金融工程與風險管理第7章金融市場風險計量模型：VaR金融工程與風險管理第7章金融市場風險計量模型：VaR17.1VaR的定義ValueatRisk，譯為風險價值或在險價值，以貨幣表示的風險，處在風險中的金融資產的貨幣量。定義：VaR是指在某一給定的置信水平下，資產組合在未來特定的一段時間內可能遭受的最大損失。（Jorion，1997）VaR是一種對可能實現的價值（市值）損失的估計，而不是一種“賬面”的損失估計。7.1VaR的定義ValueatRisk，譯為風險2VaR：金融風險的“天氣預報”假設1個基金經理希望在接下來的10天時間內存在95%概率其所管理的基金價值損失不超過$1,000,000。則我們可以將其寫作：VaR回答的問題：我們有C的置信水平在接下來的T個交易日中損失程度不會超過的金額。VaR：金融風險的“天氣預報”假設1個基金經理希望在接下來的3VaR：金融風險的“天氣預報”例如：A銀行2006年4月1日公布其持有期為10天、置信水平為99%的VaR為1000萬元。這意味著如下3種等價的描述：1、A銀行從4月1日開始，未來10天內資產組合的損失大于1000萬元的概率小于1%；2、以99％的概率確信：A銀行從4月1日起未來10天內的損失不超過1000萬元。3、平均而言，A銀行在未來的100天內有1天損失可能超過1000萬元。（思考：一旦超過有多少損失呢？）VaR：金融風險的“天氣預報”例如：A銀行2006年4月1日47.2VaR的基本參數持有期：計算VaR的時間長度資產組合的波動性（方差）與時間長度正相關，故VaR隨著持有期增加而增加。VaR隱含假設：資產組合在持有期內不發生變化，若有變化則持有期要調整。《新資本協議》：計算監管資本的VaR持有期至少為10個交易日，JPMorgan等金融機構內部通常選擇為1天。7.2VaR的基本參數持有期：計算VaR的時間長度5討論：持有期的選擇資產流動性（liquidity）：事前確定原則：按金融機構無法控制損失的時間期限一般企業的資產組合缺乏流動性，可能在若干日都無法改變頭寸，則相應的持有期就要長，以使VaR給出的風險能夠覆蓋多日的“考驗”。如果金融機構能夠一天一次度量風險并且改變資產組合的構成，則其風險可以控制在1天內，故可將持有期定為1天。若頭寸可以快速出清（liquidation）或變現，則可以選擇較短的持有期，反之亦反。討論：持有期的選擇資產流動性（liquidity）：事前確6討論：持有期的選擇正態分布的要求持有期越長，資產組合回報r的分布越偏離正態分布，VaR計算中最方便的假設是回報率服從正態分布，在較短的持有期下，基于正態分布的假設更為合理。頭寸的調整持有期越長，風險管理者越可能改變頭寸，則時間越短越能保證資產組合所有資產頭寸不變的假設。討論：持有期的選擇正態分布的要求7第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件8討論：持有期的選擇數據約束從理論上講，VaR模型可以較為準確地計算任意持有期下資產組合的市場風險，但事實上，鑒于長期歷史數據收集的困難，往往設置較短的持有期。例如，若計算某資產的VaR需要1000個數據才能達到足夠的精度，若計算該資產持有期為1天的VaR，則需要4年（每年250個交易日）的數據，而如果持有期為10天，就需要有40年的數據。長時期的歷史數據在實際中可能無法獲得，而且距離當前時刻過于遙遠的歷史數據，由于市場情形的變化可能使早期的數據對VaR計算具有很大的干擾性。討論：持有期的選擇數據約束9討論：置信水平的選擇后驗測試置信水平越高，對于同樣的資產組合、在給定的持有期內，置信水平越高，則VaR越大，即資產的損失大于VaR的可能性越小，可靠性越高！但是，為了驗證VaR所需要的數據越多，實際中可能受到數據量的限制。風險資本要求金融機構維持安全性的愿望和股東報酬率之間的權衡。監管要求監管當局為保持金融系統的穩定需要設置較高的置信水平，如《新資本協議》至少為99%。討論：置信水平的選擇后驗測試10討論：置信水平的選擇統計和比較的需要不同的機構使用不同的置信水平報告VaR數值，需要知道其假設的分布和置信水平，若分布假設為正態分布，則可以相互轉化，不影響不同機構之間的不同置信水平下的評價。但是，不同分布下的VaR無法轉化，如T分布。@qtdist(0.99,4)=3.7469473879792，@qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。討論：置信水平的選擇統計和比較的需要11討論：置信水平的選擇置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常為99%（BCBS）或95％（JPMorgan）。理由：銀行業的脆弱性，防范小概率發生的極端風險，故要求計量的是資產組合的下方風險(DownsideRisk)。雖然這種風險發生的概率只有5％或者1％，但危害性大。總結：VaR的計算的是極端風險，而不是平均風險，這與傳統的方差計量風險有本質區別。討論：置信水平的選擇置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常為127.3VaR的數學定義由VaR的定義，若資產組合未來的隨機損益為∏=⊿V，則對應于置信水平為（一般為99％或者95％）的VaR滿足如下等式由于約定俗成的慣例，一般將VaR取為正值，故在（1.1）中的VaR前面加負號。1999年，Artzner等給出嚴格的VaR數學定義式（7.1）（7.2）7.3VaR的數學定義由VaR的定義，若資產組合未來137.3.1連續情形由7.2，VaR就是對應于置信水平c的損益分布的下分位數，由于其值為負，故在（7.2）等號右邊加負號，這表明VaR計量的是資產組合的下方風險（DownsideRisk）。在連續的情形下VaR滿足和，分別表示資產組合隨機損益的PDF和CDF上式是解析法計算VaR的基本依據。7.3.1連續情形由7.2，VaR就是對應于置信水平c的14VaR收益損失1-C∏Pr約定俗成：VaR是以正數表示。VaR收益損失1-C∏Pr約定俗成：VaR是以正數表示。157.3.2離散情形式（7.2）對VaR的定義既適用于損益序列為連續型隨機變量的情形，也適用于離散的損益分布。若資產組合的損益序列為離散型，則VaR滿足上式便成為歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法計算VaR的基本依據。7.3.2離散情形式（7.2）對VaR的定義既適用于損167.4VaR計算的基本原理不妨將A銀行的全部資產看成1個資產組合，期初（比如2005.1.1）該組合的盯市價值為V0，10天后其資產的價值如下圖所示：(VaR不是以賬面價值，而是以市場價值計算來計算風險)回報率r是隨機變量v0持有期T＝10天vT=v0(1＋r)7.4VaR計算的基本原理不妨將A銀行的全部資產看成1個177.4VaR計算的基本原理如果在某個置信水平C（比如99％）下，第T天資產組合的最低價值為VT*，則由VaR的定義：資產組合在未來一段時間內可能的最大損失，有兩種損失定義:若以絕對損失定義VaR，則稱為絕對VaR。若以回報的均值為參照來定義損失，即相對損失，則稱為相對VaR。