數學模型與數學建模“田忌賽馬”的故事一、展示材料

戰國時代，齊王與大將田忌賽馬。規則如下：雙方各出三匹馬，一對一共比賽三場，每場的輸者要給贏者銅一千斤。齊王的三匹馬和田忌的三匹馬按實力強弱都可分為上、中、下三等。齊王的上、中、下三匹馬分別比田忌的上、中、下三匹馬略強一些。每次比賽用同等級的馬對抗3局，田忌就要輸3局，輸掉三千斤銅。后來，田忌手下的謀士、著名的軍事家孫臏給田忌出了一個主意：讓田忌用他的下等馬與齊威王的上等馬比賽，他的上等馬與齊威王的中等馬比賽，用中等馬與齊威王的下等馬比賽。這樣雖然第一場田忌必輸無疑，但是卻可以贏后面兩場，從而二勝一負，田忌贏了齊威王銅一千斤。數學模型與數學建模“田忌賽馬”的故事一、展示材料二、材料初步分析

齊威王將自己置于十分不公平的位置上，自恃強大，每次都先出馬，才給了田忌可趁之機。公平的競賽規則應該是這樣的：每個人都可以按照自己的意愿決定出馬順序，且每場比賽出馬的決策應該是同時做出的。倘若這樣比賽的話結果會是如何呢？我們用學過的概率論的知識來分析一下這個問題。三、問題探究問題一：若只進行一場比賽，也就是齊威王和田忌都只從自己的三匹馬中隨機選擇一匹進行比賽。那么齊威王獲勝的機會怎樣？

當然，倘若齊威王一直只出上等馬，那么田忌永遠都沒有機會。所以這里“隨機”很重要。為了研究方便，我們必須先給出幾個設定：二、材料初步分析齊威王將自己置于十分不公平的位設定1：齊王和田忌選擇哪一匹馬是隨機的，事先誰也不知道到底會出哪匹馬；設定2：上、中、下三種馬分別用字母a、b、c表示；設定3：齊王每場贏得1分，輸得0分。

根據兩人出馬的各種情形我們可以列出下表：（表中數據是齊威王的得分）

設定1：齊王和田忌選擇哪一匹馬是隨機的，事先誰也不知設定2：

上述3×3=9種情況是等可能的，每種情況出現的概率都是1/9.故齊威王獲勝的概率為6/9=2/3.列出齊王的得分的分布列：齊威王得分的數學期望：倘若這樣的比賽進行300場，齊威王大概可以獲得200分。上述3×3=9種情況是等可能的，每種情況出現的概率都是1問題二：倘若進行三場上述的比賽，每場比賽也都是隨機選擇馬匹，但是采用三局兩勝制，則這時齊威王獲勝的概率有多大？

由于三場比賽之間相互獨立，每場比賽依上一研究結果可知齊威王的獲勝概率為2/3.故三場比賽下來齊威王獲勝的場數

服從二項分布，

所以齊威王獲勝的概率為問題二：倘若進行三場上述的比賽，每場比賽也都是隨機

問題三：還是進行三場比賽，還是三局兩勝。但是要求這三場比賽要分別出不同的馬。也就是上、中、下三匹馬都要而且只能出場一場。這樣的話，齊威王獲勝的概率有多大？若這樣的比賽進行多次，齊威王平均每次能勝多少場？在這個問題中，齊威王共有

種選擇（即只能選擇出馬順序，有六種選擇），

田忌相應的也有6種選擇。總共36種選擇并且這36種情形的出現是等可能的，每種情形出現的概率都是1/36

用表格列出如下（表中數據依然表示齊威王的得分）：

問題三：還是進行三場比賽，還是三局兩勝。但是三年級語文下冊第3單元12《田忌賽馬》優選PPY課件3滬教版由上表可知，齊威王在這三場比賽中得三分即三場全勝的概率為

得2分的概率為

得一分的概率為

得0分的概率為0。所以齊威王在這三場比賽中的得分的分布列為

依上表,得到齊威王獲勝的概率為由上表可知，齊威王在這三場比賽中得三分即三場全勝的概率為得問題四：若齊威王只出一種順序，，而田忌對此一無所知，依然是6種順序均等可能，那么齊威王獲勝情況會不會產生變化？不妨認為就是從上面的表格中第一列的數據來看，

