關于器的離散化方法1第一頁，共八十四頁，2022年，8月28日24.0概述典型的計算機控制系統如圖所示。計算機控制系統系統輸入r(t)與系統輸出y(t)比較后形成偏差e(t)，e(t)經采樣保持器及模/數轉換器轉換成數字量e(kT)，輸入計算機，由計算機實現數字控制器的運算規律，得到離散的控制量u(kT)，再經數/模轉換及保持器轉換為連續控制量u(t)，作用到連續的被控對象上，以控制被控對象的輸出y(t)。第二頁，共八十四頁，2022年，8月28日3設計計算機控制系統，主要是設計數字控制器，使圖所示的閉環控制系統既要滿足系統的期望指標，又要滿足實時控制的要求。注：現在的計算機控制系統：一般給定信號是數字信號輸出信號經傳感器測量，變換后轉換成數字信號，由計算機進行比較產生數字e(kt)，經計算機的控制算法運算處理輸出控制信號u(kt)。u(kt)轉換成模擬信號進行控制。第三頁，共八十四頁，2022年，8月28日4當然，按前面的假設，r(t)是模擬信號；e(t)=t(t)-y(t)也是模擬信號；采樣保持器、A/D轉換是對e(t)進行的，也是可以的，不影響對系統進行分析。第四頁，共八十四頁，2022年，8月28日54.1數字控制器的間接設計方法

數字控制器的間接設計法是先根據給定的性能指標及各項參數，應用連續系統理論的設計方法設計模擬控制器，再按照本節介紹的離散化方法將模擬控制器離散化為數字控制器。轉換成數字控制器一般采用以下兩種方法差分法

z變換設計法第五頁，共八十四頁，2022年，8月28日64.1.0基本設計方法模擬系統設計——模擬系統原理框圖為：模擬控制器D(s)被控對象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)由于人們首先熟悉模擬系統的設計，同時研究了許多方便的設計方法，因此，很多情況我們首先設計模擬控制系統，然后再轉換成數字控制系統——主要是控制器GC(s)的轉換。第六頁，共八十四頁，2022年，8月28日74.1.2模擬化設計步驟（1）設計模擬控制器模擬控制器的設計——自控原理學過根據要求的性能指標，配置零極點。

當前使用最多的是PID控制算法。對于PID控制算法，就變為主要是選擇合適的比例系數、積分系數、微分系數問題模擬控制器D(s)被控對象G(s)y(t)r(t)u(t)+-R(s)Y(s)第七頁，共八十四頁，2022年，8月28日8主要方法：依據性能指標要求，可以基本確定閉環傳遞函數。有了開環傳遞函數G(s)

有了閉環傳遞函數GB(s)

或叫做Φ(s)設計過程就是尋找D(s)，使得在該調節器（控制器）的作用下，閉環系統的性能滿足我們的要求。用該方法設計的是模擬調節器，要用計算機實現，需要進行離散化處理。對于模擬調節器，一般使用P、PI、PID調節器。離散化方法：差分法、Z變換法。第八頁，共八十四頁，2022年，8月28日9（2）正確的選擇采樣周期

要用計算機實現控制器的功能，就需要選擇采樣周期，對模擬控制器進行離散化描述。采樣周期的選擇——教材64頁給出了4點原則（1）從條件品質考慮——希望采樣周期短。一般在過渡過程時間內，采樣6~15次。（2）從快速性和抗干擾考慮——希望采樣周期短（3）從成本和計算機的工作量考慮——希望采樣周期長點（4）從計算精度考慮——希望采樣周期T不應太短，否則對于有限的計算機字長，前后兩次采樣差值太小，反而導致調節作用變弱。表4-1給出了采樣周期選擇的一組數據

第九頁，共八十四頁，2022年，8月28日10被控制量采樣周期（S）備注流量1~5優選1S壓力3~10優選5S液位6~8優選7S溫度15~20優選純滯后時間成分15~20優選18S表4-1一部分控制系統選擇采樣周期的經驗數據伺服電動機運動控制等沒有給出。（5mS~20mS）其它控制依據使用要求。被控物理量的特征，按上述原則選。第十頁，共八十四頁，2022年，8月28日11（3）模擬控制器的離散化描述