7.4VaR計算的基本原理如果在某個置信水平C（比如9918期初的價值已知需要估計的未知量期初價值期末的價值（在某個置信水平下）絕對VaR（AbsoluteVaR）期初的價值已知需要估計的未知量期初價值期末的價值（在某個置信19相對VaR（RelativeVaR）如果資產組合的平均回報率為μ，在某一置信水平下，資產組合持有期末的最小回報率為r*，則相對VaR（RelativeVaR）如果資產組合的平均回報20示例：相對VaR95％置信水平，最大損失－2580萬平均收益為800萬示例：相對VaR95％置信水平，最大損失－2580萬平均收益21比較：相對VaR與絕對VaR比較：相對VaR與絕對VaR22總結：VaR的優點1、精確性：借助于數學和統計學工具，VaR以定量的方式給出資產組合下方風險（DownsideRisk）的確切值。2、綜合性：將風險來源不同、多樣化的金融工具的風險納入到一個統一的計量框架，將整個機構的風險集成為一個數值。可實施集中式的風險管理系統，提高風險管理的效率。總結：VaR的優點1、精確性：借助于數學和統計學工具，VaR23總結：VaR的優點3、通俗性：貨幣表示的風險，方便公眾、銀行、監管機構之間的溝通，充當信息披露工具。起源：JPMorgan的CEOWeathstone要求每天的《4.15報告》只產生一個數字：計量不同交易工具，不同部門綜合后的風險。截止到1999年，BCBS監管下的71家銀行中有66家對公眾披露VaR。缺點：VaR并沒有告訴我們在可能超過VaR損失的時間內（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的實際損失會是多少。

總結：VaR的優點3、通俗性：貨幣表示的風險，方便公眾、銀行247.5VaR計算方法的解析法解析法，又稱為方差-協方差法、參數法。借助統計學，利用歷史數據擬合回報率r的統計分布。常見的分布有：正態分布、對數正態分布、t分布、廣義誤差分布（GED）等。由歷史數據，可以得到回報率r的均值、方差、協方差等，即所謂的統計參數。由參數來估計回報率r在某個置信水平下的最小值。7.5VaR計算方法的解析法解析法，又稱為方差-協方差法257.5.1單資產正態分布VaR假定A銀行期初的資產市值v0=$100,000,000根據歷史資料，其資產10天回報率r服從正態分布，即這里我們也可以發現方差計量風險的缺點：雖然回報率方差僅為4％，但回報率可以低到-46.5%。7.5.1單資產正態分布VaR假定A銀行期初的資產市值v026若以絕對VaR來計算計算結果表明：在10天內，這家期初有1億美元資產的銀行，我們可以以99％概率確信：其絕對損失不大于4650萬美元，或者說絕對損失大于4650萬美元的可能性只有1％。若以絕對VaR來計算計算結果表明：在10天內，這家期初有1億277.5.1單資產正態分布VaR在持有期[0,1]（單期）內該資產的回報為r則期末資產的隨機價值為定義該資產持有期為1、置信水平為c的最低價值（資產價值的下c分位數）為7.5.1單資產正態分布VaR在持有期[0,1]（單期）28由正態分布的性質則有則根據VaR的定義即可得到單期的AVaR為下面計算持有期為T期的VaR，資產的回報ri滿足由正態分布的性質則有則根據VaR的定義即可得到單期的AVaR29第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件30以上計算的是絕對VaR，若是相對VaR，容易得到并且成立這就是著名的“平方根法則”（square-rootrule）以上計算的是絕對VaR，若是相對VaR，容易得到并且成立這就31算例設某股票初始價格為10元，若該股票的回報服從正態分布，其日回報的標準差為5％，則該股票持有期為1年（250個交易日），99％置信水平下的每股RVaR為算例設某股票初始價格為10元，若該股票的回報服從正態分布，其32平方根法則的模型風險平方根法則：若持有期增加為原來的K倍，則RVaR值增大為原值的K0.5倍。平方根法則成立的必要條件是：資產的回報是獨立同分布的，且全部頭寸只能在持有期末瞬間出清。事實上，回報的波動很難滿足上述的兩個假設，故以平方根法則計算的VaR存在模型風險。平方根法則的模型風險平方根法則：若持有期增加為原來的K倍，則33平方根法則的模型風險當資產的持有期從1天增加到T天時，若1天的風險價值為VaR，則T天的風險價值為由此就會導致一個荒謬的結果：一個期初價值為1元的資產，經過一個充分長的T天后，該資產的VaR將超過1元。這意味著該資產的價值為負，但實際上該資產無論經過多少持有期，其最大的損失就是1元而不可能大于它。故巴塞爾資本協議要求1天換算為10天可用平方根法則。平方根法則的模型風險當資產的持有期從1天增加到T天時，若1天34平方根法則的模型風險導致這個問題的根源是：VaR基于盯市價值的假設而采取的瞬間出清策略（不論頭寸多少！）。VaR背后隱含的假定是：一個在0時刻持有任意數量資產的投資者，從0時刻到T-1時刻都沒有參與交易，而只有到T時刻瞬間出清全部頭寸。因為代表的是從0時刻觀察T時刻的回報波動（標準差），這顯然高估了風險。平方根法則的模型風險導致這個問題的根源是：VaR基于盯市價值35比較：平方根VaR的缺陷采取MonteCarlo仿真進行實證，并選取1996年12月16日到2002年12月31日上證指數作為模擬的基礎。上證指數年回報的均值為0.0986，標準差0.2371，由此計算得到日回報均值為0.000394，標準差為0.0150；基于幾何布朗運動，以MATLAB程序進行持有期為持有為1天、5天、10天、30天、250天（1年）、500天（2年）、1250（5年）、2500天(10年)和5000天（20年）。基于平方根法則計算VaR，以1天為基礎。比較：平方根VaR的缺陷采取MonteCarlo仿真進行3699%置信度長期VaR與平方根VaR持有期（天）151030250500125025005000長期VaR0.03450.07610.10640.17940.45340.58350.74160.76020.4982平方根VaR0.03490.07800.11040.19120.55190.78051.23411.74532.468299%置信度長期VaR與平方根VaR持有期（天）15103377.5.2資產組合正態分布VaR設某資產組合包含n種資產，第i種資產(i=1,2,…,n)，根據資產組合的方差計算公式若每種資產的回報均服從正態分布，由于組合回報是各個資產的線性組合，則組合回報也服從正態分布，從而持有期為1，置信水平為c的資產組合RVaR為7.5.2資產組合正態分布VaR設某資產組合包含n種資產38為資產期初i的盯市價值。由此可見，組合VaR計算的關鍵是估計回報的方差-協方差矩陣，故解析法又稱為“方差－協方差法（Variance-covarianceMethod）為資產期初i的盯市價值。由此可見，組合VaR計算的關鍵是估計39相應地，持有期為T天的資產組合p（假設在此期間資產組合沒有發生變化）的VaR可以計算公式為注意：限制于聯合正態分布，至少是橢球分布族（Ellipticaldistribution）相應地，持有期為T天的資產組合p（假設在此期間資產組合沒有發40討論：債券組合VaR假設市場上有100種債券，這些債券的期限都為1年，債券的票面利率、到期收益率和違約率分別為3%、3%和1%，且這些債券相互獨立的。若某投資者擁有100萬元的現金，兩種投資方案：分散投資組合A：分別對這100種債券各投資1萬元。顯然，在組合A中，只要其中有3種或3種以上的債券違約，投資者就有損失任意3種債券違約損失是30000元，其余97種債券的收益是29100元，因此仍損失900元，3種以上的債券違約則損失更大。