運籌學

靈敏度分析運籌學

靈敏度分析1價值系數C發生變化：

m考慮檢驗數

j=cj-∑criarijj=1,2,……,n

i=1

1、若ck

是非基變量的系數：設ck

變化為ck+ck

k’=ck+ck-∑criarik=k+ck

只要k’≤0，即

ck≤-k，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

k

用k’取代，繼續單純形法的表格計算。

例:MaxZ=-2x1-3x2-4x3S.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥02、線性規劃問題的進一步研究（2.3）價值系數C發生變化：2、線性規劃問題的進一步研究（2.3）2進一步理解最優單純性表中各元素的含義考慮問題

Maxz

=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.

a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2...

am1x1+am2x2+…+amnxn

=bm

x1，x2，…，xn≥03.靈敏度分析進一步理解最優單純性表中各元素的含義考慮問題3.33、靈敏度分析無防設，xj=0j=m+1,…,n;

xi=bi’

i=1,…,m是基本可行解,對應的目標函數典式為：z=-f+m+1xm+1+…+nxn以下是初始單純形表：

mm其中：f=-∑cibi’

j=cj-∑ciaij’

為檢驗數。向量b’=B-1bi=1i=1A=[p1,p2,…,pn],pj’=B-1pj,pj’=(a1j’,a2j’,…,amj’)T

，j=m+1,…,n3、靈敏度分析無防設，xj=0j=m+1,…4ci

,bj發生變化——本段重點增加一約束或變量及A中元素發生變化—通過例題學會處理對于表格單純形法，通過計算得到最優單純形表。應能夠找到最優基B

的逆矩陣B-1

，B-1b以及B-1N，檢驗數j

等。3.靈敏度分析ci,bj發生變化——本段重點對于表格單純形法5價值系數c發生變化：

m

考慮檢驗數

j=cj-∑criarij

j=1,2,……,n

i=1

1.

若ck是非基變量的系數：設ck變化為ck

+

ck

k’=ck

+ck-∑criarik

=k+ck

只要k’≤0,即

ck

≤-k

，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

k

用k’取代，繼續單純形法的表格計算。

3.靈敏度分析價值系數c發生變化：6例3.3:

Max

z=-2x1-3x2-4x3S.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4

x1,x2,x3,x4,x5≥03.靈敏度分析例3.3:3.靈敏度分析7例：最優單純形表

從表中看到σ3=c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23)可得到Δc3≤9/5時，原最優解不變。3.靈敏度分析例：最優單純形表從表中看到σ3=c3+8

2、若cs

是基變量的系數：

設cs

變化為cs

+cs

，那么

j’=cj-∑criarij

-(

cs+cs)asj

=j

-csasj

，

i≠s

對所有非基變量，只要對所有非基變量

j’≤0，即j

≤csasj

，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

j

用j’取代，繼續單純形法的表格計算。

Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}

3.靈敏度分析2、若cs是基變量的系數：對所有9例3.4:

Max

z=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5

s.t.

x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=

12

x1,x2,x3,x4,x5

≥03.靈敏度分析例3.4:s.t.x1+2x2+x310例:

下表為最優單純形表,考慮基變量系數c2發生變化從表中看到σj=cj-(c1×a1j+c5×

a5j+(c2+Δc2)×a2j)j=3,4可得到-3≤Δc2≤1時，原最優解不變。3.靈敏度分析例:下表為最優單純形表,考慮從表中看到3.靈敏11右端項b

發生變化設分量br

變化為br+br

，根據第1章的討論，最優解的基變量xB=B-1b，那么只要保持B-1(b+b)≥0

，則最優基不變，即基變量保持，只有值的變化；否則，需要利用對偶單純形法繼續計算。

對于問題(LP)Max

z=cT

x

s.t.

