21.3

實際問題與一元二次方程（1）21.3實際問題與一元二次方程（1）1【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.

問戶斜幾何.

【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿2【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.

問戶斜幾何.

注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿3【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二4【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二5【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二6【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二7【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二8【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二9【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二10【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.由題意，∠BCD

=90°，∴BC

2+CD

2=BD

2

.∴(x–4)2+(x–2)2=x

2.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二11(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.(x–4)2+(x–2)2=x212(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–4)2+(x–2)2=x213(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.(x–4)2+(x–2)2=x214(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.(x–4)2+(x–2)2=x215(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.∴x1

=10，x2

=2

(不合題意，舍去).(x–4)2+(x–2)2=x216共有多少個隊參加比賽？∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.1＋x＋x2=91.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設BD=x尺.一元二次方程是刻畫現實世界中某些數量關系的有效數學模型.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這121人，所以第三輪感染的人數是：【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；x2+2x+1=121.答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.豎放，竿比門高長出二尺；【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？則第一輪后共有個人患了流感；第一輪后：1+10=11(人).解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；如何理解“兩輪傳染”？【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.(x–4)2+(x–2)2=x2.第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112(人).而練習1的題目告訴我們，第一輪是一個主干長出9個支干，第二輪只有這9個支干（而不包括主干）分別又長出了9個小分支.x2+2x+1=121.共有多少個隊參加比賽？x2–12x+20=0.解：設每個支干長出x個小分支.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(x–4)2+(x–2)2=x2.則第一輪后共有個人患了流感；第二輪后有2×112人.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？x(x－1)=90.(x+1)+x(x+1)=121.x2－x－90=0.∴x1=10，x2=–12(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+1)=121.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.求戶斜多長.解：設BD

=x尺.由題意，∠BCD

=90°，∴BC

2+CD

2=BD

2.∴(x–4)2+(x–2)2=x

2．解得x1

=10，

x2

=2

(不合題意，舍去).答：戶斜10尺.共有多少個隊參加比賽？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，17【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人18【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？第一輪的傳染源有幾人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人19第一輪的傳染源有幾人？第一輪的傳染源只有1個人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人20【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何理解“兩輪傳染”？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人21如何理解“兩輪傳染”？第一輪由

1個人傳染給幾個人，為了便于理解，我們先假定為3

個人，那么第一輪傳染后共有4

個人患流感.這4個人就成為第二輪的傳染源，每個人又分別傳染給3

個人，那么第二輪的新患流感人數為12人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人22【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有

121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何理解“共有”？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人23如何理解“共有”？按照我們剛才的假設，第一輪傳染后有4名患者，第二輪傳染后有12名新患者，那么兩輪之后的總人數就是16人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有

121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人24【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何用算術的方法解決這樣的問題？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人25【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果用方程的方法，你認為相等關系是什么？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人26設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人27【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人28【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；第二輪共有

個人新患了流感.(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人29【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？x(x

+1)設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；第二輪共有

個人新患了流感.(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人30【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.

【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人31

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

(x+1)+x(x+132

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.(x+1)+x(x+133

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.(x+1)+x(x+134

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.

x+1

=±11.

(x+1)+x(x+135

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.

x+1

=±11.

∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+136

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x–120=0.

(x+12)(x–10)=0.∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+137

(x+1)+x(x+1)=121.(x+1)+x(x+138

(x+1)+x(x+1)=121

(x+1)

(x+1)

=121.

(x+1)2=121.

x+1=±11.

∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+139【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.解得x1

=10，

x2

=–12

(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了10

個人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人40解：設每輪傳染中平均一個人傳染了

x個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.解得x1

=10，

x2

=–12

(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了10

個人.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.【探究1】有一個41進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這

121人，所以第三輪感染的人數是：

121×10=1210(人).進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？42進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這

121人，所以第三輪感染的人數是：

121×10=1210(人).三輪后感染的總人數是：121+1210=1331(人).進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？43進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？44進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=121(人).第三輪后：121+10×121=1331(人).進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？45進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=11×(1+10)=112

(人).第三輪后：121+10×121=121×(1+10)=113

(人).進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？46進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=11×(1+10)=112

(人).第三輪后：121+10×121=121×(1+10)=113(人).

