專題復習----“線段和（差）的最值”專題復習----“線段和（差）的最值”1我們初中數學中學習過的平面圖形有線段、角、三角形、四邊形和圓，而線段和的最值問題都基于圖形的軸對稱性來確定問題中點的位置，從而求線段和的最值，同時這部分題目的考查也會滲透在平面直角坐標系和函數的題目中，因此將這塊放在二輪復習中進行專題復習。設計思想我們初中數學中學習過的平面圖形有線段、角、三角形、四2從歷年的中考數學題型來看，經常會考查距離最值的問題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應該引起我們的重視。幾何極值問題在教材中雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。初學時大家的認知水平和理解水平有限，處理這類問題時我們并沒有進行拓展和延伸，因此在初三的綜合復習中對此進行專題復習是很有必要的。本課我們共同來解決線段和的最值問題復習指導從歷年的中考數學題型來看，經常會考查距離最值的問題，并且這部3課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？ABPA`P理論依據：兩點之間，線段最短用途：求兩條線段和的最小值課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向4應用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點同側）：如圖1，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點異側）：如圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。B'lPA圖1BABlP圖2應用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點同側）：如圖1，點P5【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標系中，點A(3,4)，B(0,2)，點P為x軸上一動點，求當PA+PB最小時點P的坐標．yxBAOP類型“兩點同側”在x軸上確定一點P使PA+PB最小，因此先作B（A）關于x軸的對稱點B′（A′），連接AB′與x軸的交點即為所求的點P。由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因為A(3,4)，所以易求直線AB′：y=2x-2,所以點P（1，0）B′【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標系中，點6變式訓練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為ABONMPB′變式訓練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上7【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，請你求出BM+MN的最小值．ABCDNMN′N′解析：AD是角平分線，所以具有軸對稱，先作N′與N關于AD對稱，所以MN′=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN′最小，所以當B，M，N′在一條直線上時最小，此時為BN′的長度，而BN′最小時即為BN′與AC垂直時最小，易求得BM+MN的最小值為4【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，A8變式訓練練習1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平分線DE交BC于點E，若點P,Q分別是DE和DC上的動點，則PQ+PC的最小值（）A.2B.C.4D.

ABCDQPE變式訓練練習1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平9【變式訓練】練習2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動點，求△PQR周長的最小值．BPAOP1P2

QR【變式訓練】練習2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內一10【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點，從點A出發，先到l1上一點P，再從P點到l2上一點Q，再回到B點，求作P、Q兩點，使AP＋PQ＋QB最小。QPA′B′解析：由前面的知識積累可以得知：先作出點A′與A關于直線l1對稱，則PA=PA′，然后再作B′與B關于l2對稱，則QB=QB′連接A′B′交l1，l2于點P，Q，則AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，當四點共線時，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O11【變式訓練】已知,在平面直角坐標系中，點A（1,3)、B(4,2)，請問在x軸上是否存在點C，在y軸上是否存在點D，使得圍成的四邊形ADCB周長最短.xyAOBA′DCB′【變式訓練】已知,在平面直角坐標系中，點12反思總結

此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為背景，這些問題的設置背景有都有一個共同點，那就是：都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建奶站問題”的數學模型，再通過找定直線（在那條直線上確定點就作定點關于這條直線的對稱點）的對稱點，從而將問題轉化為上面的類型進行求解，但有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此類問題中會含有定長的線段，依然可以轉化為“建奶站問題”來進行求解。反思總結此類試題往往以角、三角形、菱形、13【課時練習】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上的一點，若AE=2，EM+CM的最小值為________。2、如圖2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB的最小值是3，則AB長為________.圖1圖2【課時練習】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC143.如圖，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一動點，PA+PC的最小值為________。4．在正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE=5，EC=7，點P是BD上的一動點，則PE+PC的最小值是

．圖3AOBCABCDPE圖43.如圖，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,15謝謝！請批評指正2014年3月謝謝！請批評指正2014年3月16課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出三個三角形的三邊長度，計算三角形的任意兩邊之差并與第三邊比較，你能得到什么結論？BAC即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-AC﹤BC課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出17應用：求兩條線段差的最大值A、理論依據：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當P在直線運動到D時，（AB－AC）取最大PBCD應用：求兩條線段差的最大值A、理論依據：三角形兩邊之差小于第18【常見模型】模型一：兩點同側：如圖1，點P在直線l上運動。畫出一點P，使|PA－PB|取最大值；模型二：兩點異側：如圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P,使|PA－PB|取最大值；PBAlB'BPAl圖1圖2【常見模型】模型一：兩點同側：如圖1，點P在直線l上運動。畫19【典型例題】例1：已知：點A(0,1)，B(3,4)，點P在x軸上運動時，當|PA-PB|的值最大時，求出此時點P的坐標yxOABPP分析：“兩點同側”當點P、A、B不在一條直線上時，|PA-PB|<AB，所以當|PA-PB|的值最大時，此時點p、A、B在一條直線上，即直線AB與x軸的交點為P。解析：當|PA-PB|取最大時，此時點P、A、B在一條直線上，設直線AB：y=kx+b將A(0,1)

