體操隊最佳陣容排列分析體操隊最佳陣容排列分析體操隊最佳陣容排列分析體操隊佳陣容排列分析編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:體操隊組隊問題的分析摘要本文對女子體操隊組隊問題進行了深入探討,全文整體采用優化思想并針對不同問題，分別運用整數規劃模型及概率統計理論建立出相應模型，結合、等軟件編程求解，得出在不同情況下的最佳陣容的安排方式。針對問題一，根據已知條件給出的最悲觀情況下各運動員的得分，建立目標函數使得總得分盡可能高，經分析，結合題中運動員的參賽規則得到約束條件，采用整數規劃建立模型，運用軟件對模型進行求解，得出符合題意的最佳出場陣容見詳表，總的得分為分針對問題二，除各參賽選手各項得分由最低值改為均值外其余思路同第一問相似，由此建立出目標函數，運用求解，得出運動員在得分取均值的情況下的最佳出場陣容見表此時，該隊的總得分為：分。針對問題三，運用概率統計理論和正態分布知識將問題簡化典型求解最優解的模型，通過計算得出方差和期望，并將其帶入標準正態規劃函數中即可得到目標函數，由于約束條件和前兩問相似，故運用軟件將之前程序目標函數修改后即可求出本問最佳陣容見表和團隊總得分分，并得出此陣容得冠概率，以及該陣容有90%概率可以戰勝的對手最高總分不超過分。關鍵詞：最佳陣容規劃概率統計正態分布一、問題的提出問題內容一場由四個項目（高低杠、平衡木、跳馬、自由體操）組成的女子體操團體賽中，賽程中規定：每個隊至多允許10名運動員參賽，每一個項目由6名選手參加。每個代表隊的總分是參賽選手所得總分之和，總分最多的代表隊為優勝者。此外，還規定每個運動員只能參加全能比賽與單項比賽這兩類比賽中的一類，參加單項比賽的每個運動員至多只能參加三個單項。每個隊應有4人參加全能比賽，其余運動員參加單項比賽。某隊的教練已經對其10名運動員參加各個項目的成績進行了測試，（見附表1），她們得到這些成績的相應概率也由統計得出。試建立模型為教練提供方法：(1)選手的各項得分按最悲觀算，排出一個出場陣容，使該隊團體總分盡可能高；(2)選手的各單項得分按均值算，設計出場陣容，使該隊團體總分盡可能高；(3)如果本次奪冠的團體總分估計為不少于分，該隊為了奪冠應排出怎樣的陣容其奪冠的前景如何即期望值又如何它有90%的把握戰勝怎樣水平的對手問題的意義本文通過調查體操世界杯背景資料,其作為國際體操聯合會（FIG）的A級賽事，體操世界杯是僅次于奧運會和世錦賽的體操界頂級賽事之一，被列入正式的國際體聯賽事年鑒。2004年雅典，在代表團超額完成任務的情況下，帶著7個奪金點出征的中國體操隊成了最失敗的團隊。歸國后，中國體操隊從負開始，勵精圖治，從點滴抓起，小到每個動作和生活細節，大到教練班子分工的調整，以及分析每個運動員的戰場發揮情況，全面布置調節隊員的出場陣容。直到2006年10月，在丹麥阿胡斯，從負數起步的中國體操終于以8枚金牌震驚了世界！兩年中國體操從負到“震”勝在陣容新人用實力正中國體操隊是一個優秀的戰斗集體。這并不是空話，但是如果沒有審時度勢，沒有安排好陣容,那么整個體操隊的發揮甚至奪冠將大受影響，因此，掌握每個選手的得分資料，排出合理的出場陣容對團隊的成績至關重要。二、問題分析本文圍繞體操隊團體賽展開討論，所要打到的目標是排出題目中各不同前提下的最佳出場陣容。容易得出該模型的目標函數是團體總分最高，而約束條件則由比賽規則確定。如“每隊至多10名運動員參賽，每項最多6名運動員，每隊應有四人參加全能，其余參加單項比賽，參加單項比賽的每個運動員至多參加三個單項”。當要求團體總分最高時，應派出賽程允許最多的運動員人數，本題中最多為10名，其中四名是全能運動員，此時每項隊員數相應的達到最多，即6名。可見，每單項除了四名全能運動員外，還有兩名非全能運動員。簡單的賽程規則圖如圖運動員運動員4個人參加全能賽其余參加單項賽每人至多參加3項總得分圖比賽規則圖三、模型假設1.每個運動員，每場比賽都是相互獨立的，2.參加全能賽的運動員，不能再參加單項賽，3.