……第n

輪后共有11n

人感染流感.進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？47進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第48準確地用含未知數的代數式表達相等關系要建立在充分理解題意的基礎上.(x+1)2=121.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；x2–8x+16+x2–4x+4=x2.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？共有多少個隊參加比賽？進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？(x–2)(x–10)=0.x2+2x+1=121.則第一輪后共有個人患了流感；第一輪的傳染源只有1個人.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.解：設共有x個隊參加比賽.如何用算術的方法解決這樣的問題？1＋x＋x2=91.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.x2＋x－90=0.進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22(人).準確地用含未知數的代數式表達相等關系要建立在充分理解題意的基49進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22(人).第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112

(人).進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第50進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22=2×11(人).第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112

(人).進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第51如果最初有一個人患了流感：第一輪后有11人，第二輪后有112人，第三輪后有113人.如果最初有兩個人患了流感：第一輪后有2×11人；第二輪后有2×112人.如果最初有一個人患了流感：52進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，按照上述的傳染模式，n

輪傳染后共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有m個人患了流感，按照上述的傳染模式53進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，按照上述的傳染模式，n

輪傳染后共有多少人感染流感？n

輪傳染后共有m×

11n

人感染流感.進一步思考：如果最初有m個人患了流感，按照上述的傳染模式54第三輪后：121+10×121=1331(人).【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(x+1)+x(x+1)=121.x2－x－90=0.解：設共有x個隊參加比賽.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？而練習1的題目告訴我們，第一輪是一個主干長出9個支干，第二輪只有這9個支干（而不包括主干）分別又長出了9個小分支.x2＋x－90=0.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？第一輪后有2×11人；(x+1)+x(x+1)=121.x(x－1)=90.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.解：設共有x個隊參加比賽.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設每個支干長出x個小分支.(x+1)+x(x+1)=121.【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染給k

個人，那么

n

輪傳染后共有多少人感染流感？第三輪后：121+10×121=1331(人).進55進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染給k

個人，那么

n

輪傳染后共有多少人感染流感？

n

輪后共有m

(1+k)n

人感染流感.進一步思考：如果最初有m個人患了流感，每輪傳染中平均一個56【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同57【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同58【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？解：設每個支干長出x

個小分支.

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同59【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？解：設每個支干長出x

個小分支.

1＋x＋

x2=91.

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同60

1＋x＋x2=91.

x2＋x－90

=0.

1＋x＋x2=91.61

1＋x＋x2=91.

x2＋x－90

=0.(x+10)(x－9)=0.

1＋x＋x2=91.62

1＋x＋x2=91.

x2＋x－90

=0.(x+10)(x－9)=0.

∴x1

=－10

(不合題意，舍去)，x2

=9.1＋x＋x2=91.63【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？解：設每個支干長出x

個小分支.

1＋x＋

x2=91.解得

x1

=－10

(不合題意，舍去)，

x2

=9.答：每個支干長出9個小分支.【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同64【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？進一步思考：這道題和探究1有什么區別？【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同65進一步思考：這道題和探究1有什么區別？探究1中，第一輪的傳染源是1個人，傳染了10個人，使得第二輪的傳染源變成11個人；而練習1的題目告訴我們，第一輪是一個主干長出9個支干，第二輪只有這9個支干（而不包括主干）分別又長出了9個小分支.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？66進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.67進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.68【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.共有多少個隊參加比賽？【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽69【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.共有多少個隊參加比賽？解：設共有x個隊參加比賽.共比賽

場

場.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽70【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.共有多少個隊參加比賽？解：設共有x

個隊參加比賽.共比賽

x

(

x－1）

場.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽71【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.共有多少個隊參加比賽？解：設共有x

個隊參加比賽.

x

(

x－1)

=90.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽72x(x－1)

=90.x2－x－90

=0.x(x－1)=90.73x(x－1)

=90.x2－x－90

=0.

(x

－10)

(x+9)

=0.

x(x－1)=90.74x(x－1)

=90.x2－x－90

=0.

(x

－10)

(x+9)

=0.

