第三章集中量教學目的:通過本章學習，同學們應理解集中量.算術平均數.中位數.眾數.幾何平均數等基本概念，了解各種集中量指標的優缺點和用途，并熟練掌握各種集中量指標的計算方法。統計表和統計圖只是簡明.概括.直觀的反映了一組數據的分布特征，這對于統計分析還是不夠的。為了進一步分析研究，比較精確地把握一組數據的分布特征，還需計算出反映一組數據分布特征的統計量，【如】：集中量.差異量等。集中量：是表示一組數據典型水平或集中趨勢的量。集中量是一組數據整體水平的代表量。不同群體間學生成績比較時，需要用集中量指標。常用的集中量指標有算術平均數.中位數.眾數.加權平均數.幾何平均數和調和平均數。第一節算術平均數一、算術平均數的概念1.算術平均數：是一組數據的總和除以數據的總個數所得之商，簡稱為平均數或均值，一般用表示。表示一組數據的總和，N表示數據的個數。2.算術平均數有以下幾個特點：（1）一組數據的總和等于該組數據的個數與該組數據平均數的乘積。（2）各個數據與平均數的離差和等于零，即（3）若一組數據由若干個部分組成，則這組數據的平均數可由各部分平均數合并而得。二、算術平均數的計算方法1.原始數據計算法利用定義公式（3.1）計算。【如】：5名學生的外語成績為：79.62.84.90.71，則這5名學生的外語平均成績為：2.頻數分布表計算法我們以40名學生的數學成績頻數分布表為例，說明其計算方法。表3.140名學生數學分數頻數分布表分數60——65——70——75——80——85——f6812554Xc62.567.572.577.582.587.5Xc為各組的組中值（可看作各組f數據的平均數）.f為各組組頻數，N=Σf，則注意：公式（3.2）的邏輯意義。表3.140個分數的平均數為：注：組中值Xc的值一般統計表中不標出，計算時需同學們自己確定。三、算術平均數的優缺點（一）算術平均數的優點1.反映靈敏；2.嚴密確定；3.簡明易懂，計算方便；4.適合代數運算；5.受抽樣變動影響較小。（二）算術平均數的缺點1.易受兩極端值的影響；2.某個數據模糊不清時，就無法計算算術平均數。注：算術平均數是應用最廣的一個集中量指標。第二節中位數一、中位數的概念中位數：是位于按一定大小順序排列的一組數據中央位置的那個數，在它上下各有一半頻數分布著（中位數用Md表示）。二、中位數的計算方法（一）原始數據計算法利用原始數據計算時，要注意數據的個數是奇數還是偶數。【如】：81.84.89.90.93。這組數據的中位數就是Md=89。2.當數據個數N為偶數時，中位數為中央位置上兩個數據的平均數。即第與第兩個數的平均數。【如】：81，84，89，90，93，95。這組數據的中位數為：Md=（89+90）÷2=89.5注意：在計算中位數時，首先是將數據按大小順序排列。（二）頻數分布表計算方法利用頻數分布表計算中位數有兩種方法：1.是按由小到大的方向計算二者的原理是一致的，我們以由小到大的方向計算來分析。表3.250個英語分數的頻數分布表分數頻數f累積頻數85——55080——124575——203370——101365——33（1）確定中位數所在組（2）確定中位數所在組所取多少個頻數與頻數的距離Md的值肯定大于該組的下限（Lmd），也就是Md的值是在Lmd的值上再加上一定的數值，那么該加多少呢？我們從表中可知，75——這一組的組頻數fmd=20，這一組的起止范圍為75～（3）求出中位數從上述分析中我們可以得出：注：①.Lmd為中位數所在組的下限；②.n1為與Lmd相鄰的那一組的累積頻數；③.fmd為Md所在組的組頻數；④.i為組距。表3.2中50分數的中位數為：利用公式（3.3）計算中位數時，關鍵是要確定Md所在組以及Lmd.fmd和n1的值。2.是按由大到小的方向計算同理，我們可得出按由大到小的方向計算Md的公式：與公式3.3不同的是Umd為Md所在組的上限，n2為上限Umd以上各組頻數總和。在表3.2中，Umd=80，n2=17，fmd=20.3.特殊情況：完全對稱條件下的計算三.百分位數的概念及其計算方法1.百分位數的概念百分位數：是指位于按大小順序排列的一組數中某一百分位置的數據。常用Pp表示。【如】：第80百分位數（P80），假定P80=78，它的含義是指在一組數據中，比78小的數據個數占數據總個數的80%，而大于78的數據個數占數據總數的20%（中位數也是一個百分位數）。2.百分位數的計算方法百分位數計算原理與中位數相同。其計算公式為：Pp表示百分位數，p表示百分位，N為總頻數，Lp表Pp所在組的下限，n為小于Lp的頻數總和，fp表為Pp所在組的組頻數，i為組距。利于公式（3.5）計算頻數分布表中的百分位數的解題過程可分為：（1）由p·N確定Pp所在組；（2）根據Pp所在組確定fp.Lp和n；（3）將fp.Lp和n.i代入公式（3.5）計算。【例】：求下面頻數分布表的第80百分位數。表3.360個外語分數的頻數分布表分數65——70——75——80——85——f81420108cf822425260注：cf為累計頻數。解：由80%×60=48知P80在80—這一組。∴Lp=80，fp=10，n=42，i=5四、中位數的優缺點優點：簡明易懂，計算方便，不受兩極端值的影響。缺點：受抽樣變動影響較大，反應不靈敏，不適合代數運算。第三節眾數一、眾數的概念眾數：是指一組數據中次數出現最多的那個數(用M0表示)。二、眾數的計算方法1.用觀察法尋找M0【如】：在60，70，65，65，71，65，62這組數據中，65是出現次數最多的一個數，因而這組數的M0=65。2.用公式求眾數（1）皮爾遜的經驗法在近似正態時：（2）金氏插補法當頻數呈偏態時可用金氏插補法。注：表3.3頻數分布不對稱，應以金氏法計算結果為準。三.眾數的優缺點優點：簡明易懂，計算方便，不受兩極端值影響。缺點：反應不靈敏，受分組影響較大，易受抽樣變動的影響。三者的關系與數據的分布形態有關第四節加權平均數幾何平均數調和平均數一.加權平均數加平均數：是指重要性不同的數據的平均數。1.當總權數為1時，計算公式可表示為W為權數。HYPERLINK【例題】：某校規定期中考試成績占40%，期末占60%，學生A的期中成績為90分，期末成績為70分，則該生的學期總平均成績為：2.當總權數不等于1時HYPERLINK【例】：某中學初一年級語文測驗。（一）班48人的平均分為82分，（二）50人的平均分為79分，則全年級的平均分為：二.幾何平均數幾何平均數：是N個數據連乘積的N次方根。1.X是原始數據中后一數據與前一個數的比；2.N是X的個數，而不是原始數據的個數；HYPERLINK【如】：某小學近三年的教學經費如下圖，問該小學近年來教學經費的年平均增長率是多少？單位：元年份200020012002經費11,