每個參加多項比賽的選手，他在參加前一項比賽對后一項比賽沒有影響，4.運動員在比賽時不發生特殊情況都能發揮出平常水平。5.對手得分視為一切確定的；6.運動員在比賽中獲得的分數的概率嚴格按照題目所給，且所得分數也只能為題目給四種中的一種；7.團隊總得分大于就必定會奪冠。四、模型的建立與求解模型準備在概率論中，隨機變量兩兩相互獨立,若那么：引入期望：引入方差:引入正態分布公式：標準正態曲線N（0，1）是一種特殊的正態分布曲線，以及標準正態總體在任一區間(a，b)內取值概率.標準正態分布是一種特殊的正態分布，標準正態分布的和為0和1，通常用（或）表示服從標準正態分布的變量，記為。一般正態分布與標準正態分布的轉化：由于一般的正態總體其圖像不一定關于y軸對稱，對于任一正態總體，其取值小于x的概。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。針對問題一建立變量模型由于問題要求當每個選手的各單項得分以最悲觀估計的前提之下，求出最佳出場陣容，所以實質上是要求出以什么樣的陣容出場，該團隊總的得分最高。首先提取出每個運動員在最悲觀的狀態下的估算成績，詳見表表最悲觀狀態下隊員的得分成績估算隊隊員項目12345678910高低杠平衡木跳馬自由體操根據上面對本問的分析，建立模型如下：，代表十名運動員的編號；，依次代表運動項目高低杠、平衡木、跳馬、自由體操。本模型中設變量和來輔助建立模型另外，為了方便模型的求解，本模型需要引入第二個整型變量為了將其取值范圍定在范圍內，不妨將其做有效處理，并取整后，可表示為每一個項目可以有名選手參加，最優情況下滿人，則：每對有四個人參加全能賽，則：目標函數是團隊的總得分最高，列出式子如下：其中表示第名運動員參加第個項目的得分。設在悲觀情況下第第名運動員參加第個項目的得分為，那么由已知條件，經上述及分析過程可知，在最悲觀狀況下，本文中建立整數規劃模型如下：模型的求解由編程(見附錄1)，得出在最悲觀情況下，該隊的出場陣容及各運動員得分情況見表見附表2表最悲觀情況下各隊員出場及得分情況隊隊員項目12345678910高低杠平衡木跳馬自由體操根據上表，容易得知在最悲觀情況下,參見全能項目的選手為2、5、6、9號運動員，其余選手參加單項賽。在此種情況下，可以使得在各個選手在得分最悲觀狀態下的總得分最高。表最佳出場陣容參加項目參加第一項的選手參加第二項的選手參加第三項的選手參加第四項的選手參加全能項的選手參加選手7、104、81、43、102、5、6、9針對問題二本問要求在每個選手的個單項得分按均值計算時，設計最優出場陣容，使得總得分最高。所以本問的建模思想和第一問一樣，因為要是總的得分最高，所以必須每項都有6名選手參加，4個人參加全能賽。在確定目標函數的情況下，列出約束條件，具體模型如下。建立變量模型由于這問的模型和第一問一樣,只是第名運動員參加第項運動得分為均值,所以設為第名運動員參加第項運動得分均值均值情況下團體總分為：約束條件為：每個選手的平均得分情況如下表（即的值）：表各隊員單項的均值得分情況運動員項目12345678910高低杠平衡木跳馬自由體操模型的求解同第一問，由編程(見附錄2)，只是代入的值改變，其他不變。得出在每個隊員得分均值時，最佳出場陣容和各選手的具體個項目得分情況，安排結果見表。表各選手得分取均值時隊員的出場及得分情況隊隊員項目12345678910高低杠———平衡木————跳馬————自由體操————得出在各隊員得分按均值計算的情況下，最佳出場陣容見表表得分按均值計算的最佳出場陣容參加項目參加第一項的選手參加第二項的選手參加第三項的選手參加第四項的選手參加全能賽的選手隊員6、75、91、45、92、3、8、10該團體的總得分為：分。針對第三問模型的建立首先分析，若按以往的資料及近期的各種信息，本次奪冠的團體總分不少于分，因為如果最多24個項目且全參加總分才240分，所以本次要奪冠就必須參加全部的24個項目。