第四章圖形變換的矩陣方法

§1概述

§2二維圖形變換

§3三維圖形變換

本章小結第四章圖形變換的矩陣方法§1概述該向量集合實際上就是一個矩陣。如果這些點代表一個空間圖形的頂點，也就是說，我們可以用矩陣來描述（表示）空間中的圖形。§1概述一、空間圖形的矩陣表示若用一個行向量[x1

x2

…

xn

]表示n維空間中一個點坐標，那么n維空間中m個點坐標就可以表示為一個向量集合：該向量集合實際上就是一個矩陣。§1概述一、空間圖形的矩陣

對于二維空間，用表示圖形(其中xi

yi是頂點坐標）。

例：如圖所示的△ABC，用矩陣表示為

C(3,1)A(1,1)B(3,3)二、圖形變換是指對圖形進行平移、旋轉、縮放、投影（透視）等變換。圖形變換的實質是改變圖形的各個頂點的坐標。對于二維空間，用例：如圖所示

因此，圖形變換可以通過對表示圖形坐標的矩陣進行運算來實現，稱為矩陣變換法。矩陣變換法的一般形式：·

=

本章討論的問題：如何利用變換矩陣實現對二維、三維圖形的各種變換。因此，圖形變換可以通過對表示圖形坐標的矩陣進§2二維圖形變換

分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。

二維基本變換：比例變換（縮放）、對稱變換、錯切變換、旋轉變換、平移變換。

二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換

矩陣變換法的形式為：·

=

§2二維圖形變換分為兩類：二維基本變換，

通過對變換矩陣

T中各元素的不同取值，可以實現各種不同的二維基本變換。㈠比例變換（縮放變換）變換矩陣：

設二維平面的一個點坐標為[x

y]，對其進行矩陣變換：變換后該點的坐標為：通過對變換矩陣T中各元素的不同取值，可以㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向的縮放因子。根據a、d取值的不同，分為幾種情況：⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大ABC例：設△ABC對應的矩陣為設，對△ABC進行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小ABC例：設△ABC對應的矩陣為設，對△ABC進行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小⑶當a=d=1，圖形不發生變化圖形不變的變換稱之為恒等變換。⒉當a≠d，圖形產生畸變㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方，對□ABCD進行變換：㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當a≠d，圖形產生畸變例：設正方形ABCD的矩陣為設ABCDA′B′C′D′，對□ABCD進行變換：㈠比例變換（縮放變換）㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當a≠d，圖形產生畸變有幾種特殊情況：

⑴當a、d之一為1，圖形沿單方向放大或縮小

a=1，d≠1，圖形沿y方向放大或縮小；

d=1，a≠1，圖形沿x方向放大或縮小。⑵當a、d之一為0，圖形變換為x軸或y軸上的線段

a＝0，d≠0，圖形變換為y軸上的線段；

d＝0，a≠0，圖形變換為x軸上的線段。⑶當a、d均為0，圖形壓縮為一點（即原點）㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換規則：x坐標不變，y坐標取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對稱變換規則：x坐標不變，y坐標取反。例：設△ABC對應的㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換⑵對y軸的對稱變換規則：y坐標不變，x坐標取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對稱變換規則：y坐標不變，x坐標取反。例：設△ABC對應的㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換規則：x、y坐標互換。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標互換。例：設△ABC對應的矩陣為變㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換

⑵對直線y=－x的對稱變換規則：x、y坐標互換并取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標互換并取反。例：設△ABC對應的矩㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換

⑵對直線y=－x的對稱變換

⑶對任意直線的對稱變換屬于一種組合變換，需要用多種基本變換組合完成。㈡對稱變換㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⒊對坐標原點的對稱變換規則：x、y坐標均取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標均取反。例：設△ABC對應的矩陣為㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切其中：c～錯切系數。

cy～沿x方向的錯切量（x坐標沿x方向的移動量）。cy>0，沿＋x方向錯切（移動）；

cy<0，沿－x方向錯切（移動）；

c=0即cy=0，不錯切（恒等變換）。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）其中：c～錯切系數。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切例：設矩形ABCD對應的矩陣為設T中的c＝2，對矩形ABCD進行變換：ABCDD′A′B′C′㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）例：設矩形ABCD對㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切變換特點：①變換后點的y坐標不變，x坐標平移了cy；②平行于x軸的直線變換后仍平行于x軸；③平行于y軸的直線變換后，y=0的點不動(不動點)，y≠0的點沿x方向平移了cy，形成與y軸夾角為θ的直線，且tgθ＝cy/y＝c。ABCDD′A′B′C′cyy㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）變換特點：ABCDD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切其中：b～錯切系數。