按模擬方法設計的調節器，要用計算機來實現，需要對它進行離散化處理，轉變成能夠用計算機程序來實現的方式。

差分方程是計算機容易實現的方式。對應于差分方程——傳遞函數Gc（S）就變為脈沖傳遞函數D（Z）。下面就討論離散化方法第十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日124.1.3將模擬控制器轉換為數字控制器的方法

模擬控制器的離散化，有差分法，

脈沖響應不變法階躍響應不變法零極點匹配映射法我們主要討論差分法。第十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日13

差分法的基本思想對于線性定常系統，假設其模擬調節器它對應的時域表達式兩邊積分第十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日14對于采樣時刻t=kt的u(t)值，用采樣時刻t=kt帶入同樣可以得到第十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日15于是，可以得到當T很小時，上式中的積分項當T很小時，上式中的積分項TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T第十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日16當T很小時，積分項TU((k-1)T)U((kT)TU((k-1)T)U(kT)T的u(t)變化很小，可以用下列三種方法之一近似（1）u(k-1)值構成的矩形面積——前向差分（2）u(k)值構成的矩形面積——后向差分（3）u(k-1)，u(k)構成的梯形面積——雙線性變換第十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日17上式右側兩項在數值上可用各種方法來處理，根據近似處理方法的不同，就得到幾種不同的離散化方法

前向差分法后向差分法雙線性變換法

第十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日18（1）前向差分法

前向差分法是一種數值積分，即用(K-1)T時刻的值所形成的矩形面積近似項積分。前向差分法有可能將S左半平面的穩定極點映射到Z平面單位圓外成為不穩定極點，故實際應用中不能采用前向差分法作為離散化方法。經前向差分可寫成第十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日19它的Z變換為：它的Z變換為：第十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日20如果令在采用前向差分時。則模擬調節器GC(s)與數字調節器D(z)具有相同的形式。——可認為公式(5.7)是從s平面到z平面的映射函數.這樣的映射是否穩定？——也就是說，如果穩定的模擬控制器GC(s)，變換到Z域是否仍然穩定？第二十頁，共八十四頁，2022年，8月28日21前向差分法對系統穩定性的影響對于公式4.6模擬系統穩定，——要求系統極點位于S左半平面

也就是S平面穩定的極點，映射到Z平面變為σ<1的平面。如圖所示。Z為復數z=σ+jω因T>0第二十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日22σjωRezjImzσ=1Z平面S平面σ<1第二十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日23

前向差分法有可能將S平面的穩定極點映射到Z平面的單位圓外——原來設計的在模擬條件下穩定的系統，利用前向差分轉變為數字控制器后，系統可能變得不穩定。故一般不用前向差分法。第二十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日24（2）后向差分法

后向差分法也是一種數值積分，即用kT時刻的值所形成的矩形面積近似積分項。后向差分法將s平面的穩定區域映射為z平面的一個以σ=1/2，ω=0為圓心，1/2為半徑的圓。經后項差分可寫成它的Z變換第二十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日25類似于前向差分法，如果令則D(z)在形式上與GC(s)相同，可認為從s平面到z平面的映射函數為：下面來討論后向差分法對穩定性造成影響？第二十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日26后向差分對穩定性的影響類似于前向差分法對于復數z,z=σ+jω第二十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日27它就是經過4.9映射，S平面的穩定區域，被映射到Z平面的情況是：它映射到圓心在σ=1/2，ω=0，半徑為?的園。即：使用后向差分，原來穩定的模擬控制系統變換為數字控制系統后，仍然是穩定的。園方程第二十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日28S平面Z平面第二十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日29（3）雙線性變換法

雙線性變換法也稱梯形法或Tustin法，是基于梯形面積近似積分的方法。根據這個方法有第二十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日30差分方程離散后的控制器脈沖傳遞函數令第三十頁，共八十四頁，2022年，8月28日31則D(z)與模擬調節器GC(s)具有相同的形式。——可認為從s平面到z平面的映射函數為考察該映射對穩定性的影響。第三十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日32令z=σ+jω，帶入也就是S平面穩定的極點，映射到Z平面在單位圓內。雙線性變換是穩定的。第三十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日33對于任何一個已經設計好的模擬調節器Gc(S)，我們可以使用后向差分法、或雙線性變換法，將模擬調節器GcSe）轉換為Z變換域的脈沖傳遞函數D（Z）有了D（Z），就可以得到調節器的差分方程——就可以用計算機程序來實現。第三十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日34還有一些離散化方法：