要滿足條件的出場陣容且奪冠，則需要團體總分不少于分的概率為最大，則此問題可轉化為求解：max其中表示第名運動員參加第個項目的得分，表示第名運動員是否參加第個項目設團體總得分為：則得分期望為：其中為第名運動員參加第項運動得分均值。得分方差為：其中為第名運動員參加第項運動得分方差（見表）經過對問題轉化發現此問題服從正態分布，其中將非標準正態分布轉化為標準正態分布其中，由于得分概率服從正態分布，故該隊的總分不少于分的概率為：對于服從標準正態分布的隨即變量，當時，其得分密度函數為單增函數，故求的最大值可以轉化為求的最小值，即目標函數的最小值。則滿足條件的優化模型為：表參加的運動員的每項得分的方差運動員項目12345678910高低杠平衡木跳馬自由體操模型的求解同前兩問一樣，用lingo編程（見附錄3）求解得：表奪冠的出場陣容參加項目參加第一項的選手參加第二項的選手參加第三項的選手參加第四項的選手參加全能賽的選手參加隊員6、71、81、46、83、5、9、10此時解得得分期望=，，因為解得奪冠的概率約等于0，并且此概率為滿足條件派出陣容的最大值，所以以此陣容出場，奪冠概率幾乎為零，幾乎不能奪冠。通過Matlab畫出得分的正態分布圖像，可以驗證結果。圖2.滿足條件的得分正態分布圖有90%的把握戰勝怎樣水平的對手若要有90%的把握戰勝對手，則應該有服從正態分布，所以有查詢正態分布表可得經過變形化簡整理得：只需要求出后面的最大值，即可求出的值。所求最優模型為：max運用lingo編程（見附錄4）求解最大值為，從而得到此時最佳出場陣容：表最佳出場陣容參加項目參加第一項的選手參加第二項的選手參加第三項的選手參加第四項的選手參加全能賽的選手參加隊員2、75、81、42、53、6、9、10綜上可得出90%把握能戰勝得分不大于分的對手。通過Matlab畫出得分的正態分布圖像，可以驗證結果。圖3.滿足條件的得分正態分布圖五、結果分析的與檢驗結果分析：針對前兩問，在給定各個參賽選手的各項得分（題目中所給為四項）一定的情況下，其概率也相應確定，由此知道各選手參賽各項得分在最悲觀或均值情況下得分一定，概率也一定，所以在滿足目標函數在團隊總得分最大的情況下，由比賽規則列出約束條件，用lingo軟件編程解得結果在誤差允許范圍之內滿足題目要求。針對第三問用到標準正態分布函數求解概率，由于解出的概率值非常的小，討論奪冠概率就沒有多大的意義，所以我們近似認為它的概率就為0，幾乎不可能奪冠。六、模型評價與推廣模型的優點：本模型綜合考慮各個隊員的得分情況及概率，根據問題的限制條件，給出合理的整數規劃的數學模型。該模型將復雜的陣容選擇問題，從排列組合的大量數據中跳出，運用整數規劃，將問題簡化成簡單的最優化問題。同時運用概率論將估算問題與最優化模型想結合，計算簡便，思路清晰，易于理解。不僅發揮了各隊員的最大價值，還對奪冠前景和得分前景進行了合理的估計。不過編程的思想比較復雜，需要考慮的方面比較多，程序在Matlab中運行的時間比較長，時效性不高。畢竟Matlab軟件不是解決規劃問題的最好軟件模型的缺點本模型在建立時，并未考慮到出場運動員得分的風險性（即得分概率）問題。但是實際比賽中，我們選擇出場陣容時不僅要考慮高總分的問題，還要考慮運動員比賽得分的穩定性問題，忽略了人的主觀因素，因為人的正常水平的發揮并不是一定的，他可能隨各種不同情況而發生相應的變化，特別對于參加多項比賽的選手可能參加完一場比賽對下一場比賽造成一定的影響，從而整體水平可能下降。模型的推廣該模型不僅能夠很好的解決運動員出場最優陣容的安排問題，還能推廣到生活中許多方面.例如股票的投資,生產人員的安排，生活中我們需要不斷最求最優的選擇組合，該模型能方便解決許多生活中對于組合排列的選擇問題。參考文獻[1]峁詩松,程依明,濮曉龍,《概率論與數理統計教程》高等教育出版社2003年[2]數學模型,姜啟源,謝金星葉俊,高等教育出版社，2003年[3]工程數學學報編輯委員會第22卷7期,2005[4]袁新生,邵大宏《LINGO和Excel在數學建模中的應用》科學出版社2007年附錄附表：運動員各項目得分及概率分布表運動員