bx～沿y方向的錯切量（y坐標沿y方向的移動量）。bx>0，沿＋y方向錯切（移動）；

bx<0，沿－y方向錯切（移動）；

b=0即bx=0，不錯切（恒等變換）。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）其中：b～錯切系數。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切例：設矩形ABCD對應的矩陣為設T中的b＝－2，對矩形ABCD進行變換：D′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）例：設矩形ABCD對D′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切變換特點：①變換后點的x坐標不變，y坐標平移了bx；②平行于y軸的直線變換后仍平行于y軸；③平行于x軸的直線變換后，x=0的點不動(不動點)，x≠0的點沿y方向平移了bx，形成與x軸夾角為θ的直線，且tgθ＝bx/x＝b。bxxD′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移㈣旋轉變換二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點的旋轉。并規定：①逆時針方向旋轉時角度θ取正值；②順時針方向旋轉時角度θ取負值。注意：繞非原點的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。㈣旋轉變換注意：繞非原點的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。㈣旋轉變換二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點的旋轉。并規定：①逆時針方向旋轉時角度θ取正值；②順時針方向旋轉時角度θ取負值。設θ=30°例：設矩形ABCD對應的矩陣為ABCDD′A′B′C′旋轉變換后的矩陣為㈣旋轉變換設θ=30°例：設矩形ABCD對應的矩陣為ABCD

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：變換矩陣的一般形式為

比例變換當a=d，圖形等比例縮放對稱變換對坐標軸的對稱變換對直線的對稱變換對坐標原點的對稱變換

當a≠d，圖形畸變對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：變換矩陣的一般形式為

錯切變換沿x方向錯切旋轉變換

沿y方向錯切對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換

（五）齊次坐標表示法和平移變換1.齊次坐標表示法在變換矩陣

的條件下，討論了平面圖形的比例、對稱和旋轉變換，為何沒有討論圖形的平移變換呢？原因是T不具備對圖形進行平移變換的功能。欲想實現平面圖形的平移，那么圖形上任意一點的坐標，平移前后的必須滿足：（五）齊次坐標表示法和平移變換從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應具有如下形式：令：，，則有為了得到從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應具有如下形式：令

由上可知，把向量[xy]

改寫為[xy1]，就可進行平移變換了。在此將[xy1]稱為平面坐標點[xy]的齊次坐標表示法。一般情況下：用n+1維向量表示n維向量，第n+1個分量取為常數（齊次項）的表示方法為齊次坐標表示法。

標準化齊次坐標表示法：若齊次項為1，則為標準化齊次坐標表示法。由上可知，把向量[xy]改寫為[xy

變換矩陣，其中l、m為平移參數。2.平移變換

對任意一點[xy1]，則[xy1]·=[x+l

y+m]

（注意：形式上與[xy1]并不統一）。一般將變換矩陣擴充為T3×3，使其具備更多的功能，它的一般形式為：變換矩陣(比例、對稱、錯切和旋轉變換)(透視變換)(全比例變換)(平移變換)相應的平移矩陣：，

引入

后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標形式統一。(比例、對稱、錯切和旋轉變換)(透視變換)(全比例變換)(平

如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化為標準齊次坐標表示。方法是所有項都除以齊次項。如：由此可知，當：(全比例縮小)；(全比例放大)；(縮至原點)。如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化為標二、二維組合變換在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復雜的變換。我們稱由多個二維基本變換組成的復雜變換為二維組合變換（二維基本變換的級聯）。已經證明：任何二維組合變換均可分解為多個基本變換的乘積。二維組合變換矩陣T＝T1×T2×…×Tm（Ti是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進行二維組合變換的關鍵問題是求T（m個基本變換矩陣）。

下面通過兩個例子介紹組合變換：

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換二、二維組合變換θθ

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換可分解為：P(x0

y0)ABCDA′B′C′D′

⑴平移變換使旋轉中心P平移到坐標原點。P(00)A′B′C′D′A′B′C′D′⑵旋轉變換繞坐標原點旋轉θ角。θθ⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0y

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換可分解為：P(x0

y0)ABCD⑶平移變換使旋轉中心P回到原來的位置。θP(00)A′B′C′D′

組合變換矩陣T＝T1

·

T2·T3A′B′C′D′P(x0

y0)⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0y0)2.對任意直線的對稱變換設直線方程為：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，直線在x軸上的截距為－C/A，在y軸上的截距為－C/B,直線與x軸的夾角α=arctg(－A/B)。可分解為：⑴平移變換沿x軸方向平移C/A，使直線通過坐標原點。A′B′C′ABC－C/B－C/A2.對任意直線的對稱變換⑴⑵旋轉變換繞坐標原點旋轉-α角，使直線與x軸重合。⑶對x軸進行對稱變換⑷旋轉變換

