第六章曲面的內蘊幾何初步§2指數映射與測地坐標系測地線在內蘊幾何中的重要性，還體現在特殊坐標系的構造之上.可以想象，就像在歐氏平面上取坐標曲線為直線會帶來某些方便一樣，曲面的一部分甚或全部坐標曲線若由測地線構成，則有助于對于內蘊性質的有效刻劃以及對于內蘊幾何量的簡化或突出表示.本節的中心內容，就是揭示如何在曲面上引進一般的內蘊坐標系.指數映射及其性質在曲面S:r=r(ui,U2)上取定一點P，任取切向量veTp-{0}，作測地射線J。從P點出發并且以p,vv為初始切向，則命由p,vp和唯一確定.|v|取C.的正向弧長sp,v參數化ui(s),i=1,2，使p點在S上的曲線坐標為(ui(0),u2(0)).定義映射=r(ui(s),u2(s))gCuS，p,v即像點Qs=r(ui(s),u2(s))是Cpv上從P點出發而經過弧長s所到達的點.由此定義映射expp:VuTp—Sv—expp(v)，則此映射稱為曲面S上點p處的指數映射例1①球面上的北極點處的指數映射，將北極切平面上從北極出發的射線映射成經線及其正向延長線.②圓柱面上固定一點處的指數映射，將切平面上從切點出發的射線映射成半條直紋或半條圓柱螺線或者緯圓周及其正向延長線.口

根據常微分方程組的唯一連續性理論，從固定一點出發的測地線作為方程組(1.4)的解，連續可微依賴于初始切向的取值.因此，指數映射expp可定義在切平面Tp上的點P的某個鄰域內，并且在該鄰域內成為連續可微映射.為了深入了解指數映射的性質，需要考察相應的解析表達式.為此，取切平面Tp點P作為原點的單位正交標架｛P;氣,％｝，記v=P(n1cosv+門2sinw)=yq.,p=|v|=?...,；(y1)2+(y2)2，則(yi,y2)為Tp的直角坐標系，(p,w)為Tp的相應極坐標系.弓I理1若曲面S:r=r(ui,u2)上的兩族坐標曲線在點P單位正交，令氣=r.|P，視指數映射expP：y=(yi,y2)—r(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，則譽ly=(0,0)=jQT,2*證明(想法：借助于Taylor展開，將ui用yj表示)觀察下列三點:①對于veTP-｛0｝，測恤線CP,v的微分方程由(1.4)式給出，其在點P處的單位切向量為V=(ds，兒=堂|s=0q.￡tp；vyvyi在切平面Tp上看，而工pq,|v|=p=s，從而(2.1)u.(2.1)u.(s)=u.(0)+票)|s=0s++票)〔=0s2+q，.=1,2.dui|,=^,P=s；dss=0p由(1.4)式和(2.1)式代入上式則得u.(p)=u.(0)+y.--2ry^l^=0yjyk+o(p2)，i=1,2.由此便易得結論.推論在引理條件下，指數映射expp是局部微分同胚(局部一一，可微且逆映射可微)；視指數映射expp(yi,y2)-(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，則它是曲面S上的容許參數變換定義1上述引理及其推論中所確定的曲面S上的參數系(yi,y2)稱為S上的以P為原點、以qi,q2為初始標架的(局部)法坐標系，相應參數系(p,w)稱為S上的以P為原點(或極點)、以門］為極軸的(局部)測地極坐標系.例2①在歐氏平面上，法坐標系就是直角坐標系；測地極坐標系就是極坐標系.球面上以北極點為原點的法坐標系，在去掉南極的球面上是正則參數系；以北極點為原點的測地極坐標系，在去掉兩極的球面上是局部正則參數系.圓柱面上固定一點處的法坐標系，在去掉對徑直紋的區域上是正則參數系.口法坐標系性質從直觀上感覺，曲面上的法坐標系在局部近似于“歐氏平面上的直角坐標系”.在曲面S上任取單位切向a=y0neTp，在法坐標系(yi,y2)下，測地射線J的弧長s參數化方程直接寫為p,ay=y0商.寫曲面s上的第一基本形式為I=ds2=g..(^1,y2)dyidyj，則沿測地射線Cp〃成立由(1.4)式給出的微分方程，可簡化為p,a(22)｛「川0貧，yo2s)yojyok=0，.gjk(y01s，y。2矽ydy0k=1.在法坐標系原點P(0,0)處，由法坐標系構造過程可見坐標曲線在該點處具有單位正交自然切向，即gjk(0,0)=&jk;進一步，在(2.2)式中令s—0，并注意到(y01,y02)的任意性便可見｛"0)=0，gjk(0,0)=如.將聯絡系數與第一基本形式系數的偏導數相互表出，上式等價化為(23)｛如，0)=0，()鏟，0)?k.至此所得的結論可以總結成下列定理.定理1(法坐標系性質)曲面S在法坐標系(y1,y2)下的第一基本形式系數滿足性質(2.3)，或寫為(2.4)gzj(y1,y2)=8寸+O((yi)2+(y2)2).