齊威王得三分的概率依然是

得兩分的概率依然是

得一分的概率依然是

三場下來的得分的數學期望還是

而且不論從哪一列來看都是如此。

即：倘若齊威王只出一種順序，但是田忌卻對此一無所知，那么齊威王獲勝的概率和得分的數學期望都與齊威王隨機選擇時是一樣的。

問題在于，田忌恐怕沒這么笨，齊威王也不會冒險做出這樣的決定。于是便有了下面的問題五。問題四：若齊威王只出一種順序，，而田忌對此一無所知，依然是6問題五：若齊威王偏好出其中一種順序，比如說

假設齊威王出

的概率為0.5，出其他順序的概率都是0.1，并且這種偏好被田忌識破，那么情況會發生變化嗎？倘若你是田忌，你該作出怎樣的對策？從計算齊威王的獲勝概率來看，

若田忌選擇順序

則齊威王的獲勝概率為0.5+0.4=0.9，

反倒比以前的大。

當然田忌不會這么笨，其余四種情況也是如此。

只有選擇,才能將齊威王的獲勝概率降為0.5。

因此從齊威王的獲勝概率來看，為了有效降低齊威王的獲勝概率，田忌應該選擇順序。從計算齊威王每次得分的數學期望來看，

當田忌選擇順序，齊威王每次的平均得分為問題五：若齊威王偏好出其中一種順序，比如說假設齊威王出的當田忌選擇順序其它四種時這樣還是不能有效降低齊威王的平均得分。

更好的是選擇順序

因為這時齊威王每次的平均得分降為

因此，不論從有效降低齊威王的獲勝概率還是從有效降低齊威王的平均得分來看，田忌的最佳選擇是

正好與軍事家孫臏的選擇如出一轍。當田忌選擇順序其它四種時這樣還是不能有效降低齊威王的平均得數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模數學模型(MathematicalModel)和對于一你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時,問船速、水速各若干?x=20y=5解得“實際問題”目的：為預測到達時間提供依據“假設”“建模”“求解”“應用”你碰到過的數學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常1.3

數學建模示例問題：1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。1.3數學建模示例問題：1.3.1椅子能在不平的地模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續函數;

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線1.巧分蛋糕：試回答能否將一個不規則的蛋糕平均分成兩部分？思考練習題2.上山問題：某甲早8時從山下旅店出發沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？1.巧分蛋糕：試回答能否將一個不規則的蛋糕平均分成兩部所謂最愛,只有一個人.天涯海角,就只有這么一個人.

你可以重復著后悔,卻不可以重復著最愛

有句話說:每個人一生當中都會有一次傷筋動骨的愛情,傷過這次之后,才知道什么叫愛.

愛無法給它任何定義

我問過很多人,也在問自己愛是什么呢?有人說愛就象兩顆流星剎那間的交錯瞬間卻是永恒,也有人說愛和世間所有的事情一樣,只是一個過程而不是一個結果.

有結果的愛是完美的,沒結果的愛同樣是完美的,因為那個過程我們同樣擁有過.

曾經我們的心中都向往著一個海枯石爛的愛情,可在現實里那只是個不著邊際的傳說,

快回到現實來吧!可什么才是現實

如果可以

誰不原讓一切重來

不再讓那些匆匆的腳步,匆匆的走過我門的人生.

不再讓別離與邂逅寫滿我們的期待與無奈.

如果可以

不要讓愛的花朵在水晶瓶里枯萎

不要讓黑暗將明媚的春天黯然.

