FIR數字濾波器設計本章知識點：對于一個離散時間系統H(z)

N1bnn0M

zn

,若分母多項式中系數a a1 2

aM

0，1n1

aznn則此系統就變成一個FIR系統H(zN1bzn，其中系數b,b.,b即為該系統的單位取樣n 0 1 n0響應h(0),h(1),…h(N-1),且當n>N-1時，h(n)=0。FIR系統函數H(z)Z平面上有N-1z=0處有N-1易取得較好的通帶和阻帶特性，要想得到與IIR系統類似的衰減特性，則要求較高的H(z)階次。相比于IIR系統來說，FIR系統主要有三大突出優點：1）系統永遠穩定；2）易于實現線性相位系統；3）易于實現多通帶（或多組帶）系統。線性相位FIR奇數或偶數h[n]N1相對其中心軸必須成偶對稱或奇對稱，此時濾波器的相位特性是線性的，且群延時均為常數2N1。由于h(n)N244種線性相位FIR偶對稱Nh[n]偶對稱Nh[n]奇對稱Nh[n]奇對稱N為偶數。四種線性相位FIR5.１中。偶對稱h(n)=h(N-1-n)奇對稱h(n)=-h(N-1-n)相位函數(偶對稱h(n)=h(N-1-n)奇對稱h(n)=-h(N-1-n)相位函數()-N-12θ(ω)()-N-122θ(ω)ωω相幅度函數: H)2a(n)cos()N-1N幅度函數:H)2c(n)si（）N為奇數a(n)h(N12)n0n0n1c(n)2hN1na(n)2h(N12n)n02n=1,2,…,(N-1)/2HH 2πOπOπ2πNN幅度函數:H)2n1b(n)cos(n-12N幅度函數：H()2(n)si（n-12）相n1N為偶數b(n)=2h(2-n)，n=1,2,…N/2HNd(n)2hN2nn=1,2,…,N/2H2πOπOπ2π一．FIRDF設計方法FIRDF的設計實現不能像IIRDF法；頻率抽樣法；最佳一致逼近法。窗函數法窗函數法是設計FIR無限長沖激響應h5－1來描述：h(n)h

w

h(n),( (

|n

N-12d R ,

（5.1）其中WR(n)是時寬為N的窗函數。H(eH(ej之間產生差d主瓣寬度盡可能地窄，以獲得盡量陡的過渡帶。最大旁瓣相對于主瓣盡可能地小，即能量盡可能集中于主瓣內，以使肩峰和波動減小。常是以增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。下面是幾種常用的窗函數及其頻譜特性：矩形窗0nN1w(n) （5.2）其它 jN