討論：債券組合VaR假設市場上有100種債券，這些債券的期限41組合A損失的概率是由于組合A遭受損失的概率是7.9%>5%，所以在95%置信水平下持有為1年的VaR>0。未分散投資組合B：只投資1種債券，其損失概率為1%，故有99%的概率獲得30000元的收益，所以95%置信水平下的VaR為-30000元。在95%的置信水平下，VaR測量風險的結果是：分散組合A的風險大于未分散投資組合B。組合A損失的概率是由于組合A遭受損失的概率是7.9%>5%42期望收益：兩個組合同為19700元。因此，由95%VaR得到的結論是組合B優于組合A？若將置信水平提高到99.1%，則組合A優于組合B。由于組合B損失100萬的概率是1%，在99.1%置信水平下組合B的VaR為100萬。組合A損失100萬的概率為0.01100，則在99.1%置信水平下VaR<100萬。在95%的置信水平下，VaR忽略了組合B95%置信水平以上的下方風險，而這個下方風險只有當置信水平提高到99%以上時才會觀測到。期望收益：兩個組合同為19700元。因此，由95%VaR得到4395%的VaRBA損益概率在95%的置信水平兩種不同資產具有相同的VaR95%的VaRBA損益概率在95%的置信水平兩種不同資產具有44結論：

VaR對于非橢球分布（如二項分布）尾部損失測量的非充分性。組合B的分布是二項分布，故95%置信水平下遺漏了1%概率發生的極端損失（100萬）。啟示：VaR以分位數來描述整個尾部損失分布，對于某些分布可能遺漏掉部分風險的信息在解析法下，以1、2階矩描述風險僅僅對于資產組合是正態分布（橢球分布）成立。因為正態分布以1、2階矩就足以描述全部信息，對其尾部損失測量是充分的。結論：VaR對于非橢球分布（如二項分布）尾部損失測量的非充45正態分布的性質知道，標準正態分布具有以指數衰減的優良性質，因此，任意一個分位數的值都給出了整個分布的信息，任何正態分布都可以轉化為標準正態分布。因此，當組合回報服從正態分布時，尾部損失測量是充分的，就可以采用VaR基于解析法計量風險，所以組合A可用解析法VaR計量風險組合B以VaR計量風險時需要采用其他方法（如能描述高階矩的g&h分布，或Delta-VaR）正態分布的性質知道，標準正態分布具有以指數衰減的優良性質，因46啟示：若組合中由大量相似但獨立的頭寸構成，根據中心極限定理，這些頭寸的極限分布服從正態分布，就可以采用組合正態模型計算VaR。缺陷：（1）直接估計每一種資產的價值，計算量非常大，（2）價格資料難以獲得由于需要構建n個方差和n(n-1)/2個協方差才能構成方差-協方差矩陣，計算量大，故尋求共同的風險因子以簡化計算。可能無法收集到某種證券的交易數據，或者這種證券剛剛發行。啟示：若組合中由大量相似但獨立的頭寸構成，根據中心極限定理，477.5.4對數正態VaR7.5.4對數正態VaR487.5.4對數正態VaR平方根法則下有組合正態情形下容易得到7.5.4對數正態VaR平方根法則下有組合正態情形下497.5.3資產組合Delta-正態VaR模型根據金融工程所提出的金融資產定價公式可知，金融資產價值的變化，本質上是構成其價值的基礎——風險因子的波動帶來的。一種資產的價值可能取決于多種風險因子（如期權），而不同的資產也可能具有相同的風險因子（如不同久期的固定收入證券）一個包含多種資產的組合之價值可以表示為若干個風險因子的函數，這在VaR計算中稱為風險映射(RiskMapping)。7.5.3資產組合Delta-正態VaR模型根據金融工程507.5.3資產組合Delta-正態VaR模型Delta：即資產價值對風險因子的一階導數各種資產的Delta：久期（債券），貝塔（股票），對標的資產價格的1階導數（衍生證券）計算步驟：步驟一：資產組合的價值基于風險因子的定價模型步驟二：估計風險因子波動組合盯市價值的變化組合VaR映射定價模型7.5.3資產組合Delta-正態VaR模型Delta：51假設資產組合的定價函數為若將其在處泰勒展開，忽略二階以上的高階項，則組合價值變化可以表示為假設資產組合的定價函數為若將其在處泰勒展開，忽略二階以上的高52基于Delta-正態假設下的資產組合RVaR為基于Delta-正態假設下的資產組合RVaR為53Delta-正態方法的計算步驟風險映射：識別市場因子，給出以市場因子表示的金融工具價值估計市場因子回報率的協方差矩陣估計頭寸的Delta及其協方差矩陣計算VaRDelta-正態方法的計算步驟風險映射：識別市場因子，給出以54計算實例假設一個美國公司持有一個3個月的遠期外匯合約，該合約在91天后交割，支出1500萬，收到1000萬，計算95%置信水平該持有期下的VaR。1、風險映射：將遠期合約分解為面值為1000萬英鎊的3個月英鎊零息債券多頭（兩個風險因子）面值為1500萬美元的3個月美元零息債券空頭（1個風險因子）計算實例假設一個美國公司持有一個3個月的遠期外匯合約，該合約55美元債券空頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值暴露于兩個市場因子的變化，所以英鎊部分的美元價值在映射后的頭寸中出現兩次。美元債券空頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯56（2）市場因子的方差-協方差矩陣市場因子回報率（%）的標準差市場因子的相關系數3個月美元利率0.6113個月英鎊利率0.580.111美元/英鎊匯率0.350.190.101（2）市場因子的方差-協方差矩陣市場因子回報率（%）的標準差57（3）估計單位頭寸的Delta及其協方差矩陣單位頭寸價值變化的標準差是市場因子變化標準差的Delta倍，市場因子變化的標準差又是其回報率的標準差乘上回報率。（3）估計單位頭寸的Delta及其協方差矩陣單位頭寸價值變化58（5）VaR估計（5）VaR估計59Delta-正態VaR：遠期外匯合約Delta-正態VaR：遠期外匯合約6099％的置信水平下RVaR為99％的置信水平下RVaR為61Delta-正態VaR：債券組合若忽略凸性，則有則有持有期為T的債券組合VaR為債權組合的DeltaDelta-正態VaR：債券組合若忽略凸性，則有則有持有期為62Delta-正態VaR：股票組合條件：根據CAPM，只有當股票組合充分大（一般大于30支股票）時，非系統風險可以忽略不計，則Delta-正態VaR：股票組合條件：根據CAPM，只有當股63Delta-正態的意義：基于期權由B-S模型證明過程可知，它是通過構造無風險組合得到其價值的。合成期權所以，delta方法的本質是通過復制資產組合來計算其風險，基本原理仍是無套利均衡。Delta-正態的意義：基于期權由B-S模型證明過程可知，它64我們只要知道投資組合中風險因子的方差及相關系數，那么我們能為整個的投資組合計算VaR。前提條件：投資組合的價值變化與市場標的變量的價值變化是線性相關的；市場因子的回報變化滿足正態分布。可適用Delta-正態VaR的資產組合股票的投資組合；債券的投資組合；外匯的投資組合；商品實物的投資組合；外匯遠期合約的投資組合；利率互換和貨幣互換的投資組合；由上述工具共同構成的投資組合。我們只要知道投資組合中風險因子的方差及相關系數，那么我們能為657.5.4Gamma正態的VaR模型Gamma正態模型與Delta正態模型類似，都是假定風險因子的變化服從正態分布，不同之處在于Gamma方法采用泰勒二階展開的方式來描述組合價格的函數，從而可以更好地捕捉組合價格變化的非線性特征，它可以適用于期權等非線性資產的風險估計。若將資產組合的價格函數進行泰勒展開，忽略二階以上的波動，則其價格的變化可以表示為7.5.4Gamma正態的VaR模型Gamma正態模型與66第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件67雖然服從聯合正態分布，但由于服從分布，從而的分位數，因為分布是一種偏態分布，這就給計算VaR帶來了一定的困難。

