關于周期非正弦電路第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日主要內容§11－1周期非正弦信號§11－2周期非正弦信號的傅立葉級數§

11－3周期非正弦信號的頻譜§11－4傅立葉系數與波形對稱性的關系

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11－5周期非正弦信號的有效值、平均值和電路的功率第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日

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11－6周期非正弦信號激勵時電路的響應主要內容

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11－7不同頻率正弦電源共同作用下電路的分析§11－8對稱三相電路中的高次諧波第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日§11－1周期非正弦信號電工、電子技術中常遇到周期非正弦信號，下圖示出了幾種常見的周期非正弦電壓和電流。第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日周期非正弦電路的形成：（1）線性電路中激勵為周期非正弦信號；（2）線性電路中，激勵為若干個不同頻率的正弦信號；（3）激勵為正弦信號，但電路中有非線性元件（如鐵心線圈、鐵心變壓器等）或時變元件；（4）前兩種激勵作用于非線性元件。本章僅討論第（1）、（2）兩種情況。說明：全波整流電壓和單相可控硅整流電壓的周期是按整流電路輸入正弦電壓的周期計，所以T為兩個半波對應的時間。第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日§11－2周期非正弦信號的傅立葉級數任何周期非正弦函數當滿足狄里赫利條件時，都可展開成傅立葉級數。電工、電子技術中的周期非正弦信號，通常都滿足狄里赫利條件。

一.周期非正弦信號

f(t)展成傅氏級數f(t)周期：T頻率：f＝1/T角頻率：ω＝2π/T第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日傅氏級數形式一：——①傅氏級數形式二：式①可寫成如下形式——②第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日

二.傅氏級數各參數之計算由數據分析有對應式①：第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日

三.說明1.式②中

——f(t)的恒定分量或直流分量——f(t)的基波（分量）或1次諧波（分量）——f(t)的2次諧波（分量）——f(t)的3次諧波（分量）

...2次及2次以上的諧波統稱為高次諧波；第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日2.傅氏級數具有收斂性，即隨著頻率的增加，諧波幅值總的趨勢越來越??；3.f(t)波形越平滑，越接近正弦，其高次諧波分量越小，級數收斂越快；f(t)波形越不平滑或有跳躍其高次諧波分量大，級數收斂慢。第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日例11－1求下圖所示周期方波信號f(t)的傅立葉級數。f(t)tωt0－2π2ππ/2－π/2ET/4T－T/4－T解（1）傅立葉系數a0、ak、bk：由公式得

第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日（2）f(t)的傅立葉級數展開式：將求得的傅立葉系數帶入式①，得周期非正弦信號的傅立葉級數有無窮多項，由于它具有收斂性，因此，一般可只取前若干項近似表示。項數取得越多，近似效果越好。上例方波信號的傅立葉級數展開式，若取前四項、即取到5次諧波，其合成波形如下圖（a）所示。若取前7項、即取到11次諧波，則合成波形如圖（b）所示。可見所取諧波項數越多。合成的波形越接近原信號波形。第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日幾種常見的周期非正弦信號的傅立葉級數見本章最后一頁。本節完第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日§

11－3周期非正弦信號的頻譜為了直觀、清晰地看出各諧波幅值Akm、初相位ψk與頻率kω之關系，可以畫出Akm～kω1和ψk～kω1的譜線圖，它們分別稱為幅度頻譜圖和相位頻譜圖（見下面的例）例第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日其對應的頻譜圖如下：Akmω13ω15ω17ω19ω10kω1（a）幅度頻譜03ω15ω17ω19ω111ω1kω1ψkπ（b）相位頻譜第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日頻譜圖中的豎線稱為譜線，譜線只可能在離散點kω1的位置上出現，因此是離散頻譜。譜線的間距取決于信號f(t)的周期T，T越大，ω1越小，譜線間距越窄，譜線越密。信號的幅度頻譜和相位頻譜的重要性在不同場合有所不同，如傳送語音信號時，重要的是使各頻率分量的幅值相對不變，以保持原來的音調，即不失真，因此幅度頻譜很重要，而相位頻譜并不重要，因為人的聽覺對各頻率分量的相位關系不敏感。但是在傳送圖像信號時，保持各頻率分量間的相位關系則對圖像的不失真具有重要意義。第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日§11－4傅立葉系數與波形對稱性的關系對一個周期非正弦函數進行分解時，應先分析它是否具有對稱性。如果波形具有對稱性，則它的某些傅立葉系數將為零，利用這一特點，計算將大為簡化。下面分析傅立葉系數波形對稱性的關系。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日一.f(t)波形在一個周期內，在t軸上、下的面積相等下面所示波形屬于此情況，此時有f(t)t0ET/2T－E（a）f(t)t0T/2T（b）第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日二.f(t)為偶函數——f(t)＝f(－t)