Ax≤b

x≥03.靈敏度分析右端項b發生變化3.靈敏度分析12最優單純形表中含有B-1=(aij

）i=1,…,m;j=n+1,…,n+m

那么新的xi=(B-1b)i+brair

i=1,…,m。由此可得，最優基不變的條件是Max{-bi/airair>0}≤br≤Min{-bi/airair<0}3.靈敏度分析最優單純形表中含有3.靈敏度分析13例3.5:

上例最優單純形表如下

3.靈敏度分析例3.5:3.靈敏度分析14

00.250這里B-1=-20.510.5-0.1250各列分別對應b1、b2、b3

的單一變化因此，設b1增加4，則x1,x5,x2分別變為：4+0×4=4,4+(-2)×4=-4<0,2+0.5×4=4用對偶單純形法進一步求解，可得：x*=(4,3,2,0,0)Tf*=173.靈敏度分析各列分別對應b1、b2、b3的單一變化3.靈敏度分析15增加一個變量增加變量xn+1

則有相應的pn+1,cn+1

。那么計算出B-1pn+1,

n+1=cn+1-∑criari

n+1

填入最優單純形表,

若

n+1≤0則最優解不變；否則，進一步用單純形法求解。3.靈敏度分析增加一個變量3.靈敏度分析16例3.6:例3.4增加x6,p6=(2,6,3)T,c6=5

計算得到用單純形法進一步求解，可得：x*=(1,1.5,0,0,0,2)Tf*=16.53.靈敏度分析例3.6:用單純形法進一步求解，可得：3.靈敏度分析17增加一個約束增加約束一個之后，應把最優解帶入新的約束，若滿足則最優解不變，否則填入最優單純形表作為新的一行，引入一個新的非負變量（原約束若是小于等于形式可引入非負松弛變量，否則引入非負人工變量），并通過矩陣行變換把對應基變量的元素變為0，進一步用單純形法或對偶單純形法求解。3.靈敏度分析增加一個約束3.靈敏度分析18例3.7:例3.4增加3x1+2x2≤15，原最優解不滿足這個約束。于是3.靈敏度分析經對偶單純形法一步，可得最優解為（3.5,2.25,0,0,3,2)T，最優值為13.75例3.7:3.靈敏度分析經對偶單純形法一步，可得最優解為（319

A中元素發生變化(只討論N

中某一列變化情況）與增加變量xn+1

的情況類似，假設pj

變化。那么，重新計算出

B-1pj

j=cj-∑criarij

填入最優單純形表，若j≤0則最優解不變；否則，進一步用單純形法求解。（例子從略）3.靈敏度分析A中元素發生變化(只討論N中某一列3.靈敏度分析20Chapter5目標規劃

