一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第三節協方差及相關系數1教學運用一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第

前面我們學習了隨機變量的數學期望和方差，對于多維隨機變量，除了其數學期望和方差外，我們還要研究反映各分量之間關系的數字特征，其中最重要的，就是現在要討論的協方差和相關系數1.問題的提出一、協方差與相關系數的概念及性質2教學運用前面我們學習了隨機變量的數學期望和方差，對于

在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關于父親的身高和其成年兒子身高的關系。3教學運用在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子

這里有兩個變量，一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關系，英國統計學家皮爾遜收集了1078個父親及其成年兒子身高的數據,畫出了一張散點圖。兒子的身高父親的身高問：父親及其成年兒子身高存在怎樣的關系呢？fatherson4教學運用這里有兩個變量，一個是父親的身高，一個是成年兒子身類似的問題有：1、吸煙和患肺癌有什么關系？2、受教育程度和失業有什么關系？3、高考入學分數和大學學習成績有什么關系？……???5教學運用類似的問題有：1、吸煙和患肺癌有什么關系？2、受教育程度和協方差6教學運用協方差6教學運用定義對兩個隨機向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，則稱cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)

為X和Y的協方差。特別,若X=Y,則cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)因此,方差是協方差的特例,協方差刻畫兩個隨機變量之間的“某種”關系.可以證明若(X,Y)服從二維正態分布,即則2.定義7教學運用定義對兩個隨機向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY可見，若X與Y獨立，則4.計算協方差的一個簡單公式Cov(X,Y)=0.

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3隨機變量和的方差與協方差的關系8教學運用可見，若X與Y獨立，則4.計算協方差的一個簡單公式(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(對稱性)5.簡單性質(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常數下面請大家利用上面所學的知識進行證明。(1)Cov(X,X)=D(X)(2)Cov(X,c)=0(c為常數)9教學運用(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov

協方差的數值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯系,但它受X與Y本身數值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時X*與Y*間的相互聯系和X與Y的相互聯系應該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點,在計算X與Y的協方差之前,先對X與Y進行標準化:

再來計算X*和Y*的協方差，這樣就引進了相關系數的概念.10教學運用協方差的數值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯系,但它受為隨機變量X和Y的相關系數(correlationcoefficient).1.定義:若D(X)>0,D(Y)>0,且Cov(X,Y)存在時，稱

在不致引起混淆時，記

為.二、相關系數11教學運用為隨機變量X和Y的相關系數(correlationcoe2.相關系數的性質注意

|ρXY|

的大小反映了X,Y之間線性關系的密切程度:ρXY=0時,X,Y之間無線性關系;|ρXY|=1時,X,Y之間具有線性關系.12教學運用2.相關系數的性質注意|ρXY|的大小反映了X,YρXY>0,X,Y正相關ρXY<0,X,Y負相關ρXY≠0,X,Y相關ρXY=0,X,Y不相關(ρXY=1,X,Y完全正相關)(ρXY=-1,X,Y完全負相關)xy0

完全正相關Y=aX+ba>0xy0

完全負相關Y=aX+ba<013教學運用ρXY>0,X,Y正相關ρXY≠0,X,Y相關(ρXY=1xy0

完全不相關xy0

正相關xy0

負相關14教學運用xy0 完全不相關xy0 正相關xy0 負相關14教學運用例：將一枚密度均勻硬幣拋n次，分別以X和Y記作正反面出現的次數，則X和Y的相關系數為A：0B：1C：-1D：1或-1解：因為X＋Y＝n，即P{Y=-X+n}=1，所以X與Y完全負相關，故從而選C。注：若a>0時,ρXY=1a<0時,ρXY=-1則15教學運用例：將一枚密度均勻硬幣拋n次，分別以X和Y記作正反面出現的次例2(X,Y)的聯合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關系數ρXY,并判斷X,Y是否相關,是否獨立.解：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81XY-101P2/84/82/816教學運用例2(X,Y)的聯合分布為:XY-1例2(X,Y)的聯合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關系數ρXY,并判斷X,Y是否相關,是否獨立.解：從而：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81另一方面：P(X=-1,Y=-1)=1/8≠P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8)所以X與Y不獨立.17教學運用例2(X,Y)的聯合分布為:XY-1