波形特點：對稱于縱軸，例如上圖（a）。

傅氏級數特點：不含奇函數，即傅氏級數形式一中無正弦分量，式中a0可能為零，也可能不為零。上圖（a）的a0＝0，若圖（a）的t軸下移，則。第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日三.f(t)為奇函數——f(t)＝－

f(－t)

波形特點：對稱于原點，例如上圖（b）。

傅氏級數特點：不含偶函數和直流分量，即四.奇諧波函數——

波形特點：前半周波形平移半個周期后與后半周波形對t軸呈鏡像對稱，例如下圖：第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日f(t)t0T/2T-T/2

傅氏級數特點：不含恒定分量和偶次諧波分量，即第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日或五.偶諧波函數——

波形特點：后半周為前半周的重復。f(t)T/2T0t

傅氏級數特點：不含奇次諧波分量，即或第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日六.說明1.周期信號是奇函數還是偶函數，除與波形有關外，還與計時起點有關，例如下圖所示f(t)，當f(t)to1o2坐標原點為o1——f(t)是奇函數坐標原點為o2——f(t)是偶函數第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日2.周期信號是奇諧波函數還是偶諧波函數，僅與波形有關，而與計時起點無關。本節完第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日

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11－5周期非正弦信號的有效值、平均值和電路的功率一.周期非正弦信號的有效值和平均值1.有效值任何周期信號的有效值等于其瞬時量的方均根值（見第六章第一節）。周期電流i(t)的有效值為——①第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日將i(t)分解為傅氏級數——②式②代入式①，經計算（見參考書）得式中I0——i(t)的直流分量式中Ik——i(t)的k次諧波有效值，。第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日周期非正弦信號的有效值，等于不同頻率的各諧波有效值平方和的開方（直流分量可視為信號的零次諧波），即結論：同理，周期非正弦電壓u(t)的有效值為第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日例11－2試求的有效值U。解思考（答案見例11－3后）：上例（1）若，有效值U變否？（2）若，U變否？u(t)的波形變否？第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日例11－3求下圖所示鋸齒波電壓u的有效值。ut0T解圖示鋸齒波電壓可寫成Um用方均根求有效值有第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日此題若用鋸齒波的各諧波分量有效值平方和的平方根計算，只能取有限項，顯然會出現誤差，項數取得越多，誤差越小。周期信號可用解析式表達時，有效值應直接用方均根值計算。思考題答案（1）U變。中，第二、三項是同次諧波（基波），而有效值是等于不同頻率的各諧波有效值平方和開方，因此要先求出同次諧波合成后的有效值（用相量法），然后再進行計算。第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日對應（2）U不變，波形要變。第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日結論：①有效值與不同頻率的各諧波的相位無關；②有效值相等的非正弦信號的波形一般都不相同。2.平均值電工、電子技術中，有時要用到電壓、電流的平均值。平均值的定義是：信號的絕對值在一個周期內的平均值。以電流i為例，其平均值為第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日正弦電流的絕對值i的波形是全波整流波形，根據上式，正弦電流的平均值為此式表明，正弦信號的平均值約為有效值的0.9倍，或有效值約為平均值的1.11倍。第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日二.周期非正弦電流電路的平均功率（有功功率）P右圖所示二端網絡N的u

、i為。。＋－uiN——①——②網絡N吸收的平均功率為將式①、②代入上式，經計算（見參考書）后得第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日式中Uk、Ik為k次諧波電壓、電流的有效值，為k諧波電壓與k次諧波電流的相位差角，即上式亦可寫成——③第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日結論：周期非正弦電流電路的平均功率等于直流分量產生的功率和各次諧波產生的平均功率之和，即這稱為功率疊加。第三十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日注意及說明（1）不同頻率的電壓、電流不構成平均功率，只有相同頻率的電壓、電流才構成平均功率；（2）功率疊加只對不同頻率的諧波功率有效；（3）電路中，只有電阻元件消耗有功功率。周期非正弦電路中，電阻吸收的有功功率仍為或