閱卷人得分2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷（天津卷）一、選擇題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（共9題；共45分）.（5分）設(shè)集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},貝1J（AnB）UC=（ ）A.{0} B.{0,1,3,5）C.{0,1,2,4） D.[0,2,3,4）【答案】C【解析】【解答】解：由題意得ACB={1},貝1J（AAB）UC={0,1,2,4）故答案為：C【分析】根據(jù)交集，并集的定義求解即可.（5分）己知a€R,貝廣a>6”是"a2>36”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不允分也不必要條件【答案】A【解析】【解答】解：當(dāng)a>6時(shí)，a2>36,所以充分性成立；當(dāng)a2>36時(shí)，a<-6或a>6,所以必要性不成立，故“a>6”是“a2>36”的充分不必要條件.故答案為：A【分析】根據(jù)充分必要條件的定義求解即可.（5分）函數(shù)y=號(hào)燈的圖像大致為（ ）【答案】B【解析】【解答】解：/(一%)=燕玲=黑=/(%),則函數(shù)/(%)=黑是偶函數(shù)，排除A,C,當(dāng)xG(O,1)時(shí)，ln|x|<0,x2+2>0,則f(x)<0,排除D.故答案為：B【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC,再由xG(O,1)時(shí)，f(x)<0,排除D,即可得解.(5分)從某網(wǎng)格平臺(tái)推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：［66,70),［70,74),…，［94,98］,并整理得到如下的費(fèi)率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是( )A.20 B.40 C.64 D.80【答案】D【解析】【解答】解：由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間［82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是400x0.05x4=80.故答案為：D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.(5分)設(shè)a=log20.3,b=logi0.4,c=O,403,則小b>c的大小關(guān)系為( )

a<b<cc<a<bb<c<aa<c<ba<b<cc<a<bb<c<aa<c<b【答案】D【解析】【解答】解：Vlog20.3<log21=0,Aa<0ylogiO.4=-log20.4=log2Alog22=1,,-.b>l2V0<0.403<0.4°=l,A0<c<la<c<b故答案為：D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a,c,b的范圍即可求解.（5分）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為竽，兩個(gè)圓錐的高之比為I；3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（ ）A.37r B.4兀 C.97r D.127r【答案】B【解析】【解答】解：如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D,設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3：1,即AD=3BD,3設(shè)球的半徑為R,則皿=藥，解得R=2,3 3所以AB=AD+BD=4BD=4,所以BD=1,AD=3VCD1AB,ZCAD+ZACD=ZBCD+ZACD=90°；.NCAD=NBCD又因?yàn)镹ADC=NBDC所以△ACD^ACBD所以也生m叢CDBD:.CD=7AD?BD=V3,這兩個(gè)圓錐的體積之和為前xCD2x(AD+BD)= x3x4=4tt故答案為：B【分析】作出圖形，求得球的半徑，進(jìn)而求得兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再結(jié)合錐體的體積公式求解即可.(5分)若2a=5°=10，貝IJ工+1=( )abA.-1 B.Ig7 C.1 D.log710【答案】C【解析】【解答】解：由2。=5“=10得a=log210,b=log510,TOC\o"1-5"\h\z11i i則2+5=函而+%而=02+國(guó)5=，910=1故答案為：C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，結(jié)合換底公式求解即可.(5分)已知雙曲線^-￡=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),交雙曲錢(qián)的漸近線于C、D兩點(diǎn),若\CD\=y[2\AB\.則雙曲線的離心率為( )A.V2 B.V3 C.2 D.3【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)雙曲線今一步l(a>0,b>0)與拋物線y2=2p4(p>0)的公共焦點(diǎn)為(c,0),則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-c將X二?C代入出一方=1,得%=1，解得y=±匕，所以|/|8|=獨(dú)-，

又因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±5x，所以|CD|=華，所以2屁=2?2則c=aa所以/=c2—h2=*/所以雙曲線的離心率為e=^=V2故答案為：A【分析】根據(jù)雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合離心率的定義求解即可.(cos(2nx—2nd).x<a(5分)設(shè)qWR，函數(shù)/(x)=]2 2 ，若/(%)在區(qū)間(0,+(X2-2(a+l)x4-a2+5,x>a 'oo)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是( )A.(2,1]U(f,第 B,(Z,2)U(f,為C(2,仙學(xué),3) D.g,2)U4，3).【答案】A【解析】【解答】解：???x2?2(a+l)x+a2+5=0最多有2個(gè)根，cos(27rx-27ca)=0至少有4個(gè)根，由27rx—2na=54-kn,k6Z,得％=4+J+q,kEZ由ovA+3+qvq得一2q—i<fc<-i/ 4 Z Z9-4

