第1章長期增長I：新古典增長理論從經濟學原理的課程中我們已經知道，增長經濟學研究的是經濟的長期行為，它重點要闡明一個國家或一個地區的生產能力的變化原因。具體而言，我們要探討生產要素的積累和技術的改進是如何導致了生活水平的提高。在這部分內容中，我們將忽略經濟的短期波動，并且假定勞動、資本以及原材料等生產要素都是被充分利用的。經濟的增長率一般是指國內生產總值（GDP）的增長率，這一指標衡量了一個經濟的發展水平。圖1-1給出了我國在1978-2011年間的人均GDP水平。從圖中我們可以看到，以GDP衡量的我國經濟水平經歷了迅猛的發展。圖1-11978-2011年我國的人均GDP水平（單位：元/人）實際上，這并不是我國所特有的現象，如果我們考察一下整個世界范圍內的經濟數據也會發現，與二百年前相比，甚至與五十年前相比，整個世界的平均生活水平都有了大幅度的提高。但是，與此同時，在世界上的不同國家之間，或者在同一國家的不同地區之間，生活水平之間的差異卻又大得驚人。圖1-2描繪的是我國2011年度31個省市自治區的人均GDP情況。圖中的橫坐標從左到右依次代表北京、天津、河北、山西、內蒙古、遼寧、吉林、黑龍江、上海、江蘇、浙江、安徽、福建、江西、山東、河南、湖北、湖南、廣東、廣西、海南、重慶、四川、貴州、云南、西藏、陜西、甘肅、青海、寧夏、新疆。從圖中我們可以看到，最富裕地區（天津）的人均GDP與最貧窮地區（貴州）之間的差距達到了68800元。圖1-22011年我國31個省市自治區的人均GDP（單位：元/人）單單只就上面提到的這兩個事實（即在縱向上世界整體生活水平的迅速提高和在橫向上各國之間或一國內的各個地區之間生活水平的巨大差異），關于經濟增長研究的現實意義已不言而喻。正如盧卡斯（RobertE.Lucas）所言：“印度政府是否可以采取一些手段來使得印度經濟像印度尼西亞或埃及一樣增長？如果可以，是什么手段？如果不可以，那么使得它之所以如此的印度國情究竟是什么？對于涉及于此類問題之中的人類福利而言，結果是令人驚愕的：一旦你開始考慮它們，就很難再考慮其他的事情了。”Lucas,RobertE.,Jr.(1988).“OntheMechanicsofEconomicDevelopment,”JournalofMonetaryEconomics,22,1(July),3-42.本章所要探討的新古典增長模型或索洛-斯旺模型Solow,RobertM.(1956).“AContributiontotheTheoryofEconomicGrowth,”QuarterlyJournalofEconomics,70,February,65-94.Swan,TrevorW.(1956).“EconomicGrowthandCapitalAccumulation,”Solow,RobertM.(1956).“AContributiontotheTheoryofEconomicGrowth,”QuarterlyJournalofEconomics,70,February,65-94.Swan,TrevorW.(1956).“EconomicGrowthandCapitalAccumulation,”EconomicRecord,32(November),334-361.模型的基本假定索洛-斯旺模型考慮的是單部門經濟，并且假定經濟是封閉的。經濟的產出有兩種用途：消費或者投資。投資的多少取決于儲蓄的多少，這是因為在一個簡單的封閉經濟中，產出是等于收入的，從而投資也就恰好等于儲蓄。于是，在任何一個時間點上，物資資本存量的凈增加等于總投資減去折舊：（1.1）其中表示總投資，表示資本存量（表示關于時間的導數，即資本存量關于時間的變化率），表示勞動投入（如果我們將每個人的工作強度標準化為1，則也可看作是經濟的人口數量。在索洛-斯旺模型中，假定人口以外生不變的速率增長，即）；，表示資本的折舊率，即在每一時點上都有一個固定份額的資本要損耗掉；是外生給定的儲蓄率，；表示總量生產函數。值得指出的是，方程（1.1）不過是大家熟悉的國民收入核算中“儲蓄等于投資”這一性質的另一種表達方式。要想進一步得到資本和產出的運動規律，我們就要具體地討論生產函數的性質。實際上，關于生產函數假定的不一樣，可以導出各種截然不同的增長理論。在索洛-斯旺模型中，假定生產函數是新古典的，即滿足下面三個性質：具有正且遞減的邊際產品：，；，。規模報酬不變，即對于任意的，有：。滿足稻田（Inada）條件InadaKen-Ichi(1963).“OnaTwo-SectorModelofEconomicGrowth:CommentsandaGeneralization,InadaKen-Ichi(1963).“OnaTwo-SectorModelofEconomicGrowth:CommentsandaGeneralization,”ReviewofEconomicStudies,30(June),119-127.利用規模報酬不變的性質，我們可將方程（1.1）重新表述為所謂的人均量形式（percapitaform），或稱集約形式（intensiveform）。為此，記和分別表示人均資本存量和人均產出：，將方程（1.1）兩端同除以，并考慮到：我們可得到：（1.2）這就是索洛-斯旺模型的基本微分方程，其中可以理解為人均資本的有效折舊率。想象一下，如果經濟的儲蓄率為零，則由方程（1.2）可知，人均資本存量將以速率遞減，這有兩方面的原因：一是總資本存量總是以速率折舊；二是總人口以速率遞增。從另一個角度來說，如果經濟的投資恰好等于，則人均資本存量就可以保持一個不變的水平，因此我們也可將稱為持平投資。圖1-3描繪了方程（1.2）所定義的資本存量的變化規律。圖圖1-3索洛-斯旺模型第二節模型的穩態前面說到，增長理論研究的是經濟的長期行為。換句話說，我們要通過模型來確定出經濟的長期發展路徑，而與經濟的長期發展路徑密切相關的一個概念是穩定性。試想，如果我們已經通過模型分析知道了經濟的長期發展路徑，但是這條路徑卻是不穩定的，即初始狀態的稍有不同都會導致未來結果的巨大偏差，那么，基于這樣的長期發展路徑所做出的各種預測又有什么意義呢？