繞坐標原點旋轉+α角。

⑵旋轉變換⑶對x軸進行對稱變⑸平移變換沿x方向平移－C/A，使直線回到原位置。

因此，對任意直線的對稱變換矩陣T＝T1

·

T2·T3

·

T4·T5，即：⑸平移變換因此，對任意直線的

二維組合變換

1.繞坐標原點以外的任意一點的旋轉變換。

2.對任意直線的對稱變換。注意：

1.二維組合變換可分解為多個二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；

2.分解時，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯一。二維組合變換§3三維圖形變換

三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴展，因此，它和二維圖形變換類似。仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標[x

y

z1]表示三維空間的點[x

y

z]，其變換形式為：三維基本變換（比例、對稱、錯切、旋轉）透視變換平移變換全比例變換§3三維圖形變換三維圖形變換是二維圖形變一、三維基本變換

1.比例變換

當

a=e=j≠1，各向等比例縮放a=e=j=1，恒等變換a≠e≠j，各向縮放比例不同，產生形變(畸變)0<s<1，全比例放大；s>1，全比例縮小;s<0，對原點的對稱加比例變換說明：全比例變換也是一種比例變換。一、三維基本變換當a=e=j≠1，各向等比2.錯切變換（錯切變形）沿x軸：沿x軸含y錯切，沿x軸含z錯切沿y軸：沿y軸含x錯切，沿y軸含z錯切沿z軸：沿z軸含x錯切，沿z軸含y錯切⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后2.錯切變換（錯切變形）變換前變換后⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后

若把三維物體發生錯切的表面稱為錯切面，那么可知：變換后特點：①沿x軸含y錯切是使錯切面沿x軸移動并離開y軸，移動量為dy，但不離開z軸；②錯切面的y、z坐標不變。變換前變換后若把三維物體發生錯切的表面稱為錯⑵沿x軸含z錯切：特點：①沿x軸含z錯切是使錯切面沿x軸移動并離開z軸，但不離開y軸；②錯切面的y、z坐標不變。變換前變換后xozy⑵沿x軸含z錯切：特點：變換前變換后xoz⑶沿y軸含x錯切：特點：①沿y軸含x錯切是使錯切面沿y軸移動并離開x軸，但不離開z軸；②錯切面的x、z坐標不變。錯切后錯切前xyz⑶沿y軸含x錯切：特點：錯切⑷沿y軸含z錯切特點：①沿y軸含z錯切是使錯切面沿y軸移動并離開z軸，但不離開x軸；②錯切面的x、z坐標不變。錯切后錯切前xyz⑷沿y軸含z錯切特點：錯切后錯切前x⑸沿z軸含x錯切特點：①沿z軸含x錯切是使錯切面沿z軸移動并離開x軸，但不離開y軸；②錯切面的x、y坐標不變。錯切后錯切前xyz⑸沿z軸含x錯切特點：錯切后⑹沿z軸含y錯切：特點：①沿z軸含y錯切是使錯切面沿z軸移動并離開y軸，但不離開x軸；②錯切面的x、y坐標不變。錯切后錯切前xyz⑹沿z軸含y錯切：特點：錯切后錯切前xyz3.對稱變換對坐標原點的對稱變換對坐標軸的對稱變換：x軸、y軸、z軸。對坐標平面的對稱變換：xoy平面、xoz平面、yoz平面。⑴對坐標原點的對稱變換

規則：x、y、z坐標取反。⑵對坐標軸的對稱變換①對x軸的對稱變換xyz3.對稱變換規則：x、y、z坐標取反。規則：x坐標不變，y、z坐標取反。②對y軸的對稱變換：規則：y坐標不變，x、z坐標取反。xyz規則：x坐標不變，y、z坐標取反。規則：y坐標不變，x、z坐xyz③對z軸的對稱變換規則：z坐標不變，x、y坐標取反。⑶對坐標平面的對稱變換①對xoy平面的對稱變換規則：x、y坐標不變，z坐標取反。xyz③對z軸的對稱變換規則：z坐標不變，x②對xoz平面的對稱變換規則：x、z坐標不變，y坐標取反。③對yoz平面的對稱變換規則：y、z坐標不變，x坐標取反。②對xoz平面的對稱變換規則：x、z坐標不變5.旋轉變換

三維旋轉變換是指物體繞坐標軸旋轉θ角，θ角的正負按右手規則確定。拇指指向坐標軸的正向，其余四指指向正θ角方向。

⑴繞x軸旋轉θ角特點：x坐標不變，y、z坐標改變。4.平移變換5.旋轉變換4.平移變換⑵繞y軸旋轉θ角

特點：y坐標不變，x、z坐標改變。⑶繞z軸旋轉θ角

特點：z坐標不變，x、y坐標改變。⑵繞y軸旋轉θ角特點：y坐標

三維基本變換小結：

比例變換（全比例變換）

錯切變換：沿x軸(含y,含z)、沿y軸(含x,含z)、沿z軸(含x,含y)。

對稱變換：對原點、對坐標軸(x軸,y軸,

z軸)、對坐標平面(xoy平面,xoz平面,

yoz平面)。

旋轉變換：x軸、y軸、z軸。二、三維組合變換與二維組合變換類似，它是多個三維基本變換的有序組合；其組合變換矩陣是三維基本變換矩陣的乘積。具體的例子可參考教材p115。三維基本變換小結：三、三維投影變換將三維物體變為二維圖形表示的過程稱為投影變換。投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側