<a11_4<a<9-4(1)當(dāng)x<a時(shí)，當(dāng)9-4

<a11_4<a<9-4當(dāng)—6<—2d—2V—5時(shí)，f(x)有5個(gè)零點(diǎn),H—7<—2a—2V—6時(shí)9f(x)有6個(gè)零點(diǎn)，即導(dǎo)1VqV(2)當(dāng)x>a時(shí)，f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5A=4(a+1)2-4(a2+5)=8(a-2)當(dāng)a<2時(shí),A<0,f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，A=0,f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)=a2-2(a+l)a+a2+5=-2a+5N0,則2<aW板此時(shí)f(x)有2個(gè)零點(diǎn);所以若a>|時(shí)，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；綜上，要是f(x)在[0,+oo)上有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足

八噸或2<a<^9>八噸或2<a<^或彳<"不Ia<24<a-T

a=2或或彳<"不Ia<2則a的取值范圍是（2,1]U（1,也【分析】由x2-2（a+l）x+a2+5=0最多有2個(gè)根，可得cos（2兀x-2jta）=0至少有4個(gè)根，再結(jié)合分類討論閱卷人得分思想，根據(jù)x<a與xNa分類討論兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再綜合考慮求解即可.二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.（共6題；共30分）（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)咨/十I【答案】4-i【解析】【解答】解：由題意得罪=（惠??篇）=笠旦=4-i故答案為：4-i【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.r6（5分）在（2x3+-）的展開(kāi)式中，X6的系數(shù)是.【答案】160【解析】【解答】解：口爐+工）'的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是7>+1=%（2/）6々6）'=26-『.（;1%18-4r令18-4r=6,得r=3所以好的系數(shù)是23或=160【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式求解即可.（5分）若斜率為V3的直線與y軸交于點(diǎn)A,與圓工2+6，一1）2=1相切于點(diǎn)8,則\AB\=.【答案】V3【解析】【解答】解：設(shè)直線AB的方程為y=6x+b,則點(diǎn)A（0,b）,直線AB與圓42+6，一1）2=1相切.??也/=1，解得b=-l或b=3所以|AC|=2XV|BC|=1?*.\AB\=J|4C|2-IBC—=V3故答案為：V3【分析】根據(jù)直線的斜截式方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.（5分）若q>0,b>0,則:+芻+6的最小值為 .【答案】2^2【解析】【解答】W：Va>o,b>0-a+^2+b-2a'^2+b=b+b-2yjb'b=2y^當(dāng)且僅當(dāng):=/且,=b,即a=b=魚(yú)時(shí)等號(hào)成立所以:+/+b的最小值是2企.【分析】利用基本不等式求解即可.（5分）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語(yǔ)，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為:和喜，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為,3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.【答案】I20【解析】【解答】解：由題意知在一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為=O□ 3則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為點(diǎn)xg）2x1+g）3=弱故答案為：翁【分析】根據(jù)甲猜對(duì)乙沒(méi)猜對(duì)可求出一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率，再根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求法求解即可.（5分）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，DE1AB且交于點(diǎn)E.DF//AB且交AC于點(diǎn)F,則\2BE+DF\的值為;（DE+^F）DA的最小值為.【答案】1；11【解析】【解答】解：設(shè)BE=x,xe（o,I）,/△ABC為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，DE±AB.,.ZBDE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=l-2x

VDF//AB???△DFC為邊長(zhǎng)為l?2x的等邊三角形，DE1DF?-? ->\2 ->2 ->t->2?'■(2BE+DF)=4BE+4BE-DF+DF=4x2+4x(1-2x)-cosO°+(1-2x)2=1T T2BE+DF=1,-> —>VT,-> —>VTDE+DF]-DA=（法+岡?（茄+=(V3x)2+(1=(V3x)2+(1—2%)x(1—x)=5x2—11+20則當(dāng)x=K時(shí)，（法+茄）?力取得最小值為U故答案為：1,S閱卷入得分【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積及向量的求模公式，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可.三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.（共5題；共75分）（14分）在△ABC，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知sinA：sinB.-sinC=2：1：y[2,b=\[2.(4.5分)求a的值；(4.5分)求cosC的值；(5分)求sin(2C-1)的值.【答案】(1)因?yàn)閟in4；sinB；sinC=2：1：V2，由正弦定理可得a：b：c=2：\：立，,:b=y/2,?a=2>/2,c—2；TOC\o"1-5"\h\z(2)由余弦定理可得cosC== 8+十4 '.2ab2x272x724vcosC=7????sinC=71—cos2c=-r-?4- 4???sin2C=2sinCcosC=2xx ?cos2c=2cos2c—l=2x/-1=:>4 4o io o所以?縱?nrnor-n3/7^31szi3>/21-l以「以sm(2C-n)=sinzccosT--cos2csix-75——kx不=——?o o 00ZoZlo【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理直接求解即可；(2)根據(jù)余弦定理直接求解即可；