Nsin sin 2 W(ejR

)e

sin 2

(5.3)三角窗（或巴特利特Bartlett窗）2n , nw(n)2

(5.4) 2n N, n ,...,N1 N

2sin

N 12 2 j

N1) 4 W (e

) N 1

2

2 2

(5.5) sin N 2 2 e

j(N1) 4

(N 1)N 2

漢寧（Hanning）窗——升余弦窗

sin 2 2n

2nw(n)sin0.50.5cos

n0,1,2,...,N1

(5.6)N1 N1 2 2 -jN-1W(ej)0.5W()0.25W W e2 R R

N1

R N1

（5.7） 2

2

-jN-10.5W()0.25W

e

2

(N1) R R

N R

N漢明（Hamming）窗——改進的升余弦窗w(n)0.54

2n

n0,1,2,...,N10.46cos N1

(5.8) 2 2

N-1--W(ej)0.54W()0.23W

e2 R R

N1

R N1

(5.9) 2 2

N-10.54W()0.23W 0.23W

-j 2 R R N

R N布萊克曼（Blackman）窗——又稱二階升余弦窗w(n)0.42

2n

2n

n0,1,2,...,N10.5cos N1

cos N1

(5.10) 2 2

N-1W(ej)0.42W-0.25W- W e

-j 2 R R N-1 R N-1 4 4

N-1--0.04W-

e2

(5.11) R

N-1

R N-1凱瑟（Kaiser）窗11n2N1 I 0 ,w(n) ,

I0

0nN1 (5.12)5.2列出了以上各窗函數的綜合性能指標。表5.3β值下的凱瑟窗性能總結。窗函數旁瓣峰值 窗函數衰減（dB）主瓣寬度窗函數旁瓣峰值 窗函數衰減（dB）主瓣寬度加窗后濾波器過加窗后濾波器阻帶最小衰減（dB）矩形窗-134π/N1.8π/N-21漢寧窗(升余弦窗)-318π/N6.2π/N-44漢明窗(改進升余弦窗)-418π/N6.6π/N-53布萊克曼窗(二階升余弦窗)-5712π/N11π/N-74凱塞窗（β=7.865）-5710π/N10π/N-80表5.3不同β值下的凱瑟窗性能β加窗后濾波器加窗后濾波器阻帶過渡帶（△ω）最小衰減（dB）2.1203.00π/N-303.3844.46π/N-404.5385.86π/N-505.6587.24π/N-606.7648.64π/N-707.86510.0π/N-808.96011.4π/N-9010.05612.8π/N-100用窗函數法設計FIR濾波器的實現步驟如下：（通過計算求得窗的寬度N：N上取整 濾波器過渡帶 根據所要設計線性相位FIR濾波器的類型來決定最終N取奇數或偶數，一般情況下取奇數。根據相應的頻率響應函數Hd

(ej)，求傅立葉反變換，得到hd(n)。按所得窗函數求出FIR濾波器的沖激響應：h(n)=hd(n)w(n) n=0,1,2,…,N–1。h(nFIRHNw(n)。頻率取樣法h(n去近似所要求的理想沖激響應d(nFIRHd(ej的方法。FIR數字濾波器的頻率響應可以用其沖激響應h(n)DFT值(N1) H(ejw)ej

wN1H(kej(N1)/Nsin

N(2k/N)/22k0

2k/N)/

（5.13）定義內插函數為：S(,k)ej(N1)k/

/N)/2

（5.14）N 2k/N)/2則頻率響應為：H(ejw)e

j(N1)wN12k0

H(k)S(w,k) （5.15）H(k)可以通過對理想頻率響應Hd2

(ej)函數進行取樣離散來確定，即令：H(k)Hd

(ejNk) kN1 （5.16）由H(k)經過內插即可得到濾波器的頻率響應 H(e。這時的即為對理想頻率響應H(ej的近似。在H(k)d2H(ejNk)H(k)Hd

)Hd

2(ejNk)但在兩個取樣點之間，頻率響應則是由各取樣點間的內插函數加權確定，因此，存在著逼近誤差，誤差的大小取決于理想頻率響應Hd

(ej)的曲線形狀和取樣點數N的大小。同樣，要保證FIR數字濾波器的線性相位特性，就必須對頻域取樣值H(k)提出相應的約束條件，而不能任意指定。四類線性相位濾波器對H(k)的約束條件如下：h(n)偶對稱、長度N為奇數時：H Hk

N-k

θN1k （5.17）k Nh(n)偶對稱，長度N為偶數時：H -Hk

N-k

-N-1k （5.18）k Nh(n)奇對稱，長度N為奇數時：H -H

-N-1k （5.19）k N-k

k 2 Nh(n)奇對稱，長度N為偶數時：H H

-N-1k （5.20）k N-k

k 2 N二.FIRDF的實現結構FIR濾波器傳輸函數的不同數學表達形式，對應有不同的系統實現結構。實現FIR數字濾波器常用的幾種結構如下：直接型由線性系統輸入輸出間的卷積關系得到如圖5.1所示的直接型結構，圖5.2為圖5.1的轉置結構。x(n)

y(n)N1hi)x(ni)h(n)x(n) （5.21）i0z1 z1 z1 z1h(0)h(1)h(0)h(1)h(2)h(N-1)圖5.1 直接型結構（一）z1

z1

z1

z1

h(N-1)h(1)h(N-1)h(1)h(0)x(n)圖5.2直接型結構（二）級聯型現將FIR數字濾波器的傳輸函數H(z)寫成二階因式乘積的形式，即可到得到如圖5.3聯型結構：N1 H(z) N1

