有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、3998、3002、3997、3003和5000、4998、5002、4997、5003請問哪批燈泡的質量好？有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：5000、4998、5002、4997、5003和5000、4000、6000、3000、7000請問哪批燈泡的質量好？平均壽命燈泡實際壽命與相對于平均壽命的偏差.有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、第4章隨機變量的數字特征4.1數學期望4.3協方差與相關系數4.2方差第4章隨機變量的數字特征4.1數學期望4.3協24.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望二、連續型隨機變量的數學期望三、隨機變量函數的數學期望四、數學期望的性質4.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望二、

引例

某企業對自動流水線加工的產品實行質量監測，每天抽檢一次，每次抽取5件，檢驗產品是否合格，在抽檢的30天記錄中，無次品的有18天，一件次品的有9天，兩件次品的有3天，求日平均次品數．次品數

012345總計天數頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001引例某企業對自動流水線加工的產品實行質量監測，每天日平均次品數次品數

012345總計天數頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001可能出現的次品數與其相對應頻率乘積的和日平均次品數次品數01日平均次品數頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩定值“日平均次品數”的穩定值“日平均次品數”等于次品數的可能值與其概率之積的和由概率的統計定義知：當試驗次數很大時,頻率會穩定于概率Pi日平均次品數頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩定值6一、離散型隨機變量的數學期望

數學期望的本質——加權平均,它是一個數,不再是隨機變量。一、離散型隨機變量的數學期望數學期望的本質——加權平均7例如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現金，想投資于某項目，預估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.例如何確定投資決策方向?某人有10萬元現8分布期望概率分布參數為p

的0-1分布pB(n,p)npP()計算過程見課本幾個重要的離散型分布的數學期望G（p）P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…

分布期望概率分布參數為p的pB(n,p)npP()計9幾個重要的離散型分布的數學期望1.幾個重要的離散型分布的數學期望1.10概率論與數理統計4153-數學期望課件112.因為所以Poisson分布的參數就是它的數學期望2.因為所以Poisson分布的參數就是它的數學期望12二、連續型隨機變量的數學期望定義的引出設X是連續型隨機變量,其密度為

f(x),在數軸上任取很密的分點x1<

x2<

x3<…,則X落在小區間[xk,xk+xk)內的概率是f(x)x二、連續型隨機變量的數學期望定義的引出設X是連續型隨機13因此X≈

取值

xk、概率為的離散型隨機變量,

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X的數學期望是這啟發我們引出如下連續型隨機變量的數學期望定義：因此X≈取值xk、概率為14概率論與數理統計4153-數學期望課件15解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.練習

顧客平均等待多長時間?

設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間

X(以分計)服從指數分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.練習顧客平均等16分布期望概率密度區間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)幾個重要的連續型分布的數學期望分布期望概率密度區間(a,b)上的E()N(,2)幾17例例18幾個重要的連續型分布的數學期望1.因為所以均勻分布的期望為區間中點幾個重要的連續型分布的數學期望1.因為所以均勻分布的期望為區19因為所以2.因為所以2.203.因為所以3.因為所以21因為所以Cauchy分布的數學期望不存在Cauchy分布注意：不是所有的隨機變量都有數學期望。因為所以Cauchy分布的數學期望不存在Cauchy分布注意22例設某一機器加工某種產品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗4次,每次隨機地抽取5件產品檢驗,如果發現多于一件次品,就要調整機器,求一天中調整機器的平均次數.解:某次檢驗需要調整機器的概率為一天中調整機器的平均次數例設某一機器加工某種產品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗423是否可以不先求g(X)的分布而只根據X

的分布求得E[g(X)]呢？

設已知隨機變量X的分布

一種方法是:g(X)也是隨機變量,它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定義把E[g(X)]計算出來.下面的定理指出答案是肯定的.如何計算X

的某個函數g(X)