項目

1

2

3

4

5

高低杠

~~~~

~~~~~~~10~~~~~~~~~

平衡木

~~~10~~~~~~~~~~~~~~~~~

跳馬

~~~~~~~10~~~~~~~~~~~~~

自由體操

~~~~~~~~~~~10~~~~10~~~~~運動員

項目

6

7

8

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高低杠

~~~~~~~10~~~~10~.~~~~~~~~

平衡木

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跳馬

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自由體操

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附錄一model:sets:ten/1..10/:y;four/1..4/;score(ten,four):a,x;endsetsmax=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));@for(score(i,j):x(i,j)>=y(i));@sum(ten(i):y(i))=4;@for(four(j):@sum(ten(i):x(i,j))<=6);@for(ten(i):@sum(four(j):(1-y(i))*x(i,j))<=3);@for(ten:@bin(y));@for(score:@bin(x));M=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));data:a=;enddataend附錄二model:sets:ten/1..10/:y;four/1..4/;score(ten,four):a,x;endsetsmax=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));@for(score(i,j):x(i,j)>=y(i));@sum(ten(i):y(i))=4;@for(four(j):@sum(ten(i):x(i,j))<=6);@for(ten(i):@sum(four(j):(1-y(i))*x(i,j))<=3);@for(ten:@bin(y));@for(score:@bin(x));M=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));data:a=;enddataend附錄三model:sets:ten/1..10/:y;four/1..4/;score(ten,four):a,x;endsets[obj]max=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));@for(score(i,j):x(i,j)>=y(i));@for(four(j):@sum(ten(i):x(i,j))<=6);@sum(ten(i):y(i))=4;@for(ten(i):(@sum(four(j):x(i,j)))*(1-y(i))<=3);@for(ten:@bin(y));@for(score:@bin(x));M=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j));data:a=10101010101010101010;enddataendmodel:sets:ten/1..10/:y;four/1..4/;score(ten,four):a,x,D;endsets[obj]min=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)))/@sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j))^;@for(score(i,j):x(i,j)>=y(i));@sum(ten(i):y(i))=4;@for(four(j):@sum(ten(i):x(i,j))<=6);@for(ten(i):@sum(four(j):(1-y(i))*x(i,j))<=3);@for(ten:@bin(y));@for(score:@bin(x));M=@sum(score(i,j):x(i,j)*a(i,j)))/@sum(score(i,j):x(i,j)*D(i,j))^;D1=(@sum(score:x*D))^;data:a=;D=