ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＦＬＵＩＤＭＥＣＨＡＮＩＣＳＳＥＣＯＮＤＥＤＩＴＩＯＮ工程流體力學（第一至三章）

周云龍洪文鵬合編

開始ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＦＬＵＩＤＭＥＣＨＡＮＩＣＳＳＥ1全書共分七章，內容包括導論、流體靜力學、流體動力學基礎、不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動、不可壓縮流體二維邊界層概述、黏性流體的一維定常流動和氣體一維高速流動．各章均附有一定數量的例題、復習思考題、習題和英文習題．附錄中列出了流體力學詞匯（部分）英漢對照．

內

容簡介全書共分七章，內容包括導論、流體靜力學、流體動力學基礎、不可2本書為高等學校自動化專業以及相近專業的工程流體力學課程的教材，也可做為熱能與動力工程，建筑環境與設備工程，土木工程，環境工程，輕化工程等專業的少學時工程流體力學課程教材．同時可作為高等函授熱能與動力類專業的教材及工廠和設計部門中有關工程技術人員的參考書．適用范圍本書為高等學校自動化專業以及相近專業的工程流體力學課程的教材3工程流體力學是一門重要的專業基礎課程，該課程的目的是為了學習專業課以及從事技術工作提供必要的基礎理論和實踐技能．本教材由東北電力學院博士生導師周云龍教授和洪文鵬副教授合編．導論，第一、四、六章和第七章中的第一、二、三節以及流體力學詞匯英漢對照由周云龍編寫．前言工程流體力學是一門重要的專業基礎課程，該課程的目的是為了學習4第二、三、五章和第七章中的第四、五節由洪文鵬編寫．全書最后由周云龍教授統稿．華北電力大學博士生導師王松嶺教授任主審．王松嶺教授對書稿逐字逐句進行了認真的審閱，提出了許多寶貴的意見和建議，使本教材的質量得以提高，在此表示衷心感謝！東北電力學院流體力學教研室的張玲、李巖、孫斌也審閱了書稿，提出了修改意見，在此一并表示感謝！前言第二、三、五章和第七章中的第四、五節由洪文鵬編寫．全書最后由52022/12/106歡迎進入2022/12/106歡迎進入2022/12/107目錄第三章流體動力學基礎第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動第五章不可壓縮流體二維邊界層概述第二章流體靜力學第一章導論

第六章黏性流體的一維定常流動第七章氣體一維高速流動返回首頁2022/12/107目第三章流體動力學基礎第四章不可壓2022/12/1082022/12/1082022/12/109第一節流體力學的任務及發展概況流體力學是一門基礎性很強和應用性很廣的學科，是力學的一個重要分支。它的研究對象隨著生產的需要與科學的發展在不斷地更新、深化和擴大。60年代以前，它主要圍繞航空、航天、大氣、海洋、航運、水利和各種管路系統等方面，研究流體運動中的動量傳遞問題，即局限于研究流體的運動規律，和它與固體、液體或大氣界面之間的相互作用力問題。60年代以后，能源、環境保護、化工和石油等領域中的流體力學問題逐漸受到重視，這類問題的特征是：尺寸小、速度低，并在流體運動過程中存在傳熱、傳質現象。這樣，流體力學除了研究流體的運動規律以外，還要研究它的傳熱、傳質規律。同樣，在固體、液2022/12/109第一節流體力學的任務及發展概況2022/12/1010液體或氣體界面處，不僅研究相互之間的作用力，而且還需要研究它們之間的傳熱、傳質規律。工程流體力學是研究流體（液體、氣體）處于平衡狀態和流動狀態時的運動規律及其在工程技術領域中的應用。流體力學的基礎理論由三部分組成。一是流體處于平衡狀態時，各種作用在流體上的力之間關系的理論，稱為流體靜力學；二是流體處于流動狀態時，作用在流體上的力和流動之間關系的理論，稱為流體動力學；三是氣體處于高速流動狀態時，氣體的運動規律的理論，稱為氣體動力學。工程流體力學的研究范疇是將流體流動作為宏觀機械運動進行研究，而不是研究流體的微觀分子運動，因而2022/12/1010液體或氣體界面處，不僅研究2022/12/1011在流體動力學部分主要研究流體的質量守恒、動量守恒和能量守恒及轉換等基本規律。流體力學在工程技術中有著廣泛的應用。在能源、化工、環保、機械、建筑（給排水、暖通）等工程技術領域的設計、施工和運行等方面都涉及到流體力學問題。不同工程技術領域的流體力學問題有各自不同的特點，概括起來主要有三種不同流動形式：一是有壓管流，如流體在管道中的流動；二是繞流，如流體在流體機械中繞過翼型的流動；三是射流，如流體從孔口或管嘴噴出的流動。流體力學就是要具體地研究流體流動形式中的速度分布、壓力分布、能量損失，以及流體同固體之間的相互作用，同時也要研究流體平衡的條件。2022/12/1011在流體動力學部分主要研究流體2022/12/1012流體力學作為一門獨立的學科，同其他自然科學一樣是人類為了滿足自身生活和生產的需要，在認識與改造自然的斗爭中，隨著實踐經驗的不斷積累，技術與知識水平的不斷提高才形成和發展起來的，有著漫長的發展歷程。其發展既依賴于科學實驗和生產實踐，又受到許多社會因素的影響。我國是世界上三大文明古國之一，有著悠久的歷史和燦爛的文化，由于生產發展的需要，遠在兩三千年以前，古代勞動人民就利用孔口出流的原理發明了刻漏、

