第九章、目標規劃

在前面的學習中，我們學了不同的管理科學模型，可以用來說明大量的管理問題。但是這些模型都有一個共同特點即，他們都只能用一個目標函數來表達問題的總績效測度。

下面將學習為不同的目標設立不同的數字目標，然后尋找一種方法盡可能朝著這些目標進步，這就是目標規劃。定義：解決存在多個目標的最優化問題的方法，它把多目標決策問題轉化為線性規劃來求解。1第九章、目標規劃19.1目標規劃問題舉例企業生產:不同企業的生產目標是不同的.同一個企業的目標有多個.商務活動:企業在進行了盈虧平衡預算時,不能只集中在一種產品上.投資:企業投資時不僅僅要考慮收益率,還要考慮風險.裁員:企業裁員時要考慮很多可能性彼此矛盾的因素.營銷:營銷方案的策劃和執行存在多個目標.29.1目標規劃問題舉例企業生產:不同企業的生產目標是不同的.§1目標規劃問題舉例例1．企業生產不同企業的生產目標是不同的。多數企業追求最大的經濟效益。但隨著環境問題的日益突出，可持續發展已經成為全社會所必須考慮的問題。因此，企業生產就不能再如以往那樣只考慮企業利潤，必須承擔起社會責任，要考慮環境污染、社會效益、公眾形象等多個方面。兼顧好這幾者關系，企業才可能保持長期的發展。例2．商務活動企業在進行盈虧平衡預算時，不能只集中在一種產品上，因為某一種產品的投入和產出僅僅是企業所有投入和產出的一部分。因此，需要用多產品的盈虧分析來解決具有多個盈虧平衡點的決策問題（多產品的盈虧平衡點往往是不一致的）。3§1目標規劃問題舉例例1．企業生產3§1目標規劃問題舉例例3．投資企業投資時不僅僅要考慮收益率，還要考慮風險。一般地，風險大的投資其收益率更高。因此，企業管理者只有在對收益率和風險承受水平有明確的期望值時，才能得到滿意的決策。例4．裁員同樣的，企業裁員時要考慮很多可能彼此矛盾的因素。裁員的首要目的是壓縮人員開支，但在人人自危的同時員工的忠誠度就很難保證，此外，員工的心理壓力、工作壓力等都會增加，可能產生負面影響。例5．營銷營銷方案的策劃和執行存在多個目標。既希望能達到立竿見影的效果，又希望營銷的成本控制在某一個范圍內。此外，營銷活動的深入程度也決定了營銷效果的好壞和持續時間。

4§1目標規劃問題舉例例3．投資41、目標規劃概述目標規劃對存在多個目標的問題提供了兩種方法來建立：第一種，”優先目標規劃“，需要決定各個目標的重要性的順序，接著按照這個順序，在某段時間集中在一個目標上。第二種，“加權目標規劃“，給各個目標賦予權重來表示其相對重要性，然后找出使各個目標偏差的加權總和最小的解。51、目標規劃概述目標規劃對存在多個目標的問題提供了兩種方法來模型求解6模型求解6778856956910101111例6資金總額為90000元試求一種投資方案,使得一年的總投資風險不高于700,且投資收益不低于10000元.12例6資金總額為90000元12分析要點A的收益率=(3/20)*100%=15%B的收益率=(4/50)*100%=8%全部資金投資股票A時,(90000/20)*3=13500,(90000/20)*0.5=2250全部資金投資股票B時,(90000/50)*4=7200,(90000/50)*0.2=360從上面可以看出所全部資金單獨投資某一支股票都不能達到目標上述問題有兩個目標變量:一是限制風險,一是確保收益.確定目標優先權:風險高于收益.這就意味著滿足目標一的前提下,滿足目標二.13分析要點A的收益率=(3/20)*100%=15%13§2目標規劃的圖解法顯然，此問題屬于目標規劃問題。它有兩個目標變量：一是限制風險，一是確保收益。在求解之前，應首先考慮兩個目標的優先權。假設第一個目標（即限制風險）的優先權比第二個目標（確保收益）大，這意味著求解過程中必須首先滿足第一個目標，然后在此基礎上再盡量滿足第二個目標。建立模型：設x1、x2分別表示投資商所購買的A股票和B股票的數量。首先考慮資金總額的約束：總投資額不能高于90000元。即20x1＋50x2≤90000。14§2目標規劃的圖解法顯然，此問題屬于目標規劃問§2目標規劃的圖解法一、約束條件再來考慮風險約束：總風險不能超過700。投資的總風險為0.5x1＋0.2x2。引入兩個變量d1+和d1-,建立等式如下：0.5x1+0.2x2=700+d1+-d1-其中，d1+表示總風險高于700的部分，d1-表示總風險少于700的部分，d1+≥0。目標規劃中把d1+、d1-這樣的變量稱為偏差變量。偏差變量的作用是允許約束條件不被精確滿足。15§2目標規劃的圖解法一、約束條件15§2目標規劃的圖解法把等式轉換，可得到0.5x1+0.2x2-d1++d1-=700。再來考慮年收入:年收入=3x1+4x2引入變量d2+和d2-，分別表示年收入超過與低于10000的數量。于是，第2個目標可以表示為3x1+4x2-d2++d2-=10000。