脈沖響應不變法階躍響應不變法零極點匹配映射法

教材上沒有介紹，需要時，自己找相關資料，我們就不討論了。第三十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日354.2數字PID控制器的設計PID控制規律PID控制規律的離散化PID控制規律的脈沖傳遞函數數字PID控制器第三十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日364.2.1PID控制（1）模擬PID控制調節器被控對象r(t)y(t)e(t)u(t)-+PID控制，就是控制器對誤差信號e(t)進行比例(P)、積分（I）、微分(D)運算，得到輸出控制信號u(t)。第三十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日37式中u(t)——是控制器的輸出；e(t)——是系統給定量與輸出量的偏差；Kp——是比例系數；TI——是積分時間常數；TD——是微分時間常數。

PID控制也可以表達為：KI——積分系數KI=KP/TIKD——微分系數KD=KP*TD傳遞函數為：第三十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日38教材上的PID控制，在上述基本PID運算的基礎上，又添加了一項u0它表示一個控制量的初始值，例如閥門的初始開度等，一般情況不用這樣表示，故后面我們不再用這一項，而是直接用常用的PID算法公式第三十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日39使用PID控制器的控制系統原理圖KP+++G0(s)GC(s)y(t)u(t)e(t)r(t)-+IPD第三十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日40比例作用比例作用的引入是為了及時成比例地反映控制系統的偏差信號e(t)，系統偏差一旦產生，調節器立即產生與其成比例的控制作用，以減小偏差。比例控制的特點：響應快，一旦出現偏差，控制器會立即產生控制作用u(t)=KP×e(t)，使系統向減小偏差的方向變化。存在的不足：對某些系統，可能存在穩態誤差，加大比例系數k，系統的穩態誤差減小，但穩定性可能變差，可能導致振蕩。第四十頁，共八十四頁，2022年，8月28日41

積分作用的引入是為了使系統消除穩態誤差，以保證實現對設定值的無靜差跟蹤。假設系統己經處于閉環穩定狀態，此時的系統輸出和誤差量保持為常值，只有當且僅當動態誤差e(t)=0時，控制器的輸出才為常數。從原理上看，只要控制系統存在動態誤差，積分調節就產生作用，直至無差，積分作用就停止，此時積分調節輸出為一常值。積分作用的強弱取決于積分時間常數TI的大小，TI越小，積分作用越強，反之則積分作用弱。積分作用的引入會使系統穩定性下降，動態響應變慢。實際中，積分作用常與另外兩種調節規律結合，組成PI控制器或者PID控制器。②積分I的作用對控制性能的影響第四十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日42③微分D作用對控制性能的影響

微分作用的引入，主要是為了改善控制系統的響應速度和穩定性。微分作用能反映系統偏差的變化律，預見偏差變化的趨勢，因此能產生超前的控制作用。直觀而言，微分作用能在偏差還沒有形成之前，就己經依據偏差的變化趨勢產生控制作用，因此，微分作用可以改善系統的動態性能。第四十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日434.2.2PID控制規律的離散化

計算機控制系統中，利用外接矩形法進行數值積分（在時間T內近似認為e(t)為常數），一階后向差分進行數值微分，當選定采樣周期為T時，有

ui為控制器輸出，它對應于被控對象的執行機構第i次采樣時刻應達到的位置，因此，該式稱為位置型PID控制算式，其輸出值與過去所有狀態有關。第四十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日44

當執行機構需要的不是控制量的絕對數值，而是其增量時，由上式可導出增量型PID控制算式對于位置式PID控制算法，i-1時刻的ui-1為：i時刻與i-1時刻的輸出值之差為：第四十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日45

計算機只輸出控制增量，即執行機構位置的變化部分，因而誤動作影響小在i時刻的輸出ui，只需用到此時刻的偏差，以及前一時刻，前兩時刻的偏差ei-1，ei-2和前一次的輸出值ui-1，這大大節約了內存和計算時間在進行手動－自動切換時，控制量沖擊小，能夠較平滑地過渡增量型控制算式具有以下優點缺點：