測地極坐標系性質同理，從直觀上看，曲面上的測地極坐標系在局部近似于“歐氏平面上的極坐標系”.在曲面S上任取單位切向a=qcosWo+%sinw0=yQi^.eTp，在測地極坐標系(P,W)下，測地射線Cp〃的弧長s參數化方程直接寫為p,aW=Wo=const.,p=s,s>0.寫曲面S上在測地極坐標系(P,W)=(ui,U2)下的第一基本形式為I=ds2=g..(p,W)du.duj=g*〃(yi,y2)dy.dyj，則沿測地射線Cp,a成立由(1.4)式給出的微分方程，可簡化為{r1i1(p,w0)=o，r121(p,w0)=o；g11(p,w0)=1.由此，注意到W0的任意性，有(2.5)g11(p,W)三1，r1i1(p,W)三0；從而有(g11)i三0，(r11)*ri=「擊。?弓=0，進而(g)(g)=(r?r)=r?r+r?r=r?r='以1】2三0，lg"1V1*2J1‘112r1‘21r1'122，此即g12此即g12=g12(W).進步，.drdrlimKJ=limpr0甲plimKJ=limpr0甲pr0tdy1廠dy2從而g12(W)=limg12(W)=limr?r=0，此即(2.6)12pr012pr0p此即(2.6)g12(p,W)三0.利用法坐標系進一步分析，可得下列定理.定理2(測地極坐標系性質)曲面S在測地極坐標系(p,W)下的第一基本形式形為I=dp2+G(p,W)dW2，其中系數G滿足性質limVG=0，lim(\，G)=1.pr0pr0p證明(2.5)和(2.6)兩式已經說明(2.7)式成立.為證(2.8)式，取法坐標系(y1,y2)使1=g*j(y1,y2)dy.dyj，則(-0sinw)G=(-PSinW，PcosW)(g%)2x2"p*J=[g*1]simw+g*22cos2W-2g*12sinwcosw]p2.記f(p,W)=g*]]sin2W+g*22cos2W-2g*12sinwcosw，貝fp=(g*u)psin2W+(g*22)pcos2W-2(g*]2)psinWcosW=[(g*11)1cosW+(g*]])2sinW]sin2W+[(g*22)]cosW+(g*22)2sinW]cos2W-2[(g*12)1cosW+(g*12)2sinW]sinWcosW;故由法坐標系性質可知limf(p,W)=1，limfp(p,W)=0.pr0pr0*于是，當p—0時，有'無=Wp—0，(、G)p=-..,「+fp打—1.□注記測地極坐標系性質當p—0時用無窮小表示則寫為(2.9)VG=p+pO(p2)=p+O(p3).定義2在曲面S上的以P為原點的測地極坐標系(p,W)下，設正數p0使0<p<p0時(p,W)為正則參數.稱W坐標曲線p=p0為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測地圓周，記為S1(P,p0)；稱開區域D(P,p0)={r(p,W)gSIp<p0}為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測地(開)圓盤；稱團區域D(P,p0)={r(p,W)gS|p<p0}為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測地閉圓盤；亦稱p0為上述測地圓周或測地圓盤的測地半徑推論1(Gauss引理)曲面S上從P點出發的測地射線總正交于以P為心的測地圓周．推論2(測地線局部最短性)在曲面S上的以P為原點的測地極坐標系(p,W)下，在S上連接原點P和測地圓周S1(P,p0)上任一點Q的最短連線是存在的，并且恰為從P點出發而到達Q點的測地射線段.證明不妨設在S上連接點P和點Q的曲線段CPQ落在測地閉圓盤D(P,p0)之中，且CPQ在坐標系(p,W)下的弧長s參數化萬程確定為{W=p2),形[0,L].則CPQ長度L有下列估計：L吒ds=j"'[p'(s)]2+["(s)]2Gds>!Lp(s)|ds>!Lp，(s)ds=p0.上式右端等于從P點出發而到達。點的測地射線段的長度；且當等號成立時，p'(s)三1,"(s)三0，CPQ也只能是測地射線段.口曲面內蘊幾何與平面幾何的局部差異，在一點鄰近可以通過測地圓周和測地圓盤的行為而做出反映，并且可用該點處的Gauss曲率來刻畫(參見習題1).測地凸域下面進一步考慮最短線的局部存在范圍定義3在曲面S上給定開區域U.若對U上的任意兩點P、Q，存在以之為端點的唯一一條測地線段CPQ，使CPQ成為在S上連接兩點P、Q的最短連線段，并且使件"，則稱區域U為S上的一個測地凸域例3①在歐氏平面上，測地凸域就是凸域.球面上的測地凸域，最大者為開半球面.在圓柱面上，測地圓盤為測地凸域的充要條件為其測地半徑小于圓柱面正截圓周周長的四分之一.口下面在測地圓盤中考察測地凸域的存在性.注意，當測地半徑足夠小時，Liouville公式(1.2)和測地極坐標性質說明，正向測地圓周的測地曲率恒正；故由此可以直觀感覺到，測地半徑的大小，能夠影響與測地圓周相切的測地線在切點附近的行為.具體的例子可以考察球面.一般的，有下列結論.弓I理2設曲面S上的以P為原點的測地極坐標系(p,")在測地閉圓盤D(P,p1)有意乂.則3p0e(0,p1)，使對于V5e(0,p0)，當測地線C切于測地圓周S1(P,5)上的點Q時，C在切點Q附近除切點以外的部分都嚴格地落在測地閉圓盤D(P,5)之外.

