第4講日照東方—古代與中世紀的東方數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學二、印度數(shù)學三、阿拉伯數(shù)學四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學交流第4講日照東方—古代與中世紀的東方數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學1中世紀數(shù)學的主角：

中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學。東方數(shù)學特色：強烈的算法精神

所謂“算法”并不是單純的計算，而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性計算方法。

注：東方數(shù)學在文藝復興以前通過阿拉伯人傳播到歐洲，與希臘式的數(shù)學交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學的誕生。中世紀數(shù)學的主角：21中國數(shù)學的起源與體系形成2中國數(shù)學理論的深化3中國數(shù)學發(fā)展的高峰4中國傳統(tǒng)數(shù)學的式微一、中國傳統(tǒng)數(shù)學1中國數(shù)學的起源與體系形成一、中國傳統(tǒng)數(shù)學31中國數(shù)學的起源與體系形成史前至兩漢時期1.1中國傳統(tǒng)數(shù)學的奠基

萌芽（石器時代、青銅時代）原始社會、夏商周積累與奠基（春秋戰(zhàn)國時代、秦、西漢）1.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學1.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系1中國數(shù)學的起源與體系形成史前至兩漢時期1.1中41.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學蓋天說勾股定理宋版書影日高術(shù)

《周髀算經(jīng)》:數(shù)學著作,天文學著作.

“蓋天說”的代表.

約成書于西漢時期(公元前2世紀).

數(shù)學內(nèi)容:學習數(shù)學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數(shù)計算等.1.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學蓋天說勾股定理宋版書影日高術(shù)5“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“…6勾股定理的證明弦圖abcaa2b2勾股定理的證明弦圖abcaa2b27影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB=e日前表后表前影后影南戴日下日遠日高A’B’OAaCBbDSO’hhhc日高公式（重差術(shù)）影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB81.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系返回（1）漢簡《算數(shù)書》《算數(shù)書》:1983年12月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡,收有許多應(yīng)用的數(shù)學問題.現(xiàn)已整理出版(包括竹簡照片和釋文).1.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系返回（1）漢簡《算9

《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。（2）《九章算術(shù)》

《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學問題，分為九章。10

1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題。3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體積的計算為主。6.均輸：計算稅收等更加復雜的比例問題。7.盈不足：雙設(shè)法的問題。8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)。9.勾股：勾股定理的應(yīng)用。《九章算術(shù)》的內(nèi)容1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界《11《九章算術(shù)》的數(shù)學成就（1）算術(shù)方面

（i）分數(shù)四則運算法則（ii）比例算法:“今有術(shù)”：a:b=c:xx=bc/a（iii）盈不足:是以盈虧類問題為原型,通過兩次假設(shè)來求繁瑣、困難的算術(shù)問題的解的方法.如:今有共買物,人出八盈三,人出七不足四,問人數(shù)、物價各幾何？→設(shè)人數(shù)為x,物價為y,每人出錢a1盈b1,出錢a2不足b2.則的“盈不足術(shù)”相當于給出如下解法：《九章算術(shù)》的數(shù)學成就（1）算術(shù)方面→設(shè)人數(shù)為x,物價為y12(ii)正負術(shù):正、負數(shù)的加減運算法則同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之.其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之.（2）代數(shù)方面

(i)方程術(shù):線性方程組的解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問題相當于解一個三元一次線性方程組：注：關(guān)鍵算法:遍乘直除,即Gauss消元法.(ii)正負術(shù):正、負數(shù)的加減運算法則（2）代數(shù)方面注：關(guān)13(iii)開方術(shù):開平方和開立方的算法

本質(zhì):減根變換

過程:開方術(shù)相當于解方程:x2=A.設(shè)解x是一個k位數(shù),令x=10k

-1x1,方程變?yōu)?102k-2x12=A,儀得x1的整數(shù)部分,記為,令,則方程變?yōu)?,其中再議得x2的整數(shù)部分,記為,令,則方程變?yōu)?,其中上述過程一直下去.(iii)開方術(shù):開平方和開立方的算法本質(zhì):減根變換14二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.“開方術(shù)”指出了開方有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”。不盡根數(shù)專門的名字——面（3）幾何方面