不便于積分限幅處理、積分項分離處理，對超調量的控制不方便第四十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日46PID算法還可寫成遞推型PID方式第四十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日47PID控制算法只是用比例項 ——P（比例控制）比例+積分 ——PI

比例+微分 ——PD

比例+積分+微分——PID依據控制性能要求、被控對象的特征選擇。對于PID控制，PID三項的系數值決定系統的控制性能——選擇可是的系數，叫做PID參數整定。第四十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日484.2.3.PID算法的實現為了盡量節省計算時間，一般使用第推算法。（1）增量式PID算法可以直接利用公式5.21計算。

需要保存ei-1,ei-2兩次誤差信號，再利用當前誤差ei

計算輸出信號。該算法流程圖見教材72頁圖4.9第四十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日49（2）位置式PID算法實現方法1利用遞推計算公式5.22計算位置式PID控制信號它需要保存ei-1,ei-2兩次誤差信號，前一次的控制輸出信號ui-1，再利用當前誤差ei

計算輸出信號。實際上，該方法就是實現該算法的程序流程圖自己參考教材圖4.9畫一下。具體的程序代碼與所使用的程序設計語言有關。第四十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日50（3）位置式PID算法2將公式5.20的積分項Xi為積分項。積分初值X0=0，該方法需要保存ei-1和前面的積分值Xi-1。

該方法的優點是可以進行積分項的分離和單獨限幅處理，有利于提高控制性能——例如誤差太大時，使積分項為0（只用PD）算法，這樣可以減小積分飽和造成的超調量。第五十頁，共八十四頁，2022年，8月28日51該方法的程序設計，自己回去編寫。對于許多PID控制算法的改進，都是基于位置式PID控制算法——積分項的改進——對控制效果有較大的改進積分分離——

變速積分法抗擊分包和梯形積分法消除積分不靈敏區方法微分項的改進不完全微分法微分先行法第五十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日524.2.4.PID控制規律的脈沖傳遞函數將模擬控制器的傳遞函數用后向差分方法等效離散化(s=(1-z-1)/T)，可得PID控制規律的脈沖傳遞函數形式直接從差分方程也可以得到該式第五十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日53所以第五十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日544.2.5數字PID控制器算法的改進

標準PID控制算法存在的問題

PID控制器的改進算法

PID控制的發展第五十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日551.標準PID控制算法存在的問題

任何一種執行機構都存在一個線性工作區，同時，執行機構的動態特性也存在一個線性工作區。增量式PID算法中微分項和比例控制作用過大將出現微分飽和，都會使執行機構進入非線性區，從而使系統出現過大的超調或持續振蕩，動態品質變壞。為了克服以上兩種飽和現象，避免系統的過大超調，使系統具有較好的動態品質，必須使PID控制器輸出的控制信號受到約束，即對標準的PID控制算法進行改進，并主要是對積分項和微分項進行改進。第五十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日562.PID控制器的改進算法

積分飽和作用及其抑制

PID增量算法的飽和作用及其抑制干擾的抑制

PID算式中微分項的改進

第五十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日57（1）積分項的改進

物理執行元件的機械和物理性能是受約束的，即輸入u(t)的取值是在有限范圍內，同時其變化率也受限制。控制系統在啟動、停止或者大幅度提降給定值等情況下，系統輸出會出現較大的偏差，這種較大偏差，不可能在短時間內消除，經過積分項累積后，可能會使控制量u(k)很大，甚至超過執行機構的極限。另外，當負誤差的絕對值較大時，也會出現另一種極端情況。積分分離法第五十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日58①積分分離法

減小積分飽和的關鍵在于不能使積分項累積過大。積分項的主要作用是消除靜態誤差，因此當偏差大于某個規定的門限值時，刪除積分作用，PID控制器相當于一個PD調節器，這樣既可以加快系統的響應又可以消除積分飽和現象，不致使系統產生過大的超調和振蕩。只有當誤差e在門限之內時，加入積分控制，相當于PID控制器，則可消除靜差，提高控制精度。積分分離的控制規律為第五十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日59程序實現：增加一個判斷環節，當誤差ei過大時，使積分項第五十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日60②變速積分的PID算法