銅壺滴漏（西漢時期的計時工具）。同時又發明了水磨、水碾等。在唐代以前，我國就出現了水輪翻車，宋元時代出現的水輪大紡車比英國早四五百年(英國在1796年發明)。北宋時期，在運河上修建的真州復閘，與14世紀末在荷蘭出現的同類船閘相比約早300多年。清朝雍正年2022/12/1012流體力學作為一門2022/12/1013間，何夢瑤在《算迪》一書中提出了流量為過水斷面上平均流速乘以過水斷面面積的計算方法。我國在防止水患、興修水利方面也有著悠久的歷史。相傳4000多年前的大禹治水，就表明我國古代進行過大規模的防洪工作。在公元前256年至前210年間修建的都江堰、鄭國渠和靈渠三大水利工程，兩千多年來效益卓著。以上都說明了我國勞動人民的聰明智慧，當時對流體流動規律的認識已達到相當高的水平。14世紀以前，我國的科學技術在世界上是處于領先地位的。但是，近幾百年來由于閉關鎖國使我國的科學得不到應有的發展，以致在流體力學方面由古代的領先地位而落在后面。有明確記載的最早的流體力學原理是在公元前250年，希臘數學家及力學家阿基米德（Archimedes）發表2022/12/1013間，何夢瑤在《算迪》一書中提2022/12/1014了一篇“論浮體”的論文，提出了浮體定律，這是流體力學的第一部著作。由于奴隸制、神權和宗教觀念的束縛，直到15世紀文藝復興時期，尚未形成系統的理論。16世紀以后，在歐洲由于封建制度的崩潰，資本主義開始萌芽，生產力有了發展。在城市建設、航海和機械工業發展需要的推動下，逐步形成近代的自然科學，流體力學也隨之得到發展。意大利的達·芬奇(Vinci，L.da)是文藝復興時期出類拔萃的美術家、科學家兼工程師，他倡導用實驗方法了解水流性態，并通過實驗描繪和討論了許多水力現象，如自由射流、旋渦形成原理等等。1612年伽利略（Galilei）提出了潛體的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．)給出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提出液體中壓力傳遞的定理；1686年牛頓（Newton,I.）發2022/12/1014了一篇“論浮體”的論文，提出2022/12/1015表了名著《自然哲學的數學原理》對普通流體的黏性性狀作了描述，即現代表達為黏性切應力與速度梯度成正比—牛頓內摩擦定律。為了紀念牛頓，將黏性切應力與速度梯度成正比的流體稱為牛頓流體。

18世紀～19世紀，流體力學得到了較大的發展，成為獨立的一門學科。古典流體力學的奠基人是瑞士數學家伯努利(Bernoulli，D．)和他的親密朋友歐拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推導出了著名的伯努利方程，歐拉于1755年建立了理想流體運動微分方程，以后納維(Navier,C.-L.-M.-H.)和斯托克斯(Stokes，G．G．)建立了黏性流體運動微分方程。拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，將歐拉和伯努利所開創的新興的流體動力學推向完美的分析高度。但當時由于理論的假設與2022/12/1015表了名著《自然哲學的數學原理2022/12/1016實際不盡相符或數學上的求解困難，有很多疑難問題不能不能從理論上給予解決。

19世紀末以來，現代工業迅猛發展，生產實踐要求理論與實際更加密切結合才能解決問題。1883年，雷諾(Reynolds，O.)用不同直徑的圓管進行實驗，研究了黏性流體的流動，提出了黏性流體存在層流和紊流兩種流態，并給出了流態的判別準則—雷諾數。12年后，他又引進紊流（或雷諾）應力的概念，并用時均方法，建立了不可壓縮流體作紊流運動時所應滿足的方程組，雷諾的研究為紊流的理論研究奠定了基礎。1891年，蘭徹斯特（F.W.）提出速度環量產生升力的概念，這為建立升力理論創造了條件，他也是第一個提出有限翼展機翼理論的人。進入20世紀以后，流體力學的理論與實驗研究除了在2022/12/1016實際不盡相符或數學上的求解2022/12/1017已經開始的各個領域繼續開展以外，在發展航空航天事業方面取得了迅猛的發展。在運動物體的升力方面，庫塔（W.M.）和儒可夫斯基（N.E.）分別在1902年和1906年獨立地提出特殊的與一般的庫塔—儒可夫斯基定理和假定，奠定了二維升力理論的基礎。至于運動物體的阻力問題，至此仍缺乏完善的理論，人們普遍認為：尾渦是物體阻力的主要來源，遂將注意力轉向物體尾流的研究。1912年，卡門（T.von）從理論上分析了渦系（即卡門渦街）的穩定性。1904年普朗特(Prandtl，L.)提出了劃時代的邊界層理論，使黏性流體概念和無黏性流體概念協調起來，使流體力學進入了一個新的歷史階段。

20世紀中葉以后，流體力學的研究內容，有了明顯的轉變，除了一些較難較復雜的問題，如紊流、流動穩定性2022/12/1017已經開始的各個領域繼續開展以2022/12/1018與過渡、渦流動力學和非定常流等繼續研究外，更主要的是轉向研究石油、化工、能源、環保等領域的流體力學問題，并與相關的鄰近學科相互滲透，形成許多新分支或交叉學科，如計算流體力學、實驗流體力學、可壓縮氣體力學、磁流體力學、非牛頓流體力學、生物流體力學、多相流體力學、物理-化學流體力學、滲流力學和流體機械流體力學等。一般來說，這些新的分支或交叉學科所研究的現象或問題都比較復雜，要想很好地解決它們，實際上是對流體力學研究人員的一次大挑戰?，F有的流體力學運動方程組不能完全準確地描述這些現象和新問題，試圖用現有的方程組和純計算的方法去解決這些問題是相當困難的，唯一可行的道路是采用純實驗或實驗與計算相結合的方法。近年來在一些分支或交叉學科（如多相流等）中采2022/12/1018與過渡、渦流動力學和非定常流2022/12/1019用這種方法，獲得了較好的效果，大大推動了實驗技術的發展。

13世紀以前，我國在流體力學原理的應用方面做出了巨大貢獻，曾領先于世界。新中國建立以后，隨著工農業的建設，在這方面的工作得到迅猛發展，建造了眾多的各級重點實驗室，不僅解決了無數的生產實際問題，而且還培養了一支具有較高水平的理論和實驗隊伍。完全可以相信在今后的社會主義現代化建設事業中，通過流體力學工作者的不斷努力，我國的流體力學事業必將有更大的發展。