因此，現代大多數的增長理論都著重分析經濟增長的“穩態（SteadyState）”和“平衡增長路徑（BalancedGrowthPath）”。簡言之，“穩態”是指一種在其中各種經濟變量都以不變速率增長的狀態。在此狀態下，經濟的增長路徑我們就稱之為“平衡增長路徑”。按照這樣的定義，我們將會發現，所謂“穩態（SteadyState）”和“平衡增長路徑（BalancedGrowthPath）”不過是一種非現實的理想狀態而已。因此，從更現實的角度出發，索洛認為，如果一個經濟的增長行為符合下面所描述的增長特征中的前三種或者前四種，那么我們就可認為經濟大致地處于平衡增長路徑上：1．人均（或每人時）實際產出在相當長的時期內以大致不變的速率增長。2．粗略地講，實際資本存量以一種大致不變的速率增長，且這種速度超過勞動投入的增長速度。于是，在長期內，人均資本也以大致穩定的速度增長。3．實際產出的增長率與資本存量的增長率大致上趨于一致。因而，資本產出比并未表現出一種系統化的變化趨勢。4．除了由有效需求的急劇變動偶爾引起的強烈變動之外，資本的利潤率呈現出水平的趨勢。5．人均產出的增長率可以在不同的國家之間呈現出巨大的差異。6．一種經濟中，如果利潤占收入的比例越高，則投資占產出的比例也越高。進一步地，索洛還認為，“現代經濟增長理論的大部分被用來分析穩定狀態的特征，以及被用來考察最初未處于穩定狀態的經濟在按特定的運動規律運行的情況下能否進入穩定狀態。”Solow,Robert(1970).GrowthTheory:AnExposition,Oxford:ClarendonPress.下面我們就來考察由方程（1.2）所定義的索洛-斯旺模型的穩態。將方程（1.2）兩端同除以得到：（1.3）上式左端表示的是人均資本存量的增長率，在穩態中應當是不變的；因此，上式右端中的在穩態中也應是不變的（參見上面提到的特征3），即在穩態中關于時間的導數為零：（1.4）上式當中的表示的是勞動的邊際產品，應為正。于是，在穩態中必有。因此，索洛-斯旺模型的穩態由下式決定（參見圖1-3）：（1.5）進一步地，我們還可知道，在平衡增長路徑上，人均產出和人均消費都是固定不變的。如果從總量的角度來看，總資本存量、總產出、以及總消費在平衡增長路徑上都是以人口增長率的速度增長。為討論穩態的穩定性，我們考察索洛-斯旺模型在附近的線性化系統：（1.6）可以證明，凹函數的斜率在時為無窮大，然后隨著的增加而減少，即曲線隨著的增加而變得逐漸平坦，并在處與直線相交。此時必有曲線的斜率小于直線凹函數的斜率在時為無窮大，然后隨著的增加而減少，即曲線隨著的增加而變得逐漸平坦，并在處與直線相交。此時必有曲線的斜率小于直線的斜率。索洛-斯旺模型的這一結論與人們所觀察到的一個多世紀以來的正的人均增長率的經驗事實是不相符合的Barro,RobertandXavierSala-i-Martin(1995).EconomicGrowth.McGraw-Hill,Inc.，在這個意義上我們說，Barro,RobertandXavierSala-i-Martin(1995).EconomicGrowth.McGraw-Hill,Inc.由上面的模型還可知，儲蓄率、人口增長率以及資本折舊率都可以影響到穩態中各種人均量的數值，但是對于人均量的長期增長率卻沒有影響。這就是說，不同的經濟系統可以有不同的穩態，并且從初始狀態到穩態的轉移路徑也可以不盡相同，但是最終的長期增長結果卻是一樣的，即都是零增長（在稍后我們要討論的具有技術進步的索洛-斯旺模型中，長期的增長率是外生的技術進步率）。但是我們知道，真正對人類的經濟福利有意義的經濟變量正是上面提到的這些人均量，因此，在索洛-斯旺模型中這些人均量的長期增長為零意味著探求更好的理論增長模型的工作才剛剛開始。第三節模型的轉移動態由于穩態是穩定的，因此，隨著時間的推移，人均資本存量水平最終會收斂到其自身的穩態值上來。在增長理論中，我們一般用符號來表示其下標所代表的經濟變量的增長率，因此，人均資本存量的增長率由下式決定：（1.7）其中是一條負斜率的曲線。。因此，上式表明，人均資本存量的增長率由資本的平均產品中的儲蓄部分和資本的有效折舊率之間的差額所決定。如圖1-4所示，當人均資本存量小于穩態水平時，增長率是正的，但隨著資本存量水平的增加，增長率在不斷地遞減，最終遞減為零，而資本存量水平達到了穩態水平；當人均資本存量大于穩態水平時，增長率是負的，從而資本存量水平不斷遞減，最終達到穩態的資本存量水平，增長率為零。。圖1-4索洛-斯旺模型的轉移動態由此可知，導致索洛-斯旺模型中長期的人均增長率為零的根本原因是遞減的資本報酬（參見本章的腳注7）。對外生給定的儲蓄率和資本的有效折舊率而言，當資本存量較低時，資本的平均產品相對較高，從而資本存量的增長率也就相對較高；但是，隨著資本存量的不斷增加，資本的平均產品將不斷遞減，從而在彌補了資本的有效折舊之后所達到的增長率也就不斷地遞減，最終下降到零。第四節條件收斂索洛-斯旺模型的一個重要性質是條件收斂。由圖1-4可以看出，初始的人均資本存量水平越低，則相應的增長率也就越高利用（4.7）式，可得。。這似乎意味著窮國或者貧窮的地區（即利用（4.7）式，可得。要回答上述問題，我們首先必須區分絕對收斂和條件收斂這兩個概念。所謂絕對收斂，是指在人均量上貧窮的經濟要比富裕的經濟增長得快，并且這不以經濟當中的任何其他特征為前提條件。但是，這一概念并沒有得到經驗數據的支持巴羅（巴羅（RobertBarro）和薩拉伊馬丁（XavierSala-i-Martin）在其著作《經濟增長》一書中利用涉及118個國家的跨國數據樣本考察了這一性質，結論是否定的。和絕對收斂相聯系的另一概念是條件收斂。所謂條件收斂，是指貧窮經濟和富裕經濟之間的收斂傾向是以經濟當中的一些其他特征為前提條件的。具體而言，如果這兩種經濟具有相同的穩態水平的話，則收斂的性質才成立，而這正是索洛-斯旺模型所預言的性質。利用方程（1.5）和（1.7）我們可得：（1.8）上式清楚地表明，只有當人均資本存量的較低水平是相對于其穩態值而言時，一個更低的值才會和一個更高的相對應。我們從（1.5）式可知，一個經濟的穩態水平是由經濟的生產函數、儲蓄率、人口增長率以及折舊率共同決定的。