y^(ii)從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226。1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分。方法總結利用直線方程進行預測是對總體的估計,此估計值不是準確值；利用回歸方程進行預測(把自變量代入回歸直線方程)是對因變量的估計,此時，需要注意自變量的取值范圍.2.（2015課標Ⅰ,19，12分，0。349）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位:千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z（單位:千元）的影響。對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值。xyw∑i=18（xi—∑i=18(wi-∑i=18(xi-x)(yi∑i=18(wi-w）(yi46。65636.8289.81。61469108.8表中（1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由)（2）根據(1）的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程;(3)已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z=0。2y-x.根據(2)的結果回答下列問題:（i)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少？（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大?附:對于一組數據(u1，v1），（u2，v2），…，(un，vn）,其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為β^=∑i=1n(ui解析（1）由散點圖可以判斷,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型.（2分）(2）令w=x，先建立y關于w的線性回歸方程.由于d^=∑i=1c^=y-d所以y關于w的線性回歸方程為y^=100。6+68w,因此y關于x的回歸方程為y^=100。6+68(3)（i)由（2)知，當x=49時,年銷售量y的預報值y^=100.6+6849年利潤z的預報值z^(ii)根據（2）的結果知,年利潤z的預報值z^=0.2（100.6+68x）-x=-x+13.6x所以當x=13.即x=46。24時，z^故年宣傳費為46。24千元時,年利潤的預報值最大。（12分）思路分析(1)根據散點圖中點的分布趨勢進行判斷.(2)先設中間量w=x，建立y關于w的線性回歸方程，進而得y關于x的回歸方程.(3)(i)將x=49代入回歸方程求出y的預報值,進而得z的預報值,（ii)求出z關于x的回歸方程,進而利用函數方法求最大值。考點二獨立性檢驗1.（2018課標Ⅲ,18，12分)某工廠為提高生產效率，開展技術創新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式。為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式.根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min）繪制了如下莖葉圖:(1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高,并說明理由;（2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表:超過m不超過m第一種生產方式第二種生產方式(3)根據(2）中的列聯表,能否有99％的把握認為兩種生產方式的效率有差異?附：K2=n(P（K2≥k）0。0500。0100.001k3.8416.63510。828。解析（1）第二種生產方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高。（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85。5分鐘,用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73。5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高。(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布。又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區間相同,故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少。因此第二種生產方式的效率更高.以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2)由莖葉圖知m=79+812列聯表如下:超過m不超過m第一種生產方式155第二種生產方式515(3)由于K2=40×(思路分析(1)根據莖葉圖中的數據大致集中在哪個莖,作出判斷；（2）通過莖葉圖確定數據的中位數,按要求完成2×2列聯表;（3)根據（2)中的列聯表，將有關數據代入公式計算得K2的值,查表作出統計推斷.解后反思獨立性檢驗問題的常見類型及解題策略（1)已知分類變量的數據,判斷兩個分類變量的相關性,可依據數據及公式計算K2，然后作出判斷;（2）獨立性檢驗與概率統計的綜合問題,關鍵是根據獨立性檢驗的一般步驟,作出判斷，再根據概率統計的相關知識求解。2。(2017課標Ⅱ,18，12分）海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位：kg），其頻率分布直方圖如下:(1)設兩種養殖方法的箱產量相互獨立,記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg,新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；（2)填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99％的把握認為箱產量與養殖方法有關;箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養殖法新養殖法（3)根據箱產量的頻率分布直方圖,求新養殖法箱產量的中位數的估計值(精確到0。01)。附：P（K2≥k)0.0500。0100。001k3。8416。63510。828，K2=n(解析(1)記B表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg”，C表示事件“新養殖法的箱產量不低于50kg".由題意知P(A)=P（BC)=P(B）P(C).舊養殖法的箱產量低于50kg的頻率為(0。012+0。014+0。024+0。034+0。040）×5=0。