2022/12/1019用這種方法，獲得了較好的效果2022/12/1020第二節流體的特征和連續介質假設

一流體的定義和特征物質常見的存在狀態是固態、液態和氣態，處在這三種狀態下的物質分別稱為固體、液體和氣體。通常說能流動的物質為流體，液體和氣體易流動，我們把液體和氣體稱之為流體。但這樣說是不嚴格的，嚴格地說應該用力學的語言來敘述：在任何微小剪切力的持續作用下能夠連續不斷變形的物質，稱為流體。根據上述定義，流體顯然不能保持一定的形狀，即具有流動性。但流體在靜止時不能承受切向力，這顯然與固體不同。固體在靜止時也能承受切向力，發生微2022/12/1020第二節流體的特征和連續介質假設2022/12/1021微小變形以抗拒外力，一直達到平衡為止。只要作用力保持不變，固體的變形就不再變化。流體和固體具有上述不同性質是由于分子間的作用力不同造成的。在相同體積的固體和流體中，流體所含的分子數目比固體少得多，分子間的空隙就大得多，因此流體分子間的作用力小，分子運動強烈，從而決定了流體具有流動性和不能保持一定形狀的特性。流體中所包括的液體和氣體除具有上述共同特性外，還具有如下的不同特性：液體的分子距和分子的有效直徑差不多是相等的，當對液體加壓時，只要分子距稍有縮小，分子間的斥力就會增大以抵抗外壓力。所以，液體的分子距很難縮小，即液體很不易被壓縮，以致一定重量的液體具有一定的體積，液體的形狀取決于容器的形狀，并且由于分子間吸引力的2022/12/1021微小變形以抗拒外力，一直達到2022/12/1022作用，液體有力求自身表面積收縮到最小的特性。所以，當容器的容積大于液體的體積時，液體不能充滿容器，故在重力的作用下，液體總保持一個自由表面(或稱自由液面)，通常稱為水平面。氣體的分子距比液體的大，在0℃、1個標準大氣壓強（101325Pa）下，氣體的平均分子距約為3.3×10-7cm，其分子平均直徑約為2.5×10-8cm，分子距比分子平均直徑約大十倍。因此，只有當分子距縮小很多時，分子間才會出現斥力。可見，氣體具有很大的壓縮性。此外，因其分子距與分子平均直徑相比很大，以致分子間的吸引力微小，分子熱運動起決定性作用，所以氣體沒有一定形狀，也沒有一定的體積，它總是能均勻充滿容納它的容器而不能形成自由表面。2022/12/1022作用，液體有力求自身表面積收2022/12/1023二、流體連續介質假設從微觀角度看，流體和其它物體一樣，都是由大量不連續分布的分子組成，分子間有間隙。但是，流體力學所要研究的并不是個別分子的微觀運動，而是研究由大量分子組成的宏觀流體在外力作用下的宏觀運動。因此，在流體力學中，取流體微團來作為研究流體的基元。所謂流體微團是一塊體積為無窮小的微量流體，由于流體微團的尺寸極其微小，故可作為流體質點看待。這樣，流體可看成是由無限多連續分布的流體微團組成的連續介質。這種對流體的連續性假設是合理的，因為在流體介質內含有為數眾多的分子。例如，在標準狀態下，lmm3氣體中有2.7×1016個分子；lmm3的液體中有3×1019個分子?？梢姺肿娱g的間隙是極其微小的。因此在研究流體宏觀運動時，可2022/12/1023二、流體連續介質2022/12/1024可以忽略分子間的間隙，而認為流體是連續介質。當把流體看作是連續介質后，表征流體性質的密度、速度、壓強和溫度等物理量在流體中也應該是連續分布的。這樣，可將流體的各物理量看作是空間坐標和時間的連續函數，從而可以引用連續函數的解析方法等數學工具來研究流體的平衡和運動規律。流體作為連續介質的假設對大部分工程技術問題都是適用的，但對某些特殊問題則不適用。例如，火箭在高空非常稀薄的氣體中飛行以及高真空技術中，其分子距與設備尺寸可以比擬，不再是可以忽略不計了。這時不能再把流體看成是連續介質來研究，需要用分子動力論的微觀方法來研究。本書只研究連續介質的力學規律。2022/12/1024可以忽略分子間的間隙，而認為2022/12/1025第三節流體的主要物理性質一流體的密度

1、流體的密度流體的密度是流體的重要屬性之一，它表征流體在空間某點質量的密集程度，流體的密度定義為：單位體積流體所具有的質量，用符號ρ來表示。對于流體中各點密度相同的均質流體，其密度（1-1）式中：—流體的密度，kg/m3；

—流體的質量，kg；

—流體的體積，m3。2022/12/1025第三節流體的主要物理性質2022/12/1026對于各點密度不同的非均質流體，在流體的空間中某點取包含該點的微小體積，該體積內流體的質量則該點的密度為（1-2）

2、流體的相對密度流體的相對密度是指某種流體的密度與4℃時水的密度的比值，用符號d來表示。（1-3）式中：—流體的密度，kg/m3；

—4℃時水的密度，kg/m3。

表1-1和表1-2列出了一些常用液體、氣體在標準大氣壓強下的物理性質。

2022/12/1026對于各點密度不同2022/12/1027表1-1在標準大氣壓下常用液體的物理性質2022/12/10272022/12/1028表1-1在標準大氣壓下常用液體的物理性質2022/12/10282022/12/1029表1-2在標準大氣壓和20℃常用氣體性質2022/12/1029表1-22022/12/1030表1-2在標準大氣壓和20℃常用氣體性質2022/12/1030表1-22022/12/1031二流體的壓縮性和膨脹性隨著壓強的增加，流體體積縮??；隨著溫度的增高，流體體積膨脹，這是所有流體的共同屬性，即流體的壓縮性和膨脹性。

1、流體的膨脹性在一定的壓強下，流體的體積隨溫度的升高而增大的性質稱為流體的膨脹性。流體膨脹性的大小用體積膨脹系數來表示，它表示當壓強不變時，升高一個單位溫度所引起流體體積的相對增加量，即（1-4）

式中—流體的體積膨脹系數，1/℃，1/K；

2022/12/1031二流體的壓縮性和膨脹2022/12/1032

—流體溫度的增加量，℃，K；

—原有流體的體積，m3；

—流體體積的增加量，m3。實驗指出，液體的體積膨脹系數很小，例如在9.8×104Pa下，溫度在1～10℃范圍內，水的體積膨脹系數=14×10-61/℃；溫度在10～20℃范圍內，水的體積膨脹系數=150×10-61/℃。在常溫下，溫度每升高1℃，水的體積相對增量僅為萬分之一點五；溫度較高時，如90～100℃，也只增加萬分之七。其它液體的體積膨脹系數也是很小的。流體的體積膨脹系數還取決于壓強。對于大多數液體，隨壓強的增加稍為減小。水的在高于50℃時也隨壓強2022/12/1032—流體溫度的2022/12/1033的增加而增大。在一定壓強作用下，水的體脹系數與溫度的關系如表1-3所示。表1-3水的體脹系數（1/℃）