（3）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式以及兩角差的正弦公式求解即可.（15分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—AiBQDj中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CO的中點(diǎn).B EB E（5（5分）求證：D\F”平面4EC1；（5分）求直線AC.與平面4EC1所成角的正正弦值.（5分）求二面角A- -E的正弦值.【答案】（1）以4為原點(diǎn)，AB,AD,441分別為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,，，。(0,2,0),F(l,2,0),-2)，則A(0,0,0),&(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0)52,2,2),。1(0,2,2),因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以E(2,1,0),所以帝=(1,0,-2), =(2,2,0),砧=(2,1設(shè)平面AiECi的一個(gè)法向量為m=(xx,%,Zi),,沅?&Ci=2%i+2y1=0人則――. 1，令=2,則記=(2,-2,1),m-A\E=2%i+ —2zi=0因?yàn)镈^F-m=2-2=0，所以D^FIm，因?yàn)镈[FC平面A1EC1,所以D[F”平面A1EC1；(2)由(1)得，前7=(2,2,2),設(shè)直線4cl與平面&ECi所成角為e,則sin。=|cos〈沅，福>)1=1湍隔1=藪宗=*；(3)由正方體的特征可得，平面44C1的一個(gè)法向量為麗=(2,-2,0).則cos(DBm]= =―--=2a川cos(〃8,一|函網(wǎng)-3X2&-3'所以二面角A—A^Ci—E的正弦值為/l-cos2(DB,m)=-【解析】【分析】(1)根據(jù)向量垂直的充要條件求得平面&EC1的一個(gè)法向量藍(lán)，再利用向量法直接求證即可；(2)先求出忌，再由sinJ=陋<益，急>|求解即可；TTt t—rn-DB(3)先求出平面441Q的一個(gè)法向量0小再由cos<m，>=:一『結(jié)合同角三角函數(shù)的平\m\-\DB\方關(guān)系求解即可.(15分)已知橢圓條+方=1(a>h>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為8,離心率為等，且\BF\=V5.(7.5分)求橢圓的方程；(7.5分)直線/與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,過(guò)N與3尸垂直的直線交無(wú)軸于點(diǎn)P.若MP//BF,求直線/的方程.【答案】(1)易知點(diǎn)F(c,0)、3(0,b),故\BF\=Vc24-b2=a=V5，因?yàn)闄E圓的離心率為6=2=攣，故c=2,b=y/a2-c2=1.a59因此，橢圓的方程為[+y2=i；5J(2)設(shè)點(diǎn)M(xq,y0)為橢圓+y2=1上一點(diǎn)，先證明直線MN的方程為冬+y0y=l，

、號(hào)+y()y=i?聯(lián)立<2 ，消去y并整理得x2-2x0x4-Xq=0.A=4xq-4詔=0,(卷+y2=i因此，橢圓W+y2=i在點(diǎn)M(3,y0)處的切線方程為警+y0y=l.

5 。在直線MN的方程中，令x=0,可得y=/由題意可知y0>0,即點(diǎn)N（0,3，直線BF的斜率為fcBF=-1=-l,所以，直線PN的方程為y=2x+j^,1 1在直線PN的方程中，令y=0,可得％=一泰，即點(diǎn)「（一泰，0），因?yàn)镸P//BF因?yàn)镸P//BF,則kMP=kBFy。_2%廠ix0+^-2和丫0+1 2整理可得Qo+5y。產(chǎn)=0,所以,刈=-Sy。,因?yàn)榈?*=6羽=1，二加>0，故y（）=學(xué),x0=--所以，直線I的方程為一電工+電y=i,即x-y+V6=0.oo【解析】【分析】（1）先求出a值，結(jié)合a,b,c的關(guān)系求得b,從而求得橢圓的方程;（2）設(shè)M（xo,yo）,可得直線1的方程坐2+y0y=i,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)MP//BF得Kmp=Kbf,求得xo,yo的值，即可得出直線1的方程（15分）已知｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.｛bn｝是公比大于0的等比數(shù)列，比=4,83-^2=48.（1）（7.5分）求｛an｝和｛%｝的通項(xiàng)公式;1（2）（7.5分）記cn=b2n+ >nEN*.（i）證明｛W-Czn｝是等比數(shù)列；（ii）證明<2V2(n6N*)（ii）證明<2V2(n6N*)【答案】(1)因?yàn)椋踑n)是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.o所以Qi+a2+…+。8=8alH—2—x2=【答案】(1)因?yàn)椋踑n)是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.o所以Qi+a2+…+。8=8alH—2—x2=64,所以Qi=所以a?=ax+2(n-1)=2n—1,nEN*t設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為q,(q>0),所以63—/>2=biq?—b1q=4(q2—q)=48>解得q=4(負(fù)值舍去),所以bn=biqnT=4n,nWN*;所以所以(i)由題意，呢=匕2〃+上■=42"++,2cn-c2n=(42n+/)-(44n+而)=2.4",Cn-C2n*0，且,徹一二：血2=等票=4，