這里可以利用相關系數的定義和微積分的知識可得即為X和Y的相關系數，18教學運用這里可以利用相關系數的定義和微積分的知識可得結論19教學運用結論19教學運用例3解20教學運用例3解20教學運用21教學運用21教學運用

X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關若(X,Y)服從二維正態分布，X,Y相互獨立X,Y不相關不相關與相互獨立22教學運用X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關若解例423教學運用解例423教學運用24教學運用24教學運用25教學運用25教學運用

這一講我們主要介紹了協方差和相關系數，相關系數是刻劃兩個隨機變量間線性相關程度的重要的數字特征,它取值在-1到1之間.

如果兩個變量之間存在強相關，則已知一個變量的值對預測另一個變量的值將很有幫助,如前面幾個引例。小結26教學運用這一講我們主要介紹了協方差和相關系數，相關系數是1.定義27教學運用1.定義27教學運用2.協方差矩陣28教學運用2.協方差矩陣28教學運用29教學運用29教學運用

例設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯合分布為正態分布，X和Y的任意線性組合是正態分布.解:

X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X與Y獨立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即

Z~N(E(Z),D(Z))30教學運用例設隨機變量X和Y相互獨立且X~N故Z

的概率密度是Z~N(5,32)31教學運用故Z的概率密度是Z~N(5,32)31教學運用契比雪夫不等式證明取連續型隨機變量的情況來證明.

切比雪夫不等式32教學運用契比雪夫不等式證明取連續型隨機變量的情況來證明.切比雪夫不得33教學運用得33教學運用

切比雪夫不等式只利用隨機變量的數學期望及方差就可對的概率分布進行估計。從切比雪夫不等式還可以看出,對于給定的>0,當方差越小時，事件{|X-E(X)|≥}發生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．這進一步說明方差確實是一個描述隨機變量與其期望值離散程度的一個變量．當D(X)已知時，切貝雪夫不等式給出了X與E(X)的偏差小于的概率的估計值．

切比雪夫不等式的用途：

（1）證明大數定律；（2）估計事件的概率。34教學運用切比雪夫不等式只利用隨機變量的數學期望及方差就可對的例1

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}35教學運用例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是73由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數在5200~9400之間的概率不小于8/9.36教學運用由切比雪夫不等式P{|X-E(X)|

例2

設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關是相互立的，使用切貝雪夫不等式估計夜晚同時開著的燈數在6800到7200盞之間的概率。

解令X表示在夜晚同時開著的燈數目，則X服從n=10000，p=0.7的二項分布，這時由切貝雪夫不等式可得:37教學運用例2設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第三節協方差及相關系數38教學運用一、協方差與相關系數的概念及性質二、相關系數的意義三、小結第

前面我們學習了隨機變量的數學期望和方差，對于多維隨機變量，除了其數學期望和方差外，我們還要研究反映各分量之間關系的數字特征，其中最重要的，就是現在要討論的協方差和相關系數1.問題的提出一、協方差與相關系數的概念及性質39教學運用前面我們學習了隨機變量的數學期望和方差，對于

在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關于父親的身高和其成年兒子身高的關系。40教學運用在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子

這里有兩個變量，一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關系，英國統計學家皮爾遜收集了1078個父親及其成年兒子身高的數據,畫出了一張散點圖。兒子的身高父親的身高問：父親及其成年兒子身高存在怎樣的關系呢？fatherson41教學運用這里有兩個變量，一個是父親的身高，一個是成年兒子身類似的問題有：1、吸煙和患肺癌有什么關系？2、受教育程度和失業有什么關系？3、高考入學分數和大學學習成績有什么關系？……???42教學運用類似的問題有：1、吸煙和患肺癌有什么關系？2、受教育程度和協方差43教學運用協方差6教學運用定義對兩個隨機向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，則稱cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)

為X和Y的協方差。特別,若X=Y,則cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)因此,方差是協方差的特例,協方差刻畫兩個隨機變量之間的“某種”關系.可以證明若(X,Y)服從二維正態分布,即則2.定義44教學運用定義對兩個隨機向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY可見，若X與Y獨立，則4.計算協方差的一個簡單公式Cov(X,Y)=0.