幾何問題具有很明顯的實際背景.所有直線形的面積、體積公式都是準確的.如:正方形、矩形、三角形、梯形、長方體、正方體、底面為長方形而有一棱與底面垂直的錐體、上下底面都是長方形的棱臺等.二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.（3）幾何方面15

芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：abcd羨除（三個側(cè)面均為梯形的楔形體）體積公式為：圓面積公式：這里圓周率取3.abhl芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：abcd羨除（三162中國數(shù)學理論的深化——從劉徽到祖沖之學術(shù)界思辨之風再起在數(shù)學上也興起了論證的趨勢最杰出代表:劉徽、祖沖之父子2中國數(shù)學理論的深化——從劉徽到祖沖之學術(shù)界思辨之風再起172.1劉徽與《九章算術(shù)》注最主要成就：割圓術(shù)面積、體積理論生卒不詳公元263年撰《九章算術(shù)注》2.1劉徽與《九章算術(shù)》注最主要成就：生卒不詳18（一）劉徽的割圓術(shù)-----極限方法

割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓。

指出:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣.ECFAGBOrrr設(shè)圓面積為Sn,半徑為r,圓內(nèi)接正n邊形的邊長為ln,周長為Ln,面積為Sn,將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形,其邊長,周長,面積分別記為l2n,L2n,S2n.劉徽注意到當ln已知,由勾股定理可以求出l2n.即：（一）劉徽的割圓術(shù)-----極限方法割圓術(shù)的要旨是用19化為分數(shù)即為:157/50,這就是著名的“徽率”.在內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CG的矩形,則劉徽取半徑為一尺的圓,計算到192邊形,得出精確到兩位小數(shù)的圓周率的近似值化為分數(shù)即為:157/50,這就是著名的“徽率”.在內(nèi)20（二）劉徽的面積理論極限方法出入相補原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后,面積或體積的總和保持不變。（二）劉徽的面積理論極限方法出入相補原理：一個幾何圖形（平面21勾股定理的證明勾股定理的證明22（三）劉徽的體積理論-----陽馬術(shù)（三）劉徽的體積理論-----陽馬術(shù)23塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=2鱉臑立方=2塹堵塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=2鱉臑立方=2塹堵24塹堵陽馬鱉臑塹堵=陽馬

+鱉臑陽馬=立方1

361

鱉臑=立方塹堵=立方1

2陽馬=2鱉臑陽馬術(shù)塹堵陽馬鱉臑塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=立方1325陽馬

鱉臑鱉臑塹堵塹堵陽馬立方陽馬塹堵塹堵陽馬=1小立方+2小塹堵+2小陽馬=2小立方+2小陽馬鱉臑=2小塹堵+2小鱉臑=1小立方+2小鱉臑陽馬鱉臑鱉臑塹堵塹堵陽馬立方陽馬塹堵塹堵陽馬=1小立26不易之率：陽馬體積Y與鱉臑體積B之比為2:1對每個小陽馬和每個小鱉臑作同樣的剖分,則n次剖分后有:陽馬中除去兩個小陽馬部分的體積(記為)為鱉臑中除去兩個小鱉臑部分的體積(記為)的2倍,他們合在一起的體積應(yīng)占原壍堵體積的3/4(劉徽稱為“已知”部分),因而剩余部分(即兩個小陽馬和兩個小鱉臑)的體積應(yīng)占原壍堵體積的1/4(稱為“未知”部分).若分別用記每個小陽馬和小鱉臑的體積,則不易之率：陽馬體積Y與鱉臑體積B之比為2:1對每個小陽馬27已知部分屬陽馬的體積為,屬鱉臑的體積為,兩者之比恒為2:1.未知部分的體積,若記為,并不妨設(shè)原壍堵體積為1,則劉徽認為無限剖分下去,則得不易之率：