根據投影中心（視點）與投影平面之間距離的不同，投影可分為平行投影和透視投影。距離無窮大時為平行投影；距離有限時為透視投影。三、三維投影變換投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側

投影方向垂直于投影平面時稱為正平行投影，投影方向不垂直于投影平面時稱為斜平行投影。

正投影是指視點分別位于三維物體的正前方、正側面、正上方所形成的投影視圖，也稱為三視圖。投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側

使正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上稱為軸側投影。根據軸向變形系數，軸側投影可分為等軸側、二軸側、三軸側、等等。投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側

投影形成的二維圖形中不平行的線延長后將匯聚于一點，稱之為滅點。根據滅點的個數，透視投影可分為一點透視、二點透視、三點透視。投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側計算機繪制地質圖-第4章-圖形變換的矩陣方法課件投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側

⒈正投影變換

包括正視、側視、俯視三種投影方式。

⑴正視投影視點位于物體的正前方，向xoz坐標平面進行投影。空間物體各頂點的y坐標變為0

，

x、z坐標不變。1-1對xoz平面投影xyz⒈正投影變換1-1對xoz平面投影xyz

⑵側視投影視點位于物體的正側面，向yoz坐標平面進行投影。各點的x坐標變為0，

y、z坐標不變。

考慮繪圖時的統一性，將圖形繪在同一個坐標平面上，作如下處理：

①將yoz平面上的側視圖繞z軸旋轉90度。②為了與xoz平面上已有的正視圖保持一定的間距，再沿x軸平移-l（l>0）。

1-2對yoz平面投影xyz1-2對yoz平面投影最終圖形旋轉平移前xyz⑵側視投影1-2對yoz平面投影xyz1因此側視投影的變換矩陣為：yoz投影變換繞z旋轉90o沿x平移變換因此側視投影的變換矩陣為：yoz投影變換繞z旋轉90o沿x平

，⑶俯視投影視點位于物體的正上方，向xoy坐標平面進行投影。各點的z坐標變為0，

x、y坐標不變。

考慮繪圖時的統一性，將圖形繪在同一個坐標平面上，作如下處理：1-3對xoy平面投影xyz

①將xoy平面上的俯視圖繞x軸旋轉-90度。②為了與xoz平面上已有的圖形保持一定的間距，再沿z軸平移-n（n>0）。，⑶俯視投影考慮繪圖時的統xoy投影變換繞x旋轉-90o沿z平移變換因此俯視投影的變換矩陣為：xoy投影變換繞x旋轉-90o沿z平移變換因此俯視投影的變換投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側2.軸測投影變換使正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上稱為軸側投影。包括正軸側投影和斜軸側投影兩種方式。

⑴正軸測投影變換該變換是使物體先繞z軸旋轉θ角，再繞x軸旋轉-φ(φ>0)角，最后向xoz平面投影。因此，其變換矩陣為三個基本變換矩陣的乘積：繞z軸旋轉繞x軸旋轉向xoz面投影2.軸測投影變換繞z軸旋轉繞x軸旋轉向xo

例：設、，對單位立方體進行正軸測投影變換。單位正方體各頂點齊次坐標矩陣：xyzABCDEFGH例：設、xyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′D′G′E′F′H′xyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′DxyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′D′G′E′F′H′

軸側投影的圖形會產生形變，形變程度用變形系數衡量。各軸的軸向變形系數如下：

根據軸向變形系數之間的關系，軸側投影可分為等軸側、二軸側等投影方式。xyABCDEFGHzA′單位立方體正軸測投影xB′zC′D

①正等軸測投影：由ηx=ηy=ηz

可求得θ=45o、ψ=35o16’，代入正軸測投影變換矩陣T正，得：當ηx=ηy=ηz

時xyABCDEFGHz單位立方體正等軸測投影xz①正等軸測投影：當ηx=ηy=ηz時xyA

②正二軸測投影：由ηx=2ηy=ηz

可求得θ=20o42’、ψ=19o28’，代入正軸測投影變換矩陣T正，得：當ηx=2ηy=ηz

時xyABCDEFGHz單位立方體正二軸測投影xzo②正二軸測投影：當ηx=2ηy=ηz時xy2.軸測投影變換

⑴正軸測投影變換

⑵斜軸測投影變換如何將正視圖、側視圖、俯視圖投影到同一個投影平面上呢？該變換是使物體先沿x含y錯切，再沿z含y錯切，最后向xoz平面投影。因此，其變換矩陣也是三個基本變換矩陣的乘積：2.軸測投影變換