0i

z12i

z2) （5.22）x(n)

n0020020Kz1z1011121z1z11222z1z11K2K

i0

y(n)

5.3級聯型結構基于FIRDF傳輸函數H(z)的內插表達形式5.23，能夠得到FIR數字濾波器的遞歸型結構即頻率取樣型結構如圖5.4所示。H(z)1zN

N1

H(k)

1H(z)N1H(z)

（5.23）k其中：k

Nk0

1WkZ1 N N

k0 H(z)

H(k)(z)H (z)e k 1WHH(z)0H(z)11/NrNzNHH(z)K(z)N/2

Kz1x(n)

y(n)圖5.4 頻率取樣型的網絡結構（N為偶數）二．線性相位FIRDF的系統結構N為偶數此時傳輸函數可進行如下分解：H(z)

N1h(n)z /2/2n

/2/2//2

n

N1h(n)znnN/2n h(n)zn

h(N1n)z

(

1n)

(5.25)n0 n0N/21h

(n)[znz(N1n)]n0其結構為圖5.59所示：x(n) z1 z1 z1z1z1 z1 z1y(n)

h(0) h(2) h(2

2) h(2

圖5.5 h(n)偶對稱N為偶數時的線性相位濾波器結構N為奇數：N1

N112

N1

N1N1H(z)

h(n)zn

h(n)zn

h(n)znh z 2n0 n0N112

N 2 n 2N1N

h(n)[znz(N1n)]h z 2n0

2 其網絡結構為圖5.6所示：x(n) z1 z1 z1z1 z1 z1N3h(0) h(2) h( )

N1)2 2y(n)圖5.6 h(n)偶對稱N為奇數時的線性相位濾波器結構N此時有：hH(z)/2h

(n)[znz(N1n)] (5.27)n0z1z1z1z1z1h(0)h(2)h(N2)2h(N2

z1z1y(n)

1)圖5.7 奇對稱N為偶數時的線性相位濾波器結構N此時有：H(z)其結構如圖5.8所示。

N112 h(n)[znz(Nn)] (5.28)n0xx(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(2)h(N2)y(n)圖5.8 奇對稱N為奇數時的線性相位濾波器結構習題p5.1(a)中的h1

n是偶對稱序列N＝p5.1(b中的h2

n是h1

n（移N=4）后的序列。設H2

kDFTh1

n,

HkDFTh2

nH1

kH2

k成立否？1

與2

k有什么關系？h2

n、h1

n各構成一個低通濾波器，問它們是否是線性相位的？延時是多少？這兩個濾波器性能是否相同？為什么？若不同，誰優誰劣？hh1h2(n)01 2 34 56 7n圖p5.10 1 23 4 56 7n解：根據題意可知