∴x1

=－9

(不合題意，舍去)，x2

=10.x(x－1)=90.75【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.共有多少個隊參加比賽？解：設共有x

個隊參加比賽.

x

(

x－1)

=90.解得x1

=－9

(不合題意，舍去)，

x2

=10.答：共有10個隊參加比賽.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽76【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.問戶斜幾何.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90

場.共有多少個隊參加比賽？【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿77課堂小結1.準確地用含未知數的代數式表達相等關系要建立在充分理解題意的基礎上.2.快速地解一元二次方程的前提是熟練掌握四種方法以及細致地觀察.3.要結合題目背景對一元二次方程的兩個解進行檢驗和取舍.課堂小結78課堂小結4.一元二次方程是刻畫現實世界中某些數量關系的有效數學模型.在運用一元二次方程分析、表達和解決實際問題的過程中，要注意體會建立數學模型解決實際問題的思想和方法.課堂小結79同學們，再見！同學們，再見！8021.3

實際問題與一元二次方程（1）21.3實際問題與一元二次方程（1）81【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.

問戶斜幾何.

【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿82【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.

橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.

問戶斜幾何.

注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿83【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二84【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二85【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二86【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二87【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二88【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二89【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二90【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.

求戶斜多長.

解：設BD

=x尺.由題意，∠BCD

=90°，∴BC

2+CD

2=BD

2

.∴(x–4)2+(x–2)2=x

2.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二91(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.(x–4)2+(x–2)2=x292(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–4)2+(x–2)2=x293(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.(x–4)2+(x–2)2=x294(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.(x–4)2+(x–2)2=x295(x–4)2+(x–2)2=x2.

x2–8x+16+x2–4x+4=x2.

x2–12x+20=0.(x–2)(x–10)=0.∴x1

=10，x2

=2

(不合題意，舍去).(x–4)2+(x–2)2=x296共有多少個隊參加比賽？∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.1＋x＋x2=91.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設BD=x尺.一元二次方程是刻畫現實世界中某些數量關系的有效數學模型.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這121人，所以第三輪感染的人數是：【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；x2+2x+1=121.答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.豎放，竿比門高長出二尺；【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？則第一輪后共有個人患了流感；第一輪后：1+10=11(人).解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；如何理解“兩輪傳染”？【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.進一步思考：利用圖形說明如何修改練習1使之與探究1模型相同.(x–4)2+(x–2)2=x2.第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112(人).而練習1的題目告訴我們，第一輪是一個主干長出9個支干，第二輪只有這9個支干（而不包括主干）分別又長出了9個小分支.x2+2x+1=121.共有多少個隊參加比賽？x2–12x+20=0.解：設每個支干長出x個小分支.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(x–4)2+(x–2)2=x2.則第一輪后共有個人患了流感；第二輪后有2×112人.進一步思考：這道題和探究1有什么區別？x(x－1)=90.(x+1)+x(x+1)=121.x2－x－90=0.∴x1=10，x2=–12(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+1)=121.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；豎放，竿比門高長出二尺；斜放恰好能出去.求戶斜多長.解：設BD

=x尺.由題意，∠BCD

=90°，∴BC

2+CD

2=BD

2.∴(x–4)2+(x–2)2=x

2．解得x1

=10，

x2

=2

(不合題意，舍去).答：戶斜10尺.共有多少個隊參加比賽？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，97【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人98【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？第一輪的傳染源有幾人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人99第一輪的傳染源有幾人？第一輪的傳染源只有1個人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人100【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何理解“兩輪傳染”？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人101如何理解“兩輪傳染”？第一輪由

1個人傳染給幾個人，為了便于理解，我們先假定為3

個人，那么第一輪傳染后共有4

個人患流感.這4個人就成為第二輪的傳染源，每個人又分別傳染給3

個人，那么第二輪的新患流感人數為12人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人102【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有

121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何理解“共有”？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人103如何理解“共有”？按照我們剛才的假設，第一輪傳染后有4名患者，第二輪傳染后有12名新患者，那么兩輪之后的總人數就是16人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有

121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人104【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如何用算術的方法解決這樣的問題？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人105【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果用方程的方法，你認為相等關系是什么？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人106設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人107【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人108【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；第二輪共有

個人新患了流感.(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人109【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？x(x

+1)設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.則第一輪后共有

個人患了流感；第二輪共有

個人新患了流感.(x

+1)【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人110【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x

個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.

【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人111

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

(x+1)+x(x+1112

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.(x+1)+x(x+1113

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.(x+1)+x(x+1114

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.

x+1

=±11.

(x+1)+x(x+1115

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x+1=121.

(x+1

)2=121.

x+1

=±11.

∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+1116

(x+1)+x(x+1)=121.

x+1+x2+x=121.

x2+2x–120=0.

