第一章微分中值定理的基礎(chǔ)知 第一節(jié)基礎(chǔ)知 第二節(jié)考研數(shù)學(xué)大概率考點(diǎn)之中值定 第二章微分中值定理的證 第一節(jié)費(fèi)爾馬(Fermat)定 第二節(jié)(Rolle)定 第三節(jié)拉格朗日(Lagrange)定 第四節(jié)柯西(Cauchy)定 第五節(jié)四個(gè)定理間的關(guān) 第三章微分中值定理的應(yīng) 第一節(jié)方程的根的討 第二節(jié)利用函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等 第三節(jié)利用拉格朗日和柯西中值定理證明不等 第四節(jié)存在一點(diǎn)滿足某個(gè)等式的證 第五節(jié)存在兩點(diǎn)滿足某個(gè)等式的證 只考一次研，用點(diǎn)兒請(qǐng)牢記全網(wǎng)最強(qiáng)的考研資料免費(fèi) ， 這是一套真正能用的資料，如想打包以上資料，請(qǐng)通過參與活動(dòng)，加入會(huì)員，免費(fèi)領(lǐng) 研途商城——一站購齊快樂考研297297第一節(jié)基礎(chǔ)知零點(diǎn)定理：若f(x在[ab連續(xù)，f(af(b0，則(ab，使得f(0,分別是在[a,b]的最小值和最大值．介值定理：設(shè)f(x)在[abmM，對(duì)于c[mM]，都存在[ab]使得f(c或者：對(duì)于c(mM，都存在使得f(c）費(fèi)瑪定理：如果f(x是極值點(diǎn)，且f(xx0可導(dǎo)，則f(x00定理：f(x在[ab連續(xù)，在(ab可導(dǎo)，f(a)f(b，則(ab使得f()0．6在[ab]連續(xù)，在(ab)可導(dǎo)，，則(ab)f(b)f(a)(ba)f()柯西定理：f(x，在[ab連續(xù)，在(abg(x)0，則(a使 f(b)f(a)g(b)

f()g(f(n)( 泰勒公式：f(x)f(x) x) (xx0)（在x和x0之間 f(x0

f(n)(麥克勞林公式：f(x)f(0)f(0)x

（0x0之間 分性質(zhì)。微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。第二節(jié)考研數(shù)學(xué)大概率考點(diǎn)之中值定 第一節(jié)費(fèi)爾馬Fermat定f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域N(x0有定義.若xN(x0有f(xf(x0(f(xf(x0f在x0取得極大值(或極小值)并稱x0f的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)yf(xfx1)fx0) x0(

x1極小值點(diǎn) 設(shè)函f(x)x0取得極值并且f(xx0可導(dǎo)則必有f(x0[注意1]f(x00是可導(dǎo)函數(shù)取得極要條件[注意2]滿足f(x0)0的點(diǎn)x0不一定是函數(shù)f的一個(gè)極值點(diǎn).這種點(diǎn)稱為 y x3 y3xy(0) (三)怎么證明費(fèi)爾馬Fermat(只須證明:fx00fx0不妨設(shè)fx)在點(diǎn)x0處取得極大值即在點(diǎn)x0的鄰域x0x0)內(nèi)fxfx0f(x0)f(x)f(x0 xx f(x)f(x0) x0x f(x)f(x0) x0fx0存在fx0fx0都存在并且f(x0)f(

)

f(x)f(x0)0 xx0

xf(x0)f(

)0xx0

f(x)f(x0)x f(x0)平面曲線AB連續(xù)不斷且其上各點(diǎn)都有切線.那麼AB上至少存在一點(diǎn)C使得曲線ABC的切線與BC

AB平行切線平行于弦A f()切線平行 x C f(b)f(a)f( b切線平行于 BCA AB的參數(shù)方程 f(b)f(a f(xg(t g(b)g(a g(yf(t (atbyfff