Y:B=2:1已知部分屬陽馬的體積為28（四）球體積公式證明的嘗試（四）球體積公式證明的嘗試29外切立方體積牟合方蓋體積=？4內(nèi)切球體積牟合方蓋體積=πDDDD劉徽結(jié)論劉徽:敢不闕疑,以俟能言者！外切立方體積牟合方蓋體積=？4內(nèi)切球體積牟合方蓋體積=π30內(nèi)棋外棋1外棋2外棋3問題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和與小立方體積關(guān)系內(nèi)棋外棋1外棋2外棋3問題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和31

最初是附于他所注的《九章算術(shù)》(263)之后,唐初開始單行,體例亦是以應(yīng)用問題集的形式.全書共9題,全是利用測量來計算高深廣遠的問題,首題測算海島的高、遠,故得名.《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學著作,亦為地圖學提供了數(shù)學基礎(chǔ).（五）劉徽著《海島算經(jīng)》最初是附于他所注的《九章算術(shù)》(263)之后322.2祖沖之父子的數(shù)學成就祖沖之與祖暅主要數(shù)學成就：(1)圓周率(2)祖氏原理與球體積2.2祖沖之父子的數(shù)學成就祖沖之與祖暅33（一）祖沖之--《綴術(shù)》與圓周率割圓術(shù):

正六邊形出發(fā),連續(xù)算到正24576邊形,恰好可以得到祖沖之的結(jié)果.3.1415926(朒(nv)數(shù))<π<3.1415927(盈數(shù))圓周率分數(shù)形式的近似值：約率：密率：現(xiàn)代數(shù)論中,如果將圓周率表示成連分數(shù),其漸近分數(shù)為:（一）祖沖之--《綴術(shù)》與圓周率割圓術(shù):正六邊形出發(fā),連34（二）祖暅--球體積公式與祖暅原理祖暅原理：冪勢既同,則積不容異意即:位于兩平行平面之間的兩個立體,被任一平行于這兩平面的平面所截,如果兩個截面的面積恒相等,則這兩個立體的體積相等.（二）祖暅--球體積公式與祖暅原理祖暅原理：冪勢既同,則積不35外棋3外棋2外棋1內(nèi)棋外棋3外棋2外棋1內(nèi)棋36ABDCEFHGIPJLKMNOQSRTVUWXZYhaaaaaaahahhh因為

IJ2

—

MN2=

AB2

—

IP2=

AP2

—

(AP2—AI2)

=

AI2

=

h2

SSIPNMSSWXYZQNOKPJQN=++故A37謝謝！38謝謝！38第4講日照東方—古代與中世紀的東方數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學二、印度數(shù)學三、阿拉伯數(shù)學四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學交流第4講日照東方—古代與中世紀的東方數(shù)學一、中國傳統(tǒng)數(shù)學39中世紀數(shù)學的主角：

中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學。東方數(shù)學特色：強烈的算法精神

所謂“算法”并不是單純的計算，而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性計算方法。

注：東方數(shù)學在文藝復興以前通過阿拉伯人傳播到歐洲，與希臘式的數(shù)學交匯結(jié)合，孕育了近代數(shù)學的誕生。中世紀數(shù)學的主角：401中國數(shù)學的起源與體系形成2中國數(shù)學理論的深化3中國數(shù)學發(fā)展的高峰4中國傳統(tǒng)數(shù)學的式微一、中國傳統(tǒng)數(shù)學1中國數(shù)學的起源與體系形成一、中國傳統(tǒng)數(shù)學411中國數(shù)學的起源與體系形成史前至兩漢時期1.1中國傳統(tǒng)數(shù)學的奠基

萌芽（石器時代、青銅時代）原始社會、夏商周積累與奠基（春秋戰(zhàn)國時代、秦、西漢）1.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學1.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系1中國數(shù)學的起源與體系形成史前至兩漢時期1.1中421.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學蓋天說勾股定理宋版書影日高術(shù)

《周髀算經(jīng)》:數(shù)學著作,天文學著作.

“蓋天說”的代表.

約成書于西漢時期(公元前2世紀).