62，故P（B）的估計值為0.62。新養殖法的箱產量不低于50kg的頻率為（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66,故P（C）的估計值為0.66。因此，事件A的概率估計值為0.62×0.66=0。4092。(2）根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量<50kg箱產量≥50kg舊養殖法6238新養殖法3466K2=200×(由于15。705〉6.635，故有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關。(3)因為新養殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50kg的直方圖面積為（0.004+0.020+0.044）×5=0.34〈0。5，箱產量低于55kg的直方圖面積為（0.004+0。020+0。044+0。068）×5=0.68〉0。5，故新養殖法箱產量的中位數的估計值為50+0.解后反思解獨立性檢驗問題的關注點:(1）兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題。（2）兩個關鍵:①準確畫出2×2列聯表；②準確理解K2。B組自主命題·省(區、市）卷題組1.(2017山東,5,5分)為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米）和身高y（單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為y^=b^x+a^.已知∑i=110xi=225,A.160B。163C.166D。170答案C2.（2015福建,4,5分)為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表:收入x(萬元)8.28。610。011。311。9支出y（萬元）6.27.58。08。59。8根據上表可得回歸直線方程y^=b^x+a^，其中b^=0.76,a^據此估計,該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為（）A。11.4萬元B。11.8萬元C.12。0萬元D.12。2萬元答案BC組教師專用題組1.（2014湖北，4,5分）根據如下樣本數據x345678y4.02.5—0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為y^A。a〉0,b>0B。a>0，b〈0C。a〈0,b>0D.a<0,b<0答案B2。(2014重慶,3，5分）已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數x=3,y=3。5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能是（）A.y^=0.4x+2.3B。yC。y^=—2x+9.5D。y答案A3。（2014課標Ⅱ,19,12分，0。311)某地區2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位:千元)的數據如下表:年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44。85。25。9(1）求y關于t的線性回歸方程；(2）利用（1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況,并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b^=∑i=1n(ti解析（1）由所給數據計算得t=17y=17∑i=17（ti-t∑i=17（ti-t）（yib^=∑i=1a^=y—b所求回歸方程為y^(2）由(1）知，b^將2015年的年份代號t=9代入（1)中的回歸方程,得y^故預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入為6。8千元.易錯警示解題時容易出現計算錯誤，計算時一定要仔細.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分，共20分）1。（2019屆湖南長沙雅禮中學高三上學期月考（一）,5)已知回歸直線方程的斜率的估計值是1。23,樣本點的中心為(4,5），則回歸直線的方程是（)A。y^=1。23x+4B.yC.y^=1。23x+0.08D.y答案C2。(2018廣東五校聯考,3）下表是我國某城市在2017年1月份至10月份10個月的最低氣溫與最高氣溫（℃)的數據一覽表。月份12345678910最高氣溫59911172427303121最低氣溫—12-31—271719232510已知該城市各月的最低氣溫與最高氣溫具有相關關系，根據表格下列結論錯誤的是（)A。最低氣溫與最高氣溫為正相關B。每月最高氣溫和最低氣溫的平均值在前8個月逐月增加C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現在1月D。1月至4月的月溫差(最高氣溫減最低氣溫)相對于7月至10月，波動性更大答案B月份12345678910最高氣溫59911172427303121最低氣溫—12—31—271719232510溫差171281310787611由表格可知最低氣溫大致隨最高氣溫的增大而增大，A正確;每月最高氣溫與最低氣溫的平均值在前8個月不是逐月增加，B錯;月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現在1月,C正確;1月至4月的月溫差（最高氣溫減最低氣溫)相對于7月至10月,波動性更大，D正確,故選B.3。(2017湖南益陽調研，4）某公司2010—2015年的年利潤(單位:百萬元)與年廣告支出y(單位:百萬元)的統計資料如下表所示:年份201020112012201320142015利潤x（百萬元）12。214.6161820.422.3支出y(百萬元)0.620。740.810.891。001.11根據統計資料,則(）A。年利潤中位數是16,y與x具有正的線性相關關系B.年利潤中位數是17,y與x具有正的線性相關關系C。年利潤中位數是17，y與x具有負的線性相關關系D。年利潤中位數是18，y與x具有負的線性相關關系答案B4。(2017陜西漢中一模，3)已知兩個隨機變量x,y之間的相關關系如下表所示:x-4—2124y-5-3-1—0。51根據上述數據得到的回歸方程為y^=b^x+A。a^>0，b^>0B。a^C.a^<0，b^>0D。a^答案C二、填空題（共5分)5.(2018湖南師大附中月考(三),14）在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快,這已經成為全球性的威脅，為了考察某種埃博拉病毒疫苗的效果,現隨機抽取100只小鼠進行試驗,得到如下列聯表:感染未感染總計服用104050未服用203050總計3070100參照附表,在犯錯誤的概率不超過(填百分比)的前提下,可認為“該種疫苗有預防埃博拉病毒感染的效果".