切線平行于弦BC g(a g()g(b 第二節(jié)(Rolle)定設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微f(a)f則在(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使f() (a（二）怎樣證明定理 先利用形象思維去找出一個(gè)CyC C (1)知,fx)在閉區(qū)間[ab]若Mm則fx)Mx[a

M f(x)常數(shù) f(x) x[a,因此,可在(a,b)內(nèi)任取一點(diǎn)作為,若Mm,不妨設(shè)Mf

f()由f(af(b)知M和m至少有一個(gè)不等于f因?yàn)閒(b)f(a),從而有Mf(b).這就是說,最大值M只能在(a,b)內(nèi)部某點(diǎn)處達(dá)到,即 f()M (ab)因?yàn)閍b所以f()存在.又f()且在(ab)內(nèi)部達(dá)到 (a第三格朗日(Lagrange定在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微 f(b)f則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使 b f (a（二） f(a)=f(b) f(a)=f(b)

k f(b)b

f(aa弦AB方程y

yf(a)kxka B函f(x)f(a)kx

F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(x容易驗(yàn)證:F(x)在 b]上連續(xù),在 b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)F 定理知,在 b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使 f()f(b)fb(三)拉格朗f()f(b)f (a,bf(b)f(a)f()(b (a,f(x2)f(x1)f()(x2x1 (x1,x2f(x0x)f(x0)f() (x0,x0f(x0x)f(x0)f(x0x) (01 第四節(jié)柯西(Cauchy定設(shè)函數(shù)fxgx)滿足條件在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開區(qū)間(ab)內(nèi)可微且gx)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使f(b)f(a)g(b)

f(g(

(a先證g(b)g(a) 用反證假設(shè)g(bg(a0,g(b由定理知,存在一點(diǎn)c b),使得g(c)0,這與假設(shè)條件g(x)0F(x)f(x)f(a)f(b)f(a)[g(x)g(b)F(x)滿 定理?xiàng)l件,故存在 b),使得F()0,f(b)f(a)g(b)

f(g(第五節(jié)四個(gè)定理間的關(guān)

2xx22x y2該方程實(shí)根個(gè)數(shù)就是兩條曲線yx22x 令fx2xx22x

計(jì)算表 f(2)30,f(1)30,f(1)20,f(10) f(x)在(2,1),(1,1),和(1,10) fx2xx22x10有四個(gè)相異實(shí) f(x)ln22x2x2 f(x)(ln2)22x2 f(x)(ln2)32x

設(shè)f(x)在 b]可導(dǎo),并且f(a)f(b)yff

b使得f(yf f f(a0,f(b f(a0,f(b[證]不妨設(shè)f(a0,f(bf(a0,即

f(xf(a)0可xxa充分近時(shí)有fxf f(a)不是區(qū)利用條件f(b0又可以推f(b也不是區(qū)間上的最小值.于是最小值在(ab)內(nèi)部某個(gè)點(diǎn)達(dá)到由費(fèi)爾馬定理推出 (a,b),f()例題三設(shè)fC[0,),f在(0,)可導(dǎo),并 f(0)0,x

f(x)0則存在(0),f()fx)(0,y [證](0,)fx)0不妨假設(shè)fx在(0,不恒等于零x0(0,fx0不妨設(shè)f(x0)

f(x)0

,xx1,f(x)f(x0存在[0,x1使得f(max{fx|0xx1并且 f()max{f(x)|0x由于在(0,)內(nèi)部所以是駐點(diǎn)f(arcsinxarccosx2

(x[證 令f(x)arcsinxarccos (x則f(x) 1x

1

(x于是由拉格朗日中值 理的推論1f(x) (c為常數(shù) (x f(0)arcsin0arccos02故arcsinxarccosx2

(x,x1f(1)arcsin1arccos12f(1)arcsin(1)arccos(1)2于是得arcsinxarccosx2

(x證明0ab時(shí)有不等baarctanbarctanab1b 1a[證 令f(x) 顯然,f(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù); (2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微,且 f(x)(arctanx) 1x于是由拉格朗日中值定理,arctanbarctana 1