數(shù)學內(nèi)容:學習數(shù)學的方法、用勾股定理來計算高深遠近和比較復雜的分數(shù)計算等.1.2《周髀算經(jīng)》與數(shù)理天文學蓋天說勾股定理宋版書影日高術(shù)43“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“……以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”“勾廣三,股修四,徑隅五”商高定理-----勾股定理返回“…44勾股定理的證明弦圖abcaa2b2勾股定理的證明弦圖abcaa2b245影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB=e日前表后表前影后影南戴日下日遠日高A’B’OAaCBbDSO’hhhc日高公式（重差術(shù)）影差d=后影長BD—前影長AC=b—a表距AB461.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系返回（1）漢簡《算數(shù)書》《算數(shù)書》:1983年12月在湖北江陵張家山出土一本西漢初年的竹簡,收有許多應(yīng)用的數(shù)學問題.現(xiàn)已整理出版(包括竹簡照片和釋文).1.3《九章算術(shù)》與中國傳統(tǒng)數(shù)學的體系返回（1）漢簡《算47

《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

《九章算術(shù)》是世界上最早系統(tǒng)敘述了分數(shù)運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創(chuàng)造；“方程”章還在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法則。（2）《九章算術(shù)》

《九章算術(shù)》共收有246個數(shù)學問題，分為九章。48

1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界上最早對分數(shù)進行系統(tǒng)敘述的著作。2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題。3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學問題，以體積的計算為主。6.均輸：計算稅收等更加復雜的比例問題。7.盈不足：雙設(shè)法的問題。8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負數(shù)的加減法，在世界數(shù)學史上是第一次出現(xiàn)。9.勾股：勾股定理的應(yīng)用。《九章算術(shù)》的內(nèi)容1.方田：主要是田畝面積的計算和分數(shù)的計算，是世界《49《九章算術(shù)》的數(shù)學成就（1）算術(shù)方面

（i）分數(shù)四則運算法則（ii）比例算法:“今有術(shù)”：a:b=c:xx=bc/a（iii）盈不足:是以盈虧類問題為原型,通過兩次假設(shè)來求繁瑣、困難的算術(shù)問題的解的方法.如:今有共買物,人出八盈三,人出七不足四,問人數(shù)、物價各幾何？→設(shè)人數(shù)為x,物價為y,每人出錢a1盈b1,出錢a2不足b2.則的“盈不足術(shù)”相當于給出如下解法：《九章算術(shù)》的數(shù)學成就（1）算術(shù)方面→設(shè)人數(shù)為x,物價為y50(ii)正負術(shù):正、負數(shù)的加減運算法則同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之.其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之.（2）代數(shù)方面

(i)方程術(shù):線性方程組的解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問題相當于解一個三元一次線性方程組：注：關(guān)鍵算法:遍乘直除,即Gauss消元法.(ii)正負術(shù):正、負數(shù)的加減運算法則（2）代數(shù)方面注：關(guān)51(iii)開方術(shù):開平方和開立方的算法

本質(zhì):減根變換

過程:開方術(shù)相當于解方程:x2=A.設(shè)解x是一個k位數(shù),令x=10k

-1x1,方程變?yōu)?102k-2x12=A,儀得x1的整數(shù)部分,記為,令,則方程變?yōu)?,其中再議得x2的整數(shù)部分,記為,令,則方程變?yōu)?,其中上述過程一直下去.(iii)開方術(shù):開平方和開立方的算法本質(zhì):減根變換52二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.“開方術(shù)”指出了開方有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”。不盡根數(shù)專門的名字——面（3）幾何方面

幾何問題具有很明顯的實際背景.所有直線形的面積、體積公式都是準確的.如:正方形、矩形、三角形、梯形、長方體、正方體、底面為長方形而有一棱與底面垂直的錐體、上下底面都是長方形的棱臺等.二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”.（3）幾何方面53

芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：abcd羨除（三個側(cè)面均為梯形的楔形體）體積公式為：圓面積公式：這里圓周率取3.abhl芻童（上下底面都是長方形的棱臺）體積公式：abcd羨除（三542中國數(shù)學理論的深化——從劉徽到祖沖之學術(shù)界思辨之風再起在數(shù)學上也興起了論證的趨勢最杰出代表:劉徽、祖沖之父子2中國數(shù)學理論的深化——從劉徽到祖沖之學術(shù)界思辨之風再起552.1劉徽與《九章算術(shù)》注最主要成就：割圓術(shù)面積、體積理論生卒不詳公元263年撰《九章算術(shù)注》2.1劉徽與《九章算術(shù)》注最主要成就：生卒不詳56（一）劉徽的割圓術(shù)-----極限方法

割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓。

指出:割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣.ECFAGBOrrr設(shè)圓面積為Sn,半徑為r,圓內(nèi)接正n邊形的邊長為ln,周長為Ln,面積為Sn,將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形,其邊長,周長,面積分別記為l2n,L2n,S2n.劉徽注意到當ln已知,由勾股定理可以求出l2n.即：（一）劉徽的割圓術(shù)-----極限方法割圓術(shù)的要旨是用57化為分數(shù)即為:157/50,這就是著名的“徽率”.在內(nèi)接n邊形的每邊上作一高為CG的矩形,則劉徽取半徑為一尺的圓,計算到192邊形,得出精確到兩位小數(shù)的圓周率的近似值化為分數(shù)即為:157/50,這就是著名的“徽率”.在內(nèi)58（二）劉徽的面積理論極限方法出入相補原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后,面積或體積的總和保持不變。（二）劉徽的面積理論極限方法出入相補原理：一個幾何圖形（平面59勾股定理的證明勾股定理的證明60（三）劉徽的體積理論-----陽馬術(shù)（三）劉徽的體積理論-----陽馬術(shù)61塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=2鱉臑立方=2塹堵塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=2鱉臑立方=2塹堵62塹堵陽馬鱉臑塹堵=陽馬

+鱉臑陽馬=立方1

361

鱉臑=立方塹堵=立方1

2陽馬=2鱉臑陽馬術(shù)塹堵陽馬鱉臑塹堵=陽馬+鱉臑陽馬=立方1363陽馬

鱉臑鱉臑塹堵塹堵陽馬立方陽馬塹堵塹堵陽馬=1小立方+2小塹堵+2小陽馬=2小立方+2小陽馬鱉臑=2小塹堵+2小鱉臑=1小立方+2小鱉臑陽馬鱉臑鱉臑塹堵塹堵陽馬立方陽馬塹堵塹堵陽馬=1小立64不易之率：陽馬體積Y與鱉臑體積B之比為2:1對每個小陽馬和每個小鱉臑作同樣的剖分,則n次剖分后有:陽馬中除去兩個小陽馬部分的體積(記為)為鱉臑中除去兩個小鱉臑部分的體積(記為)的2倍,他們合在一起的體積應(yīng)占原壍堵體積的3/4(劉徽稱為“已知”部分),因而剩余部分(即兩個小陽馬和兩個小鱉臑)的體積應(yīng)占原壍堵體積的1/4(稱為“未知”部分).若分別用記每個小陽馬和小鱉臑的體積,則不易之率：陽馬體積Y與鱉臑體積B之比為2:1對每個小陽馬65已知部分屬陽馬的體積為,屬鱉臑的體積為,兩者之比恒為2:1.未知部分的體積,若記為,并不妨設(shè)原壍堵體積為1,則劉徽認為無限剖分下去,則得不易之率：

Y:B=2:1已知部分屬陽馬的體積為66（四）球體積公式證明的嘗試（四）球體積公式證明的嘗試67外切立方體積牟合方蓋體積=？4內(nèi)切球體積牟合方蓋體積=πDDDD劉徽結(jié)論劉徽:敢不闕疑,以俟能言者！外切立方體積牟合方蓋體積=？4內(nèi)切球體積牟合方蓋體積=π68內(nèi)棋外棋1外棋2外棋3問題關(guān)鍵：如何求外三棋體積和與小立方體積關(guān)