2022/12/1033的增加而增大。2022/12/1034

2、流體的壓縮性在一定的溫度下，流體的體積隨壓強升高而縮小的性質稱為流體的壓縮性。流體壓縮性的大小用體積壓縮系數k來表示。它表示當溫度保持不變時，單位壓強增量引起流體體積的相對縮小量，即

(1-5)

式中—流體的體積壓縮系數，m2/N；

—流體壓強的增加量，Pa；

—原有流體的體積，m3；

—流體體積的增加量，m3。

2022/12/10342、流體的壓縮性2022/12/1035由于壓強增加時，流體的體積減小，即與的變化方向相反，故在上式中加個負號，以使體積壓縮系數恒為正值。實驗指出，液體的體積壓縮系數很小，例如水，當壓強在(1～490)×107Pa、溫度在0～20℃的范圍內時，水的體積壓縮系數僅約為二萬分之一，即每增加105Pa，水的體積相對縮小約為二萬分之一。表l-4列出了0℃水在不同壓強下的值。表1-40℃水在不同壓強下的值2022/12/1035由于壓強增加時，2022/12/1036氣體的壓縮性要比液體的壓縮性大得多，這是由于氣體的密度隨著溫度和壓強的改變將發生顯著的變化。對于完全氣體，其密度與溫度和壓強的關系可用熱力學中的狀態方程表示，即（1-6）式中—氣體的絕對壓強，Pa；

—氣體的密度，kg/m3；

—熱力學溫度，K；

—氣體常數，J/(kg·K)。常用氣體的氣體常數見表1-2。在工程上，不同壓強和溫度下氣體的密度可按下式計算：2022/12/1036氣體的壓縮性要比2022/12/1037

(1-7)

式中為標準狀態(0℃,101325Pa)下某種氣體的密度。如空氣的＝1.293kg/m3；煙氣的＝1.34kg/m3。為在溫度t℃、壓強N/㎡下，某種氣體的密度。

3、可壓縮流體和不可壓縮流體壓縮性是流體的基本屬性。任何流體都是可以壓縮的，只不過可壓縮的程度不同而已。液體的壓縮性都很小，隨著壓強和溫度的變化，液體的密度僅有微小的變化，在大多數情況下，可以忽略壓縮性的影響，認為液體的密度是一個常數。=0的流體稱為不可壓縮流體，2022/12/10372022/12/1038而密度為常數的流體稱為不可壓均質流體。氣體的壓縮性都很大。從熱力學中可知，當溫度不變時，完全氣體的體積與壓強成反比，壓強增加一倍，體積減小為原來的一半；當壓強不變時，溫度升高1℃體積就比0℃時的體積膨脹1/273。所以，通常把氣體看成是可壓縮流體，即它的密度不能作為常數，而是隨壓強和溫度的變化而變化的。我們把密度隨溫度和壓強變化的流體稱為可壓縮流體。把液體看作是不可壓縮流體，氣體看作是可壓縮流體，都不是絕對的。在實際工程中，要不要考慮流體的壓縮性，要視具體情況而定。例如，研究管道中水擊和水下爆炸時，水的壓強變化較大，而且變化過程非常迅速，這2022/12/1038而密度為常數的流體稱為不可2022/12/1039時水的密度變化就不可忽略，即要考慮水的壓縮性，把水當作可壓縮流體來處理。又如，在鍋爐尾部煙道和通風管道中，氣體在整個流動過程中，壓強和溫度的變化都很小，其密度變化很小，可作為不可壓縮流體處理。再如，當氣體對物體流動的相對速度比聲速要小得多時，氣體的密度變化也很小，可以近似地看成是常數，也可當作不可壓縮流體處理。三流體的黏性和牛頓內摩擦定律

1、流體的黏性黏性是流體抵抗剪切變形的一種屬性。由流體的力學特點可知，靜止流體不能承受剪切力，即在任何微小剪切力的持續作用下，流體要發生連續不斷地變形。但不同的流體在相同的剪切力作用下其變形速度是不同的，它反映2022/12/1039時水的密度變化就不可忽略，即2022/12/1040了抵抗剪切變形能力的差別，這種能力就是流體的黏性?，F通過一個實驗來進一步說明流體的黏性。將兩塊平板相隔一定距離水平放置，其間充滿某種液體，并使下板固定不動，上板以某一速度u0向右平行移動，如圖1-l所示。由于流體與平板間有附著力，緊貼上板的一薄層流體將以速度u0跟隨上板一起向右運動，而緊貼下板的一薄層流體將和下板一樣靜止不動。兩板之間的各流體薄層在上板的帶動下，都作平行于平板的運動，其運動速度由上向下逐層遞減，由上板的u0減小到下板的零。在這種情況下，板間流體流動的速度是按直線變化的。顯然，由于各流層速度不同，流層間就有相對運動，從而產生切向作用力，稱其為內摩擦力。作用在兩個流體層接觸面上的內摩擦力總是成對出現的，即大小相等而方向相反，分別作用2022/12/1040了抵抗剪切變形能力的差別，這2022/12/1041圖1-1流體的黏性實驗2022/12/1041圖1-1流體的黏性實驗2022/12/1042圖1-1流體的黏性實驗2022/12/1042圖1-1流體的黏性實驗2022/12/1043在相對運動的流層上。速度較大的流體層作用在速度較小的流體層上的內摩擦力F，其方向與流體流動方向相同，帶動下層流體向前運動，而速度較小的流體層作用在速度較大的流體層上的內摩擦力F’，其方向與流體流動方向相反，阻礙上層流體運動。通常情況下，流體流動的速度并不按直線變化，而是按曲線變化，如圖1-1虛線所示。

2、牛頓內摩擦定律根據牛頓(Newton)實驗研究的結果得知，運動的流體所產生的內摩擦力(切向力)F的大小與垂直于流動方向的速度梯度du/dy成正比，與接觸面的面積A成正比，并與流體的種類有關，而與接觸面上壓強P無關。內摩擦力的數學表達式可寫為2022/12/1043在相對運動的流層上。速度較大2022/12/1044（1-8）寫成等式為（1-9）式中F