一般來說，不同的國家在這些經濟特征上必定存在著巨大的差異，因此，基于較廣泛的跨國數據集的經驗研究并不支持條件收斂的結論（這和本章的腳注9中所談到的絕對收斂性質缺乏經驗證據支持是一致的）。另一方面，如果我們考慮的跨國數據集中所涉及的國家都具有相似的經濟結構（比如，OECD國家），或者我們考慮的是同一個國家內的不同地區（比如，我國的各個省市，美國的各州，或者日本的各縣等），則大致上可以認為它們具有相同的穩態，從而條件收斂的性質應該成立巴羅（巴羅（RobertBarro）和薩拉伊馬丁（XavierSala-i-Martin）在其著作《經濟增長》一書中分別利用美國各州、日本各縣以及歐洲各地區的數據樣本考察了這一性質，結論是肯定的。如果經濟具有條件收斂的性質，則另一個令人感興趣的問題是收斂速度的快慢。如果這個速度很快的話，則我們只需關心穩態附近的經濟行為，因為大多數經濟將很快地接近其穩態；如果這個速度很慢的話，則經濟系統的行為將由轉移動態所主導。下面我們以科布-道格拉斯型生產函數為例來計算出經濟系統向著其自身穩態收斂的速度。在索洛-斯旺模型中，如果生產函數取科布-道格拉斯（Cobb-Douglas）的形式：，則相應的經濟增長率為：將上式在穩態附近對數線性化可得：其中，這一參數決定了從到的收斂速度。至于產出的增長速度，則由可知：由上式可得：（1.9）舉一個數值的例子：如果，則上述收斂過程的半衰期大約是14年，即經濟要想縮短其從初始位置到其自身穩態的距離的一半的話，大約要花費14年的時間。第五節儲蓄率的變化在索洛-斯旺模型中，穩態水平由儲蓄率、人口增長率、資本折舊率以及生產函數的具體形式共同決定，其中最容易受到政府政策影響的參數是儲蓄率。設想一下，如果政府引入某種政策把經濟的儲蓄率從原有的水平永久性地提高到一個新的水平，那么，這會給經濟中的其他變量帶來什么樣的影響呢？圖1-5儲蓄率增加的影響從圖1-5我們可以看到，儲蓄率的上升最終會導致穩態資本水平的提高，但是這種提高并不是瞬間達到的。起初，資本存量水平位于原先的穩態水平上，但是由于儲蓄率的提高導致實際的投資水平超過了持平投資，從而的增長率是正的，人均資本存量將持續上升直至達到新的穩態水平。儲蓄率的變化也會對人均消費產生影響。起初，儲蓄率從到的永久性提高將會立即導致人均消費的瞬時下降，但是，隨著資本存量的不斷增加，資本的平均產品不斷遞減，從而在保持不變的情形下，消費將開始上升，并最終達到一個新的穩態水平。一個有意思的問題是：人均消費的這個新穩態水平是否一定會超過儲蓄率提高前人均消費的穩態水平呢？這個問題的答案并不是確定的，它取決于原先資本存量的穩態水平是否處于我們下面將要談到的黃金率水平上。我們知道，不同的儲蓄率可以導致不同的穩態，因此，我們可以將穩態中的人均消費水平看作是儲蓄率的函數：（1.10）最大化穩態消費水平的一階條件為：（1.11）由于，故（1.12）上式稱為資本積累的黃金律Phelps,Edmund(1966).GoldenRulesofEconomicGrowth.NewYork:Norton.，我們記使得上式滿足的儲蓄率為，并將對應于的穩態人均資本存量和穩態人均消費水平分別記為和。下面我們可分兩種情況來討論Phelps,Edmund(1966).GoldenRulesofEconomicGrowth.NewYork:Norton.如果外生給定的儲蓄率大于，則相應地有和。若我們可將儲蓄率從降到，則在向轉移的整個過程中都保持著高于的消費水平。這就意味著，由外生儲蓄率所刻劃的經濟是過度儲蓄了，這樣的經濟被稱為是動態無效率的，這是索洛-斯旺模型可能出現的一個令人不滿意之處。如果外生給定的儲蓄率小于，則相應地有和。在此情形下，要想達到最大的穩態人均消費水平，我們必須提高當前的儲蓄率，但這就意味著我們必須放棄部分的當前消費。因此，在沒有很好地刻劃消費者對于當前消費和未來消費的評價標準之前，我們無法判斷儲蓄率的增加對于消費者的合意性。在本章附錄中，我們將引入內生的儲蓄率，這一問題就可以得到明確的答案。第六節具有技術進步的索洛-斯旺模型一般來說，技術和技術進步是兩個外延很廣的概念。從狹義上來說，技術可以是指某一具體的物理工具；而從廣義上來說，技術又可以是指整個社會化的過程。盡管在增長理論的文獻中，技術進步是一個使用頻率相當高的術語，但實際上當經濟學家們提到技術進步時，他們指的只是技術進步的生產函數解釋。更確切地說，如果我們假定在生產過程中只有兩種要素——資本與勞動——的話，則技術進步對于生產的影響體現在這兩種生產要素使用量的變化上。按照技術進步的這種經濟學解釋，我們可以定義出不同類型的技術進步。最簡單的一種類型是：對于給定的產出水平，技術進步可以改變所需生產要素的投入組合。勞動節約型的技術進步將導致較高的資本-勞動比，而資本節約型的技術進步導致較低的資本-勞動比，中性的技術進步則可保持資本-勞動比不變。雖然這一技術進步的經濟學定義是很好理解的，但是在我們考慮宏觀經濟問題（特別是經濟增長問題）時，假定產出水平不變卻是不現實的。因此，常用的適合宏觀經濟問題的技術進步類型有三種：希克斯（Hicks）型、哈羅德（Harrod）型和索洛型。希克斯型的技術進步可以定義為勞動節約型，資本節約型或中性的，如果對于給定的資本-勞動比，它使得資本的邊際產品相對于勞動的邊際產品來說提高，降低或保持不變；哈羅德型的技術進步可以定義為勞動節約型，資本節約型或中性的，如果對于給定的資本-產出比，它使得資本的邊際產品相對于勞動的邊際產品來說提高，降低或保持不變；索洛型的技術進步可以定義為勞動節約型，資本節約型或中性的，如果對于給定的勞動-產出比，它使得資本的邊際產品相對于勞動的邊際產品來說提高，降低或保持不變。可以證明，在我們考慮不變的技術進步率時，只有哈羅德中性的技術進步和穩態的存在是相一致的參見BarroandSala-i-Martin(1995).EconomicGrowth.McGraw-Hill,Inc.。因此，為保持和前面討論的一致性，我們假定索洛-斯旺參見BarroandSala-i-Martin(1995).EconomicGrowth.McGraw-Hill,Inc.(1.13)其中是一個技術參數，假定。如果我們定義有效勞動，并且令，表示每單位有效勞動的資本存量，則可利用推導方程（1.2）的相同方法得到具有技術進步的索洛-斯旺模型的基本微分方程：(1.14)其中。