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3隨機變量和的方差與協方差的關系45教學運用可見，若X與Y獨立，則4.計算協方差的一個簡單公式(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(對稱性)5.簡單性質(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常數下面請大家利用上面所學的知識進行證明。(1)Cov(X,X)=D(X)(2)Cov(X,c)=0(c為常數)46教學運用(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov

協方差的數值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯系,但它受X與Y本身數值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時X*與Y*間的相互聯系和X與Y的相互聯系應該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點,在計算X與Y的協方差之前,先對X與Y進行標準化:

再來計算X*和Y*的協方差，這樣就引進了相關系數的概念.47教學運用協方差的數值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯系,但它受為隨機變量X和Y的相關系數(correlationcoefficient).1.定義:若D(X)>0,D(Y)>0,且Cov(X,Y)存在時，稱

在不致引起混淆時，記

為.二、相關系數48教學運用為隨機變量X和Y的相關系數(correlationcoe2.相關系數的性質注意

|ρXY|

的大小反映了X,Y之間線性關系的密切程度:ρXY=0時,X,Y之間無線性關系;|ρXY|=1時,X,Y之間具有線性關系.49教學運用2.相關系數的性質注意|ρXY|的大小反映了X,YρXY>0,X,Y正相關ρXY<0,X,Y負相關ρXY≠0,X,Y相關ρXY=0,X,Y不相關(ρXY=1,X,Y完全正相關)(ρXY=-1,X,Y完全負相關)xy0

完全正相關Y=aX+ba>0xy0

完全負相關Y=aX+ba<050教學運用ρXY>0,X,Y正相關ρXY≠0,X,Y相關(ρXY=1xy0

完全不相關xy0

正相關xy0

負相關51教學運用xy0 完全不相關xy0 正相關xy0 負相關14教學運用例：將一枚密度均勻硬幣拋n次，分別以X和Y記作正反面出現的次數，則X和Y的相關系數為A：0B：1C：-1D：1或-1解：因為X＋Y＝n，即P{Y=-X+n}=1，所以X與Y完全負相關，故從而選C。注：若a>0時,ρXY=1a<0時,ρXY=-1則52教學運用例：將一枚密度均勻硬幣拋n次，分別以X和Y記作正反面出現的次例2(X,Y)的聯合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關系數ρXY,并判斷X,Y是否相關,是否獨立.解：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81XY-101P2/84/82/853教學運用例2(X,Y)的聯合分布為:XY-1例2(X,Y)的聯合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關系數ρXY,并判斷X,Y是否相關,是否獨立.解：從而：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81另一方面：P(X=-1,Y=-1)=1/8≠P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8)所以X與Y不獨立.54教學運用例2(X,Y)的聯合分布為:XY-1

這里可以利用相關系數的定義和微積分的知識可得即為X和Y的相關系數，55教學運用這里可以利用相關系數的定義和微積分的知識可得結論56教學運用結論19教學運用例3解57教學運用例3解20教學運用58教學運用21教學運用

X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關若(X,Y)服從二維正態分布，X,Y相互獨立X,Y不相關不相關與相互獨立59教學運用X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關若解例460教學運用解例423教學運用61教學運用24教學運用62教學運用25教學運用

這一講我們主要介紹了協方差和相關系數，相關系數是刻劃兩個隨機變量間線性相關程度的重要的數字特征,它取值在-1到1之間.

如果兩個變量之間存在強相關，則已知一個變量的值對預測另一個變量的值將很有幫助,如前面幾個引例。小結63教學運用這一講我們主要介紹了協方差和相關系數，相關系數是1.定義64教學運用1.定義27教學運用2.協方差矩陣65教學運用2.協方差矩陣28教學運用66教學運用29教學運用

例設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯合分布為正態分布，X和Y的任意線性組合是正態分布.解:

X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X與Y獨立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即

Z~N(E(Z),D(Z))67教學運用例設隨機變量X和Y相互獨立且X~N故Z

的概率密度是Z~N(5,32)68教學運用故Z的概率密度是Z~N(5,32)31教學運用契比雪夫不等式證明取連續型隨機變量的情況來證明.

切比雪夫不等