—流體層接觸面上的內摩擦力，N；

A—流體層間的接觸面積，m2；

du/dy—垂直于流動方向上的速度梯度，1/s；μ—動力黏度，Pa·s。流層間單位面積上的內摩擦力稱為切向應力，則（1-10）式中τ—切向應力，Pa。2022/12/10442022/12/1045從式(1-9)可知，當速度梯度等于零時，內摩擦力也等于零。所以，當流體處于靜止狀態或以相同速度運動(流層間沒有相對運動)時，內摩擦力等于零，此時流體有黏性，流體的黏性作用也表現不出來。當流體沒有黏性(μ=0)時，內摩擦力等于零。在流體力學中還常引用動力黏度與密度的比值，稱為運動黏度用符號ν表示，即（1-11）式中ν—運動黏度，m2/s。常用液體和氣體的動力黏度見表1-1和表1-2。表l-5和表1-6分別給出了水和空氣不同溫度時的黏度。一些常用氣體和液體的動力黏度和運動黏度隨溫度的變化見圖1-22022/12/1045從式(1-9)可2022/12/1046和圖1-3。

3、影響黏性的因素流體黏性隨壓強和溫度的變化而變化。在通常的壓強下，壓強對流體的黏性影響很小，可忽略不計。在高壓下，流體(包括氣體和液體)的黏性隨壓強升高而增大。流體的黏性受溫度的影響很大，而且液體和氣體的黏性隨溫度的變化是不同的。液體的黏性隨溫度升高而減小，氣體的黏性隨溫度升高而增大。造成液體和氣體的黏性隨溫度不同變化的原因是由于構成它們黏性的主要因素不同。分子間的吸引力是構成液體黏性的主要因素，溫度升高，分子間的吸引力減小，液體的黏性降低；構成氣體黏性的主要因素是氣體分子作不規則熱運動時，在不同速度分子層間所進行的動量交換。溫度越高，氣體分子熱運動越強烈2022/12/1046和圖1-3。2022/12/1047動量交換就越頻繁，氣體的黏性也就越大。

4、理想流體的假設如前所述，實際流體都是具有黏性的，都是黏性流體。不具有黏性的流體稱為理想流體，這是客觀世界上并不存在的一種假想的流體。在流體力學中引入理想流體的假設是因為在實際流體的黏性作用表現不出來的場合(像在靜止流體中或勻速直線流動的流體中)，完全可以把實際流體當理想流體來處理。在許多場合，想求得黏性流體流動的精確解是很困難的。對某些黏性不起主要作用的問題，先不計黏性的影響，使問題的分析大為簡化，從而有利于掌握流體流動的基本規律。至于黏性的影響，則可根據試驗引進必要的修正系數，對由理想流體得出的流動規2022/12/1047動量交換就越頻繁，氣體的黏性2022/12/1048表1-5水的黏度與溫度的關系

2022/12/1048表1-5水的黏度與溫度2022/12/1049

表1-6空氣的黏度與溫度的關系

2022/12/1049表1-6空氣的黏度2022/12/1050律加以修正。此外，即使是對于黏性為主要影響因素的實際流動問題，先研究不計黏性影響的理想流體的流動，而后引入黏性影響，再研究黏性流體流動的更為復雜的情況，也是符合認識事物由簡到繁的規律的?；谝陨现T點，在流體力學中，總是先研究理想流體的流動，而后再研究黏性流體的流動。

5、黏度的測量流體的黏度不能直接測量，它們的數值往往是通過測量與其有關的其它物理量，再由有關方程進行計算而得到的。由于計算所根據方程的不同，測量方法有許多種，所要測量的物理量也不盡相同。例如管流法，即讓待測黏度的流體，以一定的流量流過已知管徑的細管，再在細管的一定長度上用測壓計測出這段管道上的壓降，從而通過層2022/12/1050律加以修正。此外，即使是對于2022/12/10511-2流體的動力黏度2022/12/10511-2流體的動力黏度2022/12/1052圖1-3流體的運動黏度2022/12/1052圖1-3流體的運動黏度2022/12/1053流管流的哈根-普索勒（Hagen-Poiseuille）流量定律計算出流體的黏度。落球法，一般用于黏度大的流體。使已知直徑和質量的小球沿盛有待測黏度液體的玻璃圓管中心線垂直降落，測量小球在液體中自由沉降的速度，由此速度計算該液體的黏度。旋轉法，在兩個有不同直徑的同心圓筒的環形間隙中，充以待測黏度液體，其中一圓筒固定，另一圓筒以已知角速度旋轉，測定出旋轉力矩，便可計算出流體的黏度。泄流法，使已知溫度和體積的待測液體通過儀器下部已知管徑的短管自由泄流而出，測定規定體積的液體全部流出的時間，與同樣體積已知黏度的液體的泄流時間相比較，從而推求出待測液體的黏度。上述幾種流體黏度測定方法的原理和計算公式將在以后有關章節中，在敘述有關基本理論時適當予以介紹。這里只簡介工2022/12/1053流管流的哈根-普索勒（Hagen2022/12/1054業上測定各種液體(例如潤滑油等)黏度最常用的測定方法-泄流法，采用的儀器是工業黏度計，下面介紹工業黏度計的結構和實驗方法。工業黏度計有幾種類型。我國目前采用的是恩格勒(Engler)黏度計(歐洲大陸的一些國家，如德國，采用這種黏度計，英國采用Redwood黏度計，美國采用Saybolt黏度計，它們的原理都是一樣的)，其測定結果為恩氏度，用oE表示，其結構見圖1-4。測定實驗方法如下先用木制針閥將錐形短管的通道關閉，把220cm3的蒸餾水注入貯液罐1，開啟水箱2中的電加熱器，加熱水箱中的水，以便加熱貯液罐中的蒸餾水,使其溫度達到20℃，并保持不變；然后迅速提起針閥，使蒸餾水經錐形通道泄入長頸瓶2022/12/1054業上測定各種液體(例如潤滑油2022/12/1055

4至容積為200cm3，記錄所需的時間；然后用同樣的程序測定待測液體流出200cm3所需的時間，(待測液體的溫度應為給定的溫度)。待測液體在給定溫度下的恩氏度為（1-12）

(cm2/s)

（1-13）

【例1-1】一平板距另一固定平板δ=0.5mm，二板水平放置，其間充滿流體，上板在單位面積上為τ=2N/m2的力作用下，以μ=0.25m/s的速度移動，求該流體的動力黏度。

