院、系領導B卷審批并署名廣州大學2017-2018學年第二學期考試卷參照解答與評分標準課程：概率論與數理統計（48學時）考試形式（閉卷，考試）學院專業班級學號姓名題次一二三四五六七八九總分評卷人分數15158101010101012100評分警告：《廣州大學授與學士學位工作細則》第五條：“考試舞弊而被賞賜記過、留校觀察或開除學籍處罰而且被撤消相應課程本次考試成績的，不授與學士學位。”一、單項選擇題（每題3分，總計15分）1．設P(A)0，則以下結論中（A）必定正確。（A）P(B|A)P(A)P(A)P(B)（B）P(B|A)P(A)P(A)P(B)（C）P(B|A)P(A)P(A)P(B)（D）P(B|A)P(A)P(A)P(B)2．設隨機變量X~N(2,2)，則當增大時，概率P(|X2|2)是（C）。（A）增大（B）減小（C）保持不變（D）增減不定3．設連續型隨機變量X的密度函數f(x)知足f(x)f(x)，F(x)是X的散布函數，則對隨意實數a，以下（B）建立。（A）F(a)F(a)（B）F(a)1F(a)（C）F(a)1F(a)（D）F(a)1F(a)224．設隨機變量X的密度函數為f(x)4x3,0x1，0，其余則使得P(Xa)P(Xa)建立的a是（A）。（A）1（B）42（）1（D）1224425．設隨機變量X和Y互相獨立，且它們的概率散布律分別為X123Y101P111P111244333《概率論與數理統計》B卷共6頁第1頁則P(XY1)（C）。（A）1（B）1（C）1（D）112643二、填空題（每空3分，總計15分）1．已知5把鑰匙中有一把能翻開房門，因開門者忘掉是哪把能翻開門，逐次任取一把試開，則前三次能翻開門的概率為3/5。2．甲乙兩人在某一個小時內的某一時刻隨機抵達同一地址，他們抵達后各逗留10分鐘，則他們沒碰上的概率為25/36。3．設隨機變量X~P()，且P(X2)P(X4)，則E(X1)231。21(x2)24.若隨機變量X~N()3，則X的密度函數為e2。,1)，且E(X25．設(X,Y)的結合散布函數為F(x,y)，其結合概率散布律為Y012X00.20.30.1100.20.2則F(1,1)0.7。三、（此題滿分8分）已知P(A)1，P(AB)1，P(A|B)P(A|B)1，求P(B)。26解：P(AB)P(A)P(AB)1，------2分3由P(A|B)P(A|B)1，得P(AB)P(AB)1，------4分P(B)P(B)于是P(AB)1P(A)P(B)P(AB)，------6分P(B)1P(B)1解得P(B)2。------8分3《概率論與數理統計》B卷共6頁第2頁四、（此題滿分10分）某地發生一同兇殺案，依據現場分析，兇手仍在該地的概率為0.4，外逃的概率為0.5，自首的概率為0.1。今派人追蹤追捕，由于該地公安部門力量強，若兇手在該地，他被捕獲的概率為0.9；若兇手外逃，他被捕獲的概率為0.5，問兇手被捕獲的概率是多少？幾今后，該地民眾得悉該兇手被捕獲，求他在當地被抓的概率。解：分別用A,B,C表示該兇手仍在該地，外逃和自首。這三個事件組成一個齊備事件組。用D表示該兇手被捕獲。由題意可知P(A)0.4，P(B)0.5，P(C)0.1，------2分P(D|A)0.9，P(D|B)0.5，P(D|C)，------4分1由全概率公式可知P(D)P(A)P(D|A)P(B)P(D|B)P(C)P(D|C)0.40.90.50.50.11=0.71，------7分由貝葉斯公式可知P(A|D)P(A)P(D|A)0.40.936。------10分P(D)0.7171五、（此題滿分10分）一個袋子中有5個球，編號為1，2，3，4，5，在袋子中同時取3個球，用X表示3個球的中間編號，求：（1）X的概率散布律；（2）X的數學希望；（3）Y(X3)2的散布函數。解：（1）X的散布律以下，X234------5p0.30.40.3分（2）E(X)20.330.440.33。------7分（3）由X234Y101可得Y的散布律為Y01p0.60.4------8分則Y的散布函數為0，y0FY(y)0.6,0y1------10分1,y1《概率論與數理統計》B卷共6頁第3頁六、（此題滿分10分）若在清晨7點10分和7點30分，從桂花崗校區到大學城各發一趟班車，某教師在清晨7點和7點30分之間的隨意時刻抵達班車始發處，求：1）該教師等車時間不超出6分鐘的概率；2）一周（5天）內最罕有一次等車時間超出6分鐘的概率。解：設該教師在7點X分抵達班車始發處，則由題意可知隨機變量X~U(0,30)，其密度函數為1,0x30------2分f(x)300，其余1）該教師等車時間不超出6分鐘，即該教師在7點零四分至7點10分或7點24分至7點30分這兩段時間內抵達始發處，這個事件的概率為P(4X10)P(24X30)------4分101dx301dx23030。------6分4245（2）設一周內等車時間超出6分鐘的次數為Y，則Y~B(5,3)，------7分這5天內最罕有一次等車時間超出6分鐘的概率為5P(Y1)1P(Y0)1(2)5。------10分5七、（此題滿分10分）某酒店一次性可招待1980人住宿，且都采納電話預定住宿。依據經驗，電話預約的客人入住率為90%，經理室一共接受了2200個電話預定，求有顧客在電話預定后到酒店無房住宿的概率。解：設X為到酒店住宿的客人數，0第i個預定客戶未到酒店住宿,2200，Xi，i1,2,第i個預定客戶到酒店住宿則XX1X2200，而Xi的散布律為Xi01p0.10.9可知E(Xi)0.9,D(Xi)0.09。------3分因X1，,X2200為獨立同散布的隨機變量，由獨立同散布中心極限制理，X近似遵照正態散布N(22000.9,22000.09)N(1980,198)，------5分有顧客在電話預定后到酒店無房住宿就意味著X1980，其概率為P(X1980)1P(X1980)，而P(X1980)P(X198019801980)(0)0.5，------8分198198即有顧客在電話預定后到酒店無房住宿的概率為0.5。------10分《概率論與數理統計》B卷共6頁第4頁八、（此題滿分10分）將3個球隨機地放入3個盒子中，X與Y分別表示第一個和第二個盒子中球的個數。（1）求X與Y的結合概率散布律；（2）求X,Y的邊沿概率散布律；（3）問X與Y能否互相獨立？解：（1）X與Y的結合散布律以下：Y1230X11118099272727121041999911002299910001327278421279927------6分.X,Y的邊沿散布律分別為X0123Y01238421P8421P992727992727------8分.（3）由P(X2,Y2)0，P(X2)P(Y2)224，可知9981P(X2,Y2)P(X2)P(Y2)，因此X與Y不互相獨立。------10分《概率論與數理統計》B卷共6頁第5頁九、（此題滿分12分）設整體X的全部取值為0，1，2，且P(X2)(1)2,E(X)2(1)，此中為0，1之間的未知參數。（1）求X的概率散布律；（2）對整體抽取容量為10的樣本，分別為2個0，3個1，5個2，求的矩估計值和極大似然預計值。解：（1）由于E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)P(X1)2(1)2，而由已知E(X)2(1)，則P(X1)2(1)22(1)，則P(X1)2(1)，最后由P(X0)P(X1)P(X2)1，可得P(X0)1P(X1)P(X2)2，于是X的散布律為X012p2222(1)2------4分（2）令E(X)(513220)/101.1，這樣2(