(a) (b)h h2 8 則

n48Hh2 n0

48

WnkR8

nin4

~

kiW4k

W4k

~kihh1 8 8 8 1 8hhHi4 i0HHk

j2k48

e

jk

1k

k1令HkH1

8 1 1 11kejk1HkH2

kej

k2則由上式可以看出2HkH2

kk2

k24k8

kkh1

n及h2

＝3.5低通濾波器都是線性相位的，延遲為：N17

3.52 2衰減的情況加以比較。由于N＝8是偶數，又是線性相位，故有： Hw/212hncosN1

nw n032hncosw7n 2 n0

/22h

ncos 1wnwn

（p5-1）2 2n1

4n1

2hncos ww

1222h3coswh2cos3wh5wh0cos7w 2

2

2

2 可以令：h0h71，h1h621 1 1 1hh3 ，hh41 1 1 1及hh4，hh32 2 2 2hh2，hh12 2 2 2代入式p5-1可得Hw

w 5w 7w24cos11

23cos

22cos

2cos

2 Hw

w 5w 7w2cos22

22cos

23cos

24cos

2 H、H1

w的圖形如圖p5-2所示：圖p5-2分析圖p5-2可看出，對于阻帶特性，H1

w阻帶衰減大，而H2

w的阻帶衰減小，這一點上H優于H1

w；對于帶通特性，它們都是平滑衰減，但H1

w的通帶要比H2

w的通帶寬一些。用漢寧窗設計一個線性相位高通濾波器H ejw

ejw

wc

wd

0wwc求出h（n）的表達式，確定α與N的關系，并畫出20lg｜H(ejw)｜的曲線（設w ＝0.5π，NC51。 分析：注意，這道題只給出了Hd

ejw (0~內的表達形式，而求解h(nHd

ejw 在(0~2)或（~內的分布式進行。解：根據題意有

1

1w

h n d

H(ejw)ejwndwd0

cej2wc

ejwndwej

ejwn dw 12 1

wc wc1 e

wj

jwn

c2 e

jne

wc j2

jwnc

jwncwsinnwcec

wc

sinw

n所以

nwnd1 2n

2cos 1

c

，0nN1 N1

nn為其它值其中wn為窗函數。按照線性相位濾波器條件，有：代入N＝51，得α＝25，則

N121

sin0.5n252cos25

0n50

n250，此高通濾波器的幅頻響應曲線如圖p5-3所示。

n為其它值p5-3用漢眀窗設計一個線性相位帶通濾波器 ejw,

w ww wH ejwd

0,

c0ww0

0 cw ,w wc 0

whn20lg｜H(e（設wc

，w0

0.5，N＝51）NFIRh(n)。最后用matlabFIR解：可求得此濾波器的時域函數為hn 1d

H(ejw)ejwndwd c

ejejnwdw cejejwndw1 ww2ww

1ww2wwc 0 0 c 1

ejnwwejnwwejnwwejnwwj

n 0 c 0 c c 0 0 c 1 sinwwnsinwwnn 0 c 0 c 2 sinnwcosnwn c 0采用漢眀窗設計時0.540.46

2n

2

nN1 cosN1 n為其它值其中＝N12代入N=51,得α＝25，則0.540.46

2

25

250n50hn

cos2525sinn

5cosn

2 n為其它值其幅頻響應曲線如圖p5-4所示。p5-4設計滿足下列指標的低通FIR4033.512。分析：先根據所要設計的濾波器的性能指標（包括阻帶衰減和過度帶寬，本題的過渡帶寬可由已知的通帶與阻帶邊緣頻率求得，通過查表來確定所需的窗函數以及窗函數的寬度。低通濾波器的沖擊響應。解：根據題意可知，過渡帶寬：f fc p

3.530.5KHZ轉換為數字頻率過渡帶：w2ff 12s該濾波器的截止頻率：ff f c p 2

3.25KHZ數字截止頻率：f

3.25w 2c fs

2 0.5412所以，由此可得沖激響應： sin h n c d

n因為阻帶衰減40dB，通過查表可選擇漢寧窗：0.5

n0.5cosN1 由過渡帶寬確定窗口長度：N

75w則：N1372所以，此濾波器的沖激響應為：

0n74hnhd

, 其它25項矩形窗設計低通FIR220kHz：確定過渡帶寬度（Hz）畫出濾波器的幅頻特性圖16kHz675dB。所要設計濾波器的截至頻率，從而可得到對應時域函數，將矩形窗加到移位之后的時域函數之上，即可得到濾波器沖擊響應（3）的解題步驟與上一題相似。解：(1)根據N與過渡帶寬的關系可知，數字頻率過渡帶寬為：w1.80.072，25又因為

