3.1.3空間向量的數量積運算3.1.3空間向量的數量積運算一、共線向量:零向量與任意向量共線.

1.共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作2.共線向量定理:對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數λ使一、共線向量:零向量與任意向量共線.1.共線向量:如

推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數t,滿足等式OP=OA+t

其中向量a叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點,則推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數對使2.共面向量定理:如果兩個向量

推論:空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x,y使

或對空間任一點O,有

注意：空間四點P、M、A、B共面實數對推論:空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實平面向量數量積的相關知識復習：

平面向量的夾角：AOBAB叫做向量a與b的夾角。

已知兩個非零向量a和b，在平面上取一點O，作OA=a,OB=b,則平面向量數量積的相關知識復習：平面向量的夾角：AOBAB平面向量的數量積的定義：平面向量的數量積已知兩個非零向量a,b，則|a||b|cos叫做向量a,b的數量積，記作即并規定0平面向量的數量積的定義：平面向量的數量積已知兩個非零向量a,教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB2）兩個向量的數量積注意：①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②零向量與任意向量的數量積等于零。2）兩個向量的數量積注意：3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個可正可負的實數，它的符號代表向量與l的方向的相對關系，大小代表在l上射影的長度。3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個4)空間向量的數量積性質注意：①性質2）是證明兩向量垂直的依據；②性質3）是求向量的長度（模）的依據；對于非零向量，有：4)空間向量的數量積性質注意：對于非零向量，有：5)空間向量的數量積滿足的運算律注意：數量積不滿足結合律5)空間向量的數量積滿足的運算律注意：數量積不滿足結合律二、課堂練習二、課堂練習三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g這就證明了直線l垂直于平面內的任一條直線，所以l⊥nmggmnll證明：在內作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序實數對（x，y），使

三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線例2：已知：在空間四邊形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

例2：已知：在空間四邊形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP例3如圖，已知線段在平面內，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。解：由，可知.由知.

例3如圖，已知線段在平面內，線段解：由例4已知在平行六面體中，,

,求對角線的長。解：例4已知在平行六面體中，,解：1.已知線段、在平面內，，線段，如果，求、之間的距離.解：∵1.已知線段、在平面內，，線段解：∵2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是邊的中點。求證：。證明：因為所以同理，2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于證明：因為3.已知空間四邊形，求證：。證明：∵3.已知空間四邊形證明：∵4.如圖，已知正方體，和相交于點，連結，求證：。4.如圖，已知正方體，和相交于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,點分別是的中點，求下列向量的數量積：作業講評已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,作業講評ADFCBEADFCBE3.1.3空間向量的數量積運算3.1.3空間向量的數量積運算一、共線向量:零向量與任意向量共線.

1.共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作2.共線向量定理:對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數λ使一、共線向量:零向量與任意向量共線.1.共線向量:如

推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數t,滿足等式OP=OA+t

其中向量a叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點,則推論:如果為經過已知點A且平行已知非零向量的直2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數對使2.共面向量定理:如果兩個向量

推論:空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數對x,y使

或對空間任一點O,有

注意：空間四點P、M、A、B共面實數對推論:空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實平面向量數量積的相關知識復習：

平面向量的夾角：AOBAB叫做向量a與b的夾角。

已知兩個非零向量a和b，在平面上取一點O，作OA=a,OB=b,則平面向量數量積的相關知識復習：平面向量的夾角：AOBAB平面向量的數量積的定義：平面向量的數量積已知兩個非零向量a,b，則|a||b|cos叫做向量a,b的數量積，記作即并規定0平面向量的數量積的定義：平面向量的數量積已知兩個非零向量a,教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB2）兩個向量的數量積注意：①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②零向量與任意向量的數量積等于零。2）兩個向量的數量積注意：3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個可正可負的實數，它的符號代表向量與l的方向的相對關系，大小代表在l上射影的長度。3）射影BAA1B1注意：是軸l上的正射影,A1B1是一個4)空間向量的數量積性質注意：①性質2）是證明兩向量垂直的依據；②性質3）是求向量的長度（模）的依據；對于非零向量，有：4)空間向量的數量積性質注意：對于非零向量，有：5)空間向量的數量積滿足的運算律注意：數量積不滿足結合律5)空間向量的數量積滿足的運算律注意：數量積不滿足結合律二、課堂練習二、課堂練習三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線l與的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g這就證明了直線l垂直于平面內的任一條直線，所以l⊥nmggmnll證明：在內作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序實數對（x，y），使

三、典型例題

例1：已知m,n是平面內的兩條相交直線，直線例2：已知：在空間四邊形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

例2：已知：在空間四邊形OABC中,OA⊥BC，

OB⊥AC鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP鞏固練習：利用向量知識證明三垂線定理aAOP例3如圖，已知線段在平面內，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。解：由，可知.由知.

例3如圖，已知線段在平面內，線段解：由例4已知在平行六面體中，,

,求對角線的長。解：例4已知在平行六面體中，,解：1.已知線段、在平面內，，線段，如果，求、之間的距離.解：∵1.已知線段、在平面內，，線段解：∵2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是邊的中點。求證：。證明：因為所以同理，2.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于證明：