16§2目標規劃的圖解法把等式轉換，可得到16建立模型設x1、x2分別表示投資商所購買的股票A和股票B的數量。約束條件：20x1+50x2<=900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d1++d1-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2->=0目標函數MinP1(d1+)+P2(d2-)目標規劃中把d+、d-這樣的變量稱為偏差變量，偏差變量的作用是允許約束條件不被精確滿足。如果di+>0,則、di-=0,否則di->0,則di+=0P1,P2表示兩個目標的優先權。17建立模型設x1、x2分別表示投資商所購買的股票A和股票B的數1818§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化例6中對兩個不同優先權的目標單獨建立線性規劃進行求解。為簡便，把它們用一個模型來表達，如下：MinP1（d1+）+P2（d2-）s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0

19§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化19§2目標規劃的圖解法二、有優先權的目標函數本問題中第一個目標的優先權比第二個目標大。即最重要的目標是滿足風險不超過700。分配給第一個目標較高的優先權P1,分配給第二個目標較低的優先權P2。針對每一個優先權，應當建立一個單一目標的線性規劃模型。首先建立具有最高優先權的目標的線性規劃模型，求解；然后再按照優先權逐漸降低的順序分別建立單一目標的線性規劃模型，方法是在原來模型的基礎上修改目標函數，并把原來模型求解所得的目標最優值作為一個新的約束條件加入到當前模型中，并求解。

20§2目標規劃的圖解法二、有優先權的目標函數20§2目標規劃的圖解法三、圖解法1．針對優先權最高的目標建立線性規劃建立線性規劃模型如下：Mind1+s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-≥021§2目標規劃的圖解法三、圖解法21§2目標規劃的圖解法圖2圖解法步驟2010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=70022§2目標規劃的圖解法0100020003000400050§2目標規劃的圖解法2．針對優先權次高的目標建立線性規劃優先權次高（P2）的目標是總收益超過10000。建立線性規劃如下：Mind2-s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000d1+＝0x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥023§2目標規劃的圖解法2．針對優先權次高的目標建立線性規劃2§2目標規劃的圖解法3x1+4x2=10000圖3圖解法步驟3010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=700d1+>0d1+＝0d2-=0d2->0(810,1476)24§2目標規劃的圖解法3x1+4x2=10000010002§2目標規劃的圖解法目標規劃的這種求解方法可以表述如下：1．確定解的可行區域。2．對優先權最高的目標求解，如果找不到能滿足該目標的解，則尋找最接近該目標的解。3．對優先權次之的目標進行求解。注意：必須保證優先權高的目標不變。4.重復第3步，直至所有優先權的目標求解完。

25§2目標規劃的圖解法目標規劃的這種求解方法可以表述如下：2§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化例6中對兩個不同優先權的目標單獨建立線性規劃進行求解。為簡便，把它們用一個模型來表達，如下：MinP1（d1+）+P2（d2-）s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0

26§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化26§3復雜情況下的目標規劃例7．一工藝品廠商手工生產某兩種工藝品A、B，已知生產一件產品A需要耗費人力2工時，生產一件產品B需要耗費人力3工時。A、B產品的單位利潤分別為250元和125元。為了最大效率地利用人力資源，確定生產的首要任務是保證人員高負荷生產，要求每周總耗費人力資源不能低于600工時，但也不能超過680工時的極限；次要任務是要求每周的利潤超過70000元；在前兩個任務的前提下，為了保證庫存需要，要求每周產品A和B的產量分別不低于200和120件，因為B產品比A產品更重要，不妨假設B完成最低產量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。試求如何安排生產？27§3復雜情況下的目標規劃例7．一工藝品廠商手工生產某兩種工§3復雜情況下的目標規劃解：本問題中有3個不同優先權的目標，不妨用P1、P2、P3表示從高至低的優先權。對應P1有兩個目標：每周總耗費人力資源不能低于600工時,也不能超過680工時；對應P2有一個目標：每周的利潤超過70000元；對應P3有兩個目標：每周產品A和B的產量分別不低于200和120件。28§3復雜情況下的目標規劃解：28§3復雜情況下的目標規劃采用簡化模式，最終得到目標線性規劃如下：MinP1(d1+)+P1(d2－)+P2(d3-)+P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.