w2ffs可得過渡帶寬：ffws0.72KHZ2（2）低通濾波器的截止頻率為：ff f 2.36KHZc p 2轉換為數字頻率fw c

c0.236fs由窗函數公式可得到沖激響應h

sin0.236n0n24,

N112d , 2其幅頻特性如圖p5-5所示：圖圖p5-5(3)過渡帶寬：f fs p

則其截止頻率為：f ff p c 2

5.25KHZ轉換為數字頻率：fw 2c0.66c fs得沖激響應為： sin hn c

n過渡帶寬w21.50.187516由于阻帶衰減要求為75dB，所以選用布萊克曼窗，查表可得Nw

54，N取奇數，取N=55由此可得窗函數表達式為：w(n)0.420.5cos(n)0.08cos(2n)27 27最后得到：27

0n55hn , 其它該濾波器幅頻特性如圖p5-6所示;p5-679項的低通濾波器用β＝6611.025kHz：過渡帶寬度是多少？阻帶邊緣頻率是多少？阻帶邊緣增益是多少？β的值，可得到加窗后濾波器過渡帶wN解：β＝6，查凱塞窗表可得過渡帶寬：wwf

8.6479f

s0.6KHz2f截止頻率：fc

f 6.6KHz，wp

2c1.2f(3)β＝6時，66I0I0wn

s11n)239I0其中I0

x為第一類變形零階貝賽爾函數。h

N139d最后可得

, 211n)2396 I 6 0hnh

I0

, 0n78其它所以可查表得到阻帶邊緣增益為-63dB。10kHzFIR2320FIR沖激響應，進而可求得差分方程。解：由題意可知：f3KHz2KHz1KHz轉換為數字頻率過渡帶：Δw2πΔfπf 5s則該濾波器的截止頻率為：ff f 2.5KHzc p 2轉換為數字截止頻率：fw 2πc0.5πc f可得h(n)d

ssin0.5π(nτ)π(nτ)由于阻帶衰減為20dB，故選擇矩形窗。可得99N w

N12sin(4))

0n8h(n)0,

(n4)π其它求解差分方程H(w)h(0)h(1)ejwh(2)e2jwh(8)e8jw0.053ejw0.16e3jw0.5e4jw0.16e5jw0.053e7jwynh0h1h8x80.053x10.16x30.5x(n4)0.16x50.053x790oH ejw

jejw,

w w0

|ww w0 cd

0|w|w0

wc

ww0

|w|h（n）20lg｜H(e（wc

，w0

0.4，N＝51）分析：由頻域(ej)可得出時域函數h(n)，加布萊克曼窗即得h(n)。解：可求得此濾波器的時域函數為：hd

1 H2

(ejw)ejwndw c

jeejwndw

jeejwndw1 ww2ww

1ww2wwc 0 0 c1

1 ejnwejnwejnwwejnww 0 c 0 c c

0 c1 1

[e 0c0c

][e cc

e cc

]cc

jnww

ejnw jnw jnwn j wsinwn 0 c 0 c2j

c

cosnw0采用布萊克曼窗設計時（N＝51）＝N12

nwnd 2n0.420.5cos0.08cos 2nN1 N1 0,

2jn

sinn

cosnw0

0n50,其他將N=51,=25,w ,w 代入上式得，c 00.420.5cosn0.08cos2n

25

25 hn

2j

sin25cosn252

0n50 250,其幅頻響應曲線如圖P5-7所示

5

5

,其他圖P圖P5-7此濾波器是900移相的線性相位帶通濾波器（或稱正交變換線性相位帶通濾波器。 H ejw HBP

wejw H ejw 1HBR

wejw, 0w試用帶通濾波器的單位沖激響應hBP

n表達帶阻濾波器的單位沖激響應hBR

n

由于HBP

ejw HBP

wejw，且是線性相位帶通濾波器。則H w

0ww,

wBP

l hhwwwhl H ejw HBR H w

wejw0ww,

wBR 0,因而

l hhwwwhlH 1H BR BP所以帶阻濾波器可以表示成

HBR解：

ejw

1H BP

ejw 1 h n

H ejwejwndw

BP 21 ＝

BPHBP(w)ejwejwndwHBPh nBR

12HBR

ejwejwndw1

1HBP

wewejwndw1

ejwejwndw1

(w)ejwejwndw 1ejwwndwh

BPn BP考慮到w的線性特性，有如下結論當

wN1 2 有1 j(N1w)wnh n eBR

dwhBP

n2jsin[(n

N11

2 ) ] h nj(n

N1 BP 2sin[(n

N1 ] 2 ]