證明在以P為原點的測地極坐標系(p,W)下，測地極坐標性質說明存在PoG(0,P1)，使在測地閉圓盤D(P,p0)-｛P｝之內恒成立('拓)p>80=const.>0.此時，對于VSg(0,p0)，設弧長s參數化測地線C：｛P「P(S)、切于正向測地圓周W=W(s)S1(P,5)上的一點Q:(Pa,%)=(P(0)，W(0)).cos中=dsSi岫柜L(矽,晌若圖6-3記夾角函數中=頓s)為測地線Ccos中=dsSi岫柜L(矽,晌若圖6-3且可不妨設其滿足頓0)=普.而此時由Liouville公式(1.2)得0=半+(VG)罕.ds*，pds在Q點，如(Q)詈(0)=1，故駐1>0使半在［-￡1,￡1］恒正，從而=-代G)p件<-￡0?<0，此即說明切向角函數中(S)在［-氣，氣］嚴格單調減少.進一步取弧長參數非空區間［-￡2,￡2］U*1((0,」))C［-氣,81］，則在其間滿足集(s)=cos頓s)*=0「<0，-￡2<s<0；，s=0；

I〉0，0<s<￡2.集(s)=cos頓s)*=0，對即：函數P(s)在弧長參數區間［-￡2,￡2］具有唯一的嚴格最小值點s=0應最小值為P(0)=P(Q)=5.至此既得結論.口注記從證明過程可見，當上述測地線C切于測地圓周S1(P,5)上的一--■一一、-?-...-.，對點Q且C在切點Q附近嚴格地落在測地團圓盤D(P,5)之外時，點P到C上各點的最短連線的長度在切點Q附近有嚴格的極小值，并可實現為測地射線段PQ.通過測地線微分方程組關于初值的連續可微依賴性分析，根據測地線的局部最短性以及最短線一定是測地線，可證下列引理3(習題2)；并可進一步利用引理2,用以得到測地凸域的局部存在性定理(習題3).

引理3對于曲面S上的任意一點P，存在以P為原點的測地極坐標系(P,W)在D(P,3p0)有意乂，并且對于VQeD(P,p0)，使以Q為原點的測地極坐標系在D(P,2p0)有意義.此時，對于VQeD(P,p0)，成立二，—、—,_、—.D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(測地凸域局部存在性存在測地凸域包含P點.給定曲面S上的任一點P，在S上1.在曲面S上給定原點P0和測地半徑r，記測地圓周S1(P0,r)周長為L(r)，記測地圓盤D(P0,r)面積為A(r).試證：S在點P0處的Gauss曲率K(P°)滿足1.K(P°)=limr^032冗r一L(r)丸r3K(P°)=limr^012冗r2—人(r)丸r4測地線族的正交軌線族(t線)圖6-42.測地線族的正交軌線族(t線)圖6-43.設正則曲面上存在測地團圓盤D(P,3p0)，使對于V腿(0,3p0)，當測地線C切于測地圓周S1(P,6)上的點Q時，C在切點Q附近除切點以外的部分都嚴格地落在.._..-..-.測地閉圓盤D(P,6)之外.證明引理3所確定的測地圓盤D