首都師范大學2008年高等代數解（15分設f(x),g(xQ[x為有理數域Q上的多項式，并且g(x)0q(xr(x)也為有理數域Q上的多項式，并且滿足f(x)q(x)g(x)r(x)0，或r(x)0為次數嚴格小于deg(g(x))的多項式。證明滿足以上條件的多q(x)r(x)是唯一的。【解答假設存在q1xr1x也滿足f(xq1(x)g(x)r1x)，其中r1x)0，或r1x)0為次數嚴格deg(g(x))的多項q(x)g(x)r(x)q1(x)g(x)r1(x)，這樣，(q(xq1(x))g(xr1(xr(x，其r1xr(x)0，或r1xr(x)0為次數嚴格小于deg(g(x的多項式，因此，只能r1(xr(x)0，即r1(x)r(x)，(q(x)q1(x))g(x)0g(x)0，故q(x)q1(x)0，即q(x)q1(x)，故滿足以上條件的q(x)（182715設f(x),g(xQ[x]為有理數域Q上的多項式，(f(xg(x))表示f(x),g(x)的最大公因式證明如果(f(xg(x))1，則f(x)g(x),f(xg(x))舉例說明在一般情況下f(xg(xf(x)g(x),f(x【解答f(xg(x))1，故f(x),f(xg(x))f(xg(xg(x))1，因此(f(x)g(x),f(x)g(x))(f(x),f(x)g(x))(g(x),f(x)g(x))f(x)xg(x)x(f(xg(xxf(x)g(x),f(xg(x))x2，故在般情況下(f(xg(x))(f(x)g(x),f(x（15分

已知實數域R上的3階方陣A 陣，其中TT表示矩陣T的轉置矩陣

1，求一正交矩陣T使得TTAT00【解答 1 A 1E 1E1

其特征值為1,1,1(1,1,1) 非零解，求知，可得兩個正交的解(0,1,1)T,(2,1,1)T，特征值2對應的特征向量(1,1,1)T26132613

T令T

，則T為正交矩陣，且

AT

為對角矩陣63 6316131613

222（15分

xx4xxx當a,b取什么值時，線性方

有解？在有解的情形，求以上

2x4程組的一般解【解答方程組的增廣00

5x14x23x33x4111111 1111 02112123 122a33 1020203a4343 b5000b2 x3x4

1 1 2x2x x x2x230 310

4

0（15分

0

1

0設V是實數Rn維歐氏空間，V上的內積記為(,)，其中,V。證明不等式

并且等號成立當且僅當,線性相關，其中【解答當0(,) f()0恒成立，2(,)24220(,)當0時，不等式取等號。若0，若能取到等號

0,線性相關。若,線性相關，不妨(,)2，結論得證（15分XM3R)為實數域R上的一個3階方陣，從X開始，連續對矩陣作如下初等變換(1)2加到第二行，(2)第三列乘2加到第二列，(3)交換第一列與第二列，(4)第二2，結果得到了三階單位矩陣，求矩X【解答iXi

X4

0

X42010 010

3 0；將X2的第三 1

12加到第二列，得到X1

0X1第一行乘5加到第二行，得到 111X

1（15分設VR上的一個有限維線性空間，V1,V2為V的子空間，dim(V表示線性空間V【解答

dim(V1V2)dimV1dimV2dim(V1V2設dim(V1V2r，dimV1r1，dimV2r2。假設1,2,,r為V1V2的一組22

和 的一組212 以下再證明1,2,,r,1,2,,rr,1,2,,rr線性無關即可。事實上，假 則 q11q22qrrrrV2q11q22qrrrrV1V2 由1,2,,r線性表示，設

22 線性無關，l1,l2,,lr,q1,q2,,qrr0，因此22q11q22qrrrr0

k11k22krrp11p22prrrr 1再由1,2,,r,1,2,,rr線性無關性，11k1,k2,,kr,p1,p2,,prr1這樣，我們就得

k1,k2,,kr,p1,p2,,prr,q1,q2,,qrr

dim(V1V2)rr1rr2rr1r2rdimV1dimV2dim(V1V2結論得證（15分設A,BMn(R)為實數域上的n階方陣，證明秩ABmin{秩A秩【解答Bx0的解都是ABx0Bx0nr(B個線性無關的解向量，ABx0nrAB個線性無關的解向量，故nr(B)nrAB)rAB)r(B)。rABrAB)Tr(BTATrATrArABmin{rAr(B)}（172815A(aij)nnMn(R為實數Rn階方陣證明：VXMn(RAX0}R假設秩Ar，試求V【解答X,YVkRAXAX0A(kXYkAXAY0X,Y的任意性，VMn(R的子空間，故V為實數R上的線性空間XVX的列向量都Ax0的解。rAr，設1,2,,nrAx0的一個基礎解系，于是，V的元素的一般形式為 j j jk1,1(1,0,,0)k1,nr(nr,0,,0)k2,1(0,1,,0)kn,nr(0,0,,nr其中(1,0,,0),,(nr,0,,0),(0,1,,0),,,(0,0,,nr)V，線性無關，且V中任意向量均可由其線性表示，故其為V的一組基，V的維數n(nr)（182715A

(RB，使得AB2設AMn(R)是一n階可逆矩陣，證明存在正定對稱矩陣P以及正交矩陣U，使A【解答 AMn(R)是一個正定對稱矩陣，故存在正交矩陣Q，使得QTAQ

，n中1,,n0A的特征值 A QT QT n 令B

即著名的極分解定理。AMn