正態分布來求得不滿足正態分布，因此，就無法通過若假設則雖然服從聯合正態分布，但由于服從分布，從而的分位數，因為分布68例子：期權的VaR例子：期權的VaR69第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件70例子：指數期權的VaR某指數期權的Delta=0.5，Gamma=0.000283，在日經指數18759點上的年回報波動率為15%，求該期權95%置信水平，持有期1天的VaR這里，指數一個交易日波動的方差為例子：指數期權的VaR某指數期權的Delta=0.5，Gam71Fong的Gamma模型Fong等在1997年提出通過偏度和標準差來近似估計分位數的方法，得到了基于廣義Gamma分布假設的RVaR模型，該模型可以表示為如下等式為ΔS的三階中心矩為Gamma分布下的刻度參數Fong的Gamma模型Fong等在1997年提出通過偏度和72廣義Gamma分布99%置信水平刻度參數為左偏分布計算出的VaR大于正態分布的VaR，故基于廣義Gamma分布的VaR可以捕捉資產回報為重尾（HeavyTail）分布的情形。廣義Gamma分布99%置信水平刻度參數為左偏分布計算出73Wilson模型（1996）若風險因子的變化滿足則資產的Delta-VaR為Wilson模型（1996）若風險因子的變化滿足則資產的De74將上式進行二階Gamma擴展就是在資產組合情形下則為將上式進行二階Gamma擴展就是在資產組合情形下則為75Wilson模型上述的二次規劃模型就是Wilson模型的計算思路約束條件代表N維橢球域若最不利情形發生在橢球域的邊界，則約束條件是緊的若最不利情形發生在橢球域的內部，則約束條件是松的根據Kuhn-Tucker條件，其解為Wilson模型上述的二次規劃模型就是Wilson模型的計算76寫出目標函數和約束的梯度：目標函數的梯度：約束條件的梯度：寫出目標函數和約束的梯度：目標函數的梯度：約束條件的梯度：77對約束條件引入拉格朗日乘子，假設K-T點為則寫出該問題的K-T條件為對約束條件引入拉格朗日乘子，假設K-T點為則寫出該問題的K-78整理后，該問題的K-T條件就是或者整理后，該問題的K-T條件就是或者79Kuhn-Tucker乘子的金融意義：如果置信水平c增加，則風險增加的邊際數量。若約束是緊的，則Kuhn-Tucker乘子大于0；若約束是松的，則Kuhn-Tucker乘子等于0。Kuhn-Tucker乘子的金融意義：如果置信水平c增加，則80一般地，解該模型的方法是在λ>0下進行數值搜索。對于每個λ，將其代入從而得到Δf，將Δf代入看上述的兩個約束條件是否滿足，上述過程由計算機程序完成。一般地，解該模型的方法是在λ>0下進行數值搜索。對于每個λ，81sub.tosub.to82二次規劃問題（quadraticprogramming）的MATLAB程序

sub.to

調用命令為：quadprog二次規劃問題（quadraticprogramming）的83MATLAB程序%輸入下列系數矩陣：H=[1-1;-12]f=[-2;-6]A=[1-1;12]b=[3.8416]lb=zeros(2,1)%然后調用二次規劃函數quadratic：[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)MATLAB程序%輸入下列系數矩陣：8495%VaR的計算結果x=[1.13661.3525]fval=-9.4503VaR=9.450395%VaR的計算結果x=[1.1366857.9VaR計算的歷史模擬法歷史模擬法（HistoricalSimulation）基本思想：資產未來的價格或回報可能是歷史上的所有情形中的一種。非參數方法，區別于參數法，不需要估計均值、方差等參數計算證券S明日的99％置信水平下的VaR。得到S證券今日（2004.12.6）之前1001個交易日的收盤價，并由此計算得到1000個交易日的漲跌幅（回報率）。假定這1000種漲跌幅在明天都有可能發生，即以今日價格（8.28元）為基礎，那么明天的價格就有1000種可能。7.9VaR計算的歷史模擬法歷史模擬法（Histori861000種可能的價格（局部）100087將S證券未來1000種可能的價格由小到大排序，那么99％置信水平下的最大損失就是對應于第10種最壞的情形，即證券的V*，經計算得到8.02將今天（12月6日）的價格減去明天（估計的）1000種中第10個最壞情形的價格V*，就得到了99％置信水平下、持有期為1天的VaR，即將S證券未來1000種可能的價格由小到大排序，那么99％置信88歷史模擬法的計算步驟收集資產的歷史數據，計算歷史上資產的回報分布。用歷史上的資產回報的分布，來表示未來價格的波動，由此估計資產未來的N種價格。收集資產的歷史數據，計算歷史上資產的回報分布。用歷史上的資產回報的分布，來表示未來價格的波動，由此估計資產未來的N種價格。歷史模擬法的計算步驟收集資產的歷史數據，計算歷史上資產的回報89歷史模擬法假設和優點歷史模擬法假設：資產未來損益的概率分布與其歷史損益是同分布的，故可用歷史上的資產價格的變化或風險因子的波動，來表示它們未來的波動，從而只要在某一置信水平下，找到相對應的資產歷史回報的分位數，就可以得到VaR的估計值。歷史模擬法可以方便地處理金融資產的非線性、重尾性等解析法難以處理的問題，這也是歷史模擬法的最大優點。歷史模擬法假設和優點歷史模擬法假設：資產未來損益的概率分布與90

，

，

表示t＋1日第i種證券價格的第j個估計值若以資產的價值來表示則為，91

若以風險因子來估計，則為若以風險因子來估計，則為92為t時刻交易金額變化率市場調整的流動性指標流動性引起的殘差例子：歷史模擬法計算為t時刻交易金額變化率市場調整的流動性指標流動性引起的殘差例93輸入N個Vt輸入N個rm，t輸出N2個rt計算原理：由歷史數據形成任意的價量組合。N天的交易量相對數和N天的回報，就會形成N2種組合。注意：N2-N種過去沒有發生的。未來真實回報落在估計回報分布中的概率隨選取樣本的數量增加而增大。輸入N個Vt輸入N個rm，t輸出N2個rt計算原理：由歷史數94實證分析模型回歸數據選取：深發展（價格，交易額）、深市成份股指（1996.12.16~2003.9.25）共1435個交易日Eviews3.1回歸結果（回歸時只用2002.12.31前的數據）5.2利用回歸模型計算VaR由歷史模擬法，窗口期：1000天。MATLAB程序給出106個下一個交易日回報的估計值，得到概率分布。由VaR定義，求得持有期1天，99％置信水平下的VaR值。實證分析模型回歸95說明：（1）前者用非對稱的GARCH（1，1）模型回歸；（2）兩個方程的系數都比較顯著，后一個方程的R2值較小。