的期望？

三、隨機變量函數的數學期望是否可以不先求g(X)的分布而只根據X的分布求得E

定理

設X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續函數）定理設X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續函25解:例6設隨機變量X的分布律為解:例6設隨機變量X的分布律為26例

設隨機變量X~U[0,π],求解由題意得例設隨機變量X~U[0,π],求解由題意得27推廣

設隨機變量Z是隨機變量X,Y

的連續函數Ｚ=g(X,Y)，則聯合分布律

聯合密度函數推廣設隨機變量Z是隨機變量X,Y的連續函數Ｚ=g(X,例

設(X,Y)的聯合分布律為例設(X,Y)的聯合分布律為29解2022/12/240:3030解2022/12/206:3030

例：設隨機向量(X,Y)的聯合密度函數為：

x=1例：設隨機向量(X,Y)的聯合密度函數為：x=11.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量,C是常數,則有四、數學期望的性質4.設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設X,Y是兩個隨機變量,則有1.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量32證明：下面定理僅對連續型隨機變量給予證明四、數學期望的性質證明：下面定理僅對連續型隨機變量給予證明四、數學期望的性質概率論與數理統計4153-數學期望課件34

注：性質4的逆命題不成立，即如果隨機變量X、Y

的數學期望都存在，則由EXY=EX

EY，不能推出隨機變量X、Y

相互獨立。

∴EXY=0=EXEY

所以，隨機變量X與Y

不相互獨立。例設隨機變量（X，Y）的聯合分布律為則

EXY

=1(1)0.1+110.1EX=10.4=0.4，EY=(1)0.4+10.4=0但

P(X=0,Y=0)=0=P(X=0)P(Y=0)0.60.2=0注：性質4的逆命題不成立，即如果隨機變量X、Y的數學期35例

求二項分布X~B(n,p)

的數學期望則

X=X1+X2+…+Xn=np若設i=1,2，…，n因為

P{Xi=1}=p,P{Xi=0}=1-p所以

E(X)=解由于X表示n重伯努利試驗中某事件Ａ“發生”次數.

E(Xi)==pi=1,2，…，n例求二項分布X~B(n,p)的數學期望則36解例解例37概率論與數理統計4153-數學期望課件38例

將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數無限制,求空盒子數的數學期望。解法一設X=空盒子數,則X的分布律為XP0123例將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數無限制,39解法二引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P

0

1∵X=空盒子個數,解法二引入Xi,i=1,2,3,4XiP40有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、3998、3002、3997、3003和5000、4998、5002、4997、5003請問哪批燈泡的質量好？有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：5000、4998、5002、4997、5003和5000、4000、6000、3000、7000請問哪批燈泡的質量好？平均壽命燈泡實際壽命與相對于平均壽命的偏差.有兩批燈泡，它們的壽命分別為（小時）：3000、第4章隨機變量的數字特征4.1數學期望4.3協方差與相關系數4.2方差第4章隨機變量的數字特征4.1數學期望4.3協424.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望二、連續型隨機變量的數學期望三、隨機變量函數的數學期望四、數學期望的性質4.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望二、

引例

某企業對自動流水線加工的產品實行質量監測，每天抽檢一次，每次抽取5件，檢驗產品是否合格，在抽檢的30天記錄中，無次品的有18天，一件次品的有9天，兩件次品的有3天，求日平均次品數．次品數

012345總計天數頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001引例某企業對自動流水線加工的產品實行質量監測，每天日平均次品數次品數

012345總計天數頻率fi

1893000N=3018/

30

9/

30

3/

300001可能出現的次品數與其相對應頻率乘積的和日平均次品數次品數01日平均次品數頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩定值“日平均次品數”的穩定值“日平均次品數”等于次品數的可能值與其概率之積的和由概率的統計定義知：當試驗次數很大時,頻率會穩定于概率Pi日平均次品數頻率隨機波動隨機波動隨機波動穩定值46一、離散型隨機變量的數學期望