如果可以

不再讓黑與白顯得單調無奈

不再讓抉擇的靈魂在忐忑間輾轉徘徊

如果可以

不會讓感情在任性中泛濫成災

不再用隨意的轉身將美麗怠慢

如果可以

不在讓等待換成沉默的悲哀不要讓守望在無聲的嘆息里走象潰爛

如果可以

不要在為遙遠的距離莫名的傷感……

不要用一貫的悲喜左右著脆弱的情懷。

如果只是如果,我門誰都回不到過去,誰都無法重新來過！

雖然我們無法更改過,但我們可以掌握未來！

從現在起！

歷經滄桑的我門不要在做漂浮的花瓣！

不要用艷紅的麻痹去撰寫茫然的灰暗！

不要在蹉跎我們已經流失的青春歲月！

愛過－痛過－擁有過－失去過！

能忘記的就去,忘記,忘不了就記著吧！

愛一個人很難,想要不愛更難,不是嗎?

因為只有自己最清楚最愛的人是珍藏在心底的!

我門不是不愛了,只是換一種方式而已!

善待自己,叫自己開心一些快樂一些!

這樣我門會幸福,我們幸福了,最愛的人同樣也幸福!

即使容顏不在,請用我門純潔的心靈將燦爛崇拜！讓世界擁有它的腳步，讓我保有我的繭。當潰爛已極的心靈再不想作一絲一毫的思索時，就讓我靜靜的回到我的繭內，以回憶為睡榻，以悲哀為覆被。這是我唯一的美麗。

曾經，每一度春光驚訝著我赤熱的心腸。怎么回事呀？它們開得多美!我沒有忘記自己睜在花前的喜悅。大自然一花一草生長的韻律，教給我再生的秘密。像花朵對于季節的忠實，我聽到杜鵑顫微微的傾訴。每一度春天之后，我更忠實于我所深愛的。

如今，仿佛春已缺席。

突然想起，只是一陣冷寒在心里，三月春風似剪刀啊！

有時，把自己交給街道，交給電影院的椅子。那一晚，莫名其妙地去電影院，隨便坐著，有人來趕，換了一張椅子，又有人來要，最后，乖乖掏票看個仔細，摸黑去最角落的座位，才是自己的。被注定了的，永遠便是注定。突然了悟，一切要強都是徒然，自己的空間早已安排好了，一出生，便是千方百計往那個空間推去，不管愿不愿意，乖乖隨著安排，回到那個空間，告別繽紛的世界，告別我所深愛的，回到那個一度逃脫，以為再也不會回去的角落。當鐵柵的聲音落下，我曉得，我再也出不去了。

我含笑躺下，攤開偷回來的記憶，一一撿點。也許，是知道自己的時間不多，也許，很宿命地直覺到終要被遣回，當我進入那繽紛的世界，便急著把人生的滋味一一嘗遍。很認真，也很死心塌地。一衣一衫，都還有笑聲，還有芳馨。我要仔細收藏的，畢竟得來不易。在最貼心的衣袋里，有我最珍惜的名字，我仍要每天喚幾次，感覺那一絲溫暖。它們全曾真心真意待著我。如今在這方黑暗的角落，懷抱著它們入睡，已是我唯一能做的報答。

夠了，我含笑地躺下，這些已夠我做一個美麗的繭。

每天，總有一些聲音在拉扯我，拉我離開心獄，再去找一個新的世界，一切重新再來。她們比我還珍惜我，她們千方百計要找那把鎖解我的手銬腳鐐，那把鎖早已被我遺失。我甘愿自裁，也甘愿遺失。

對一個疲憊的人，所有的光明正大的話就像一個個彩色的泡沫。對一個意志薄弱的生命，又怎能命它去鑄堅強的字句？如果死亡是唯一能做的，那么就任它的性子吧！這是慷慨。

強迫一只蛹去破繭，讓它落在蜘蛛的網里，是否就是仁慈？

所有的鳥兒都以為，把魚舉在空中是一種善舉。

有時很傻地暗示自己，去走同樣的路，買一模一樣的花，聽熟悉的聲音，遙望那扇窗，想象小小的燈還亮著，一衣一衫裝扮自己，以為這樣，便可以回到那已逝去的世界，至少現在，閉上眼睛，感覺自己真的在繽紛之中。