說明：96N=1000;%設置進入模型的rm或vt數q=round(N*N*5/100);%設置模型的顯著性水平size_vt_rm1=size(vt_rm1);fori=1:(size_vt_rm1(1)-1435)rm=vt_rm1(1435-N+1+i:1435+i,2);vt=vt_rm1(1435-N+1+i:1435+i,1);re=sqrt(abs(0.000286+0.000206*vt));forj=1:Nstart=N*(j-1)+1;ends=N*j;rt(start:ends,1)=-0.000124+1.006532*rm+re(j,1);endj=0;fork=1:(N*N)ifrt(k,1)<0j=j+1;rt2(j,1)=rt(k,1);endendrt3=sort(rt2);rt_1(i,1)=rt3(p);rt_5(i,1)=rt3(q);end利用MATLAB5.0編寫的程序N=1000;%設置進入模型的rm或vt數j=0;利用MAT97深發展99％置信水平日VaR值（局部）日期La-VaR日期La-VaR日期La-VaR日期La-VaR2003-1-20.0310212003-1-90.0312342003-9-120.0236912003-9-190.0236482003-1-30.0310272003-1-100.0312142003-9-150.0236652003-9-220.0241342003-1-60.0310292003-1-130.0312092003-9-160.0236792003-9-230.0240822003-1-70.0312342003-1-140.0312062003-9-170.0236492003-9-240.0239612003-1-80.0312342003-1-150.0312062003-9-180.0237412003-9-250.024266注：期初持有的貨幣單位化為1元深發展99％置信水平日VaR值（局部）日期La-VaR日期L98歷史模擬法的缺陷歷史模擬法簡單、直觀，但有兩個主要的缺陷：需要大量的樣本；歷史模擬法要求資產價格（風險因子）的分布必須是平穩的、同分布的時間序列，這也是該方法的最大缺陷。歷史模擬法的缺陷歷史模擬法簡單、直觀，但有兩個主要的缺陷：997.10VaR的蒙特卡羅模擬計算蒙特卡洛模擬也是一種非參數方法，其計算原理與歷史模擬法相同，都是通過模擬資產價格或風險因子價格變化的路徑得到組合損益的各種可能結果，從而在得到的組合損益分布的基礎上，通過分位數來求得VaR。與歷史模擬不同的是，蒙特卡洛模擬法對資產價格或風險因子分布的估計不是來自于歷史的觀測值，而是通過產生大量的隨機數得到的。下面以風險因子為模擬對象來說明該方法估計VaR的原理。7.10VaR的蒙特卡羅模擬計算蒙特卡洛模擬也是一種非100蒙特卡洛模擬法計算VaR的原理反復模擬風險因子波動的隨機過程，每次模擬都得到風險因子在持有期末的1個可能值，從而通過定價公式得到資產組合價值的估計值。當進行了大量的模擬后，根據大數定律，資產組合估計值的分布將收斂于其未來價值的真實分布由該真實分布與資產組合的期初價值進行比較，就得到資產組合損益的分布，則對應于某個置信水平（如99％）的損益分布的下分位數就可以求出VaR。蒙特卡洛模擬法計算VaR的原理反復模擬風險因子波動的隨機過程101蒙特卡洛模擬的原理蒙特卡洛模擬的原理102第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件103可重新調整方程的參數給出不同于歷史的估計結果，故蒙特卡洛模擬法比歷史模擬法具有柔性。可重新調整方程的參數給出不同于歷史的估計結果，故蒙特卡洛模擬104蒙特卡羅模擬的一般過程蒙特卡羅模擬的一般過程105蒙特卡羅模擬的一般過程蒙特卡羅模擬的一般過程106第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件107利用GARCH進行模擬利用GARCH進行模擬108GARCH擬合和模擬loadgarchdatadem2gbp=price2ret(DEM2GBP);[coeff,errors,LLF,innovations,sigmas]=garchfit(dem2gbp);coeff[e,s,y]=garchsim(coeff,1000);[e,s,y]=garchsim(coeff,200,100);garchplot(e,s,y)yGARCH擬合和模擬loadgarchdata109第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件110個人期末作業假設我們持有一個1年后（252交易日）到期、執行價格為100美元的股票歐式看漲期權，標的股票的當前價值為100美元，其價格的回報服從幾何布朗運動，年波動率為50%，年漂移率為15%，市場利率為6%。求該期權在99%置信水平下持有期為10天的VaR。（要求至少模擬1000條路徑，10天至少分為10個節點）個人期末作業假設我們持有一個1年后（252交易日）到期、執行111演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！112金融工程與風險管理第7章金融市場風險計量模型：VaR金融工程與風險管理第7章金融市場風險計量模型：VaR1137.1VaR的定義ValueatRisk，譯為風險價值或在險價值，以貨幣表示的風險，處在風險中的金融資產的貨幣量。定義：VaR是指在某一給定的置信水平下，資產組合在未來特定的一段時間內可能遭受的最大損失。（Jorion，1997）VaR是一種對可能實現的價值（市值）損失的估計，而不是一種“賬面”的損失估計。7.1VaR的定義ValueatRisk，譯為風險114VaR：金融風險的“天氣預報”假設1個基金經理希望在接下來的10天時間內存在95%概率其所管理的基金價值損失不超過$1,000,000。則我們可以將其寫作：VaR回答的問題：我們有C的置信水平在接下來的T個交易日中損失程度不會超過的金額。VaR：金融風險的“天氣預報”假設1個基金經理希望在接下來的115VaR：金融風險的“天氣預報”例如：A銀行2006年4月1日公布其持有期為10天、置信水平為99%的VaR為1000萬元。這意味著如下3種等價的描述：1、A銀行從4月1日開始，未來10天內資產組合的損失大于1000萬元的概率小于1%；2、以99％的概率確信：A銀行從4月1日起未來10天內的損失不超過1000萬元。3、平均而言，A銀行在未來的100天內有1天損失可能超過1000萬元。（思考：一旦超過有多少損失呢？）VaR：金融風險的“天氣預報”例如：A銀行2006年4月1日1167.2VaR的基本參數持有期：計算VaR的時間長度資產組合的波動性（方差）與時間長度正相關，故VaR隨著持有期增加而增加。VaR隱含假設：資產組合在持有期內不發生變化，若有變化則持有期要調整。《新資本協議》：計算監管資本的VaR持有期至少為10個交易日，JPMorgan等金融機構內部通常選擇為1天。7.2VaR的基本參數持有期：計算VaR的時間長度117討論：持有期的選擇資產流動性（liquidity）：事前確定原則：按金融機構無法控制損失的時間期限一般企業的資產組合缺乏流動性，可能在若干日都無法改變頭寸，則相應的持有期就要長，以使VaR給出的風險能夠覆蓋多日的“考驗”。如果金融機構能夠一天一次度量風險并且改變資產組合的構成，則其風險可以控制在1天內，故可將持有期定為1天。若頭寸可以快速出清（liquidation）或變現，則可以選擇較短的持有期，反之亦反。討論：持有期的選擇資產流動性（liquidity）：事前確118討論：持有期的選擇正態分布的要求持有期越長，資產組合回報r的分布越偏離正態分布，VaR計算中最方便的假設是回報率服從正態分布，在較短的持有期下，基于正態分布的假設更為合理。