數學期望的本質——加權平均,它是一個數,不再是隨機變量。一、離散型隨機變量的數學期望數學期望的本質——加權平均47例如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現金，想投資于某項目，預估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.例如何確定投資決策方向?某人有10萬元現48分布期望概率分布參數為p

的0-1分布pB(n,p)npP()計算過程見課本幾個重要的離散型分布的數學期望G（p）P{X=k}=pqk-1,k=1,2,…

分布期望概率分布參數為p的pB(n,p)npP()計49幾個重要的離散型分布的數學期望1.幾個重要的離散型分布的數學期望1.50概率論與數理統計4153-數學期望課件512.因為所以Poisson分布的參數就是它的數學期望2.因為所以Poisson分布的參數就是它的數學期望52二、連續型隨機變量的數學期望定義的引出設X是連續型隨機變量,其密度為

f(x),在數軸上任取很密的分點x1<

x2<

x3<…,則X落在小區間[xk,xk+xk)內的概率是f(x)x二、連續型隨機變量的數學期望定義的引出設X是連續型隨機53因此X≈

取值

xk、概率為的離散型隨機變量,

x1

x2

…

xk

…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk

…X的數學期望是這啟發我們引出如下連續型隨機變量的數學期望定義：因此X≈取值xk、概率為54概率論與數理統計4153-數學期望課件55解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.練習

顧客平均等待多長時間?

設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間

X(以分計)服從指數分布,其概率密度為試求顧客等待服務的平均時間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.練習顧客平均等56分布期望概率密度區間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)幾個重要的連續型分布的數學期望分布期望概率密度區間(a,b)上的E()N(,2)幾57例例58幾個重要的連續型分布的數學期望1.因為所以均勻分布的期望為區間中點幾個重要的連續型分布的數學期望1.因為所以均勻分布的期望為區59因為所以2.因為所以2.603.因為所以3.因為所以61因為所以Cauchy分布的數學期望不存在Cauchy分布注意：不是所有的隨機變量都有數學期望。因為所以Cauchy分布的數學期望不存在Cauchy分布注意62例設某一機器加工某種產品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗4次,每次隨機地抽取5件產品檢驗,如果發現多于一件次品,就要調整機器,求一天中調整機器的平均次數.解:某次檢驗需要調整機器的概率為一天中調整機器的平均次數例設某一機器加工某種產品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗463是否可以不先求g(X)的分布而只根據X

的分布求得E[g(X)]呢？

設已知隨機變量X的分布

一種方法是:g(X)也是隨機變量,它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦知道了g(X)的分布,就可以按照期望定義把E[g(X)]計算出來.下面的定理指出答案是肯定的.如何計算X

的某個函數g(X)

的期望？

三、隨機變量函數的數學期望是否可以不先求g(X)的分布而只根據X的分布求得E

定理

設X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續函數）定理設X是一個隨機變量,Y=g(X)（g為連續函65解:例6設隨機變量X的分布律為解:例6設隨機變量X的分布律為66例

設隨機變量X~U[0,π],求解由題意得例設隨機變量X~U[0,π],求解由題意得67推廣

設隨機變量Z是隨機變量X,Y

的連續函數Ｚ=g(X,Y)，則聯合分布律

聯合密度函數推廣設隨機變量Z是隨機變量X,Y的連續函數Ｚ=g(X,例

設(X,Y)的聯合分布律為例設(X,Y)的聯合分布律為69解2022/12/240:3070解2022/12/206:3030

例：設隨機向量(X,Y)的聯合密度函數為：

x=1例：設隨機向量(X,Y)的聯合密度函數為：x=11.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量,C是常數,則有四、數學期望的性質4.設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設X,Y是兩個隨機變量,則有1.設C是常數,則有2.設X是一個隨機變量72證明：下面定理僅對連續型隨機變量給予證明四、數學期望的性質證明：下面定理僅對連續型隨機變