(b (a因 b1b

b1

b1a所以 baarctanbarctanab1 1例題六fx)在點(diǎn)aU(a)連續(xù)fx)在點(diǎn)a可導(dǎo)且f(a)

除點(diǎn)ax

fx)l[證]xU(a),且xa.顯然,函數(shù)f(x)在[a,x]或[x,a]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,則在a與x之間至少存在一點(diǎn)c,使得 f(x)f(a)f(c)x因?yàn)楫?dāng)xaca.從而limf(x)f(a)limf(c)limf(cx x x c由已知條件c

fc)l,limf(x)f(a)limf(c)x x c由導(dǎo)數(shù)定義知fx)afa)注意：此例說明,只要fx)x0附近連續(xù)xx0處可導(dǎo)x

f(存在則函數(shù)fx)x0必可導(dǎo)x

f(x)f(x0是連續(xù)

.

間斷;例題七證明：當(dāng)x1時(shí),有不等 ln(1x)1[證]當(dāng)x0時(shí),等號(hào)成 因?yàn)閤1Pnx)k1所以fx1)令f(x)ln(1x) 1x0時(shí),有fx)

則f(x) (1,fx)在0)上嚴(yán)格增加 f(x)ln(1x) 1

f(0) 1

ln(1x1x0時(shí),有fx),fx)在1,0上嚴(yán)格減少f(x)ln(1x) 1

f(0) 1

ln(1x令gx)xln1x同理可 ln(1x)例題八設(shè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式Pnx)a0xna1xn1an1x(a00)的根全是實(shí)根Pnx)也僅有實(shí)根[證

Px)的根全是實(shí)根故設(shè)Pxaxx)k1xx)k2xxn其中 x1x2k1k2km

Pn(x)(xx1)k1[a0(xx2)k2(xxm)km(xx1)k1f(xx2是Pnx)的k21),xm是Pnx)的km1)又根據(jù)定Pn(x)

在x1x2x2x3xm1xm)內(nèi)分別有12,m1的實(shí)根個(gè)數(shù)至少為Pnx0只有n1個(gè)根故都為實(shí)根P(x)k(xx)k11f(x)(xx)k1f(x (xx)k11[kf(x)(xx)f( 又k1fx1x1x1fx1k1fx1故x1是Pnx)的(k11)重根 第一節(jié)．例 證明：當(dāng)a23b0時(shí)，實(shí)系數(shù)方程x3ax2bxc0只有唯一實(shí)根證 令f(x)x3ax2bxc，則f(x)3x22axb，由于a23b0，于f(x)3x22axb0，即f(x

f(x)，

f(x)yf(xxx3ax2bxc0例 證明方程xlnx10只有一個(gè)實(shí)根e(0,證明設(shè)f(x)xlnx1，則f(x)lnx1，令f(x)0，解得x1．顯然 (0, 上，f(x)0，于是f(x) 1單調(diào)減少；在

上，f(x)0，于是f(x)(0, ( (,)單調(diào)增加，而f()0xlnx

例 討論方程x33xc中的常數(shù)c，在什么情況僅有一個(gè)根，兩個(gè)根，三個(gè)根解令f(xx33xc，則f(x3x23，令f(x0，解得x1．于是在(1)f(x單調(diào)增加，在(1,1上，f(x單調(diào)減少；在(1,上，f(x單調(diào)增f(1)0或f(1)0yf(xx軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)f(1)0或f(10，函數(shù)yf(x)圖像僅與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)f(1)0且 f(1)0yf(xxc2或c2c2或c22c2設(shè)證明