頭寸的調整持有期越長，風險管理者越可能改變頭寸，則時間越短越能保證資產組合所有資產頭寸不變的假設。討論：持有期的選擇正態分布的要求119第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件120討論：持有期的選擇數據約束從理論上講，VaR模型可以較為準確地計算任意持有期下資產組合的市場風險，但事實上，鑒于長期歷史數據收集的困難，往往設置較短的持有期。例如，若計算某資產的VaR需要1000個數據才能達到足夠的精度，若計算該資產持有期為1天的VaR，則需要4年（每年250個交易日）的數據，而如果持有期為10天，就需要有40年的數據。長時期的歷史數據在實際中可能無法獲得，而且距離當前時刻過于遙遠的歷史數據，由于市場情形的變化可能使早期的數據對VaR計算具有很大的干擾性。討論：持有期的選擇數據約束121討論：置信水平的選擇后驗測試置信水平越高，對于同樣的資產組合、在給定的持有期內，置信水平越高，則VaR越大，即資產的損失大于VaR的可能性越小，可靠性越高！但是，為了驗證VaR所需要的數據越多，實際中可能受到數據量的限制。風險資本要求金融機構維持安全性的愿望和股東報酬率之間的權衡。監管要求監管當局為保持金融系統的穩定需要設置較高的置信水平，如《新資本協議》至少為99%。討論：置信水平的選擇后驗測試122討論：置信水平的選擇統計和比較的需要不同的機構使用不同的置信水平報告VaR數值，需要知道其假設的分布和置信水平，若分布假設為正態分布，則可以相互轉化，不影響不同機構之間的不同置信水平下的評價。但是，不同分布下的VaR無法轉化，如T分布。@qtdist(0.99,4)=3.7469473879792，@qtdist(0.95,2)=2.91998558035372。討論：置信水平的選擇統計和比較的需要123討論：置信水平的選擇置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常為99%（BCBS）或95％（JPMorgan）。理由：銀行業的脆弱性，防范小概率發生的極端風險，故要求計量的是資產組合的下方風險(DownsideRisk)。雖然這種風險發生的概率只有5％或者1％，但危害性大。總結：VaR的計算的是極端風險，而不是平均風險，這與傳統的方差計量風險有本質區別。討論：置信水平的選擇置信水平的目的：即可信度或可靠性，通常為1247.3VaR的數學定義由VaR的定義，若資產組合未來的隨機損益為∏=⊿V，則對應于置信水平為（一般為99％或者95％）的VaR滿足如下等式由于約定俗成的慣例，一般將VaR取為正值，故在（1.1）中的VaR前面加負號。1999年，Artzner等給出嚴格的VaR數學定義式（7.1）（7.2）7.3VaR的數學定義由VaR的定義，若資產組合未來1257.3.1連續情形由7.2，VaR就是對應于置信水平c的損益分布的下分位數，由于其值為負，故在（7.2）等號右邊加負號，這表明VaR計量的是資產組合的下方風險（DownsideRisk）。在連續的情形下VaR滿足和，分別表示資產組合隨機損益的PDF和CDF上式是解析法計算VaR的基本依據。7.3.1連續情形由7.2，VaR就是對應于置信水平c的126VaR收益損失1-C∏Pr約定俗成：VaR是以正數表示。VaR收益損失1-C∏Pr約定俗成：VaR是以正數表示。1277.3.2離散情形式（7.2）對VaR的定義既適用于損益序列為連續型隨機變量的情形，也適用于離散的損益分布。若資產組合的損益序列為離散型，則VaR滿足上式便成為歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法計算VaR的基本依據。7.3.2離散情形式（7.2）對VaR的定義既適用于損1287.4VaR計算的基本原理不妨將A銀行的全部資產看成1個資產組合，期初（比如2005.1.1）該組合的盯市價值為V0，10天后其資產的價值如下圖所示：(VaR不是以賬面價值，而是以市場價值計算來計算風險)回報率r是隨機變量v0持有期T＝10天vT=v0(1＋r)7.4VaR計算的基本原理不妨將A銀行的全部資產看成1個1297.4VaR計算的基本原理如果在某個置信水平C（比如99％）下，第T天資產組合的最低價值為VT*，則由VaR的定義：資產組合在未來一段時間內可能的最大損失，有兩種損失定義:若以絕對損失定義VaR，則稱為絕對VaR。若以回報的均值為參照來定義損失，即相對損失，則稱為相對VaR。7.4VaR計算的基本原理如果在某個置信水平C（比如99130期初的價值已知需要估計的未知量期初價值期末的價值（在某個置信水平下）絕對VaR（AbsoluteVaR）期初的價值已知需要估計的未知量期初價值期末的價值（在某個置信131相對VaR（RelativeVaR）如果資產組合的平均回報率為μ，在某一置信水平下，資產組合持有期末的最小回報率為r*，則相對VaR（RelativeVaR）如果資產組合的平均回報132示例：相對VaR95％置信水平，最大損失－2580萬平均收益為800萬示例：相對VaR95％置信水平，最大損失－2580萬平均收益133比較：相對VaR與絕對VaR比較：相對VaR與絕對VaR134總結：VaR的優點1、精確性：借助于數學和統計學工具，VaR以定量的方式給出資產組合下方風險（DownsideRisk）的確切值。2、綜合性：將風險來源不同、多樣化的金融工具的風險納入到一個統一的計量框架，將整個機構的風險集成為一個數值。可實施集中式的風險管理系統，提高風險管理的效率。總結：VaR的優點1、精確性：借助于數學和統計學工具，VaR135總結：VaR的優點3、通俗性：貨幣表示的風險，方便公眾、銀行、監管機構之間的溝通，充當信息披露工具。起源：JPMorgan的CEOWeathstone要求每天的《4.15報告》只產生一個數字：計量不同交易工具，不同部門綜合后的風險。截止到1999年，BCBS監管下的71家銀行中有66家對公眾披露VaR。缺點：VaR并沒有告訴我們在可能超過VaR損失的時間內（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的實際損失會是多少。

總結：VaR的優點3、通俗性：貨幣表示的風險，方便公眾、銀行1367.5VaR計算方法的解析法解析法，又稱為方差-協方差法、參數法。借助統計學，利用歷史數據擬合回報率r的統計分布。常見的分布有：正態分布、對數正態分布、t分布、廣義誤差分布（GED）等。由歷史數據，可以得到回報率r的均值、方差、協方差等，即所謂的統計參數。由參數來估計回報率r在某個置信水平下的最小值。7.5VaR計算方法的解析法解析法，又稱為方差-協方差法1377.5.1單資產正態分布VaR假定A銀行期初的資產市值v0=$100,000,000根據歷史資料，其資產10天回報率r服從正態分布，即這里我們也可以發現方差計量風險的缺點：雖然回報率方差僅為4％，但回報率可以低到-46.5%。7.5.1單資產正態分布VaR假定A銀行期初的資產市值v0138若以絕對VaR來計算計算結果表明：在10天內，這家期初有1億美元資產的銀行，我們可以以99％概率確信：其絕對損失不大于4650萬美元，或者說絕對損失大于4650萬美元的可能性只有1％。