相應的穩態滿足：（1.15）因此，按有效勞動平均的資本存量在平衡增長路徑上不變的，從而。進一步地，每單位有效勞動的產出，以及每單位有效勞動的消費在平衡增長路徑上也都是零增長。至于人均資本存量、人均產出和人均消費的穩態增長率，則正好等于外生給定的技術進步率利用關系式。。利用關系式。由此可知，通過引入哈羅德中性的技術進步，索洛-斯旺模型最終將增長理論和一個正的可能不變的長期人均增長率調和在一起。也就是說，如果技術進步能夠連續地發生，那么人均產出的增長率就可以不斷地增加。從另一方面說，如果缺乏技術的連續進步的話，索洛-斯旺模型所描述的經濟的增長就會最終停止。令人遺憾的是，這個至關重要的技術進步率在索洛-斯旺模型中卻是以一種不加解釋的外生形式給定的，這是索洛-斯旺模型最主要的理論缺陷。甚至可以夸張一點地說，具有技術進步的索洛-斯旺模型是通過假定（技術的）增長來解釋了（產出的）增長。第七節經濟增長核算我們知道，在索洛-斯旺模型中人均產量的長期增長是由外生的技術進步決定的，但短期的增長仍然取決于資本的積累。因此，確定短期增長的來源仍然是一個經驗上的問題。由阿布拉莫維茨（Abramovitz）和索洛首開先河的增長核算方法為這一經驗問題提供了一條解決途徑。AbramovitzAbramovitz,M.(1956).“ResourceandOutputTrendsintheUnitedStatessince1870,”AmericanEconomicReview,46,May,5-23.Solow,RobertM.(1957).“TechnicalChangeandtheAggregateProductionFunction,”ReviewofEconomicsandStatistics,39,3(August),312-320.經濟增長核算的目標是將總產量的增長率分解為來自要素投入的貢獻（主要是資本和勞動）和技術進步的貢獻（實際上包括了除去資本和勞動投入以外的所有其他因素）。考慮生產函數：將上式兩邊關于時間求導并整理得：如果要素市場是完全競爭的，則由邊際產品定價法則可知，和分別表示的是總收入中資本和勞動所占的份額。記資本的份額為，則我們可將上式寫成：其中是殘差項。上式表明，產量的增長可分解為資本存量的貢獻、勞動投入的貢獻以及一個剩余項（即索洛殘差）。人們經常將索洛殘差解釋為關于技術進步的貢獻的度量，但是由上面的推導可知，它實際上反映了除去資本積累和勞動投入通過其私人收益所做貢獻之外的所有其他的增長源泉。如果我們知道產出、資本投入、勞動投入以及相應的資本租金率和工資率，則可計算出資本份額和勞動份額，以及產出、資本存量和勞動投入的增長率，從而就可以計算出技術進步（索洛殘差）的增長率，這就是所謂的索洛殘差法。經濟增長核算通常被認為是分析經濟增長的決定因素的第一步，這一方法的最主要特征是不涉及到計量經濟分析。應該指出，如果那些影響到要素增長的基本因素和影響到技術進步的基本因素之間是相互獨立的話，那么增長核算方法是一種非常重要并且簡單明了的闡明增長機制的方法。但是，增長核算方法的缺陷也相當明顯，即這一方法并沒有解釋產出的變動和技術的提高是如何聯系于那些通常被認為是經濟增長的基本決定因素（例如偏好、技術以及政府政策等）的。第八節索洛-斯旺模型及其以后盡管索洛-斯旺模型沒有令人滿意地解釋經濟增長的長期機制，但在他們之后關于增長理論的每一次重要進展都和他們的模型密切相關。可以說，索洛-斯旺模型的最重要意義是搭建了現代增長理論的研究框架，甚至在今天，增長理論的研究中所使用的基本“語言”仍然是索洛和斯旺當年提出的，例如總資本存量、總量生產函數、總量技術進步等。另外，索洛-斯旺模型當年所討論的各種概念（例如技術進步、收斂性等）今天也仍然是增長經濟學討論的主題。夸張一點地說，后面將要介紹的各種內生增長模型實際上都是對于索洛-斯旺模型的某種擴展，例如，拉姆齊-卡斯-庫普曼斯（Ramsey-Cass-Koopmans）模型將消費者的最優選擇整合進索洛-斯旺模型，從而實現儲蓄率的內生化；具有外部性或是人力資本的內生增長模型通過對索洛-斯旺模型中的資本要素的重新解釋來擴展索洛-斯旺模型；內生的技術進步模型討論的是如何給索洛-斯旺模型中技術進步率以合理的經濟學解釋；內生的人口和勞動供給模型討論的是如何給索洛-斯旺模型中的人口增長率以合理的經濟學解釋。實際上，索洛本人在總結其對于增長經濟學的貢獻的著名著作《經濟增長理論：一種解說》中就已經指出：“…我傾向于認為，無法從單部門增長理論中發掘出比本書內容多出很多的東西…”Solow,Robert(1970).GrowthTheory:AnExposition,Oxford:ClarendonPress.。正是由于這個原因，索洛-斯旺模型是任何關于增長的經濟學教材或者關于增長經濟學的綜述都無法避免的內容，并且，也只有在很好地理解了索洛-斯旺模型Solow,Robert(1970).GrowthTheory:AnExposition,Oxford:ClarendonPress.經濟學家們一般將索洛-斯旺模型及其追隨者的研究稱為外生的增長經濟學。正如我們所介紹的，在具有技術進步的索洛的模型中，有三個主要的經濟變量是外生的：儲蓄率、人口增長率和技術進步率。儲蓄率和人口增長率決定了長期經濟發展的穩態（一般假定折舊率保持不變），而技術進步率則決定了長期經濟發展的速度。但是我們知道，這三個經濟變量顯然又應該是由人們的經濟行為所決定的，它們的外生性假定既會使模型喪失一定的理論價值，也會制約到模型在現實經濟生活中的解釋力，因此，如何將它們內生化既是索洛和斯旺之后增長理論發展的方向，實際上也是對經濟學家們智力的挑戰。首先，卡斯和庫普曼斯在引入了拉姆齊的跨期可分效用框架后，可將儲蓄率內生化，從而避免了原始的索洛-斯旺模型中可能出現的動態積累的無效率，同時保持了索洛-斯旺模型中條件收斂的結論。CassCass,David(1965).“OptimumGrowthinanAggregativeModelofCapitalAccumulation,”ReviewofEconomicStudies,32(July),233-240.Koopmans,TjallingC.