【解】由牛頓內摩擦定律（1-10）由于兩平板間隙很小，速度分布可認為是線性分布，2022/12/10554至容積為200cm3，記錄2022/12/1056可用增量來表示微分

（Pa·s）

【例1-2】長度L=1m，直徑d=200mm水平放置的圓柱體，置于內徑D=206mm的圓管中以u=1m/s的速度移動，已知間隙中油液的相對密度為d=0.92，運動黏度ν=5.6×10-4m2/s，求所需拉力F為多少？解】間隙中油的密度為（kg/m3）動力黏度為（Pa·s）由牛頓內摩擦定律（1-9）2022/12/1056可用增量來表示微分2022/12/1057圖1-4恩格勒黏度計貯液罐水箱電加熱器長頸瓶2022/12/1057圖1-4恩格勒黏度計貯液罐水箱電2022/12/1058由于間隙很小，速度可認為是線性分布

（N）四液體的表面張力和毛細現象

1、表面張力當液體與其它流體或固體接觸時，在分界面上都產生表面張力，出現一些特殊現象，例如空氣中的雨滴呈球狀，液體的自由表面好像一個被拉緊了的彈性薄膜等。表面張力的形成主要取決于分界面液體分子間的吸引力，也稱為內聚力。在液體中，一個分子只有距離它約10-7cm的半徑范圍內才能受到周圍分子吸引力的作用。在這個范圍內的液體分子對該分子的吸引力各方向相等，處于平衡狀態。但在靠近靜止液體的自由表面、深度小于約2022/12/1058由于間隙很小，速度可認為是2022/12/1059

10-7cm薄的表面層內，每個液體分子與周圍分子之間的吸引力不能達到平衡，而合成一個垂直于自由表面的合力。這個合力從自由表面向下作用在該分子上，當分子處于自由表面上時，向下的合力達到最大值。表面層內的所有液體分子均受有向下的吸引力，從而把表面層緊緊拉向液體內部。由于表面層中的液體分子都有指向液體內部的拉力作用，所以任何液體分子在進入表面層時都必須反抗這種力的作用，也就是必須給這些分子以機械功。當自由表面收縮時，在收縮的方向上必定有與收縮方向相反的作用力，這種力稱為表面張力。在不相混合的液體間以及液體和固體間的分界面附近的分子都將受到兩種介質吸引力的作用，沿著分界面產生表面張力，通常稱為交界面張力。表面張力δ的大小以作用在單位長度上的力表示，單位為2022/12/105910-7cm薄的表面層內，每個2022/12/1060

N/m。不同的液體在不同的溫度下具有不同的表面張力值。所以液體的表面張力都隨著溫度的上升而下降。幾種常用液體在20℃時與空氣接觸的表面張力列于表1-7中，在0～100℃內水與空氣接觸時的表面張力列于表1-8中；在20℃時兩種介質分界面上的表面張力列于表1-9中?，F在進一步分析表面張力對液體自由表面兩側壓強的影響。若自由表面是一個平面，則沿著平面的表面張力處于平衡狀態，平面表面兩側的壓強相等；若自由表面是曲面，則表面張力將使曲面兩側產生壓強差p1-p2，以維持平衡。設在曲表面上取一個邊長為ds1和ds2的微元矩形雙曲面，雙曲面曲率半徑各為R1和R2，夾角為和，作用在曲面凹面和凸面的壓強分別為p1和p2，如圖1-5所示。在2022/12/1060N/m。2022/12/1061R1R2ds1雙曲面曲率半徑R2雙曲面曲率半徑R1雙曲面曲率半徑夾角R1R1R1R2與邊界線正交的外向力圖1-5曲表面的表面張力和壓強2022/12/1061R1R2ds1雙曲面曲率半徑R2雙曲2022/12/1062微元矩形雙曲面兩對邊ds1和ds2上，表面張力產生一對與邊界線正交的向外力和，則垂直于曲面的合力沿曲面法線方向的力平衡方程為于是得（1-12）2022/12/1062微元矩形雙曲面兩對邊ds1和2022/12/1063

表1-7常用液體在20℃時與空氣接觸的表面張力*和空氣接觸**和水銀本身蒸汽接觸2022/12/1063表1-7常用液體在20℃2022/12/1064表1-8水與空氣接觸的表面張力2022/12/1064表1-82022/12/1065

表1-920℃時兩種介質分界面上的表面張力2022/12/1065表1-92022/12/1066由式（1-12）可知，曲面兩側壓強差的大小正比于表面張力，反比于曲表面的曲率半徑。

2、毛細現象把細管插入液體內，若液體(如水)分子間的吸引力(稱為內聚力)小于液體分子與固體分子之間的吸引力，也稱為附著力，則液體能夠潤濕固體，液體將在管內上升到一定的高度，管內的液體表面呈凹面，如圖1-6(a)所示，若液體(如水銀)的內聚力大于液體與固體之間的附著力，則液體不能潤濕固體，液體將在管內下降到一定高度，管內的液體表面呈凸面，如圖1-6(b)所示。這種液體在細管中能上升或下降的現象稱為毛細現象。液體在細管中上升或下降的高度與表面張力有關，可以用簡便方法直接求得。如圖1-6(a)，密度為ρ的液體在潤濕管壁的表面張力作用下，沿半徑為r的細管上升，到2022/12/1066由式（1-12）可知，曲面2022/12/1067圖1-6液體在毛細管內上升(a)濕潤管壁的液體的液面上升

2022/12/10672022/12/1068圖1-6液體在毛細管內上升(a)濕潤管壁的液體的液面上升

2022/12/10682022/12/1069

圖1-6液體在毛細管內下降(b)不濕潤管壁的液體的液面下降2022/12/1069圖1-6液體在毛細管內下降(2022/12/1070

圖1-6液體在毛細管內下降(b)不濕潤管壁的液體的液面下降2022/12/1070圖1-6液體在毛細管內下降(2022/12/1071

h高度后停止，達到平衡狀態，即表面張力向上分力的合力與升高液柱的重量相等。設液面與固體壁面的接觸角(液體表面的切面與固壁表面的夾角)為Θ，細管內液體的凹表面近似地看作是高度為δ、半徑為R的球冠。則其平衡關系式為或由圖1-6（a）可知2022/12/1071h高度后停止，達到平衡狀態，即2022/12/1072代入上面平衡關系式，即得上升高度的計算式（1-13）又，接觸角與球冠液面的高度的關系為：在圖1-6（a）中（1-14a）