若以絕對VaR來計算計算結果表明：在10天內，這家期初有1億1397.5.1單資產正態分布VaR在持有期[0,1]（單期）內該資產的回報為r則期末資產的隨機價值為定義該資產持有期為1、置信水平為c的最低價值（資產價值的下c分位數）為7.5.1單資產正態分布VaR在持有期[0,1]（單期）140由正態分布的性質則有則根據VaR的定義即可得到單期的AVaR為下面計算持有期為T期的VaR，資產的回報ri滿足由正態分布的性質則有則根據VaR的定義即可得到單期的AVaR141第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件142以上計算的是絕對VaR，若是相對VaR，容易得到并且成立這就是著名的“平方根法則”（square-rootrule）以上計算的是絕對VaR，若是相對VaR，容易得到并且成立這就143算例設某股票初始價格為10元，若該股票的回報服從正態分布，其日回報的標準差為5％，則該股票持有期為1年（250個交易日），99％置信水平下的每股RVaR為算例設某股票初始價格為10元，若該股票的回報服從正態分布，其144平方根法則的模型風險平方根法則：若持有期增加為原來的K倍，則RVaR值增大為原值的K0.5倍。平方根法則成立的必要條件是：資產的回報是獨立同分布的，且全部頭寸只能在持有期末瞬間出清。事實上，回報的波動很難滿足上述的兩個假設，故以平方根法則計算的VaR存在模型風險。平方根法則的模型風險平方根法則：若持有期增加為原來的K倍，則145平方根法則的模型風險當資產的持有期從1天增加到T天時，若1天的風險價值為VaR，則T天的風險價值為由此就會導致一個荒謬的結果：一個期初價值為1元的資產，經過一個充分長的T天后，該資產的VaR將超過1元。這意味著該資產的價值為負，但實際上該資產無論經過多少持有期，其最大的損失就是1元而不可能大于它。故巴塞爾資本協議要求1天換算為10天可用平方根法則。平方根法則的模型風險當資產的持有期從1天增加到T天時，若1天146平方根法則的模型風險導致這個問題的根源是：VaR基于盯市價值的假設而采取的瞬間出清策略（不論頭寸多少！）。VaR背后隱含的假定是：一個在0時刻持有任意數量資產的投資者，從0時刻到T-1時刻都沒有參與交易，而只有到T時刻瞬間出清全部頭寸。因為代表的是從0時刻觀察T時刻的回報波動（標準差），這顯然高估了風險。平方根法則的模型風險導致這個問題的根源是：VaR基于盯市價值147比較：平方根VaR的缺陷采取MonteCarlo仿真進行實證，并選取1996年12月16日到2002年12月31日上證指數作為模擬的基礎。上證指數年回報的均值為0.0986，標準差0.2371，由此計算得到日回報均值為0.000394，標準差為0.0150；基于幾何布朗運動，以MATLAB程序進行持有期為持有為1天、5天、10天、30天、250天（1年）、500天（2年）、1250（5年）、2500天(10年)和5000天（20年）。基于平方根法則計算VaR，以1天為基礎。比較：平方根VaR的缺陷采取MonteCarlo仿真進行14899%置信度長期VaR與平方根VaR持有期（天）151030250500125025005000長期VaR0.03450.07610.10640.17940.45340.58350.74160.76020.4982平方根VaR0.03490.07800.11040.19120.55190.78051.23411.74532.468299%置信度長期VaR與平方根VaR持有期（天）151031497.5.2資產組合正態分布VaR設某資產組合包含n種資產，第i種資產(i=1,2,…,n)，根據資產組合的方差計算公式若每種資產的回報均服從正態分布，由于組合回報是各個資產的線性組合，則組合回報也服從正態分布，從而持有期為1，置信水平為c的資產組合RVaR為7.5.2資產組合正態分布VaR設某資產組合包含n種資產150為資產期初i的盯市價值。由此可見，組合VaR計算的關鍵是估計回報的方差-協方差矩陣，故解析法又稱為“方差－協方差法（Variance-covarianceMethod）為資產期初i的盯市價值。由此可見，組合VaR計算的關鍵是估計151相應地，持有期為T天的資產組合p（假設在此期間資產組合沒有發生變化）的VaR可以計算公式為注意：限制于聯合正態分布，至少是橢球分布族（Ellipticaldistribution）相應地，持有期為T天的資產組合p（假設在此期間資產組合沒有發152討論：債券組合VaR假設市場上有100種債券，這些債券的期限都為1年，債券的票面利率、到期收益率和違約率分別為3%、3%和1%，且這些債券相互獨立的。若某投資者擁有100萬元的現金，兩種投資方案：分散投資組合A：分別對這100種債券各投資1萬元。顯然，在組合A中，只要其中有3種或3種以上的債券違約，投資者就有損失任意3種債券違約損失是30000元，其余97種債券的收益是29100元，因此仍損失900元，3種以上的債券違約則損失更大。討論：債券組合VaR假設市場上有100種債券，這些債券的期限153組合A損失的概率是由于組合A遭受損失的概率是7.9%>5%，所以在95%置信水平下持有為1年的VaR>0。未分散投資組合B：只投資1種債券，其損失概率為1%，故有99%的概率獲得30000元的收益，所以95%置信水平下的VaR為-30000元。在95%的置信水平下，VaR測量風險的結果是：分散組合A的風險大于未分散投資組合B。組合A損失的概率是由于組合A遭受損失的概率是7.9%>5%154期望收益：兩個組合同為19700元。因此，由95%VaR得到的結論是組合B優于組合A？若將置信水平提高到99.1%，則組合A優于組合B。由于組合B損失100萬的概率是1%，在99.1%置信水平下組合B的VaR為100萬。組合A損失100萬的概率為0.01100，則在99.1%置信水平下VaR<100萬。在95%的置信水平下，VaR忽略了組合B95%置信水平以上的下方風險，而這個下方風險只有當置信水平提高到99%以上時才會觀測到。期望收益：兩個組合同為19700元。因此，由95%VaR得到15595%的VaRBA損益概率在95%的置信水平兩種不同資產具有相同的VaR95%的VaRBA損益概率在95%的置信水平兩種不同資產具有156結論：

VaR對于非橢球分布（如二項分布）尾部損失測量的非充分性。組合B的分布是二項分布，故95%置信水平下遺漏了1%概率發生的極端損失（100萬）。啟示：VaR以分位數來描述整個尾部損失分布，對于某些分布可能遺漏掉部分風險的信息在解析法下，以1、2階矩描述風險僅僅對于資產組合是正態分布（橢球分布）成立。因為正態分布以1、2階矩就足以描述全部信息，對其尾部損失測量是充分的。結論：VaR對于非橢球分布（如二項分布）尾部損失測量的非充157正態分布的性質知道，標準正態分布具有以指數衰減的優良性質，因此，任意一個分位數的值都給出了整個分布的信息，任何正態分布都可以轉化為標準正態分布。因此，當組合回報服從正態分布時，尾部損失測量是充分的，就可以采用VaR基于解析法計量風險，所以組合A可用解析法VaR計量風險組合B以VaR計量風險時需要采用其他方法（如能描述高階矩的g&h分布，或Delta-VaR）正態分布的性質知道，標準正態分布具有以指數衰減的優良性質，因158啟示：若組合中由大量相似但獨立的頭寸構成，根據中心極限定理，這些頭寸的極限分布服從正態分布，就可以采用組合正態模型計算VaR。缺陷：（1）直接估計每一種資產的價值，計算量非常大，（2）價格資料難以獲得由于需要構建n個方差和n(n-1)/2個協方差才能構成方差-協方差矩陣，計算量大，故尋求共同的風險因子以簡化計算。可能無法收集到某種證券的交易數據，或者這種證券剛剛發行。