在變換矩陣T斜中，當d、f取不同的值時可得到各種不同的斜軸側透視圖：

同樣，斜軸側投影的圖形也會產生形變。各軸的軸向變形系數如下：

根據軸向變形系數之間的關系，斜軸側投影也可分為斜等軸側、斜二軸側(常用形式)等投影方式。（a）d=1，f=1；（b）d=1，f=-1；（c）d=-1，f=-1；（d）d=-1，f=1在變換矩陣T斜中，當d、f取不同的值時可得①斜二軸測投影：

由ηx=2ηy=ηz

可求得d=f

=

±0.354，代入斜軸測投影變換矩陣T斜，得：當ηx=2ηy=ηz

時①斜二軸測投影：當ηx=2ηy=ηz時投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側斜二軸側斜等軸側正平行投影正軸側投影正投影(正視、側視、俯視)正三軸側正等軸側正二軸側投影平行投影透視投影一點透視兩點透視三點透視斜平行投影斜軸側3.透視投影變換

對于一個空間物體，若用軸測投影，物體的平行邊投影后仍然保持平行，這與人的視覺是有差異的。為解決視覺差異，提出透視投影。透視投影后物體的平行邊不一定保持平行，這些不平行的邊延長后將匯聚于一點，稱之為滅點。根據滅點的個數，透視投影可分為一點透視、二點透視、三點透視。⑴一點透視投影變換

先對物體作透視變換，然后向xoz平面投影。變換矩陣為：3.透視投影變換其中：q～滅點到投影面垂直距離的倒數。

q<0，滅點位于物體外側；q>0，滅點位于物體內側。為符合人們的視覺習慣，一般取q<0。⑴一點透視投影變換

先對物體作透視變換，然后向xoz平面投影。變換矩陣為：其中：q～滅點到投影面垂直距離的倒數。⑴一點

另外，在畫透視圖時，若物體的空間位置不足以反映物體的空間形態，常常先把物體平移到合適的位置，然后再進行投影變換。這時，一點透視的變換矩陣為：透視投影內外側滅點滅點(q<0)視點視點滅點(q>0)另外，在畫透視圖時，若物體的空間位置不足以反

例：取l=1，m=-1，n=-2，q=-0.35，對單位立方體作一點透視投影。單位立方體一點透視投影圖xzo例：取l=1，m=-1，n=-2

⑵兩點透視投影變換

先使物體繞z軸旋轉θ角，并考慮物體的平移，最后作一點透視投影。因此，二點透視投影的變換矩陣為：

⑵兩點透視投影變換

例：設θ=30o，l=0，m=-1.5，n=-1.2，q=-0.6，畫單位立方體的兩點透視圖。單位立方體的兩點透視圖xzo例：設θ=30o，l=0，m=-⑶三點透視投影變換矩陣

先使物體繞z軸旋轉θ角，再繞x軸旋轉φ角，平移后作一點透視投影。因此，三點透視投影的變換矩陣為：

⑶三點透視投影變換矩陣

例：設θ=50o,ψ=20o,l=0,m=n=-1.5,q=-0.58,畫單位立方體的三點透視投影圖。單位立方體的三點透視圖例：設θ=50o,ψ=20o,l=本章小結二維和三維圖形的圖形變換方法注：參數曲線的圖形變換有專門的方法。二維圖形變換基本變換比例變換對稱變換（對原點、對坐標軸、對直線）錯切變換（沿x軸、沿y軸）旋轉變換（指繞坐標原點的旋轉）平移變換組合變換本章小結二維和三維圖形的圖形變換方法三維圖形變換基本變換比例變換錯切變換：沿x軸(含y,含z)、沿y軸(含x,含z)、沿z軸(含x,含y)。對稱變換：對原點、對坐標軸、對坐標平面。旋轉變換：指繞坐標軸的旋轉平移變換

組合變換投影變換三維圖形變換三維圖形變換基本變換組合變換投影變換正投影變換：正視、側視、俯視。軸側投影變換：正軸側投影(正等軸側,正二抽測、斜軸側投影(斜二軸側)。透視投影變換：一點透視、二點透視、三點透視三維圖形變換第四章圖形變換的矩陣方法

§1概述

§2二維圖形變換

§3三維圖形變換

本章小結第四章圖形變換的矩陣方法§1概述該向量集合實際上就是一個矩陣。如果這些點代表一個空間圖形的頂點，也就是說，我們可以用矩陣來描述（表示）空間中的圖形。§1概述一、空間圖形的矩陣表示若用一個行向量[x1

x2

…

xn

]表示n維空間中一個點坐標，那么n維空間中m個點坐標就可以表示為一個向量集合：該向量集合實際上就是一個矩陣。§1概述一、空間圖形的矩陣

對于二維空間，用表示圖形(其中xi

yi是頂點坐標）。

例：如圖所示的△ABC，用矩陣表示為

C(3,1)A(1,1)B(3,3)二、圖形變換是指對圖形進行平移、旋轉、縮放、投影（透視）等變換。圖形變換的實質是改變圖形的各個頂點的坐標。對于二維空間，用例：如圖所示