2022/12/1072代入上面平衡關系式，即得上升2022/12/1073在圖1-6（b）中

而于是水與玻璃的接觸角約為，由式（1-14a）得（1-14b）水與玻璃的接觸角約為，由式（1-14a）得

2022/12/1073在圖1-6（b）中2022/12/1074將上式代入式（1-13），得水在細玻璃管中的上升高度為

（1-15）對于很細的玻璃管，水的凹表面可近似地看作是一個半球面，則Θ=00，δ=R=r，于是由式（1-13）可得

(1-16)

水銀與玻璃的接觸角約為1400，由式（1-14b）得2022/12/1074將上式代入式（1-13），2022/12/1075將上式代入式（1-13），得水銀在細玻璃管中的下降高度為

（1-17）

由式（1-15）和式（1-17）可知，當細管半徑越小時，的絕對值就越大。所以，當用內徑很細的管子作液柱式測壓計的管子時，會造成較大的測量誤差。一般來說，對于水，細管的內徑應大于14mm；對于水銀，細管的內徑大于10mm時，此時毛細現象產生的測量誤差已很小，不必加以修正。2022/12/1075將上式代入式（1-13），2022/12/1076

【例1-3】把一內徑為10mm的玻璃管插入盛有20℃水的容器中，求水在玻璃管中上升的高度。

【解】查得20℃水的密度，表面張力，則由式（1-15）得：2022/12/1076【例1-3】把一2022/12/1077第四節作用在流體上的力作用在流體上的力可以分為兩大類，表面力和質量力。一、表面力表面力是指作用在流體中所取某部分流體體積表面上的力，也就是該部分體積周圍的流體或固體通過接觸面作用在其上的力。表面力可分解成兩個分力，即與流體表面垂直的法向力P和與流體表面相切的切向力T。在連續介質中，表面力不是一個集中的力，而是沿表面連續分布的。因此，在流體力學中用單位表面積上所作用的表面力(稱為應力)來表示。應力可分為法向應力和切向應力兩種。

2022/12/1077第四節作用在流體上的力2022/12/1078如圖1-7，在流體中取出被表面積為A的封閉曲面所包圍的某部分流體體積V，則周圍流體必然有力作用在這個體積V的表面積A上。在表面積A上圍繞點a取一微元面積ΔA，周圍流體作用在其上的表面力為ΔF，則a點的法向應力和切向應力的數學表達式分別為（1-18）（1-19）法向應力P和切向應力τ的單位為Pa。2022/12/1078如圖1-7，在流2022/12/1079ΔFΔPΔTAΔAVτn法向應力周圍流體作用的表面力切向應力圖1-7作用在流體上的表面力2022/12/1079ΔFΔPΔTAΔAVτn法向應力周圍2022/12/1080二、質量力質量力是指作用在流體某體積內所有流體質點上并與這一體積的流體質量成正比的力，又稱體積力。在均勻流體中，質量力與受作用流體的體積成正比。由于流體處于地球的重力場中，受到地心的引力作用，因此流體的全部質點都受有重力，這是最普遍的一個質量力。當用達朗伯（D’Alembert）原理使動力學問題變為靜力學問題時，虛加在流體質點上的慣性力也屬于質量力。慣性力的大小等于質量與加速度的乘積，其方向與加速度方向相反。另外，帶電流體所受的靜電力以及有電流通過的流體所受的電磁力也是質量力。2022/12/1080二、質量力2022/12/1081質量力的大小以作用在單位質量流體上的質量力，即單位質量力來度量。在重力場中，對應于單位質量力的重力數值上就等于重力加速度g。在直角坐標系中，若質量力在各坐標軸上投影分別為Wx，Wy，Wz，則單位質量力在各坐標軸的分量分別等于（1-20）則（1-21）單位質量力及其在各個坐標軸的分量的單位為m/s2，與加速度的單位相同2022/12/1081質量力的大小以2022/12/1082歡迎進入第二章2022/12/1082歡迎進入第二章2022/12/1083目錄第三章流體動力學基礎第四章不可壓縮流體的有旋流動和二維無旋流動第五章不可壓縮流體二維邊界層概述第二章流體靜力學第一章導論

第六章黏性流體的一維定常流動第七章氣體一維高速流動英漢詞匯表返回2022/12/1083目第三章流體動力學基礎第四章不可2022/12/10842022/12/10842022/12/1085第一節流體力學的任務及發展概況

流體力學是一門基礎性很強和應用性很廣的學科，是力學的一個重要分支。它的研究對象隨著生產的需要與科學的發展在不斷地更新、深化和擴大。60年代以前，它主要圍繞航空、航天、大氣、海洋、航運、水利和各種管路系統等方面，研究流體運動中的動量傳遞問題，即局限于研究流體的運動規律，和它與固體、液體或大氣界面之間的相互作用力問題。60年代以后，能源、環境保護、化工和石油等領域中的流體力學問題逐漸受到重視，這類問題的特征是：尺寸小、速度低，并在流體運動過程中存在傳熱、傳質現象。這樣，流體力學除了研究流體的運動規律以外，還要研究它的傳熱、傳質規律。同樣，在固體、液2022/12/1085第一節流體力學的任務及發展概況2022/12/1086

液體或氣體界面處，不僅研究相互之間的作用力，而且還需要研究它們之間的傳熱、傳質規律。工程流體力學是研究流體（液體、氣體）處于平衡狀態和流動狀態時的運動規律及其在工程技術領域中的應用。流體力學的基礎理論由三部分組成。一是流體處于平衡狀態時，各種作用在流體上的力之間關系的理論，稱為流體靜力學；二是流體處于流動狀態時，作用在流體上的力和流動之間關系的理論，稱為流體動力學；三是氣體處于高速流動狀態時，氣體的運動規律的理論，稱為氣體動力學。工程流體力學的研究范疇是將流體流動作為宏觀機械運動進行研究，而不是研究流體的微觀分子運動，因而2022/12/1086液體或氣體界面處，不僅研究2022/12/1087