B(3,4)代入解得k=1,b=1所以直線AB：y=x+1，又因為點P在x軸上，易求點P（-1，0）【典型例題】例1：已知：點A(0,1)，B(3,4)，點P在20【典型例題】例2：已知：點A(0,1)，B(3,0)，點P在直線x=2上運動時，當|PA-PB|的值最大時，求出此時點P的坐標yxOABx=2PB1P分析：“兩點異側”由題知：|PA-PB|<AB，所以當|PA-PB|的值最大時，先找出點B關于直線x=2的對稱點Bl，連接AB與直線x=2的交點即為所求點P，此時滿足：|PA-PB|<的值最大；解析：點B與點Bl關于直線x=2對稱，B（3,0），得B′（1，0）；易求直線AB′

：y=-x+1,因為點P在x=2上，所以聯立可解得：P(2,-1)【典型例題】例2：已知：點A(0,1)，B(3,0)，點P在21設計設想從近年的中考數學題型來看，經常考查距離最值的問題，而這部分題目在中考分析中，失分率很高，應該引起我們的重視，幾何極值問題在教課書雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。學生對幾何極值模型的陌生由于當時的學生理解水平有限等條件下，教師在當時的教學中對教材例習題的拓展延伸程度相對低，因此在初三的綜合復習中對此進行專題復習是很有必要的。所以我設計本節課的思路是想通過對此類題進行深層次的挖掘、拓展、再創造，利用例題、習題的所潛在的價值，改變學生的學習方式由“重結論輕過程”向“過程與結果”并重的方向發展，使學生挖掘隱含問題的本質屬性，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界。希望能通過此了復習達到預想的目標。在具體復習過程中，將此類問題歸類建模，我們知道，數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。用模型分析實際事物，鍛煉我們的創新能力，建立的模型是分析事物的很好的方法，因此在教學中，要洗染引導學生通過討論、分析和研究，熟悉并理解數學模型。設計設想從近年的中考數學題型來看，經?？疾榫嚯x最值的問題，而22專題復習----“線段和（差）的最值”專題復習----“線段和（差）的最值”23我們初中數學中學習過的平面圖形有線段、角、三角形、四邊形和圓，而線段和的最值問題都基于圖形的軸對稱性來確定問題中點的位置，從而求線段和的最值，同時這部分題目的考查也會滲透在平面直角坐標系和函數的題目中，因此將這塊放在二輪復習中進行專題復習。設計思想我們初中數學中學習過的平面圖形有線段、角、三角形、四24從歷年的中考數學題型來看，經常會考查距離最值的問題，并且這部分題目在中考中失分率很高，應該引起我們的重視。幾何極值問題在教材中雖然沒有專題講解，但卻給出了它的模型。初學時大家的認知水平和理解水平有限，處理這類問題時我們并沒有進行拓展和延伸，因此在初三的綜合復習中對此進行專題復習是很有必要的。本課我們共同來解決線段和的最值問題復習指導從歷年的中考數學題型來看，經常會考查距離最值的問題，并且這部25課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？ABPA`P理論依據：兩點之間，線段最短用途：求兩條線段和的最小值課本原型（七年級(下)）如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向26應用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點同側）：如圖1，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。模型二：（兩點異側）：如圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P使PA+PB取最小值。B'lPA圖1BABlP圖2應用：求兩條線段和的最小值模型一：（兩點同側）：如圖1，點P27【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標系中，點A(3,4)，B(0,2)，點P為x軸上一動點，求當PA+PB最小時點P的坐標．yxBAOP類型“兩點同側”在x軸上確定一點P使PA+PB最小，因此先作B（A）關于x軸的對稱點B′（A′），連接AB′與x軸的交點即為所求的點P。由B(0,2)，所以B′(0,-2)，因為A(3,4)，所以易求直線AB′：y=2x-2,所以點P（1，0）B′【典型例題】例1.（“兩定一動”）如圖，在直角坐標系中，點28變式訓練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上，∠AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為ABONMPB′變式訓練如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點A在⊙O上29【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，AB=，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，請你求出BM+MN的最小值．ABCDNMN′N′解析：AD是角平分線，所以具有軸對稱，先作N′與N關于AD對稱，所以MN′=MN，要使BM+MN最小，即BM+MN=BM+MN′最小，所以當B，M，N′在一條直線上時最小，此時為BN′的長度，而BN′最小時即為BN′與AC垂直時最小，易求得BM+MN的最小值為4【典型例題】例2.（“兩動一定”）如圖，在銳角△ABC中，A30變式訓練練習1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平分線DE交BC于點E，若點P,Q分別是DE和DC上的動點，則PQ+PC的最小值（）A.2B.C.4D.