2x1+3x2-d1++d1-=680對應第1個目標2x1+3x2-d2++d2-=600對應第2個目標250x1+125x2+d3--d3+＝70000對應第3個目標x1-d4++d4-=200對應第4個目標x2-d5++d5-=120對應第5個目標x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥029§3復雜情況下的目標規劃采用簡化模式，最終得到目標線性規劃步驟1求解目標130步驟1求解目標130步驟2求目標231步驟2求目標231步驟3求目標332步驟3求目標332§3復雜情況下的目標規劃求解可得：x1=250；x2=60；d1+=0；d1-=0；d2+=80；d2-=0；d3+=0；d3-=0；d4+=50；d4-=0；d5+=0；d5-=60，目標函數d4-+2d5-=120。

33§3復雜情況下的目標規劃求解可得：33二、有優先權的目標函數分配給第一個目標較高的優先權P1，分配給第二個目標較低的優先權P2。目標規劃在求解中首先考慮優先權高的目標。針對每一個優先權，應當建立一個單一目標的線性規劃模型。首先建立具有最高優先權的目標的線性規劃模型，求解；然后再按照優先權逐漸降低的順序分別建立單一目標的線性規劃模型，方法是在原來模型的基礎上修改目標函數，并把原來模型求解所得的目標最優值作為一個新的約束條件加入到當前模型中，并求解。34二、有優先權的目標函數分配給第一個目標較高的優先權P1，分配§4加權目標規劃加權目標規劃是另一種解決多目標決策問題的方法，其基本方法是通過量化的方法分配給每個目標的偏離的嚴重程度一個罰數權重，然后建立總的目標函數，該目標函數表示的目標是要使每個目標函數與各自目標的加權偏差之和最小，假設所有單個的目標函數及約束條件都符合線性規劃的要求，那么，整個問題都可以描述為一個線性規劃的問題。如果在例7中我們對每周總耗費的人力資源超過680工時或低于600工時的每工時罰數權重定為7；每周利潤低于70000元時，每元的罰數權重為5；每周產品A產量低于200件時每件罰數權重為2，而每周產品B產量低于120件時每件罰數權重為4。35§4加權目標規劃加權目標規劃是另一種解決多目標決策問題的方§4加權目標規劃則其目標函數化為：min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5-這就變成了一個普通的單一目標的線性規劃問題min7d1++7d2-+5d3-+2d4-+4d5-s.t.2x1+3x2-d1++d1-=6802x1+3x2-d2-+d2+=600250x1+125x2-d3-+d3+=70000x1-d4++d4-=200x2-d5++d5-=120x1,x2,d1+,d1-,d2-,d2+,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0。36§4加權目標規劃則其目標函數化為：363737383839394040414142424343加權目標規劃的電子表格44加權目標規劃的電子表格44454546464747去掉這個目標48去掉這個目標484949505051515252535354545555565657575858第九章、目標規劃