f(x)f(0)xf()從而有f(xf(0xkk0

f(x．又由于f(0)0定存在零點(diǎn).f(xk0可知，則f(x在[0,例 設(shè)函數(shù)f(x)是可導(dǎo)證明：f(x)的任何兩個(gè)零點(diǎn)之間必有f(x)f(x)一個(gè)零點(diǎn)證 令F(x)exf(x)，又設(shè)x,x(xx)是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)， f(x1)f(x2)0F(xex1f(x0，F(xiàn)(xex2f(x0，由于函數(shù)f(x是可導(dǎo)，于是函數(shù)f 連續(xù)，所以F(x)在閉區(qū)間[x1,x2]滿 定理?xiàng)l件，從而存在(x1,x2)，使F()0F(xexf(xf(xF(ef(f(0f()f()0例6 設(shè)函數(shù)f(x)在[1,)上有f(x)0且f(1)2,f(1)3證明在[1,)上，方程f(x)0僅有一實(shí)數(shù)根.數(shù)學(xué)三不要求） 證明f(x)f(1)f(1)(x1)f()(x1)2f(x)23(x1)3x5因此存在點(diǎn)使得f(0，又由于f(1)2，以及f(x連續(xù)，所以f(x點(diǎn)．下面證明唯一性：只需證明f(x是單調(diào)的，即證明f(x)0或f(x)0．事實(shí)上，由于f(x)0，f(1)3，所以在[1,上，f(x)0．7求證：方程exax2bxc證 用反證法：令F(x)ex(ax2bxc)，若函數(shù)F(x)有四個(gè)零點(diǎn)，不妨x1x2x3x4F(x1F(x2F(x3F(x40顯然F(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]均滿足 定理?xiàng)l件，于是存在三點(diǎn)123，其中1(x1,x2),2(x2,x3),3(x3,x4)，使得F(1)F(2)F(3)0同樣，對(duì)導(dǎo)函數(shù)F(x)在[1,2],[2,3]應(yīng) 定理，則存在兩點(diǎn)12，其1(1,2),2(2,3F(1F(20類似地，對(duì)二階導(dǎo)函數(shù)F(x)在[1,2]應(yīng) 定理，則存在一點(diǎn)[1,2]，使0．而F(x)ex，于是有e0，這是個(gè)結(jié)第二節(jié)利用函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等例1當(dāng)0x 時(shí)，證明2 sinxtanx2xtanxx1x33證明（1）設(shè)f(xsinxtanx2xf(x)cosxsec2x2f(x)sinx2secxsecxtanxsin 1)0cos3所以，函數(shù)f(x嚴(yán)格單調(diào)遞增，又由于f(0)0，因此在0x上，f(x)02于是，函數(shù)f(x嚴(yán)格單調(diào)遞增，且f(0)0，從而在0x上，f(x)02sinxtanx2x（2）設(shè)f(xtanxx1x33f(xsec2x1x2tan2xx2tanxx)(tanxx，由于tanxx0，為了確定tanxx的符號(hào)，我們令g(x)tanxxg(x)sec2x10g(xg(0)0，因此在0x上，g(x0．于是f(x02即tanxx1x332x0ae，證明(ax)a證 為了證明(ax)aaax，只要證明lnaln(ax)．于是令f(x)lnx， a f(x)1lnx0，(xe)f(xaxalnaln(ax) a即 (ax)aaax例 證明：當(dāng)x2時(shí)，x33x2 事實(shí)上我們只要證明：f(x)x33x在[2,2]上的最值的絕對(duì)值不超過2可．由于f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x0x1x1，于是函f(xx33x在[2,2]Mmax{f(2),f(1),f(1),f(2)}2，mmax{f(2),f(1),f(1),f(2)}于是當(dāng)x2f(x)x33x2例 證明：當(dāng)0x時(shí)，sinx 證明（1：利用凸函數(shù)性質(zhì)）F(xsinx

x

(x)

sin

0 F(x在(0,F(0F(0，所以在0xF(x0sinxx sin（方法2：變形）令F(x) 21，xcos

sinF(x) 2

cosx(x2tanx)0 F(x在0xF(0，于是在0xF(x0故sinF(x) 210（0x 即sinxx（0x 第三節(jié)利用拉格朗日和柯西中值定理證明不等（1）若f(x0（f(x0，則f(x是凹（凸）函數(shù)，于是x1x2x1

f(x)f(x

x

f(x)f(xf )