(1965).“OntheConceptofOptimalEconomicGrowth,”inTheEconometricApproachtoDevelopmentPlanning,Amsterdam,NorthHolland.Ramsey,F.(1928).“AMathematicalTheoryofSaving,”EconomicJournal,38,December,543-559.其次，外生的連續技術進步是索洛-斯旺模型中長期人均增長的唯一源泉，這是后來的研究者們最不滿意，并且投入了大量的研究努力來試圖改進的地方，這方面的研究工作在索洛和斯旺之后大致可以分成兩種類型：非報酬遞減型和內生技術進步型。非報酬遞減型的模型大致上可以分成兩類：外部經濟型和人力資本型。在外部經濟型的增長模型中，技術的擴散是由于經濟的外部性，而非有意識的科研活動的結果，這其中最著名的是阿羅（Arrow）的邊干邊學（Learningbydoing）思想Arrow,KennethJ.(1962).“TheEconomicImplicationsofLearningbyDoing,”ReviewofEconomicStudies,29(June),155-173.，在他的模型中，企業在不斷的投資過程中也學會了如何更有效的生產。羅默（P.Romer）正是繼承了這一思想Romer,Paul(1986).“IncreasingReturnsandLong-RunGrowth,”JournalofPoliticalEconomy,94,5(October),1002-1037.，并構造出了今天我們所知道的第一個內生增長模型；人力資本型的增長模型則是通過資本積累過程中物資資本和人力資本的比例的變化來實現內生增長，其中最著名的是宇澤（Uzawa）Arrow,KennethJ.(1962).“TheEconomicImplicationsofLearningbyDoing,”ReviewofEconomicStudies,29(June),155-173.Romer,Paul(1986).“IncreasingReturnsandLong-RunGrowth,”JournalofPoliticalEconomy,94,5(October),1002-1037.Uzawa,Hirofumi(1964).“OptimalGrowthinaTwo-SectorModelofAccumulation,”ReviewofEconomicStudies,31,January,1-24.Lucas,RobertE.,Jr.(1988).“OntheMechanicsofEconomicDevelopmen,”JournalofMonetaryEconomics,22,1(July),3-42.Romer,PaulM.(1990).‘‘EndogenousTechnologicalChange,’’JournalofPoliticalEconomy,98,5(October),Part2,S71–S102.Aghion,P.andPeterHowitt.(1992).“AModelofGrowththroughCreativeDestruction,”Econometrica,60,2(March),323-351.再次，試圖將人口增長率或勞動供給內生化的研究工作也大致可以分成兩個方面：人口的遷移和生育的內生選擇。關于前一個方面的工作始于布勞恩（Braun）在1993年完成的博士論文Braun,Juan(1993).EssaysonEconomicGrowthandMigration,PH.D.dissertation,HarvardUniversity.，而后一方面的工作則主要是基于貝克爾（Becker）和巴羅（Braun,Juan(1993).EssaysonEconomicGrowthandMigration,PH.D.dissertation,HarvardUniversity.Barro,RobertJ.andGaryS.Becker(1989).“FertilityChoiceinaModelofEconomicGrowth,”Econometrica,57,2(March),481-501.最后指出一點，在上面提到的三個將索洛-斯旺模型內生化的研究方向中，第一個現在已經發展成為宏觀經濟學的標準研究工具，盡管內生的儲蓄率實際上并不能保證長期的正人均增長；第二個努力方向是大量的關于增長的研究的文獻的重點所在，也是大家在提到內生增長模型時的一般所指；第三個方向就目前來說，所吸引的研究努力相對來說仍很缺乏，需要經濟學家們進一步的關注。附錄A拉姆齊-卡斯-庫普曼斯模型本章介紹的索洛-斯旺模型單純討論經濟總量的動態行為，并不涉及到微觀層次上的經濟決策，也就是說，在索洛-斯旺模型中，資本存量的動態行為以及消費的動態行為都是先驗的，并不是代表性廠商和代表性家庭最優選擇的結果。正是由于這個原因，索洛-斯旺模型中外生給定的儲蓄率有可能導致動態積累的無效率。克服這一缺陷的方法是引入消費者的最優化分析，這一貢獻最早始于拉姆齊（F.Ramsey）。Ramsey,F.(1928).Ramsey,F.(1928).“AMathematicalTheoryofSaving,”EconomicJournal,38,December,543-559.Cass,David(1965).“OptimumGrowthinanAggregativeModelofCapitalAccumulation,”ReviewofEconomicStudies,32(July),233-240.Koopmans,TjallingC.(1965).“OntheConceptofOptimalEconomicGrowth,”inTheEconometricApproachtoDevelopmentPlanning,Amsterdam,NorthHolland.A.1基本假定拉姆齊模型討論的是一個封閉經濟。在這個經濟中有大量相同的廠商和大量相同的家庭。