如果，有醒不了的夢，我一定去做；

如果，有走不完的路，我一定去走；

如果，有變不了的愛，我一定去求；

如果，如果什么都沒有，那就讓我回到宿命的泥土！這三十年的美好，都是善意的謊言，我帶著最美麗的那部分，一起化作春泥。

可是，連死也不是卑微的人所能大膽妄求的。時間像一個無聊的守獄者，不停地對我玩著黑白牌理。空間像一座大石磨，慢慢地磨，非得把人身上的血脂榨壓竭盡，連最后一滴血水也不剩下時，才肯利落的扔掉。世界能亙古地擁有不亂的步伐，自然有一套殘忍的守則和過濾的方式。生活是一個劊子手，刀刃上沒有明天。

面對臨暮的黃昏，想著過去。一張張可愛的臉孔，一朵朵的笑聲......一分一秒的年華......一些黎明，一些黑夜......一次無限溫柔生的奧妙，一次無限狠毒死的要挾。被深愛過，也深愛過。認真地哭過，也認真地求生，認真地在愛。如今呢？......人世一遭，不是要學認真地恨，而是要來領受我所該得的一份愛。在我活的第三十三個年頭，我領受了這份贈禮，我多么興奮地去解開漂亮的結，祈禱是美麗與高貴的禮物。當一對碰碎了的晶瑩琉璃在我顫抖的手中，我能怎樣，認真地流淚，然后呢？然后怎樣？回到黑暗的空間，然后又怎樣？認真地滿足。

當鐵柵的聲音落下，我知道，我再也無法出去。

趁生命最后的余光，再仔仔細細檢視一點一滴，把鮮明生動的日子裝進，把熟悉的面孔，熟悉的一言一語裝進，把生活的扉頁，撕下那頁最重最鐘愛的，也一并裝入，自己要一遍又一遍地再讀。把自己也最后裝入，甘心在二十歲，收拾一切燦爛的結束。把微笑還給昨天，把孤單留給自己。

所謂最愛,只有一個人.天涯海角,就只有這么一個人.

你可以數學模型與數學建模“田忌賽馬”的故事一、展示材料

戰國時代，齊王與大將田忌賽馬。規則如下：雙方各出三匹馬，一對一共比賽三場，每場的輸者要給贏者銅一千斤。齊王的三匹馬和田忌的三匹馬按實力強弱都可分為上、中、下三等。齊王的上、中、下三匹馬分別比田忌的上、中、下三匹馬略強一些。每次比賽用同等級的馬對抗3局，田忌就要輸3局，輸掉三千斤銅。后來，田忌手下的謀士、著名的軍事家孫臏給田忌出了一個主意：讓田忌用他的下等馬與齊威王的上等馬比賽，他的上等馬與齊威王的中等馬比賽，用中等馬與齊威王的下等馬比賽。這樣雖然第一場田忌必輸無疑，但是卻可以贏后面兩場，從而二勝一負，田忌贏了齊威王銅一千斤。數學模型與數學建模“田忌賽馬”的故事一、展示材料二、材料初步分析

齊威王將自己置于十分不公平的位置上，自恃強大，每次都先出馬，才給了田忌可趁之機。公平的競賽規則應該是這樣的：每個人都可以按照自己的意愿決定出馬順序，且每場比賽出馬的決策應該是同時做出的。倘若這樣比賽的話結果會是如何呢？我們用學過的概率論的知識來分析一下這個問題。三、問題探究問題一：若只進行一場比賽，也就是齊威王和田忌都只從自己的三匹馬中隨機選擇一匹進行比賽。那么齊威王獲勝的機會怎樣？

當然，倘若齊威王一直只出上等馬，那么田忌永遠都沒有機會。所以這里“隨機”很重要。為了研究方便，我們必須先給出幾個設定：二、材料初步分析齊威王將自己置于十分不公平的位設定1：齊王和田忌選擇哪一匹馬是隨機的，事先誰也不知道到底會出哪匹馬；設定2：上、中、下三種馬分別用字母a、b、c表示；設定3：齊王每場贏得1分，輸得0分。