cn~c2n/所以數(shù)列｛W—C2n｝是等比數(shù)列；(ii)由題意知’霆^=3券n+1)=<聶,所以4n2_2n_1n222n-一五?2-]'k所以22k—1@幾@九+1vcn-c2nn1 12 3n貝1J2〃=罰+乒+尹+…+乃，

LLL 乙兩式相減得=1+

Ln,1, ,1n_+/+…+-乃一n_n-+2一環(huán)=/一五所以加=4一n+22“T，所以k=ln%=/lT(4-券)<2g【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解即可;(2)(i)運(yùn)算可得或-C2n=2,4"，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；(ii)利用放縮法得鬻抖<然,進(jìn)而可得聾=1 母5<4%=1磊,結(jié)合錯(cuò)位相減Cn-C2n22 ylCk-C2k 2法即可得證.(16分)已知a>0,函數(shù)/(%)=a%—xe”.(I)(5分)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程：(5.5分)證明/(%)存在唯一的極值點(diǎn)(5.5分)若存在m使得/(x)<a+b對(duì)任意xER成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)/(%)=a—(x+l)ex,則/'(0)=a—1，又f(0)=0，則切線方程為y=(a—l)x,(a>0)；(2)令/(x)=a-(%+l)ex=0，則Q=(%+l)ex,令g(X)=(%+l)e"，則g'(x)=(x+2)ex，當(dāng)x6(—8,—2)時(shí)，g(x)V0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x6(—2,+8)時(shí)，g(%)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x->-oo時(shí)，g(x)<0,g(-l)=0,當(dāng)％—+8時(shí)，g(x)>0,畫(huà)出g(%)大致圖像如下：所以當(dāng)q>0時(shí)，、=。與、=g。)僅有一個(gè)交點(diǎn)，令g(m)=q，則m>-1,且f\m)=a-g(rn)=0,當(dāng)xE(-oo,m)時(shí)，a>g(x),則/(x)>0，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xE(tn/4-oo)時(shí)，qVg(%),則/(x)<0，/(%)單調(diào)遞減,x=m為f(x)的極大值點(diǎn)，故f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(3)由(II)知/(x)max=/(巾)>此時(shí)a=(1+m)em,m>—1.所以{/(x)—a}max=/(m)—a=(m2—血—I"7",(m>—1),令/i(x)=(x2—x—l)ex,(x>—1)>若存在a,使得f(x)<a+b對(duì)任意xER成立，等價(jià)于存在x€(-l,+oo),使得/i(x)<b,即b2九(Wmin，h(x)=(x2+x-2)ex=(x-l)(x+2)ex，%>-1，當(dāng)xG(-1,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/i(x)>0，/i(x)單調(diào)遞增，所以/i(x)mjn=/t(l)=—e，故bN—e,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍［-e,+oo).【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；(2)令f(x尸0,可得a=(x+l)e，，則可化為證明y=a與y=g(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究y=g(x)的變化情況，數(shù)形結(jié)合求解即可；(3)令h(x)=(x2-x-De*,(x>-l),則將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為存在xG(-l,+oo),使得h(x)Sb,即b>h(x)min,利用導(dǎo)數(shù)求出h(x)的最小值即可.

試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）50.0(33.3%)主觀題（占比）100.0(66.7%)題量分布客觀題（占比）10(50.0%)主觀題（占比）10(50.0%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）選擇題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.9(45.0%)45.0(30.0%)解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程成演算步驟.5(25.0%)75.0(50.0%)填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.6(30.0%)30.0(20.0%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號(hào)難易度占比

1普通(20.0%)2容易(55.0%)3困難(25.0%)4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)1頻率分布直方圖5.0(3.3%)42等比數(shù)列的前n項(xiàng)和15.0(10.0%)193二項(xiàng)式定理的應(yīng)用5.0(3.3%)114奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性5.0(3.3%)35復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算5.0(3.3%)106直線與圓