(Goalprogramming)目標規劃問題及其數學模型目標規劃的圖解分析法求解方法目標規劃應用舉例本章主要內容：Chapter5目標規劃

(Goalprogramm21目標規劃問題及其數學模型問題的提出： 目標規劃是在線性規劃的基礎上，為適應經濟管理多目標決策的需要而由線性規劃逐步發展起來的一個分支。 由于現代化企業內專業分工越來越細，組織機構日益復雜，為了統一協調企業各部門圍繞一個整體的目標工作，產生了目標管理這種先進的管理技術。目標規劃是實行目標管理的有效工具，它根據企業制定的經營目標以及這些目標的輕重緩急次序，考慮現有資源情況，分析如何達到規定目標或從總體上離規定目標的差距為最小。目標規劃問題及其數學模型問題的提出：22目標規劃問題及其數學模型例5.1某企業計劃生產甲，乙兩種產品，這些產品分別要在A,B,C,D四種不同設備上加工。按工藝文件規定，如表所示。ABCD單件利潤甲11402乙22043最大負荷1281612問該企業應如何安排計劃，使得計劃期內的總利潤收入為最大？目標規劃問題及其數學模型例5.1某企業計劃生產甲，乙兩種23目標規劃問題及其數學模型解：設甲、乙產品的產量分別為x1，x2，建立線性規劃模型：其最優解為x1＝4，x2＝2，z＊＝14元目標規劃問題及其數學模型解：設甲、乙產品的產量分別為x1，x24目標規劃問題及其數學模型但企業的經營目標不僅僅是利潤，而且要考慮多個方面，如：力求使利潤指標不低于12元；考慮到市場需求，甲、乙兩種產品的生產量需保持1:1的比例；C和D為貴重設備，嚴格禁止超時使用；設備B必要時可以加班，但加班時間要控制；設備A即要求充分利用，又盡可能不加班。要考慮上述多方面的目標，需要借助目標規劃的方法。目標規劃問題及其數學模型但企業的經營目標不僅僅是利潤，而且要25目標規劃問題及其數學模型線性規劃模型存在的局限性：1）要求問題的解必須滿足全部約束條件，實際問題中并非所有約束都需要嚴格滿足。2）只能處理單目標的優化問題。實際問題中，目標和約束可以相互轉化。3）線性規劃中各個約束條件都處于同等重要地位，但現實問題中，各目標的重要性即有層次上的差別，同一層次中又可以有權重上的區分。4）線性規劃尋求最優解，但很多實際問題中只需找出滿意解就可以。目標規劃問題及其數學模型線性規劃模型存在的局限性：26目標規劃問題及其數學模型目標規劃怎樣解決上述線性規劃模型建模中的局限性？1.設置偏差變量，用來表明實際值同目標值之間的差異。偏差變量用下列符號表示：d+——超出目標的偏差，稱正偏差變量d-——未達到目標的偏差，稱負偏差變量正負偏差變量兩者必有一個為0。當實際值超出目標值時：d+>0,d-=0;

當實際值未達到目標值時：d+=0,d->0;

當實際值同目標值恰好一致時：d+=0,d-=0;故恒有d+×d-=0目標規劃問題及其數學模型目標規劃怎樣解決上述線性規劃模型建模27目標規劃問題及其數學模型2.統一處理目標和約束。對有嚴格限制的資源使用建立系統約束，數學形式同線性規劃中的約束條件。如C和D設備的使用限制。對不嚴格限制的約束，連同原線性規劃建模時的目標，均通過目標約束來表達。1）例如要求甲、乙兩種產品保持1:1的比例，系統約束表達為：x1=x2。由于這個比例允許有偏差，當x1<x2時，出現負偏差d-，即：x1+d-