因此，圖形變換可以通過對表示圖形坐標的矩陣進行運算來實現，稱為矩陣變換法。矩陣變換法的一般形式：·

=

本章討論的問題：如何利用變換矩陣實現對二維、三維圖形的各種變換。因此，圖形變換可以通過對表示圖形坐標的矩陣進§2二維圖形變換

分為兩類：二維基本變換，二維組合變換。

二維基本變換：比例變換（縮放）、對稱變換、錯切變換、旋轉變換、平移變換。

二維組合變換：由多種基本變換組合而成的變換。一、二維基本變換

矩陣變換法的形式為：·

=

§2二維圖形變換分為兩類：二維基本變換，

通過對變換矩陣

T中各元素的不同取值，可以實現各種不同的二維基本變換。㈠比例變換（縮放變換）變換矩陣：

設二維平面的一個點坐標為[x

y]，對其進行矩陣變換：變換后該點的坐標為：通過對變換矩陣T中各元素的不同取值，可以㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向的縮放因子。根據a、d取值的不同，分為幾種情況：⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大ABC例：設△ABC對應的矩陣為設，對△ABC進行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）其中，a為x方向的縮放因子，d為y方向㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小ABC例：設△ABC對應的矩陣為設，對△ABC進行變換：A′B′C′㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⑴當a=d>1，圖形沿x、y方向等比例放大⑵當0<a=d<1，圖形沿x、y方向等比例縮小⑶當a=d=1，圖形不發生變化圖形不變的變換稱之為恒等變換。⒉當a≠d，圖形產生畸變㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方，對□ABCD進行變換：㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當a≠d，圖形產生畸變例：設正方形ABCD的矩陣為設ABCDA′B′C′D′，對□ABCD進行變換：㈠比例變換（縮放變換）㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方向和y方向等比例縮放⒉當a≠d，圖形產生畸變有幾種特殊情況：

⑴當a、d之一為1，圖形沿單方向放大或縮小

a=1，d≠1，圖形沿y方向放大或縮小；

d=1，a≠1，圖形沿x方向放大或縮小。⑵當a、d之一為0，圖形變換為x軸或y軸上的線段

a＝0，d≠0，圖形變換為y軸上的線段；

d＝0，a≠0，圖形變換為x軸上的線段。⑶當a、d均為0，圖形壓縮為一點（即原點）㈠比例變換（縮放變換）⒈當a=d，圖形沿x方㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換規則：x坐標不變，y坐標取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對稱變換規則：x坐標不變，y坐標取反。例：設△ABC對應的㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⑴對x軸的對稱變換⑵對y軸的對稱變換規則：y坐標不變，x坐標取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：ABCB′A′C′㈡對稱變換規則：y坐標不變，x坐標取反。例：設△ABC對應的㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換規則：x、y坐標互換。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標互換。例：設△ABC對應的矩陣為變㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換

⑵對直線y=－x的對稱變換規則：x、y坐標互換并取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標互換并取反。例：設△ABC對應的矩㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⑴對直線y=x的對稱變換

⑵對直線y=－x的對稱變換

⑶對任意直線的對稱變換屬于一種組合變換，需要用多種基本變換組合完成。㈡對稱變換㈡對稱變換包括三類：對坐標軸的對稱變換，對直線的對稱變換，對坐標原點的對稱變換。

⒈對坐標軸的對稱變換⒉對直線的對稱變換

⒊對坐標原點的對稱變換規則：x、y坐標均取反。例：設△ABC對應的矩陣為變換后的矩陣為：B′A′C′ABC㈡對稱變換規則：x、y坐標均取反。例：設△ABC對應的矩陣為㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切其中：c～錯切系數。

cy～沿x方向的錯切量（x坐標沿x方向的移動量）。cy>0，沿＋x方向錯切（移動）；

cy<0，沿－x方向錯切（移動）；

c=0即cy=0，不錯切（恒等變換）。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）其中：c～錯切系數。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切例：設矩形ABCD對應的矩陣為設T中的c＝2，對矩形ABCD進行變換：ABCDD′A′B′C′㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）例：設矩形ABCD對㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒈沿x方向錯切變換特點：①變換后點的y坐標不變，x坐標平移了cy；②平行于x軸的直線變換后仍平行于x軸；③平行于y軸的直線變換后，y=0的點不動(不動點)，y≠0的點沿x方向平移了cy，形成與y軸夾角為θ的直線，且tgθ＝cy/y＝c。ABCDD′A′B′C′cyy㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）變換特點：ABCDD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切其中：b～錯切系數。

bx～沿y方向的錯切量（y坐標沿y方向的移動量）。bx>0，沿＋y方向錯切（移動）；

bx<0，沿－y方向錯切（移動）；

b=0即bx=0，不錯切（恒等變換）。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）其中：b～錯切系數。㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切例：設矩形ABCD對應的矩陣為設T中的b＝－2，對矩形ABCD進行變換：D′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）例：設矩形ABCD對D′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移動）包括兩種：沿x方向錯切，沿y方向的錯切。