ABCDQPE變式訓練練習1，如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠CDB的平31【變式訓練】練習2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，OP=10，Q、R分別是OB、OA上的動點，求△PQR周長的最小值．BPAOP1P2

QR【變式訓練】練習2，如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內一32【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O，A、B是兩直線間的兩點，從點A出發，先到l1上一點P，再從P點到l2上一點Q，再回到B點，求作P、Q兩點，使AP＋PQ＋QB最小。QPA′B′解析：由前面的知識積累可以得知：先作出點A′與A關于直線l1對稱，則PA=PA′，然后再作B′與B關于l2對稱，則QB=QB′連接A′B′交l1，l2于點P，Q，則AP+PQ+QB=PA′+PQ+QB′，當四點共線時，AP+PQ+QB最小。ABOl1l2【典型例題】例3.(“兩動兩定”)如圖，直線l1、l2交于O33【變式訓練】已知,在平面直角坐標系中，點A（1,3)、B(4,2)，請問在x軸上是否存在點C，在y軸上是否存在點D，使得圍成的四邊形ADCB周長最短.xyAOBA′DCB′【變式訓練】已知,在平面直角坐標系中，點34反思總結

此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為背景，這些問題的設置背景有都有一個共同點，那就是：都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建奶站問題”的數學模型，再通過找定直線（在那條直線上確定點就作定點關于這條直線的對稱點）的對稱點，從而將問題轉化為上面的類型進行求解，但有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此類問題中會含有定長的線段，依然可以轉化為“建奶站問題”來進行求解。反思總結此類試題往往以角、三角形、菱形、35【課時練習】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上的一點，若AE=2，EM+CM的最小值為________。2、如圖2，菱形ABCD中，∠BAD=600，M是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，若PM+PB的最小值是3，則AB長為________.圖1圖2【課時練習】1、如圖1，等邊△ABC的邊長為6，AD是邊BC363.如圖，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一動點，PA+PC的最小值為________。4．在正方形ABCD中，點E是BC上的一定點，且BE=5，EC=7，點P是BD上的一動點，則PE+PC的最小值是

．圖3AOBCABCDPE圖43.如圖，⊙O的半徑為2，點A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,37謝謝！請批評指正2014年3月謝謝！請批評指正2014年3月38課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出三個三角形的三邊長度，計算三角形的任意兩邊之差并與第三邊比較，你能得到什么結論？BAC即：三角形任意兩邊之差小于第三邊AB-AC﹤BC課本原型（七年級（下））如圖所示，在三角形ABC中，分別量出39應用：求兩條線段差的最大值A、理論依據：三角形兩邊之差小于第三邊B、用途：求兩條線段差的最大值當P在直線運動到D時，（AB－AC）取最大PBCD應用：求兩條線段差的最大值A、理論依據：三角形兩邊之差小于第40【常見模型】模型一：兩點同側：如圖1，點P在直線l上運動。畫出一點P，使|PA－PB|取最大值；模型二：兩點異側：如圖2，點P在直線l上運動，畫出一點P,使|PA－PB|取最大值；PBAlB'BPAl圖1圖2【常見模型】模型一：兩點同側：如圖1，點P在直線l上運動。畫41【典型例題】例1：已知：點A(0,1)，B(3,4)，點P在x軸上運動時，當|PA-PB|的值最大時，求出此時點P的坐標yxOABPP分析：“兩點同側”當點P、A、B不在一條直線上時，|PA-PB|<AB，所以當|PA-PB|的值最大時，此時點p、A、B在一條直線上，即直線AB與x軸的交點為P。解析：當|PA-PB|取最大時，此時點P、A、B在一條直線上，設直線AB：y=kx+b將A(0,1)

B(3,4)