n(n

N1 BP 2n1siN/2h

N偶數 2 BPh

N奇數BP同理當 wN1 2 2有n1siN/2h

N偶數h

2 BPBR h n,BP

N奇數FIR501.751.5kHz。寫出濾波器的差分方程畫出濾波器的幅度響應[Hz的曲線，驗證它滿足指標解：(1)根據題意，設計該濾波器截止頻率：f 1.5f f 1.75kHz 2.5kHzc p 2 2轉換為數字截止頻率：fw 2c f

0.625s可得 hnsin[0.625n d n由阻帶衰減50dB，選擇漢眀窗；N6.6

18,希望N為奇數，因此取N＝19，

N19w 2采用漢眀窗設計時wn0.540.46cos()N10.540.46cos(n)9 sin[0.625]hn0.540.46cos

9

n

, 0n18 0 其它可求得濾波器的差分方程：ynh0h1h18x180.00820.0248x20.0248x(n16)(0.0082)x18其中：h(1)=h(17)=0。(2)由（1）可畫出幅頻響應曲線如圖P5-8所示：圖P5-810Hz1Hz的濾波器來實現這一目標。分析：根據題意可知，要設計一低通濾波器以慮除1Hz以外的頻率分量，并且截止頻率和取樣頻率已經知道，自己選擇適合的過渡帶寬與阻帶衰減進行設計。解：fs

10Hz, fc

，f0.1Hz50dB來設計此低通濾波器。轉換為數字頻率：f Δfw 2c fs可得

0.2, Δw=2π =0.02πfs hnsin[0.2n d n由于所選阻帶衰減50dB，故選擇漢明窗：Nw

330，希望N為奇數，因此取N＝331漢眀窗函數

N12165wn0.540.46cos165 可得此濾波器的沖激響應為： sin[0.2]hn0.540.46cos165

n

, 0n330

0, 當然，根據不同的阻帶衰減和濾波器階數的要求，可以應用其它窗函數以滿足要求。設計滿足下列指標的FIR164kHz3kHz和5kHz、過渡帶寬度900Hz、阻帶衰減40dB。求出并畫出濾波器的脈沖響應。分析：根據帶通濾波器的設計思想，一個帶通濾波器相當于兩個截止頻率不同的低通濾波器相減。解：過渡帶寬：f＝900HZ＝0.9KHZw＝

0.1125截止頻率：

fs 16flflc

-f3-0.452.55KHZ2fh

f hc 2

50.455.45KHZ轉換為數字截止頻率：wlwh

fl0.1594fsffh0.3406fs沖激響應為：

sin[wsin[wh lhlh nd

nsin[0.3406sin[0.1594窗函數：阻帶衰減40dB，可以選擇漢寧窗，w0.

2n N1

,1,2 －1N窗口長度：N

56，希望N為奇數，因此取N＝57，w＝N1282此時濾波器得沖激響應為：sinsin28wn, 0n56hn

280 其它其幅頻響應如圖P5-9所示：圖圖P5-924kHz2kHz8kHz50dB500。計算確定濾波器的脈沖響應。分析：同上題，根據帶通濾波器的設計思想，一個帶通濾波器相當于兩個截止頻率不同的低通濾波器相減。解：過渡帶寬：f＝500HZ＝0.5KHZw＝