在前面的學習中，我們學了不同的管理科學模型，可以用來說明大量的管理問題。但是這些模型都有一個共同特點即，他們都只能用一個目標函數來表達問題的總績效測度。

下面將學習為不同的目標設立不同的數字目標，然后尋找一種方法盡可能朝著這些目標進步，這就是目標規劃。定義：解決存在多個目標的最優化問題的方法，它把多目標決策問題轉化為線性規劃來求解。59第九章、目標規劃19.1目標規劃問題舉例企業生產:不同企業的生產目標是不同的.同一個企業的目標有多個.商務活動:企業在進行了盈虧平衡預算時,不能只集中在一種產品上.投資:企業投資時不僅僅要考慮收益率,還要考慮風險.裁員:企業裁員時要考慮很多可能性彼此矛盾的因素.營銷:營銷方案的策劃和執行存在多個目標.609.1目標規劃問題舉例企業生產:不同企業的生產目標是不同的.§1目標規劃問題舉例例1．企業生產不同企業的生產目標是不同的。多數企業追求最大的經濟效益。但隨著環境問題的日益突出，可持續發展已經成為全社會所必須考慮的問題。因此，企業生產就不能再如以往那樣只考慮企業利潤，必須承擔起社會責任，要考慮環境污染、社會效益、公眾形象等多個方面。兼顧好這幾者關系，企業才可能保持長期的發展。例2．商務活動企業在進行盈虧平衡預算時，不能只集中在一種產品上，因為某一種產品的投入和產出僅僅是企業所有投入和產出的一部分。因此，需要用多產品的盈虧分析來解決具有多個盈虧平衡點的決策問題（多產品的盈虧平衡點往往是不一致的）。61§1目標規劃問題舉例例1．企業生產3§1目標規劃問題舉例例3．投資企業投資時不僅僅要考慮收益率，還要考慮風險。一般地，風險大的投資其收益率更高。因此，企業管理者只有在對收益率和風險承受水平有明確的期望值時，才能得到滿意的決策。例4．裁員同樣的，企業裁員時要考慮很多可能彼此矛盾的因素。裁員的首要目的是壓縮人員開支，但在人人自危的同時員工的忠誠度就很難保證，此外，員工的心理壓力、工作壓力等都會增加，可能產生負面影響。例5．營銷營銷方案的策劃和執行存在多個目標。既希望能達到立竿見影的效果，又希望營銷的成本控制在某一個范圍內。此外，營銷活動的深入程度也決定了營銷效果的好壞和持續時間。

62§1目標規劃問題舉例例3．投資41、目標規劃概述目標規劃對存在多個目標的問題提供了兩種方法來建立：第一種，”優先目標規劃“，需要決定各個目標的重要性的順序，接著按照這個順序，在某段時間集中在一個目標上。第二種，“加權目標規劃“，給各個目標賦予權重來表示其相對重要性，然后找出使各個目標偏差的加權總和最小的解。631、目標規劃概述目標規劃對存在多個目標的問題提供了兩種方法來模型求解64模型求解6657668566756968106911例6資金總額為90000元試求一種投資方案,使得一年的總投資風險不高于700,且投資收益不低于10000元.70例6資金總額為90000元12分析要點A的收益率=(3/20)*100%=15%B的收益率=(4/50)*100%=8%全部資金投資股票A時,(90000/20)*3=13500,(90000/20)*0.5=2250全部資金投資股票B時,(90000/50)*4=7200,(90000/50)*0.2=360從上面可以看出所全部資金單獨投資某一支股票都不能達到目標上述問題有兩個目標變量:一是限制風險,一是確保收益.確定目標優先權:風險高于收益.這就意味著滿足目標一的前提下,滿足目標二.71分析要點A的收益率=(3/20)*100%=15%13§2目標規劃的圖解法顯然，此問題屬于目標規劃問題。它有兩個目標變量：一是限制風險，一是確保收益。在求解之前，應首先考慮兩個目標的優先權。假設第一個目標（即限制風險）的優先權比第二個目標（確保收益）大，這意味著求解過程中必須首先滿足第一個目標，然后在此基礎上再盡量滿足第二個目標。建立模型：設x1、x2分別表示投資商所購買的A股票和B股票的數量。首先考慮資金總額的約束：總投資額不能高于90000元。即20x1＋50x2≤90000。72§2目標規劃的圖解法顯然，此問題屬于目標規劃問§2目標規劃的圖解法一、約束條件再來考慮風險約束：總風險不能超過700。投資的總風險為0.5x1＋0.2x2。引入兩個變量d1+和d1-,建立等式如下：0.5x1+0.2x2=700+d1+-d1-其中，d1+表示總風險高于700的部分，d1-表示總風險少于700的部分，d1+≥0。目標規劃中把d1+、d1-這樣的變量稱為偏差變量。偏差變量的作用是允許約束條件不被精確滿足。73§2目標規劃的圖解法一、約束條件15§2目標規劃的圖解法把等式轉換，可得到0.5x1+0.2x2-d1++d1-=700。再來考慮年收入:年收入=3x1+4x2引入變量d2+和d2-，分別表示年收入超過與低于10000的數量。于是，第2個目標可以表示為3x1+4x2-d2++d2-=10000。

74§2目標規劃的圖解法把等式轉換，可得到16建立模型設x1、x2分別表示投資商所購買的股票A和股票B的數量。約束條件：20x1+50x2<=900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d1++d1-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2->=0目標函數MinP1(d1+)+P2(d2-)目標規劃中把d+、d-這樣的變量稱為偏差變量，偏差變量的作用是允許約束條件不被精確滿足。如果di+>0,則、di-=0,否則di->0,則di+=0P1,P2表示兩個目標的優先權。75建立模型設x1、x2分別表示投資商所購買的股票A和股票B的數7618§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化例6中對兩個不同優先權的目標單獨建立線性規劃進行求解。為簡便，把它們用一個模型來表達，如下：MinP1（d1+）+P2（d2-）s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0