(x+12)(x–10)=0.∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+1117

(x+1)+x(x+1)=121.(x+1)+x(x+1118

(x+1)+x(x+1)=121

(x+1)

(x+1)

=121.

(x+1)2=121.

x+1=±11.

∴x1

=10，x2

=–12

(不合題意，舍去).(x+1)+x(x+1119【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.解得x1

=10，

x2

=–12

(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了10

個人.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人120解：設每輪傳染中平均一個人傳染了

x個人.

(x

+1)+x

(x

+1)=121.解得x1

=10，

x2

=–12

(不合題意，舍去).

答：每輪傳染中平均一個人傳染了10

個人.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.【探究1】有一個121進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這

121人，所以第三輪感染的人數是：

121×10=1210(人).進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？122進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？兩輪傳染之后共有121個人患了流感，第三輪的傳染源也正是這

121人，所以第三輪感染的人數是：

121×10=1210(人).三輪后感染的總人數是：121+1210=1331(人).進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？123進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？124進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=121(人).第三輪后：121+10×121=1331(人).進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？125進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=11×(1+10)=112

(人).第三輪后：121+10×121=121×(1+10)=113

(人).進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？126進一步思考：按照這樣的情形，n

輪之后共有多少人感染流感？第一輪后：1+10=11(人).第二輪后：11+10×11=11×(1+10)=112

(人).第三輪后：121+10×121=121×(1+10)=113(人).

……第n

輪后共有11n

人感染流感.進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？127進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第128準確地用含未知數的代數式表達相等關系要建立在充分理解題意的基礎上.(x+1)2=121.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.【引例】注釋：橫放，竿比門寬長出四尺；x2–8x+16+x2–4x+4=x2.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？共有多少個隊參加比賽？進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？(x–2)(x–10)=0.x2+2x+1=121.則第一輪后共有個人患了流感；第一輪的傳染源只有1個人.【練習2】參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場.橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出.解：設共有x個隊參加比賽.如何用算術的方法解決這樣的問題？1＋x＋x2=91.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.x2＋x－90=0.進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22(人).準確地用含未知數的代數式表達相等關系要建立在充分理解題意的基129進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22(人).第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112

(人).進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第130進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人感染流感？第一輪后：2+20=22=2×11(人).第二輪后：22+10×22=22×(1+10)=2×112

(人).進一步思考：如果最初有兩個人患了流感，按照上述的傳染模式，第131如果最初有一個人患了流感：第一輪后有11人，第二輪后有112人，第三輪后有113人.如果最初有兩個人患了流感：第一輪后有2×11人；第二輪后有2×112人.如果最初有一個人患了流感：132進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，按照上述的傳染模式，n

輪傳染后共有多少人感染流感？進一步思考：如果最初有m個人患了流感，按照上述的傳染模式133進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，按照上述的傳染模式，n

輪傳染后共有多少人感染流感？n

輪傳染后共有m×

11n

人感染流感.進一步思考：如果最初有m個人患了流感，按照上述的傳染模式134第三輪后：121+10×121=1331(人).【引例】《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短.進一步思考：按照這樣的情形，n輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(x+1)+x(x+1)=121.x2－x－90=0.解：設共有x個隊參加比賽.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？而練習1的題目告訴我們，第一輪是一個主干長出9個支干，第二輪只有這9個支干（而不包括主干）分別又長出了9個小分支.x2＋x－90=0.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.進一步思考：按照這樣的情形，三輪之后共有多少人感染流感？【探究1】有一個人患了流感，經過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？第一輪后有2×11人；(x+1)+x(x+1)=121.x(x－1)=90.∴x1=－9(不合題意，舍去)，x2=10.解：設共有x個隊參加比賽.解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.解：設每個支干長出x個小分支.(x+1)+x(x+1)=121.【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染給k

個人，那么

n

輪傳染后共有多少人感染流感？第三輪后：121+10×121=1331(人).進135進一步思考：如果最初有m

個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染給k

個人，那么

n

輪傳染后共有多少人感染流感？

n

輪后共有m

(1+k)n

人感染流感.進一步思考：如果最初有m個人患了流感，每輪傳染中平均一個136【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同137【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同138【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數量的小分支，主干、支干和小分支的總數是91，每個支干長出多少個小分支？解：設每個支干長出x

個小分支.

【練習1】某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支