0.0417截止頻率：

fs 24flflc

-f2-0.251.75KHZ2fh

f hc 2

80.258.25KHZ轉換為數字截止頻率：fl fffwffl

ws

h0.685s沖激響應為：h sin[wh

sin[wllh nd

nsin[0.6875n]sin[0.1458n] 50dB，可以選擇漢明窗，即：w0.5

N1

0,,21N窗口長度：N6.6159，w＝N12此時濾波器得沖激響應為：hn sin[0.6875sin[0.1458wnhn n790 其它其幅頻響應如圖P5-10所示：圖P5-108kHz3003400Hz濾波器。分析：由標準定義的聲音指標要求可知，量化噪聲比平均音量低65dB時，才能滿足聽覺要求，所以，此濾波器阻帶衰減至少為65dB。300Hz100Hz3400Hz550Hz，由于考慮本題的復雜性，選擇過渡帶寬f400Hz300HZ300HZ3400HZ解：先設計相應的低通濾波器可得到：3400300 400fc 2 2 1.75KHzfw c故

c0.4375fs hnsin0.4375n d n阻帶衰減65dB，選擇β＝6的凱塞窗即可，8.64Nw

,

N143211n)2436I06I0β＝6時，

I60其中I0

x為第一類變形零階貝賽爾函數。又因為中心頻率f 0所以，

fw 200.3875f0 fs轉換為帶通濾波器，將其沖激響應移位cos0.3875n得到：11n)243II

00d

66I0

0n86其它的成本亦要增加。24kHz78kHz70dB500。再經過高通濾波器。不考慮過渡帶的情況下頻譜如下圖P5-11所示：w2 w2w1圖P5-11解：第一步：根據題意先設計相應的低通濾波器f0.5KHZ轉換成數字頻率：w

f0.0417fsf f lc p1

f80.58.25kHZ2 2轉換成數字頻率：w lc

flcf所以：

s sinh n ld

由于阻帶衰減至少70dB，可選擇布萊克曼窗N w

264，希望N為奇數，因此取N＝265，

N11322窗函數為： wn0.420.5cosn0.08cos N1 N1 0.420.5cosn0.08cosn132

66 故：低通濾波器沖激響應h(n)

nwnl ldsin n n

0.420.5cosN10.08cosN1,n

第0, 其他二步：根據題意設計相應的高通濾波器截止頻率f fhc p

f 0.5 7 f 0.52 2轉換成數字頻率：w hc所以：

fhcfs h nsin[(n)]sin[0.6042n hd nh(n) hh

nwnsin[(n)]sin[0.6042]0.420.5cosn0.08cosn, N1 N1

0,h(nhh

n*h(n)

n1,2…N－1題目所其他l代入表達式即得結果。l請選擇合適的窗函數及N來設計一個線性相位低通濾波器H ejw

ejw,

0wwcd

w wc8要求其最小阻帶衰減為－45dB，過渡帶寬為

51π。求出h(n)并畫出20lg|H(ejw|曲線（wc

。保留原有軌跡，畫出滿足所給條件的其他幾種窗函數設計的20lg|H(ejw|曲線。解：5.26.6求

8 ，選N＝43，即小于所需的過渡帶寬，滿足要求。則有N 51N wn0.540.46cosN 由根據題目所給低通濾波器的表達式求得 1 wc

w nh n ejwejnwdw c cd 2wc由此可得

wnchnhd

nwn n sin0.540.46cos

21

0n420,

其它用漢明窗其它窗函數設計的結果如圖P5-12所示：圖P5-12 試證明用窗函數法設計FIR 分析：在用窗函數法設計濾波器時，用Hejw

近似Hd

ejw

，必然存在著誤差，這一誤差是由于對hd證明：

n截短所造成的。我們令:

Ew Hd及

ejw Hejw1 2E2 Ew dw （1） M 2 2 那么E 表示將n后的h n舍去后帶來的總誤差。此外，H ejw 可表示為 H ejw a0d 2

cosnwn

（2）nn1 n1

式中，a0

2hd

0, a h nh n, bn d d

jh nh d d

。如果Hejw 是由對hn截短所產生的，假定d Hejw A 2

A cosnwn

B （3）nn1 n1并且當n時，A Bn n有：

0。那么把（2）及（3）兩式帶入（1）式，利用三角函數的正交性，aE2 M

A 02

a A 0 n

b B2n n

a2b2n nn1

n1

nM1由于上式中每一項都是非負的，所以，只有當A0

a,A0

a,Bn

b,n, ,ME2n Md才最小當我們利用Hejw 來近似H ejw 時欲使近似誤差為最小ejw 的單位抽樣響應必須d 是H ejw 的傅立葉系數這也說明有限項傅立葉級數是在最小平方意義上對原信號的最佳逼近，d其逼近誤差為：E2M