根據兩人出馬的各種情形我們可以列出下表：（表中數據是齊威王的得分）

設定1：齊王和田忌選擇哪一匹馬是隨機的，事先誰也不知設定2：

上述3×3=9種情況是等可能的，每種情況出現的概率都是1/9.故齊威王獲勝的概率為6/9=2/3.列出齊王的得分的分布列：齊威王得分的數學期望：倘若這樣的比賽進行300場，齊威王大概可以獲得200分。上述3×3=9種情況是等可能的，每種情況出現的概率都是1問題二：倘若進行三場上述的比賽，每場比賽也都是隨機選擇馬匹，但是采用三局兩勝制，則這時齊威王獲勝的概率有多大？

由于三場比賽之間相互獨立，每場比賽依上一研究結果可知齊威王的獲勝概率為2/3.故三場比賽下來齊威王獲勝的場數

服從二項分布，

所以齊威王獲勝的概率為問題二：倘若進行三場上述的比賽，每場比賽也都是隨機

問題三：還是進行三場比賽，還是三局兩勝。但是要求這三場比賽要分別出不同的馬。也就是上、中、下三匹馬都要而且只能出場一場。這樣的話，齊威王獲勝的概率有多大？若這樣的比賽進行多次，齊威王平均每次能勝多少場？在這個問題中，齊威王共有

種選擇（即只能選擇出馬順序，有六種選擇），

田忌相應的也有6種選擇。總共36種選擇并且這36種情形的出現是等可能的，每種情形出現的概率都是1/36

用表格列出如下（表中數據依然表示齊威王的得分）：

問題三：還是進行三場比賽，還是三局兩勝。但是三年級語文下冊第3單元12《田忌賽馬》優選PPY課件3滬教版由上表可知，齊威王在這三場比賽中得三分即三場全勝的概率為

得2分的概率為

得一分的概率為

得0分的概率為0。所以齊威王在這三場比賽中的得分的分布列為

依上表,得到齊威王獲勝的概率為由上表可知，齊威王在這三場比賽中得三分即三場全勝的概率為得問題四：若齊威王只出一種順序，，而田忌對此一無所知，依然是6種順序均等可能，那么齊威王獲勝情況會不會產生變化？不妨認為就是從上面的表格中第一列的數據來看，

齊威王得三分的概率依然是

得兩分的概率依然是

得一分的概率依然是

三場下來的得分的數學期望還是

而且不論從哪一列來看都是如此。

即：倘若齊威王只出一種順序，但是田忌卻對此一無所知，那么齊威王獲勝的概率和得分的數學期望都與齊威王隨機選擇時是一樣的。

問題在于，田忌恐怕沒這么笨，齊威王也不會冒險做出這樣的決定。于是便有了下面的問題五。問題四：若齊威王只出一種順序，，而田忌對此一無所知，依然是6問題五：若齊威王偏好出其中一種順序，比如說

假設齊威王出

的概率為0.5，出其他順序的概率都是0.1，并且這種偏好被田忌識破，那么情況會發生變化嗎？倘若你是田忌，你該作出怎樣的對策？從計算齊威王的獲勝概率來看，

若田忌選擇順序

則齊威王的獲勝概率為0.5+0.4=0.9，

反倒比以前的大。

當然田忌不會這么笨，其余四種情況也是如此。

只有選擇,才能將齊威王的獲勝概率降為0.5。

因此從齊威王的獲勝概率來看，為了有效降低齊威王的獲勝概率，田忌應該選擇順序。從計算齊威王每次得分的數學期望來看，

當田忌選擇順序，齊威王每次的平均得分為問題五：若齊威王偏好出其中一種順序，比如說假設齊威王出的當田忌選擇順序其它四種時這樣還是不能有效降低齊威王的平均得分。

更好的是選擇順序

因為這時齊威王每次的平均得分降為

因此，不論從有效降低齊威王的獲勝概率還是從有效降低齊威王的平均得分來看，田忌的最佳選擇是

正好與軍事家孫臏的選擇如出一轍。當田忌選擇順序其它四種時這樣還是不能有效降低齊威王的平均得數學模型(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學建模數學模型(MathematicalModel)和對于一你碰到過的數學模型——“航行問題”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時,問船速、水速各若干?x=20y=5解得“實際問題”目的：為預測到達時間提供依據“假設”“建模”“求解”“應用”你碰到過的數學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20千米/小時）。航行問題建立數學模型的基本步驟作出簡化假設（船速、水速為常1.3