啟示：若組合中由大量相似但獨立的頭寸構成，根據中心極限定理，1597.5.4對數正態VaR7.5.4對數正態VaR1607.5.4對數正態VaR平方根法則下有組合正態情形下容易得到7.5.4對數正態VaR平方根法則下有組合正態情形下1617.5.3資產組合Delta-正態VaR模型根據金融工程所提出的金融資產定價公式可知，金融資產價值的變化，本質上是構成其價值的基礎——風險因子的波動帶來的。一種資產的價值可能取決于多種風險因子（如期權），而不同的資產也可能具有相同的風險因子（如不同久期的固定收入證券）一個包含多種資產的組合之價值可以表示為若干個風險因子的函數，這在VaR計算中稱為風險映射(RiskMapping)。7.5.3資產組合Delta-正態VaR模型根據金融工程1627.5.3資產組合Delta-正態VaR模型Delta：即資產價值對風險因子的一階導數各種資產的Delta：久期（債券），貝塔（股票），對標的資產價格的1階導數（衍生證券）計算步驟：步驟一：資產組合的價值基于風險因子的定價模型步驟二：估計風險因子波動組合盯市價值的變化組合VaR映射定價模型7.5.3資產組合Delta-正態VaR模型Delta：163假設資產組合的定價函數為若將其在處泰勒展開，忽略二階以上的高階項，則組合價值變化可以表示為假設資產組合的定價函數為若將其在處泰勒展開，忽略二階以上的高164基于Delta-正態假設下的資產組合RVaR為基于Delta-正態假設下的資產組合RVaR為165Delta-正態方法的計算步驟風險映射：識別市場因子，給出以市場因子表示的金融工具價值估計市場因子回報率的協方差矩陣估計頭寸的Delta及其協方差矩陣計算VaRDelta-正態方法的計算步驟風險映射：識別市場因子，給出以166計算實例假設一個美國公司持有一個3個月的遠期外匯合約，該合約在91天后交割，支出1500萬，收到1000萬，計算95%置信水平該持有期下的VaR。1、風險映射：將遠期合約分解為面值為1000萬英鎊的3個月英鎊零息債券多頭（兩個風險因子）面值為1500萬美元的3個月美元零息債券空頭（1個風險因子）計算實例假設一個美國公司持有一個3個月的遠期外匯合約，該合約167美元債券空頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值暴露于兩個市場因子的變化，所以英鎊部分的美元價值在映射后的頭寸中出現兩次。美元債券空頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯市價值英鎊債券多頭的盯168（2）市場因子的方差-協方差矩陣市場因子回報率（%）的標準差市場因子的相關系數3個月美元利率0.6113個月英鎊利率0.580.111美元/英鎊匯率0.350.190.101（2）市場因子的方差-協方差矩陣市場因子回報率（%）的標準差169（3）估計單位頭寸的Delta及其協方差矩陣單位頭寸價值變化的標準差是市場因子變化標準差的Delta倍，市場因子變化的標準差又是其回報率的標準差乘上回報率。（3）估計單位頭寸的Delta及其協方差矩陣單位頭寸價值變化170（5）VaR估計（5）VaR估計171Delta-正態VaR：遠期外匯合約Delta-正態VaR：遠期外匯合約17299％的置信水平下RVaR為99％的置信水平下RVaR為173Delta-正態VaR：債券組合若忽略凸性，則有則有持有期為T的債券組合VaR為債權組合的DeltaDelta-正態VaR：債券組合若忽略凸性，則有則有持有期為174Delta-正態VaR：股票組合條件：根據CAPM，只有當股票組合充分大（一般大于30支股票）時，非系統風險可以忽略不計，則Delta-正態VaR：股票組合條件：根據CAPM，只有當股175Delta-正態的意義：基于期權由B-S模型證明過程可知，它是通過構造無風險組合得到其價值的。合成期權所以，delta方法的本質是通過復制資產組合來計算其風險，基本原理仍是無套利均衡。Delta-正態的意義：基于期權由B-S模型證明過程可知，它176我們只要知道投資組合中風險因子的方差及相關系數，那么我們能為整個的投資組合計算VaR。前提條件：投資組合的價值變化與市場標的變量的價值變化是線性相關的；市場因子的回報變化滿足正態分布。可適用Delta-正態VaR的資產組合股票的投資組合；債券的投資組合；外匯的投資組合；商品實物的投資組合；外匯遠期合約的投資組合；利率互換和貨幣互換的投資組合；由上述工具共同構成的投資組合。我們只要知道投資組合中風險因子的方差及相關系數，那么我們能為1777.5.4Gamma正態的VaR模型Gamma正態模型與Delta正態模型類似，都是假定風險因子的變化服從正態分布，不同之處在于Gamma方法采用泰勒二階展開的方式來描述組合價格的函數，從而可以更好地捕捉組合價格變化的非線性特征，它可以適用于期權等非線性資產的風險估計。若將資產組合的價格函數進行泰勒展開，忽略二階以上的波動，則其價格的變化可以表示為7.5.4Gamma正態的VaR模型Gamma正態模型與178第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件179雖然服從聯合正態分布，但由于服從分布，從而的分位數，因為分布是一種偏態分布，這就給計算VaR帶來了一定的困難。

正態分布來求得不滿足正態分布，因此，就無法通過若假設則雖然服從聯合正態分布，但由于服從分布，從而的分位數，因為分布180例子：期權的VaR例子：期權的VaR181第7章金融市場風險計量模型（金融工程與風險管理）課件182例子：指數期權的VaR某指數期權的Delta=0.5，Gamma=0.000283，在日經指數18759點上的年回報波動率為15%，求該期權95%置信水平，持有期1天的VaR這里，指數一個交易日波動的方差為例子：指數期權的VaR某指數期權的Delta=0.5，Gam183Fong的Gamma模型Fong等在1997年提出通過偏度和標準差來近似估計分位數的方法，得到了基于廣義Gamma分布假設的RVaR模型，該模型可以表示為如下等式為ΔS的三階中心矩為Gamma分布下的刻度參數Fong的Gamma模型Fong等在1997年提出通過偏度和184廣義Gamma分布99%置信水平刻度參數為左偏分布計算出的VaR大于正態分布的VaR，故基于廣義Gamma分布的VaR可以捕捉資產回報為重尾（HeavyTail）分布的情形。廣義Gamma分布99%置信水平刻度參數為左偏分布計算出185Wilson模型（1996）若風險因子的變化滿足則資產的Delta-VaR為Wilson模型（1996）若風險因子的變化滿足則資產的De186將上式進行二階Gamma擴展就是在資產組合情形下則為將上式進行二階Gamma擴展就是在資產組合情形下則為187Wilson模型上述的二次規劃模型就是Wilson模型的計算思路約束條件代表N維橢球域若最不利情形發生在橢球域的邊界，則約束條件是緊的若最不利情形發生在橢球域的內部，則約束條件是松的根據Kuhn-Tucker條件，其解為Wilson模型上述的二次規劃模型就是Wilson模型的計算188寫出目標函數和約束的梯度：目標函數的梯度：約束條件的梯度：寫出目標函數和約束的梯度：目標函數的梯度：約束條件的梯度：189對約束條件引入拉格朗日乘子，假設K-T點為則寫出該問題的K-T條件為對約束條件引入拉格朗日乘子，假設K-T點為則寫出該問題的K-190整理后，該問題的K-T條件就是或者整理后，該問題的K-T條件就是或者191Kuhn-Tu