=x2或x1－x2+d-

=0當x1>x2時，出現正偏差d+，即：x1-d+

=x2或x1－x2-d+

=0目標規劃問題及其數學模型2.統一處理目標和約束。對有嚴28目標規劃問題及其數學模型∵正負偏差不可能同時出現，故總有：x1－x2+d--d+

=0若希望甲的產量不低于乙的產量，即不希望d->0,用目標約束可表為:若希望甲的產量低于乙的產量，即不希望d＋>0,用目標約束可表為:若希望甲的產量恰好等于乙的產量，即不希望d＋>0,也不希望d->0用目標約束可表為:目標規劃問題及其數學模型∵正負偏差不可能同時出現，故總有：29目標規劃問題及其數學模型3）設備B必要時可加班及加班時間要控制，目標約束表示為：2）力求使利潤指標不低于12元，目標約束表示為：4）設備A既要求充分利用，又盡可能不加班，目標約束表示為：目標規劃問題及其數學模型3）設備B必要時可加班及加班時間要控30目標規劃問題及其數學模型3.目標的優先級與權系數 在一個目標規劃的模型中，為達到某一目標可犧牲其他一些目標，稱這些目標是屬于不同層次的優先級。優先級層次的高低可分別通過優先因子P1,P2,…表示。對于同一層次優先級的不同目標，按其重要程度可分別乘上不同的權系數。權系數是一個個具體數字，乘上的權系數越大，表明該目標越重要。現假定：第1優先級P1——企業利潤；第2優先級P2——甲乙產品的產量保持1:1的比例第3優先級P3——設備A,B盡量不超負荷工作。其中設備A的重要性比設備B大三倍。目標規劃問題及其數學模型3.目標的優先級與權系數 在一個目31目標規劃問題及其數學模型上述目標規劃模型可以表示為：目標規劃問題及其數學模型上述目標規劃模型可以表示為：32目標規劃問題及其數學模型目標規劃數學模型的一般形式達成函數目標約束其中：gk為第k個目標約束的預期目標值，和為pl優先因子對應各目標的權系數。目標規劃問題及其數學模型目標規劃數學模型的一般形式達成函數目33目標規劃問題及其數學模型用目標規劃求解問題的過程：明確問題，列出目標的優先級和權系數構造目標規劃模型求出滿意解滿意否？分析各項目標完成情況據此制定出決策方案NY目標規劃問題及其數學模型用目標規劃求解問題的過程：明確問題，34目標規劃的圖解分析法目標規劃的圖解法： 適用兩個變量的目標規劃問題，但其操作簡單，原理一目了然。同時，也有助于理解一般目標規劃的求解原理和過程。圖解法解題步驟：1.將所有約束條件（包括目標約束和絕對約束，暫不考慮正負偏差變量）的直線方程分別標示于坐標平面上。2.確定系統約束的可行域。3.在目標約束所代表的邊界線上，用箭頭標出正、負偏差變量值增大的方向目標規劃的圖解分析法目標規劃的圖解法： 適用兩個變量的目標規35目標規劃的圖解分析法3.求滿足最高優先等級目標的解4.轉到下一個優先等級的目標，再不破壞所有較高優先等級目標的前提下，求出該優先等級目標的解5.重復4，直到所有優先等級的目標都已審查完畢為止6.確定最優解和滿意解。目標規劃的圖解分析法3.求滿足最高優先等級目標的解36目標規劃的圖解分析法例5.2用圖解法求解下列目標規劃問題目標規劃的圖解分析法例5.2用圖解法求解下列目標規劃問題37目標規劃的圖解分析法(a)(b)(c)(d)x2x1(e)(f)d1-d1+d2+d2-d3-d3+d4-d4+滿意解(3,3)04683462

2目標規劃的圖解分析法(a)(b)(c)(d)x2x1(e)38目標規劃的圖解分析法x1x2(a)(b)d1+d1-(c)d2-d2+(d)d3-d3+GD滿意解是線段GD上任意點其中G點X＝(2,4),D點X＝(10/3,10/3)05.51055.6112,410/3,10/35107例5.3目標規劃的圖解分析法x1x2(a)(b)d1+d1-(c)d39目標規劃的圖解分析法Ox1x22040605020406050abd1-d1+d2-d2+cdd3-d3+d4-d4+(24,26)滿意解X=(24，26)例5.4目標規劃的圖解分析法Ox1x220406050204060540目標規劃應用舉例例5.5已知一個生產計劃的線性規劃模型如下，其中目標函數為總利潤，x1,x2

為產品A、B產量。現有下列目標：1.要求總利潤必須超過2500元；2.考慮產品受市場影響，為避免積壓，A、B的生產量不超過60件和100件；3.由于甲資源供應比較緊張，不要超過現有量140。試建立目標規劃模型，并用圖解法求解。目標規劃應用舉例例5.5已知一個生產計劃的線性規劃模型如41目標規劃應用舉例解：以產品A,B的單件利潤比2.5:1為權系數，模型如下：目標規劃應用舉例解：以產品A,B的單件利潤比2.5:42目標規劃應用舉例0x2

0⑴x114012010080604020

20406080100⑵⑶⑷ABCDC(60,58.3)為所求的滿意解。(24,26)目標規劃應用舉例0x20⑴x1140243演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！44運籌學