在流體動力學部分主要研究流體的質量守恒、動量守恒和能量守恒及轉換等基本規律。流體力學在工程技術中有著廣泛的應用。在能源、化工、環保、機械、建筑（給排水、暖通）等工程技術領域的設計、施工和運行等方面都涉及到流體力學問題。不同工程技術領域的流體力學問題有各自不同的特點，概括起來主要有三種不同流動形式：一是有壓管流，如流體在管道中的流動；二是繞流，如流體在流體機械中繞過翼型的流動；三是射流，如流體從孔口或管嘴噴出的流動。流體力學就是要具體地研究流體流動形式中的速度分布、壓力分布、能量損失，以及流體同固體之間的相互作用，同時也要研究流體平衡的條件。2022/12/1087在流體動力學部分主要研究流體2022/12/1088

流體力學作為一門獨立的學科，同其他自然科學一樣是人類為了滿足自身生活和生產的需要，在認識與改造自然的斗爭中，隨著實踐經驗的不斷積累，技術與知識水平的不斷提高才形成和發展起來的，有著漫長的發展歷程。其發展既依賴于科學實驗和生產實踐，又受到許多社會因素的影響。我國是世界上三大文明古國之一，有著悠久的歷史和燦爛的文化，由于生產發展的需要，遠在兩三千年以前，古代勞動人民就利用孔口出流的原理發明了刻漏、

銅壺滴漏（西漢時期的計時工具）。同時又發明了水磨、水碾等。在唐代以前，我國就出現了水輪翻車，宋元時代出現的水輪大紡車比英國早四五百年(英國在1796年發明)。北宋時期，在運河上修建的真州復閘，與14世紀末在荷蘭出現的同類船閘相比約早300多年。清朝雍正年2022/12/1088流體力學作為一門2022/12/1089

間，何夢瑤在《算迪》一書中提出了流量為過水斷面上平均流速乘以過水斷面面積的計算方法。我國在防止水患、興修水利方面也有著悠久的歷史。相傳4000多年前的大禹治水，就表明我國古代進行過大規模的防洪工作。在公元前256年至前210年間修建的都江堰、鄭國渠和靈渠三大水利工程，兩千多年來效益卓著。以上都說明了我國勞動人民的聰明智慧，當時對流體流動規律的認識已達到相當高的水平。14世紀以前，我國的科學技術在世界上是處于領先地位的。但是，近幾百年來由于閉關鎖國使我國的科學得不到應有的發展，以致在流體力學方面由古代的領先地位而落在后面。有明確記載的最早的流體力學原理是在公元前250年，希臘數學家及力學家阿基米德（Archimedes）發表2022/12/1089間，何夢瑤在《算迪》一書中提2022/12/1090

了一篇“論浮體”的論文，提出了浮體定律，這是流體力學的第一部著作。由于奴隸制、神權和宗教觀念的束縛，直到15世紀文藝復興時期，尚未形成系統的理論。16世紀以后，在歐洲由于封建制度的崩潰，資本主義開始萌芽，生產力有了發展。在城市建設、航海和機械工業發展需要的推動下，逐步形成近代的自然科學，流體力學也隨之得到發展。意大利的達·芬奇(Vinci，L.da)是文藝復興時期出類拔萃的美術家、科學家兼工程師，他倡導用實驗方法了解水流性態，并通過實驗描繪和討論了許多水力現象，如自由射流、旋渦形成原理等等。1612年伽利略（Galilei）提出了潛體的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．)給出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提出液體中壓力傳遞的定理；1686年牛頓（Newton,I.）發2022/12/1090了一篇“論浮體”的論文，提出2022/12/1091

表了名著《自然哲學的數學原理》對普通流體的黏性性狀作了描述，即現代表達為黏性切應力與速度梯度成正比—牛頓內摩擦定律。為了紀念牛頓，將黏性切應力與速度梯度成正比的流體稱為牛頓流體。

18世紀～19世紀，流體力學得到了較大的發展，成為獨立的一門學科。古典流體力學的奠基人是瑞士數學家伯努利(Bernoulli，D．)和他的親密朋友歐拉(Euler，L.)。1738年，伯努利推導出了著名的伯努利方程，歐拉于1755年建立了理想流體運動微分方程，以后納維(Navier,C.-L.-M.-H.)和斯托克斯(Stokes，G．G．)建立了黏性流體運動微分方程。拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人，將歐拉和伯努利所開創的新興的流體動力學推向完美的分析高度。但當時由于理論的假設與2022/12/1091表了名著《自然哲學的數學原理2022/12/1092

實際不盡相符或數學上的求解困難，有很多疑難問題不能不能從理論上給予解決。

19世紀末以來，現代工業迅猛發展，生產實踐要求理論與實際更加密切結合才能解決問題。1883年，雷諾(Reynolds，O.)用不同直徑的圓管進行實驗，研究了黏性流體的流動，提出了黏性流體存在層流和紊流兩種流態，并給出了流態的判別準則—雷諾數。12年后，他又引進紊流（或雷諾）應力的概念，并用時均方法，建立了不可壓縮流體作紊流運動時所應滿足的方程組，雷諾的研究為紊流的理論研究奠定了基礎。1891年，蘭徹斯特（F.W.）提出速度環量產生升力的概念，這為建立升力理論創造了條件，他也是第一個提出有限翼展機翼理論的人。進入20世紀以后，流體力學的理論與實驗研究除了在2022/12/1092實際不盡相符或數學上的求解2022/12/1093

已經開始的各個領域繼續開展以外，在發展航空航天事業方面取得了迅猛的發展。在運動物體的升力方面，庫塔（W.M.）和儒可夫斯基（N.E.）分別在1902年和1906年獨立地提出特殊的與一般的庫塔—儒可夫斯基定理和假定，奠定了二維升力理論的基礎。至于運動物體的阻力問題，至此仍缺乏完善的理論，人們普遍認為：尾渦是物體阻力的主要來源，遂將注意力轉向物體尾流的研究。1912年，卡門（T.von）從理論上分析了渦系（即卡門渦街）的穩定性。1904年普朗特(Prandtl，L.)提出了劃時代的邊界層理論，使黏性流體概念和無黏性流體概念協調起來，使流體力學進入了一個新的歷史階段。

20世紀中葉以后，流體力學的研究內容，有了明顯的轉變，除了一些較難較復雜的問題，如紊流、流動穩定性2022/12/1093已經開始的各個領域繼續開展以2022/12/1094