77§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化19§2目標規劃的圖解法二、有優先權的目標函數本問題中第一個目標的優先權比第二個目標大。即最重要的目標是滿足風險不超過700。分配給第一個目標較高的優先權P1,分配給第二個目標較低的優先權P2。針對每一個優先權，應當建立一個單一目標的線性規劃模型。首先建立具有最高優先權的目標的線性規劃模型，求解；然后再按照優先權逐漸降低的順序分別建立單一目標的線性規劃模型，方法是在原來模型的基礎上修改目標函數，并把原來模型求解所得的目標最優值作為一個新的約束條件加入到當前模型中，并求解。

78§2目標規劃的圖解法二、有優先權的目標函數20§2目標規劃的圖解法三、圖解法1．針對優先權最高的目標建立線性規劃建立線性規劃模型如下：Mind1+s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-≥079§2目標規劃的圖解法三、圖解法21§2目標規劃的圖解法圖2圖解法步驟2010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=70080§2目標規劃的圖解法0100020003000400050§2目標規劃的圖解法2．針對優先權次高的目標建立線性規劃優先權次高（P2）的目標是總收益超過10000。建立線性規劃如下：Mind2-s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000d1+＝0x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥081§2目標規劃的圖解法2．針對優先權次高的目標建立線性規劃2§2目標規劃的圖解法3x1+4x2=10000圖3圖解法步驟3010002000300040005000200030004000x1x220x1＋50x2≤9000010000.5x1+0.2x2=700d1+>0d1+＝0d2-=0d2->0(810,1476)82§2目標規劃的圖解法3x1+4x2=10000010002§2目標規劃的圖解法目標規劃的這種求解方法可以表述如下：1．確定解的可行區域。2．對優先權最高的目標求解，如果找不到能滿足該目標的解，則尋找最接近該目標的解。3．對優先權次之的目標進行求解。注意：必須保證優先權高的目標不變。4.重復第3步，直至所有優先權的目標求解完。

83§2目標規劃的圖解法目標規劃的這種求解方法可以表述如下：2§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化例6中對兩個不同優先權的目標單獨建立線性規劃進行求解。為簡便，把它們用一個模型來表達，如下：MinP1（d1+）+P2（d2-）s.t.20x1＋50x2≤900000.5x1+0.2x2-d1++d1-=7003x1+4x2-d2++d2-=10000x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0

84§2目標規劃的圖解法四、目標規劃模型的標準化26§3復雜情況下的目標規劃例7．一工藝品廠商手工生產某兩種工藝品A、B，已知生產一件產品A需要耗費人力2工時，生產一件產品B需要耗費人力3工時。A、B產品的單位利潤分別為250元和125元。為了最大效率地利用人力資源，確定生產的首要任務是保證人員高負荷生產，要求每周總耗費人力資源不能低于600工時，但也不能超過680工時的極限；次要任務是要求每周的利潤超過70000元；在前兩個任務的前提下，為了保證庫存需要，要求每周產品A和B的產量分別不低于200和120件，因為B產品比A產品更重要，不妨假設B完成最低產量120件的重要性是A完成200件的重要性的1倍。試求如何安排生產？85§3復雜情況下的目標規劃例7．一工藝品廠商手工生產某兩種工§3復雜情況下的目標規劃解：本問題中有3個不同優先權的目標，不妨用P1、P2、P3表示從高至低的優先權。對應P1有兩個目標：每周總耗費人力資源不能低于600工時,也不能超過680工時；對應P2有一個目標：每周的利潤超過70000元；對應P3有兩個目標：每周產品A和B的產量分別不低于200和120件。86§3復雜情況下的目標規劃解：28§3復雜情況下的目標規劃采用簡化模式，最終得到目標線性規劃如下：MinP1(d1+)+P1(d2－)+P2(d3-)+P3(d4-)+P3(2d5-)s.t.

2x1+3x2-d1++d1-=680對應第1個目標2x1+3x2-d2++d2-=600對應第2個目標250x1+125x2+d3--d3+＝70000對應第3個目標x1-d4++d4-=200對應第4個目標x2-d5++d5-=120對應第5個目標x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥087§3復雜情況下的目標規劃采用簡化模式，最終得到目標線性規劃步驟1求解目標188步驟1求解目標130步驟2求目標289步驟2求目標231步驟