靈敏度分析運籌學

靈敏度分析45價值系數C發生變化：

m考慮檢驗數

j=cj-∑criarijj=1,2,……,n

i=1

1、若ck

是非基變量的系數：設ck

變化為ck+ck

k’=ck+ck-∑criarik=k+ck

只要k’≤0，即

ck≤-k，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

k

用k’取代，繼續單純形法的表格計算。

例:MaxZ=-2x1-3x2-4x3S.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4x1,x2,x3,x4,x5≥02、線性規劃問題的進一步研究（2.3）價值系數C發生變化：2、線性規劃問題的進一步研究（2.3）46進一步理解最優單純性表中各元素的含義考慮問題

Maxz

=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.

a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2...

am1x1+am2x2+…+amnxn

=bm

x1，x2，…，xn≥03.靈敏度分析進一步理解最優單純性表中各元素的含義考慮問題3.473、靈敏度分析無防設，xj=0j=m+1,…,n;

xi=bi’

i=1,…,m是基本可行解,對應的目標函數典式為：z=-f+m+1xm+1+…+nxn以下是初始單純形表：

mm其中：f=-∑cibi’

j=cj-∑ciaij’

為檢驗數。向量b’=B-1bi=1i=1A=[p1,p2,…,pn],pj’=B-1pj,pj’=(a1j’,a2j’,…,amj’)T

，j=m+1,…,n3、靈敏度分析無防設，xj=0j=m+1,…48ci

,bj發生變化——本段重點增加一約束或變量及A中元素發生變化—通過例題學會處理對于表格單純形法，通過計算得到最優單純形表。應能夠找到最優基B

的逆矩陣B-1

，B-1b以及B-1N，檢驗數j

等。3.靈敏度分析ci,bj發生變化——本段重點對于表格單純形法49價值系數c發生變化：

m

考慮檢驗數

j=cj-∑criarij

j=1,2,……,n

i=1

1.

若ck是非基變量的系數：設ck變化為ck

+

ck

k’=ck

+ck-∑criarik

=k+ck

只要k’≤0,即

ck

≤-k

，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

k

用k’取代，繼續單純形法的表格計算。

3.靈敏度分析價值系數c發生變化：50例3.3:

Max

z=-2x1-3x2-4x3S.t.

-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4

x1,x2,x3,x4,x5≥03.靈敏度分析例3.3:3.靈敏度分析51例：最優單純形表

從表中看到σ3=c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23)可得到Δc3≤9/5時，原最優解不變。3.靈敏度分析例：最優單純形表從表中看到σ3=c3+52

2、若cs

是基變量的系數：

設cs

變化為cs

+cs

，那么

j’=cj-∑criarij

-(

cs+cs)asj

=j

-csasj

，

i≠s

對所有非基變量，只要對所有非基變量

j’≤0，即j

≤csasj

，則最優解不變；否則，將最優單純形表中的檢驗數

j

用j’取代，繼續單純形法的表格計算。

Max{j/asjasj>0}≤cs≤Min{j/asjasj<0}

3.靈敏度分析2、若cs是基變量的系數：對所有53例3.4:

Max

z=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5

s.t.

x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=

12

x1,x2,x3,x4,x5

≥03.靈敏度分析例3.4:s.t.x1+2x2+x354例:

下表為最優單純形表,考慮基變量系數c2發生變化從表中看到σj=cj-(c1×a1j+c5×

a5j+(c2+Δc2)×a2j)j=3,4可得到-3≤Δc2≤1時，原最優解不變。3.靈敏度分析例:下表為最優單純形表,考慮從表中看到3.靈敏55右端項b

發生變化設分量br

變化為br+br

，根據第1章的討論，最優解的基變量xB=B-1b，那么只要保持B-1(b+b)≥0

，則最優基不變，即基變量保持，只有值的變化；否則，需要利用對偶單純形法繼續計算。

對于問題(LP)Max

z=cT

x

s.t.