h2ndnM1自然，M越大，誤差E2越小（因為h值愈小。dM Md但如果我們把截短后的h d

再乘以非矩形窗w

Hejw

已經不是在最小平方意義上對H ejw 的最佳逼近了。故得證。d要設計一個理想線性相位帶通濾波器H ejw

ejw,

w w0

ww w0 cd

0ww0

w, w wc 0

w若需阻帶衰減大于(1)50dB；(2)60dB。試用窗函數法設計這兩個濾波器（取w0

，wC

解：（1）阻帶衰減大于50dB，選擇漢眀窗可滿足要求；根據題設，過渡帶寬至少必須滿足：6.6N

即N66我們取N＝67（當然，還可選取更大的N值以提高精度，但運算量也會響應加大并且hnd

1 H

e

ejwndw 2 sinn

cosnw可得：

N12

n c 00.54

2

cos33 33hnh nwd

0n66其它(2)60dB選擇凱塞窗（β＝5.658）根據題設，過渡帶寬至少必須滿足：7.24N

即N72.4，選取N＝73，并由（1）可得到h所以可得：

nd n I5.6581(1 )20

36

2 sin

cos

33,

I5.658 33 n n 0hn h nwd

0n720, 其它濾波器單位脈沖響應為0 h(n)0.2n 0n0 求橫截型結構。解：根據題目所給的差分表達式，可得ynN1hmx(nm)m0x(n)0.2x(n1)0.04x(n2)0.008x(n3)0.24x(n4)0.25x(n5)所以橫截型結構如圖P5-13所示：zz1z1z1z1z1x(n)10.20.040.0080.00160.00032y(n)圖P5-13用橫截型和級聯型網絡實現下面傳遞函數。H(z) ( 1.4

)1 )解：根據題意：H(z)(11.4142z1z2)(1z1)10.4142z10.4142z2z3z1zz1z1z1x(n)1-0.4142-0.41421y(n)圖P5-14由H(z的的表達式，直接畫出級聯型結構如圖P5-15（差兩個箭頭）x(n)x(n)z11y(n)z1z1-1.4141圖P5-15用橫截型和級聯型網絡實現下面傳遞函數。H(z) ( 1.4

)1 )解：根據題意：H(z)(11.4142z1z2)(1z1)10.4142z10.4142z2z3由傳輸函數可寫出其對應的系統差分方程：y(n)=x(n)－0.4142x(n-1)－0.4142x(n-2)－x(n-3)可畫出其橫截型結構如圖P5-16所示：zz1z1z1x(n)1-0.4142-0.41421y(n)圖P5-16由H(z)的的表達式，直接畫出級聯型結構如圖P5-17所示：x(n)x(n)z11y(n)z1z1-1.4141圖P5-17試求下圖所示網絡的轉置網絡，且證明原網絡與轉置網絡的傳遞函數相同。zz-1z-1x(n)abcy(n)解：（1）轉置網絡如圖P5-18所示cbx(n)az1 cbx(n)a

y(n)圖P5-18（2）證明：由（1）可寫出轉置后的傳遞函數H'zcz1bz2aabz1cz2顯然H'zHz試問用什么結構可以實現以下單位脈沖響應：h(n)(n)(n3)(n7)解：由題設，hnn3n35n7可知,其它為零。所以可由橫截型結構實現如下：1-1-35y(n)

z3 z4FIR數字濾波器的h(n)是圓周偶對稱的，即N=6 h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3求濾波器的卷積結構。解：卷積結構如圖P5-19所示:zz1z1z1z1z1x(n)1.52