數學建模示例問題：1.3.1

椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。1.3數學建模示例問題：1.3.1椅子能在不平的地模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來椅子用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續函數;

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉900，對角線1.巧分蛋糕：試回答能否將一個不規則的蛋糕平均分成兩部分？思考練習題2.上山問題：某甲早8時從山下旅店出發沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？1.巧分蛋糕：試回答能否將一個不規則的蛋糕平均分成兩部所謂最愛,只有一個人.天涯海角,就只有這么一個人.

你可以重復著后悔,卻不可以重復著最愛

有句話說:每個人一生當中都會有一次傷筋動骨的愛情,傷過這次之后,才知道什么叫愛.

愛無法給它任何定義

我問過很多人,也在問自己愛是什么呢?有人說愛就象兩顆流星剎那間的交錯瞬間卻是永恒,也有人說愛和世間所有的事情一樣,只是一個過程而不是一個結果.

有結果的愛是完美的,沒結果的愛同樣是完美的,因為那個過程我們同樣擁有過.

曾經我們的心中都向往著一個海枯石爛的愛情,可在現實里那只是個不著邊際的傳說,

快回到現實來吧!可什么才是現實

如果可以

誰不原讓一切重來

不再讓那些匆匆的腳步,匆匆的走過我門的人生.

不再讓別離與邂逅寫滿我們的期待與無奈.

如果可以

不要讓愛的花朵在水晶瓶里枯萎

不要讓黑暗將明媚的春天黯然.

如果可以

不再讓黑與白顯得單調無奈

不再讓抉擇的靈魂在忐忑間輾轉徘徊

如果可以

不會讓感情在任性中泛濫成災

不再用隨意的轉身將美麗怠慢

如果可以

不在讓等待換成沉默的悲哀不要讓守望在無聲的嘆息里走象潰爛

如果可以

不要在為遙遠的距離莫名的傷感……

不要用一貫的悲喜左右著脆弱的情懷。

如果只是如果,我門誰都回不到過去,誰都無法重新來過！

雖然我們無法更改過,但我們可以掌握未來！

從現在起！

歷經滄桑的我門不要在做漂浮的花瓣！

不要用艷紅的麻痹去撰寫茫然的灰暗！

不要在蹉跎我們已經流失的青春歲月！

愛過－痛過－擁有過－失去過！

能忘記的就去,忘記,忘不了就記著吧！

愛一個人很難,想要不愛更難,不是嗎?

因為只有自己最清楚最愛的人是珍藏在心底的!

我門不是不愛了,只是換一種方式而已!

善待自己,叫自己開心一些快樂一些!

這樣我門會幸福,我們幸福了,最愛的人同樣也幸福!

即使容顏不在,請用我門純潔的心靈將燦爛崇拜！讓世界擁有它的腳步，讓我保有我的繭。當潰爛已極的心靈再不想作一絲一毫的思索時，就讓我靜靜的回到我的繭內，以回憶為睡榻，以悲哀為覆被。這是我唯一的美麗。

曾經，每一度春光驚訝著我赤熱的心腸。怎么回事呀？它們開得多美!我沒有忘記自己睜在花前的喜悅。大自然一花一草生長的韻律，教給我再生的秘密。像花朵對于季節的忠實，我聽到杜鵑顫微微的傾訴。每一度春天之后，我更忠實于我所深愛的。

如今，仿佛春已缺席。

突然想起，只是一陣冷寒在心里，三月春風似剪刀啊！

有時，把自己交給街道，交給電影院的椅子。那一晚，莫名其妙地去電影院，隨便坐著，有人來趕，換了一張椅子，又有人來要，最后，乖乖掏票看個仔細，摸黑去最角落的座位，才是自己的。被注定了的，永遠便是注定。突然了悟，一切要強都是徒然，自己的空間早已安排好了，一出生，