Ax≤b

x≥03.靈敏度分析右端項b發生變化3.靈敏度分析56最優單純形表中含有B-1=(aij

）i=1,…,m;j=n+1,…,n+m

那么新的xi=(B-1b)i+brair

i=1,…,m。由此可得，最優基不變的條件是Max{-bi/airair>0}≤br≤Min{-bi/airair<0}3.靈敏度分析最優單純形表中含有3.靈敏度分析57例3.5:

上例最優單純形表如下

3.靈敏度分析例3.5:3.靈敏度分析58

00.250這里B-1=-20.510.5-0.1250各列分別對應b1、b2、b3

的單一變化因此，設b1增加4，則x1,x5,x2分別變為：4+0×4=4,4+(-2)×4=-4<0,2+0.5×4=4用對偶單純形法進一步求解，可得：x*=(4,3,2,0,0)Tf*=173.靈敏度分析各列分別對應b1、b2、b3的單一變化3.靈敏度分析59增加一個變量增加變量xn+1

則有相應的pn+1,cn+1

。那么計算出B-1pn+1,

n+1=cn+1-∑criari

n+1

填入最優單純形表,

若

n+1≤0則最優解不變；否則，進一步用單純形法求解。3.靈敏度分析增加一個變量3.靈敏度分析60例3.6:例3.4增加x6,p6=(2,6,3)T,c6=5

計算得到用單純形法進一步求解，可得：x*=(1,1.5,0,0,0,2)Tf*=16.53.靈敏度分析例3.6:用單純形法進一步求解，可得：3.靈敏度分析61增加一個約束增加約束一個之后，應把最優解帶入新的約束，若滿足則最優解不變，否則填入最優單純形表作為新的一行，引入一個新的非負變量（原約束若是小于等于形式可引入非負松弛變量，否則引入非負人工變量），并通過矩陣行變換把對應基變量的元素變為0，進一步用單純形法或對偶單純形法求解。3.靈敏度分析增加一個約束3.靈敏度分析62例3.7:例3.4增加3x1+2x2≤15，原最優解不滿足這個約束。于是3.靈敏度分析經對偶單純形法一步，可得最優解為（3.5,2.25,0,0,3,2)T，最優值為13.75例3.7:3.靈敏度分析經對偶單純形法一步，可得最優解為（363

A中元素發生變化(只討論N

中某一列變化情況）與增加變量xn+1

的情況類似，假設pj

變化。那么，重新計算出

B-1pj

j=cj-∑criarij

填入最優單純形表，若j≤0則最優解不變；否則，進一步用單純形法求解。（例子從略）3.靈敏度分析A中元素發生變化(只討論N中某一列3.靈敏度分析64Chapter5目標規劃