⒉沿y方向錯切變換特點：①變換后點的x坐標不變，y坐標平移了bx；②平行于y軸的直線變換后仍平行于y軸；③平行于x軸的直線變換后，x=0的點不動(不動點)，x≠0的點沿y方向平移了bx，形成與x軸夾角為θ的直線，且tgθ＝bx/x＝b。bxxD′A′B′C′ABCD㈢錯切變換（可以理解為沿某個方向的移㈣旋轉變換二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點的旋轉。并規定：①逆時針方向旋轉時角度θ取正值；②順時針方向旋轉時角度θ取負值。注意：繞非原點的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。㈣旋轉變換注意：繞非原點的任意一點的旋轉變換屬于組合變換。㈣旋轉變換二維圖形的旋轉，一般是指圖形繞坐標原點的旋轉。并規定：①逆時針方向旋轉時角度θ取正值；②順時針方向旋轉時角度θ取負值。設θ=30°例：設矩形ABCD對應的矩陣為ABCDD′A′B′C′旋轉變換后的矩陣為㈣旋轉變換設θ=30°例：設矩形ABCD對應的矩陣為ABCD

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：變換矩陣的一般形式為

比例變換當a=d，圖形等比例縮放對稱變換對坐標軸的對稱變換對直線的對稱變換對坐標原點的對稱變換

當a≠d，圖形畸變對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換

對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換四種基本變換進行小結：變換矩陣的一般形式為

錯切變換沿x方向錯切旋轉變換

沿y方向錯切對上述比例變換、對稱變換、錯切變換、旋轉變換

（五）齊次坐標表示法和平移變換1.齊次坐標表示法在變換矩陣

的條件下，討論了平面圖形的比例、對稱和旋轉變換，為何沒有討論圖形的平移變換呢？原因是T不具備對圖形進行平移變換的功能。欲想實現平面圖形的平移，那么圖形上任意一點的坐標，平移前后的必須滿足：（五）齊次坐標表示法和平移變換從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應具有如下形式：令：，，則有為了得到從矩陣的乘法可知，要想得到那么，平移變換應具有如下形式：令

由上可知，把向量[xy]

改寫為[xy1]，就可進行平移變換了。在此將[xy1]稱為平面坐標點[xy]的齊次坐標表示法。一般情況下：用n+1維向量表示n維向量，第n+1個分量取為常數（齊次項）的表示方法為齊次坐標表示法。

標準化齊次坐標表示法：若齊次項為1，則為標準化齊次坐標表示法。由上可知，把向量[xy]改寫為[xy

變換矩陣，其中l、m為平移參數。2.平移變換

對任意一點[xy1]，則[xy1]·=[x+l

y+m]

（注意：形式上與[xy1]并不統一）。一般將變換矩陣擴充為T3×3，使其具備更多的功能，它的一般形式為：變換矩陣(比例、對稱、錯切和旋轉變換)(透視變換)(全比例變換)(平移變換)相應的平移矩陣：，

引入

后，不僅增加了功能，而且使變換前后的坐標形式統一。(比例、對稱、錯切和旋轉變換)(透視變換)(全比例變換)(平

如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化為標準齊次坐標表示。方法是所有項都除以齊次項。如：由此可知，當：(全比例縮小)；(全比例放大)；(縮至原點)。如果坐標變換結果是非標準化齊次坐標表示，應將其化為標二、二維組合變換在圖形變換中，往往需要一些比基本變換更復雜的變換。我們稱由多個二維基本變換組成的復雜變換為二維組合變換（二維基本變換的級聯）。已經證明：任何二維組合變換均可分解為多個基本變換的乘積。二維組合變換矩陣T＝T1×T2×…×Tm（Ti是基本變換矩陣，具不可交換性）。由此可知，進行二維組合變換的關鍵問題是求T（m個基本變換矩陣）。

下面通過兩個例子介紹組合變換：

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換二、二維組合變換θθ

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換可分解為：P(x0

y0)ABCDA′B′C′D′

⑴平移變換使旋轉中心P平移到坐標原點。P(00)A′B′C′D′A′B′C′D′⑵旋轉變換繞坐標原點旋轉θ角。θθ⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0y

⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0

y0)旋轉θ角的旋轉變換可分解為：P(x0

y0)ABCD⑶平移變換使旋轉中心P回到原來的位置。θP(00)A′B′C′D′

組合變換矩陣T＝T1

·

T2·T3A′B′C′D′P(x0

y0)⒈繞坐標原點以外的任意一點P(x0y0)2.對任意直線的對稱變換設直線方程為：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，直線在x軸上的截距為－C/A，在y軸上的截距為－C/B,直線與x軸的夾角α=arctg(－A/B)。可分解為：⑴平移變換沿x軸方向平移C/A，使直線通過坐標原點。A′B′C′ABC－C/B－C/A2.對任意直線的對稱變換⑴⑵旋轉變換繞坐標原點旋轉-α角，使直線與x軸重合。⑶對x軸進行對稱變換⑷旋轉變換

繞坐標原點旋轉+α角。

⑵旋轉變換⑶對x軸進行對稱變⑸平移變換沿x方向平移－C/A，使直線回到原位置。

因此，對任意直線的對稱變換矩陣T＝T1

·

T2·T3

·

T4·T5，即：⑸平移變換因此，對任意直線的

二維組合變換

1.繞坐標原點以外的任意一點的旋轉變換。

2.對任意直線的對稱變換。注意：

1.二維組合變換可分解為多個二維基本變換，組合變換矩陣是基本變換矩陣的乘積；

2.分解時，使用的基本變換類型及其組合順序并不唯一。二維組合變換§3三維圖形變換

三維圖形變換是二維圖形變換在三維空間中的擴展，因此，它和二維圖形變換類似。仿照二維圖形變換，用四維齊次坐標[x

y

z1]表示三維空間的點[x

y

z]，其變換形式為：三維基本變換（比例、對稱、錯切、旋轉）透視變換平移變換全比例變換§3三維圖形變換三維圖形變換是二維圖形變一、三維基本變換

1.比例變換

當

a=e=j≠1，各向等比例縮放a=e=j=1，恒等變換a≠e≠j，各向縮放比例不同，產生形變(畸變)0<s<1，全比例放大；s>1，全比例縮小;s<0，對原點的對稱加比例變換說明：全比例變換也是一種比例變換。一、三維基本變換當a=e=j≠1，各向等比2.錯切變換（錯切變形）沿x軸：沿x軸含y錯切，沿x軸含z錯切沿y軸：沿y軸含x錯切，沿y軸含z錯切沿z軸：沿z軸含x錯切，沿z軸含y錯切⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后2.錯切變換（錯切變形）變換前變換后⑴沿x軸含y錯切

變換前變換后

若把三維物體發生錯切的表面稱為錯切面，那么可知：變換后特點：①沿x軸含y錯切是使錯切面沿x軸移動并離開y軸，移動量為dy，但不離開z軸；②錯切面的y、z坐標不變。變換前變換后若把三維物體發生錯切的表面稱為錯⑵沿x軸含z錯切：特點：①沿x軸含z錯切是使錯切面沿x軸移動并離開z軸，但不離開y軸；②錯切面的y、z坐標不變。變換前變換后xozy⑵沿x軸含z錯切：特點：變換前變換后xoz⑶沿y軸含x錯切：特點：①沿y軸含x錯切是使錯切面沿y軸移動并離開x軸，但不離開z軸；②錯切面的x、z坐標不變。錯切后錯切前xyz⑶沿y軸含x錯切：特點：錯切⑷沿y軸含z錯切特點：①沿y軸含z錯切是使錯切面沿y軸移動并離開z軸，但不離開x軸；②錯切面的x、z坐標不變。錯切后錯切前xyz⑷沿y軸含z錯切特點：錯切后錯切前x⑸沿z軸含x錯切特點：①沿z軸含x錯切是使錯切面沿z軸移動并離開x軸，但不離開y軸；②錯切面的x、y坐標不變。錯切后錯切前xyz⑸沿z軸含x錯切特點：錯切后⑹沿z軸含y錯切：特點：①沿z軸含y錯切是使錯切面沿z軸移動并離開y軸，但不離開x軸；②錯切面的x、y坐標不變。錯切后錯切前xyz⑹沿z軸含y錯切：特點：錯切后錯切前xyz3.對稱變換對坐標原點的對稱變換對坐標軸的對稱變換：x軸、y軸、z軸。對坐標平面的對稱變換：xoy平面、xoz平面、yoz平面。⑴對坐標原點的對稱變換

規則：x、y、z坐標取反。⑵對坐標軸的對稱變換①對x軸的對稱變換xyz3.對稱變換規則：x、y、z坐標取反。規則：x坐標不變，y、z坐標取反。②對y軸的對稱變換：規則：y坐標不變，x、z坐標取反。xyz規則：x坐標不變，y、z坐標取反。規則：y坐標不變，x、z坐xyz③對z軸的對稱變換規則：z坐標不變，x、y坐標取反。⑶對坐標平面的對稱變換①對xoy平面的對稱變換規則：x、y坐標不變，z坐標取反。xyz③對z軸的對稱變換規則：z坐標不變，x②對xoz平面的對稱變換規則：x、z坐