每一個代表性廠商都是競爭性的，他們租用資本和雇傭勞動來進行生產，行為準則是通過最優地選擇資本的租用數量和勞動的雇傭數量來最大化自己的利潤；而每一個代表性家庭則是經濟資源（資本和勞動）的所有者，他們提供勞動、出租資本，同時也要決定消費和儲蓄的數量，行為準則是通過最優地選擇消費路徑來最大化自己的效用。家庭和廠商這兩類典型的經濟個體通過市場的作用聯系在一起。廠商通過產品市場來銷售他們的產品，以滿足家庭的消費；家庭通過資本市場來出租他們的資本，通過勞動力市場來出租自己的勞動，以滿足廠商的生產需求。經過價格杠桿（包括產品價格、工資率以及資本報酬率）的調節，當這些市場中的需求等于供給的時候，我們就認為經濟達到了一種均衡的狀態。當然，除了上述這種分散化經濟的制度安排之外，經濟也可以采取中央計劃的方式，即假定存在一個仁慈的計劃者，他即利用資本和勞動來組織生產，同時又以最大化代表性家庭的效用為目的。實際上，在沒有市場失靈的情況下，可以證明分散化經濟和中央計劃經濟的結果是等價的。A.2代表性廠商的行為假定代表性廠商具有新古典的生產函數：（A.1)其中表示產出，表示資本存量，表示勞動投入。代表性廠商在競爭性的要素市場上雇用工人和租用資本，并在競爭性的產品市場上銷售其產品。廠商的目的是最大化利潤。由于家庭是資本的所有者，因此利潤歸家庭所有。假定在競爭性的要素市場上，廠商所面臨的工資率是，資本的租金價格是，并且資本存量以一不變速率折舊（從而資本的凈報酬率為，記為）。于是，在任一時刻，廠商的利潤為：（A.2)最大化利潤的一階條件為：，（A.3)上式表明，資本和勞動各自得到了其邊際產品作為報酬。A.3代表性家庭的行為假定代表性家庭的規模以速率增長，我們將最初的家庭規模標準化為1，則在任一時刻，家庭規模為。家庭的每一位成員在任一時點上提供一個單位的勞動。此外，家庭將其所擁有的所有資本租給廠商。因此，家庭在每一時點上的收入包括：勞動收入、資本收入以及從廠商處獲得的利潤（對于完全競爭廠商而言，這一利潤為零）。家庭將其收入用于消費和儲蓄，以最大化其效用。假定代表性家庭的效用函數為跨期可分的形式：在拉姆齊的經典論文中，他并未采取給將來的效用貼現的方式，并認為這在倫理上是“不堪一擊”的，是一種想象力的貧乏。（A.4)其中表示家庭中的每一位成員的消費，是家庭成員的瞬時效用函數。假定此效用函數關于是遞增且凹的，即，，并且滿足稻田（Inada）條件：，。表示家庭成員的時間偏好（貼現）率，越大，則表明相對于當前消費而言，家庭成員對于未來消費的評價越低。為保證（A.4)式中積分的收斂性，我們假定，從而（A.4)式中的被積表達式在保持不變時是有界的。代表性家庭所面臨的預算約束為：（A.5)其中表示家庭所擁有的資產。注意，家庭的資產除了可以租給廠商作為生產要素投入從而獲得邊際產品作為回報之外，也可以通過借貸給其他家庭的形式從而獲得利息收入，由于資本市場和產品市場都是完全競爭的，從而以貸款形式保存的家庭資產所獲得的利息率應該等于其作為資本使用時所獲得的凈報酬率。因此，在（A.5)式中，我們可以使用記號來表示家庭資產的收益率。此外，（A.5)式中的表示家庭的人口規模，表示整個家庭的消費。當然，我們也可以將（A.5)式寫成人均量的形式：（A.6)其中表示人均凈資產，表示人均消費。于是，代表性家庭所面臨的最優化問題為：（A.7)上述問題的現值漢密爾頓（Hamilton）函數為：此處的求解過程需要用到最優控制理論的知識，不熟悉的讀者可以暫時略過，直接跳到關于最優消費的方程（A.10)。實際上，方程（A.10)也可以通過下面介紹的更容易理解的方式得到：假設求解優化問題（A.7）得到的最優消費和最優人均資產分別為和，則有：其中和分別表示最優消費和最優人均資產附近的任意的可行消費路徑和可行人均資產路徑。記，則利用泰勒展開，上述不等式可近似表示為：上述第二個等式的獲得使用了分部積分。考慮到的任意性，我們得到：，這正是方程（A.10)。除此關于最優消費的方程之外，由上述不等式進一步可得：，但是的可行性意味著，從而，利用松弛條件，并且令，則可推導出橫截性條件（A.13)。其中是現值的拉格朗日（Lagrange）乘子。利用龐特里雅金（Pontryagin）最大值原理，我們得到問題（A.7)的一階必要條件：（A.8)即（A.9)整理（A.9)中的第一和第三個方程可得：（A.10)上式就是著名的拉姆齊條件。理解這一條件的一種方式是將其改寫成：（A.11)（A.11)式的左端表示儲蓄的收益率，右端表示消費的收益率。所謂儲蓄的收益是指，由于家庭放棄一定數量的當前消費并且將資產儲蓄起來，從而在將來可以獲得一定的利息收益。所謂消費的收益將由兩項組成：其一，由于家庭對未來效用以速度進行貼現，從而對于當前放棄的一定數量消費所造成的效用損失而言，將來必須獲得更多的效用收益作為補償；其二，由于邊際效用是遞減的，家庭傾向于使消費路徑相對平滑，這一效應將由（A.11)式中的項來表示（若，意味著當前消費較低，則家庭傾向于將一些未來消費提前，從而這一效應為正；若，則這一效應為負）。理解（A.11)式的另一方式是：設想，于是，理解（A.11)式的另一方式是：設想，于是，即沿著最優的消費路徑，人均消費水平是保持不變的。如果希望代表性家庭偏離這一消費路徑，比如，即犧牲一部分當前的消費以換取將來更多的消費，則當前消費減少所造成的損失必須由一個高于的利息率來補償，而和之間的差距恰好是。理解條件（A.10)的另一種方式是將時間當作離散的，考慮代表性家庭在時刻和之間的消費選擇問題。如果家庭在時刻減少消費數量，則由此造成的效用損失為；但是，時刻消費數量的減少可以增加當期資產的積累，從而增加時刻的消費。具體而言，時刻減少的消費數量可帶來時刻增加的消費數量為，從而效用的增加值為。在最優的消費路徑上，時刻效用的損失值應該等于時刻效用的增加值的貼現，即上式意味著（A.12)當我們考慮的離散時間間隔很短時，上式的含義和（A.11)式的含義相同，即在時刻和之間儲蓄的收益率等于消費的收益率。BlanchardandFisher(1989).BlanchardandFisher(1989).LecturesonMacroeconomics.MITPress.問題（A.7)的橫截性條件（TransversalityConditions）參見腳注參見腳注27.（A.13)由（A.9)中的第三個方程知：，從而條件（A.13)可轉化為：（A.14)上式意味著，人均資產不能以和一樣高的速度增長。