(Goalprogramming)目標規劃問題及其數學模型目標規劃的圖解分析法求解方法目標規劃應用舉例本章主要內容：Chapter5目標規劃

(Goalprogramm65目標規劃問題及其數學模型問題的提出： 目標規劃是在線性規劃的基礎上，為適應經濟管理多目標決策的需要而由線性規劃逐步發展起來的一個分支。 由于現代化企業內專業分工越來越細，組織機構日益復雜，為了統一協調企業各部門圍繞一個整體的目標工作，產生了目標管理這種先進的管理技術。目標規劃是實行目標管理的有效工具，它根據企業制定的經營目標以及這些目標的輕重緩急次序，考慮現有資源情況，分析如何達到規定目標或從總體上離規定目標的差距為最小。目標規劃問題及其數學模型問題的提出：66目標規劃問題及其數學模型例5.1某企業計劃生產甲，乙兩種產品，這些產品分別要在A,B,C,D四種不同設備上加工。按工藝文件規定，如表所示。ABCD單件利潤甲11402乙22043最大負荷1281612問該企業應如何安排計劃，使得計劃期內的總利潤收入為最大？目標規劃問題及其數學模型例5.1某企業計劃生產甲，乙兩種67目標規劃問題及其數學模型解：設甲、乙產品的產量分別為x1，x2，建立線性規劃模型：其最優解為x1＝4，x2＝2，z＊＝14元目標規劃問題及其數學模型解：設甲、乙產品的產量分別為x1，x68目標規劃問題及其數學模型但企業的經營目標不僅僅是利潤，而且要考慮多個方面，如：力求使利潤指標不低于12元；考慮到市場需求，甲、乙兩種產品的生產量需保持1:1的比例；C和D為貴重設備，嚴格禁止超時使用；設備B必要時可以加班，但加班時間要控制；設備A即要求充分利用，又盡可能不加班。要考慮上述多方面的目標，需要借助目標規劃的方法。目標規劃問題及其數學模型但企業的經營目標不僅僅是利潤，而且要69目標規劃問題及其數學模型線性規劃模型存在的局限性：1）要求問題的解必須滿足全部約束條件，實際問題中并非所有約束都需要嚴格滿足。2）只能處理單目標的優化問題。實際問題中，目標和約束可以相互轉化。3）線性規劃中各個約束條件都處于同等重要地位，但現實問題中，各目標的重要性即有層次上的差別，同一層次中又可以有權重上的區分。4）線性規劃尋求最優解，但很多實際問題中只需找出滿意解就可以。目標規劃問題及其數學模型線性規劃模型存在的局限性：70目標規劃問題及其數學模型目標規劃怎樣解決上述線性規劃模型建模中的局限性？1.設置偏差變量，用來表明實際值同目標值之間的差異。偏差變量用下列符號表示：d+——超出目標的偏差，稱正偏差變量d-——未達到目標的偏差，稱負偏差變量正負偏差變量兩者必有一個為0。當實際值超出目標值時：d+>0,d-=0;

當實際值未達到目標值時：d+=0,d->0;

當實際值同目標值恰好一致時：d+=0,d-=0;故恒有d+×d-=0目標規劃問題及其數學模型目標規劃怎樣解決上述線性規劃模型建模71目標規劃問題及其數學模型2.統一處理目標和約束。對有嚴格限制的資源使用建立系統約束，數學形式同線性規劃中的約束條件。如C和D設備的使用限制。對不嚴格限制的約束，連同原線性規劃建模時的目標，均通過目標約束來表達。1）例如要求甲、乙兩種產品保持1:1的比例，系統約束表達為：x1=x2。由于這個比例允許有偏差，當x1<x2時，出現負偏差d-，即：x1+d-

=x2或x1－x2+d-

=0當x1>x2時，出現正偏差d+，即：x1-d+

=x2或x1－x2-d+

=0目標規劃問題及其數學模型2.統一處理目標和約束。對有嚴72目標規劃問題及其數學模型∵正負偏差不可能同時出現，故總有：x1－x2+d--d+

=0若希望甲的產量不低于乙的產量，即不希望d->0,用目標約束可表為:若希望甲的產量低于乙的產量，即不希望d＋>0,用目標約束可表為:若希望甲的產量恰好等于乙的產量，即不希望d＋>0,也不希望d->0用目標約束可表為:目標規劃問題及其數學模型∵正負偏差不可能同時出現，故總有：73目標規劃問題及其數學模型3）設備B必要時可加班及加班時間要控制，目標約束表示為：2）力求使利潤指標不低于12元，目標約束表示為：4）設備A既要求充分利用，又盡可能不加班，目標約束表示為：目標規劃問題及其數學模型3）設備B必要時可加班及加班時間要控74目標規劃問題及其數學模型3.目標的優先級與權系數 在一個目標規劃的模型中，為達到某一目標可犧牲其他一些目標，稱這些目標是屬于不同層次的優先級。優先級層次的高低可分別通過優先因子P1,P2,…表示。對于同一層次優先級的不同目標