參考公式：K2=n(附表:P(K2≥k0)0.100。050.0250.0100。0050。001k02。7063.8415.0246.6357.87910.828答案5％三、解答題(共50分）6。(2019屆陜西四校聯考模擬,18)經調查,3個成年人中就有一個人有高血壓,那么什么是高血壓?血壓多少是正常的?經國際衛生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查,得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：年齡x（歲）2832384248525862收縮壓y(單位:mmHg）114118122127129135140147其中：b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1（1)請畫出表中數據的散點圖;（2）請根據表中提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y^=b^x+a^;(a(3)若規定,一個人的收縮壓為標準值的0。9～1.06倍,則為血壓正常人群；收縮壓為標準值的1.06~1.12倍,則為輕度高血壓人群;收縮壓為標準值的1。12～1。20倍,則為中度高血壓人群;收縮壓為標準值的1。20倍及以上，則為重度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人,屬于哪類人群？解析(1)（2）x=28+32+38+42+48+52+58+628y=114+118+122+127+129+135+140+1478b^=∑i=18xiyi-nxy∑（3）根據回歸直線方程的預測，年齡為70歲的老人標準收縮壓約為0.91×70+88.05=151.75（mmHg）,180151方法總結求回歸直線方程的步驟:①依據樣本數據畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關關系；②計算x，y,∑i=1nxi2，∑i=1nxiyi的值；③計算回歸系數a^，b^7。（2019屆安徽黃山11月“八校聯考”,19）2018年7月24日，長春長生生物科技有限責任公司先被查出狂犬病疫苗生產記錄造假,后又被測出百白破疫苗“效價測定”項不符合規定,由此引發的疫苗事件牽動了無數中國人的心。疫苗直接用于健康人群,尤其是新生兒和青少年，與人民的健康聯系緊密.因此，疫苗在上市前必須經過嚴格的檢測,并通過臨床實驗獲得相關數據，以保證疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所將某一型號疫苗用在小白鼠身上進行科研和臨床實驗,得到統計數據如下：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗20xA注射疫苗30yB總計5050100現從所有實驗小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗"小白鼠的概率為25(1）求2×2列聯表中的數據x，y，A，B的值;（2）能否有99.9%的把握認為注射此種疫苗有效？（3)現從感染病毒的小白鼠中任意抽取三只進行病理分析,記已注射疫苗的小白鼠只數為ξ，求ξ的分布列和數學期望。附：K2=n(P（K2≥k0）0。050。010.0050。001k03.8416。6357。87910.828解析(1)設從所有實驗小白鼠中任取一只,取到“注射疫苗”的小白鼠為事件A,由已知得P(A)=y+30100=（2）K2=100×(20×10-所以有99。9%的把握認為注射此種疫苗有效.（3）由已知得ξ的可能取值為0，1,2，3。P（ξ=0)=C403C503=247P(ξ=2)=C401C102C50∴ξ的分布列為ξ0123P247195453數學期望E（ξ）=247490×0+195490×1+45490思路分析(1)由從所有實驗小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率為25，根據古典概型概率公式列方程可求得y=10，進而可求得x,A，B的值;(2)利用K2=n(ad8.（2018河南信陽二模,18)為了解某省屬師范大學師范類畢業生參加工作后，從事的工作與教育是否有關的情況,隨機調查了該校80位性別不都相同的2016年師范類畢業大學生，得到具體數據如下表:與教育有關與教育無關合計男301040女35540合計651580(1）能否在犯錯誤的概率不超過5%