也就是說，家庭的資產水平不能以和資產的收益率一樣高的速度增長。如果這是可能的話，則家庭的債務水平將以速率增長，從而家庭可以通過不斷借債的方式來為一個任意高的消費水平融資（這如果這是可能的話，則家庭的債務水平將以速率增長，從而家庭可以通過不斷借債的方式來為一個任意高的消費水平融資（這稱為蓬齊對策，PonziGame）。橫截性條件排除了這種可能。例.對于我們在增長理論中重點討論的穩態增長而言，效用函數的一種有意義的形式是所謂的不變跨期替代彈性（CIES，ConstantIntertemporalElasticityofSubstitution）效用：（A.15)其中。對于這種形式的效用函數而言，消費的跨期替代彈性恰好是。于是，條件（A.10)可簡化為：（A.15)上式表明，消費的變化取決于資本的凈報酬率和家庭的時間偏好率之間的大小關系。同時，對于給定的和之間差距，消費的變化也取決于消費的跨期替代彈性的大小。例如，較高的意味著一個更低的跨期替代意愿，從而消費的變化率對于和之間差距的反應也就更小。A.4競爭性均衡與中央集權經濟條件（A.3)和條件（A.10)分別描述的是，對于給定的利息率和工資率路徑，代表性企業和代表性家庭的最優化行為。如果我們將兩者結合在一起，就可以來分析一個競爭性市場的均衡特征。在資本市場上，供求的均衡由利息率來調節；在勞動力市場上，供求的均衡則由工資率來調節。在基本的拉姆齊模型中，由于我們考慮的是封閉經濟，即全部的國內資本存量都歸家庭所有，從而人均資產必定等于人均資本。利用這一關系，再考慮到（A.3)，我們可將代表性家庭的預算約束（A.6)改寫為：（A.16)上式表示的是對整個經濟而言的資源約束。比較一下這個資本運動方程和我們在上一章中討論的索洛-斯旺模型的基本微分方程可知，兩者的唯一區別是：索洛-斯旺模型中的積累部分的大小由外生的儲蓄率決定，而拉姆齊模型中的積累部分則由內生變量的選擇來決定。可以設想一下，由于消費的選擇是內生的，因此，在索洛-斯旺模型中可能出現的動態積累的無效率應該不會在拉姆齊模型中出現。再次利用條件（A.3)，我們還可將消費的最優性條件（A.10)改寫成：（A.17)在一定的初始條件下，方程（A.16)和方程（A.17)，以及下述的橫截性條件將共同決定消費和資本積累的路徑：（A.18)方程（A.16)—（A.18)描述了競爭性均衡所必須滿足的條件，即代表性廠商和代表性家庭按照各自的最優性原則行動，通過價格機制的調節，整個經濟最終達到的均衡狀態。在現實的經濟生活中，除了這種分散化的經濟體制之外，還存在著一些其他的制度安排，比如中央集權經濟。于是，一個有意思的問題出現了：分散化經濟的均衡和中央集權經濟的均衡是等價的嗎？假定經濟由一個仁慈的計劃者來運作，他具有和代表性家庭相同的效用函數，同時他又是生產領域的組織者。于是，這個計劃者的優化問題是：利用最大值原理，我們可求解出上述最優控制問題的一階必要條件，這些條件恰好是方程（A.16)—（A.18)。由此可知，分散化經濟的均衡和中央集權經濟的均衡是等價的。A.5模型的穩態下面我們來討論均衡條件（A.16)—（A.18)是否和某種穩態，即在其中各種經濟變量都以不變速度增長的一種狀態，相一致。為此，我們記和的穩態增長率分別為和。由方程（A.16)可知，穩態中的人均消費和人均資本存量滿足：（A.19)將上式對時間求導可得：（A.20)由橫截性條件（A.18)可知，，因此，（A.20)式意味著和是同號的。如果，這意味著人均資本存量將無限地增加。由稻田條件知，當時，從而由條件（A.17)知，人均消費的穩態增長率，這與和的同號性相矛盾；如果，這意味著人均資本存量最終將遞減為零。由稻田條件，當時，從而由條件（A.17)知，人均消費的穩態增長率，這再次與和的同號性相矛盾。由此可知，在穩態中必定成立：。人均資本存量的穩態增長率為零意味著，人均產出的穩態增長率也是零。于是，我們得到了和索洛-斯旺模型一樣的結論：人均變量、、在穩態中是保持不變的，而水平變量、、將以人口增長率增長。既然人均消費和人均資本存量的動態行為由方程（A.16)和（A.17)描述，并且穩態人均消費的增長率和穩態人均資本存量的增長率都為零，從而可知穩態的人均消費水平和穩態的人均資本存量水平將由下面的兩個方程來決定：（A.21)（A.22)在求解模型穩態的作用上，（A.21)式和（A.22)式與索洛-斯旺模型中的（4.5）式是一樣的。不同之處在于，拉姆齊模型中的消費是通過代表性家庭的最優選擇來決定的，而不是像在索洛-斯旺模型中那樣，由外生的儲蓄率來決定。在拉姆齊模型中，人均資本存量的穩態水平將由（A.22)式決定，而在索洛-斯旺模型中，人均資本存量的黃金律水平由(A.12)式決定。由于我們已經假定，因此，利用生產函數的新古典特性可知：，這就意味著動態積累的無效率在拉姆齊模型中是不可能出現的。（A.22)亦稱為修正的黃金律。為討論（A.21)式和（A.22)式所決定的穩態的穩定性，我們將方程（A.16)和（A.17)在穩態附近線性展開得到：利用條件（利用條件（A.22)化簡。（A.23)上述方程組的系數矩陣的特征根和滿足：，由此可知和必為異號實根，從而穩態是一鞍點。圖A-1描繪出了穩態的鞍點特征。由于（A.22)式可以唯一確定穩態的資本存量水平，故在平面上（A.22)式顯示為一條垂直的直線，此直線與曲線（A.21)的交點決定了對應于穩態資本存量水平的穩態人均消費水平。需要注意的是，曲線（A.21)的極大值（即人均消費水平的極大值）在處達到，這一資本存量水平位于穩態資本存量水平的右端（此時自然也就小于）。除原點外，曲線（A.21)與橫軸的另一交點記為，這一水平表示的是在一種只積累不消費的假想前提之下，經濟在長期中所能達到的資本存量水平。在確定了資本存量和消費的穩態水平之后，我們也可以知道經濟的穩態產出水平將由決定。此外，在圖A-1中我們也給出了鞍點附近軌線的走向，這是我們在下一節中分析系統動態行為的基礎。圖圖A-1拉姆齊模型的穩態和動態IIIIIIIVA.6模型的動態由圖2-1可知，軌線和將平面的第一象限分割為四個區域。下面我們來分析在這四個區域中系統軌線的運動情況。以區域I為例，它位于軌線的左邊，以及軌線的下方。