2（f(

2)

2 f(x在[x1x2f(x2)f(x1)(x2x1)(x1x2x1x2，確定f(的不若f(xg(x在[x1x2f(x2)f(x1)f()g(x2) g(xxxx，確定f( g(例 ln(x1)lnx1(x0)1 證 設(shè)f(x)lnx（x0．顯然f(x)在[x,1x]滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則f(1x)f(x)xf()，x1x即ln(x1)lnxf()1由于x1x，于是 11，因1 ln(x1)lnx1(x0)．1x 例 證明不等式：x1和p1，有(1x)p1px證 設(shè)f(x)xp（1）當(dāng)1x0時(shí)，f(x在[1x,1]f(1x)f(x)xf()，1x即(1x)p1pxpp10p11x0，于是(1xp1xpp1xp(1x)p1px例 證明不等式：ln(x1)arctanx(x0)x證 設(shè)f(x)(x1)ln(x1)和g(x)arctanx（x0顯然f(x)在[0,x]滿足

f(x)f(0)g(x)

f()，0xg(即(x1)ln(x1)1ln(1)(12)[1ln(1)]1arctan 1ln(x1)arctanx(x0)x第四節(jié)存在一點(diǎn)滿足某個(gè)等式的證 1設(shè)f(x在[abacdb，證明(abpqpf(c)qf(d)(pq)f(證明（1：利用零點(diǎn)定理）令F(xpqf(xpf(cqf(d，因?yàn)閒在[a,b]上連續(xù)，所以F(x)在[a,b]F(c)q[f(c)f(d)],F(d)p[f(d)f(c)]若f(cf(d，我們?nèi)d，結(jié)論顯然成立．若f(cf(dF(c)F(d(abF(0pf(cqf(dpqf(（方法2：利用介值定理）由于f(x在[ab上連續(xù)，所以f(x)在[ab上可以達(dá)到最大值和最小值，mMmf(xMmf(cMmf(dM，所以pmpf(c)pMqmqf(dqM，故(pq)mpf(c)qf(d)(pq)M根據(jù)介值定理，(a,b)

mpf(c)qf(d)M p F()pf(c)qf(d) p pf(c)qf(d)(pq)f()例 設(shè)f(x)在R上連續(xù)，f(f(x))x，證明：R，使得f()證 引入輔助函數(shù)F(x)f(x)x，F(xiàn)(f(x))f(f(x))f(x)xf(x)xf(xxf(xF(x)Ff(x0，由于f(xR上連續(xù)，根據(jù)零點(diǎn)定理，使得F()0，即f()例 若f(x)在[a,b]上連續(xù)，x[a,b]，都x[a,b]，使

f(x)1f(x) 則[ab]，使得f(0

證 由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，于

f

在[a,b]

f(x)[ab上取到最小值，不妨令f(x0m（最小值m02事實(shí)上，對(duì)于x，根據(jù)已知條件，存在x[ab]，有f(x)1f(x)1m2 例 設(shè)f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，滿足f(1)0，證明：(0,1)，f()f() 引入輔助函數(shù)F(x)f(x)x，則F(0)F(1)0．由于f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，所以F(x)在[0,1]上滿足定理?xiàng)l件，于是存在(0,1)，使得F()0．由于F(xf(xxf(x，于是f()f(0．即(0,1)，有 f()f()5設(shè)f(x在[0,1上連續(xù)，在(0,1)f(11,f(00(0,1)f(f(e1 引入輔助函數(shù)：F(x)f(x)exxe，則F(0)F(1)0，于是F(x)在[0,1]上滿足定理?xiàng)l件，從而存在(0,1)，使得F()0F(xf(x)exf(x)exeF(f()ef()ee0f()f()e16設(shè)函數(shù)f(x在區(qū)間[14]上連續(xù)，且f(1f(2f(3)6，f(4)2，證明：在(1,4)上至少存在一點(diǎn)，使f()0．證 由于函數(shù)f(x)在[1,3]上連續(xù)，于是可以取到最大值M和最小值m，因mf(x)M，x[1,f(1)f(2)f(3)6m2M，根據(jù)介值定理，存在一點(diǎn)[0,3]，使得f()2．于是f(x)在[,4]上滿足定理?xiàng)l件，則存在(,4)(1,4)，使f()07設(shè)f(x在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(1在(0,1)，使得f(1