前面的PID算法中，積分系數KI（或TI）是一個常數。積分作用太強，會造成積分項太大，出現負偏差比較大時（出現較大的超調量），積分項才會逐步變小

——使控制量變小。積分作用弱——有可能靜差大因此，我們的要求：偏差大——積分作用弱，直至不積分偏差小——積分作用強這樣，積分系數就應該是偏差ei的函數。例如4.27第六十頁，共八十四頁，2022年，8月28日61F值在0~1之間變化，是當前的偏差起的作用與他的偏差值有關，相當于積分項的系數是變化的。第六十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日62③抗積分飽和

積分項的輸出限制在執行機構所能執行的輸出值范圍內，例如如果通過8位DA輸出，則最大值限制在0FFH。這樣，一旦輸出出現超調，積分項輸出UI立即變小，不會出現系統出現超調后，控制量u還不減小的情況。第六十二頁，共八十四頁，2022年，8月28日63④梯形積分消除積分不靈敏第六十三頁，共八十四頁，2022年，8月28日64（2）PID算式中微分項的改進

在標準數字PID算法中，對于誤差為階躍信號，微分控制作用只體現在誤差信號發生瞬變的第一個采樣周期內從第二個采樣周期開始，ei=ei-1,微分部分輸出變為零。而在連續控制系統中，PID控制器的微分部分能在較長時間內起作用，如圖所示。et=kT第六十四頁，共八十四頁，2022年，8月28日65①不完全微分PID控制算法為了改善控制效果，需要對微分項做改進微分作用比較工程上一般是在傳統PID算法的基礎上增加一個慣性環節第六十五頁，共八十四頁，2022年，8月28日66通過加入慣性環節構成不完全微分數字控制器。它不僅可以平滑微分產生的瞬時脈動，而且能加強微分對全過程的影響。不完全微分的PID調節規律

實際上，這個慣性環節，就相當于在PID輸出增加一個RC低通濾波器RC第六十六頁，共八十四頁，2022年，8月28日67該慣性環節的實現其中T是采樣周期,τ是濾波器的時間常數，它相當于RC低通濾波器的

τ=RC它就是前面介紹過的一階數字低通濾波器。RC第六十七頁，共八十四頁，2022年，8月28日68②微分先行PID控制算法教材77頁簡單介紹了該方法。第六十八頁，共八十四頁，2022年，8月28日69（3）其它改進方法包括時間最優PID控制帶死區的PID控制算法可變增量PID控制算法還有許多具有人工智能特征的PID控制算法例如：自適應PID控制算法基于人工神經元網絡的PID控制算法參數子整定PID控制算法……第六十九頁，共八十四頁，2022年，8月28日703.PID控制的發展PID是行之有效的一種控制規律，隨著計算機控制技術的發展和控制理論的發展，許多學者對這種控制方法進行了更深入的研究，提出了許多性能優良的PID控制算法。可變增益PID控制——Kp可變參數自尋優PID控制——自動尋找優化的PID參數。

PID+Ping-Pang復合控制——在誤差進入指定區域，才使用PID控制，該范圍外，使用開關控制。自適應PID控制——

模糊PID控制——PID專家控制系統——第七十頁，共八十四頁，2022年，8月28日714.2.6數字PID控制器的參數整定

在實際控制系統中，控制算式一旦確定，比例，積分和微分參數的整定就成為重要的工作。控制效果的好壞在很大程度上取決于這些參數選擇得是否得當。關于PID控制參數整定方法有很多。通常首先要對工業對象的動態特性作某種簡單假設。因此，由這些整定方法得到的參數值在使用時不一定是最佳的，往往只作為參考值。在實時控制中，還要在這些值附近探索，找出實用中有效的最佳值。

PID參數整定的理論方法試湊法確定PID調節參數簡易工程法整定參數

第七十一頁，共八十四頁，2022年，8月28日721.理論方法按照指標要求、選取一組合適的PID參數，它與被控對象的特性相配合，使系統特征方程的根分布在S平面左半平面某一個希望的區域。通過分析零極點對系統性能影響，選擇合適的零極點——就得到控制器的傳遞函數。要求由對象準確的數學模型有時，理論上尋找是困難的。第七十二