為分析資本存量和消費在此區域中的運動方向，我們考慮：（A.24)（A.25)（A.24)式意味著，隨著消費水平的提高，資本存量的變化率是不斷下降的；同時，（A.25)式意味著隨著資本存量的增加，消費水平的變化率也是不斷下降的。我們已經知道，沿著軌線和，消費水平和資本存量水平的變化率均為零。因此，在區域I中，資本存量水平的變化率為正，而消費水平的變化率也為正。這就是說，在區域I中，資本存量水平和消費水平都將經歷一個增長的過程。類似地，我們可得到：在區域II中，資本存量是增加的，而消費水平是下降的；在區域III中，資本存量水平和消費水平都是下降的；在區域IV中，資本存量是下降的，而消費水平是上升的。至此，我們就可以把資本存量水平和消費水平的變化規律完整地描述出來，如圖A-1所示。此圖也稱為拉姆齊模型的相圖。由圖可知，穩態是一鞍點，由方程（A.21)和（A.22)組成的系統只存在唯一的一條穩定路徑。如果經濟的初始狀態（即人均資本存量的初始值以及相應的人均消費的初始值）位于這一穩定路徑上，那么這個經濟最終將收斂到穩態上，圖2-1描繪出了這一過程。盡管穩定路徑只有一條，但是在給定初始資本存量水平的情況下，代表性家庭卻能夠最優地選擇與此相對應的消費水平，從而使整個經濟位于這條穩定的路徑上，并進而朝穩態發展。為說明這一點，讓我們設想一下：給定經濟的初始資本存量水平，代表性家庭并未選擇位于穩定路徑上的對應值，那么這會導致什么樣的結果呢？下面我們分兩種情形來討論：其一，代表性家庭選擇的初始消費水平低于。在這種情況下，由于初始的儲蓄率較高，經濟的發展將偏離穩定路徑，并最終與軌線相交。在穿越了直線之后，經濟中的消費水平將持續下降，而資本存量水平則不斷上升，并最終收斂于處。為什么這條經濟的發展路徑是不可行的呢？這是因為，隨著資本存量的不斷上升，并進而超過黃金率水平，從而與之對應的資本的邊際產品將不斷地下降，這將導致最終小于人口增長率，這就與橫截性條件（A.18)所要求的相矛盾。其二，代表性家庭選擇的初始消費水平高于。在這種情況下，由于初始的儲蓄率較低，經濟的發展也將偏離穩定路徑，并最終與軌線相交。在穿越了曲線之后，經濟中的消費水平將持續上升，而資本存量水平則不斷下降，并最終到達軸的某處。這意味著經濟的資本存量水平已經下降到了零，但是經濟的消費水平卻保持為某一正的數值。這當然是不可能的，因為經濟中的任何消費都是來自于生產的，而生產中的要素投入恰恰就是資本。在排除了以上兩種情形之后，穩定的鞍點路徑就成為了與理性的經濟人假設相一致的經濟長期發展的唯一可能。A.7儲蓄率的行為一般而言，拉姆齊模型中儲蓄率的行為是不確定的，因為它涉及到來自替代效應和收入效應兩方面互為抵消的影響。一方面，隨著資本存量的不斷積累，資本的邊際收益不斷下降，這傾向于降低儲蓄的收益率，從而通過跨期替代效應，儲蓄率將降低；另一方面，為了平滑消費路徑，當初始的資本存量較低時，相對于較低的收入而言，家庭的消費處于較高的水平，而隨著資本的不斷積累，當前收入與持久收入之間的差距不斷縮小，從而相對于不斷上升的收入而言，消費趨于下降，而儲蓄率趨于上升。總的來說，上述兩種效應的凈效果是不確定的，從而儲蓄率的動態行為也要視替代效應或收入效應哪一個更重要而定。下面我們來討論一種特殊情形，其中生產技術是科布-道格拉斯的，而代表性家庭的效用函數是CIES的。穩態的儲蓄率為我們已經假定了，易知穩態的儲蓄率一定小于資本份額。為分析儲蓄率的動態行為，我們定義新的變量于是，儲蓄率的變化方向與的變化方向恰好相反。我們知道當時，簡單的整理可得因此，的行為依賴于與大小關系。1）若，可以證明。這是因為若對于某個時刻，有，則對于之后的任意時刻都有，從而將無限增長，這與趨于其穩態值相矛盾。類似地，可排除的情形。因此，只要，就有，從而儲蓄率將固定在常數水平上。2）若，類似情形1）中的討論可知。注意到若對于某個時刻有將意味著，從而對于所有的適用，這與趨于其穩態值相矛盾。于是，若，則有，從而，即儲蓄率將上升。3）若，則，從而，即儲蓄率將下降。圖A-2拉姆齊模型中儲蓄率行為綜上所述，儲蓄率的行為如圖A-2所示。我們看到，盡管在拉姆齊模型中有一個不變的儲蓄率是有可能的，但這與索洛-斯旺模型仍然存在著重要的差異，即這里的儲蓄率是被模型中的基本參數所支配，而不是像在索洛-斯旺模型中那樣被外生地設定的。附錄B：世代交疊模型的一個簡單介紹本附錄簡單介紹世代交疊（OLG）模型。OLG模型與拉姆齊模型的主要差別在于，拉姆齊模型假定存在一個無限生存的代表性家庭（或個體），而OLG模型則假定新家庭（或個體）不斷出現（出生），舊家庭（或個體）不斷消亡，即存在著人口的更替。OLG模型的這一假定的重要性并不僅僅在于較拉姆齊模型更具現實意義，還在于由此帶來的更豐富的經濟個體之間的相互影響，比如老一代的決策對于年青一代面臨的價格的影響等，這一特征使得OLG模型成為處理各代之間的資源配置等問題的最自然的工具。如果我們在OLG模型中引入利他主義，即父輩不僅關心自己的效用，同時還關心后代的效用，從而每一代的個體都會給自己的后代遺贈資產，此時OLG模型的結果就與假定無限生存的代表性個體的拉姆齊模型相同。在這個意義上，我們可以將拉姆齊模型看作是OLG模型的一種特殊情形。如果我們在OLG模型引入資本積累，則此模型就可以作為研究經濟長期發展的一種工具，此工具有別于拉姆齊模型的一些特點包括，儲蓄行為依賴于年齡、競爭均衡不是帕累托最優的，等等。在某些特殊的情形中，OLG模型的結果更接近于索洛-斯旺模型，而不是引入了消費者優化的拉姆齊模型。下面我們介紹OLG模型的最簡單情形：兩期模型。B.1兩期的OLG模型：一般情形由于存在人口的更替，一種簡單的處理方法是假定時間是離散的，t=0,1,2,…。每一個體生存兩期。例如，時期t出生的個體生存于t時期和t+1時期。假定時期t出生的個體的效用函數為：u其中ctt表示個體在時期t的消費，而ct+1u1ctlimc此外，假定第一期的消費品是正常物品。假定要素市場是完全競爭的。個體只能夠在其生命的第一期中工作，并且無彈性地供給一個單位的勞動，均衡的工資率為wt。此外，假定人口呈指數增長，速率為n，從而（時期t出生的）第t代的人口的規模LL其中L0關于經濟中生產行為的假定與拉姆齊模型中一樣。代表性廠