f(00,f(12證 引入輔助函數(shù)F(x)f(x)x，顯然F(0)0．由F(1)f(1)10，F(xiàn)(1)f(1)10 F(x在閉區(qū)間1,1連續(xù)性，于是由零點(diǎn)定理，有1,1，使F(0，所 F(x)在閉區(qū)間[0,]滿 定理?xiàng)l件，存在(0,1)，使得F()0．由于F(xf(x1F(f(10f(118設(shè)f(x在[0,1]f(1)22xf(x)dx00f()f()

(0,11證 引入輔助函數(shù)F(x)f(x)x．由于f(1)22xf(x)dx0，于是根據(jù)積01中值定理，0,)2

1f(1)22xf(x)dxf()0F(1)F()由于f(x)在[,1]上可導(dǎo)，所以F(x)在[,1]上滿足定理?xiàng)l件，于是存在(0,1)，F(xiàn)()0F(x)f(xxf(x，于是f()f()0(0,1f()f()9設(shè)f(x在[12f(1)f(2)0F(xx1)f(x，證明：存在12F()0．證 已知F(x)(x1)f(x)，f(1)f(2)0，于是F(1)F(2)0，因此F在[1,2]滿 定理?xiàng)l件，從而存在(1,2)，使得F()0．又由F(x)f(x)(x1)f(x) 于是F(1)0，所以，F(xiàn)(x)在[1,]滿足 使得F()0．10設(shè)f(x在[02]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f1，f(2)232f(x)dx 明：在開區(qū)間(0,2)上至少存在一點(diǎn)，使f(0證明f(x)在[0,1]上滿 定理?xiàng)l件．于是存在 1，使得f()0．(0, 據(jù)f

3/2f(x)dx得到，f(2)f()，其中 3，根 定理，存

(1,2至少存在一點(diǎn)，使f()0．11設(shè)f(x在[0,1]二階可導(dǎo)，且f(1)f(0)，求證：存在(0,1)f()2f()1分析解方 f(x)

，即lnf(xln(1x)2Cf 1F(x)(1x)2f(x)證明令F(x)(1x)2f(x)，顯然F(1)0．另外，由于f(x)在[0,1]二階可導(dǎo)，且f(1)f(0)，于是f(x)在[0,1]上滿足定理?xiàng)l件，從而存在(0,1)，使得f()0．當(dāng)然F()0，所以F(x)在[,1]上滿足 定理?xiàng)l件，存在(,1)(0,1)，使得F()0．由于F(x)2(1x)f(x)(1x)2fF()2(1)f()(1)2f() f()2f()1112設(shè)f(x在[0,1]上連續(xù)，且f(00,0f(x)dx0，證明：存在(0,1)1分析解方 f

，即

f(x)dxf()f(t)dtlnxCxxx0f

0F(x)

xf x13若f(x在[0,1]上有三階導(dǎo)數(shù)，且f(0)f(1)0F(xf(x)x3，證明：在(0,1內(nèi)至少存在一個(gè)F()0.證明F(xF(x)F(0)F(0)x1F(0)x21F( F(x)3x2f(x)x3f(x)，F(xiàn)(x)6xf(x)6x2f(x)x3f所以F(0)