nnB'初中幾何中線段和與差

最值問題公司內部檔案編碼：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

初中幾何中線段和（差）的最值問題一、兩條線段和的最小值。基本圖形解析：一）、已知兩個定點：1、在一條直線m上，求一點P,使PA+PB最小;（1）點（1）點A、B在直線m兩側:A.2）點A、B在直線同側：2）點A、B在直線同側：A“mA'2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。1）兩個點都在直線外側：n2）一個點在內側，一個點在外側：mn

1）兩個點都在直線外側：n2）一個點在內側，一個點在外側：mn3）兩個點都在內側：nB'4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m3）兩個點都在內側：nB'4）、臺球兩次碰壁模型變式一：已知點A、B位于直線m,n的內的四邊形ADEB周長最短.n變式二：已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.nft二）、一個動點，一個定點：nft一）動點在直線上運動：點B在直線n上運動，在直線m上找一點P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）1、兩點在直線兩側n2、兩點在直線同側：mn2、兩點在直線同側：m二）動點在圓上運動點B在。0上運動，在直線m上找一點P,使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）1、點與圓在直線兩側：側：A在直線同2、點與圓

側：A在直線同2、點與圓、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側，且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)點A、B在直線m兩側:A-：-'m作法：過A點作AC〃m，且AC長等于PQ長，連接BC，交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。點A、B在直線m同側:?PQB'基礎題1.如圖1，ZA0B=45°，P是ZAOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求APQR周長的最小值為.

2、如圖2,在銳角三角形ABC中，AB=4忑，ZBAC=45°,ZBAC的平分線交BC于點D,M,N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值為.3、如圖3,在銳角三角形ABC中，AB=、邁，ZBAC=45,BAC的平分線交BC于D,M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是。4、如圖4所示，等邊AABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上5、如圖5,在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AD=4,AB=5,BC=6,點5、如圖5,在直角梯形ABCD中，ZABC=90°,AD〃BC,AD=4,AB=5,BC=6,點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，PB的長為6、如圖6,等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1,ZABC=60°,P是上底，下7、如圖7菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值為.8、如圖8,菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8,點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，貝則PM+PN的最小值是9、如圖9，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底3cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為10、如圖10所示，已知正方形ABCD蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為10、如圖10所示，已知正方形ABCD的邊長為8,點M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個動點，則DN+MN的最小值為.11、如圖11,MN是半徑為1的的直徑,110點A在?O上,ZAMN=30°,B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為()(A)2恵(B)運(C)1(D)2壓軸題1、如圖，正比例函數y=1x的圖象與反比例函數y=k(kH0)在第一2x象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M,已知三角形0AM的面積為1.1)求反比例函數的解析式；

2)如果B為反比例函數在第一象限圖象上的點(點B與點A不重2、如圖，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x,x(xVx)是拋物1212線y二ax2+bx+c與x軸的兩個交點B,C的橫坐標，且此拋物線過點A(3，6).求此二次函數的解析式；設此拋物線的頂點為P,對稱軸與AC相交于點Q,求點P和點Q的坐標；在x軸上有一動點M,當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標.3、如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(1,打),△AOB的面(1)求點B的坐標;(2)求過點A、0、B的拋物線的解析式;(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點匚使厶AOC的周長最小若存在，求出點C的坐標；若不存在,請說明理由.34?如圖’拋物線尸虧農18

"5x+3和y軸的交點為A,M為0A的中點，若出這個最短路程的長.如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，直角梯形0ABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA二AB=2,OC=3，過點B作BD丄BC，交OA于點D.將ZDBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F.（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）當BE經過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；6.如圖，已知平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A(2,—3),B(4,—1)若C(a,0)，D(a+3,0)2-是x軸上的兩個動點，則當a為何值時，四邊形ABDC1■的周長最短.-2-10-1-2-3■1111J012345-叮7、如圖，在平面直角坐標系中，矩形創的頂點0在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點P,使PA與PB的差最大;(1)點A、B在直線(1)點A、B在直線m同側:PP'解析：延長AB交直線m于點P,根據三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P'BVAB，而PA—PB二AB此時最大，因此點P為所求的點?！恪fV.B(2)點A、B在直線m異側:交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1,0）.（1）°、BfV.B（2）在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM—MC|的值最大，求出點M的坐標.3、在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（一4,—1）和（一2,—4.如圖，直線y=—、/3x+2與x軸交于點C，與y軸交于點B，點A為y軸正半軸上的一點，0A經過點B和點0,直線BC交。A于點D.

1)求點D的坐標；(2)過0,C,D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使線段PO與PD之差的值最大若存在，請求出這個最大值和點P的坐標.若不存在，請說明理由.5、拋物線的解析式為y=—x2+2x+3，交X軸與A與B,交y軸于C.⑴在其對稱軸上是否存在一點P,使/APC周長最小，若存在，求其坐標；試直接寫出點D的坐標；已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ丄x軸于點Q，連接0P.若以0、P、Q為頂點的三角形與△DA0相似，試求出點P的坐標；試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T,使得|T0-TB|的值最大7、如圖，已知拋物線C的解析式為y=-X2+2x+8,圖象與y軸交于D點，1并且頂點A在雙曲線上.求過頂點A的雙曲線解析式；若開口向上的拋物線C與C的形狀、大小完全相同，并且C的頂點212P始終在C1上，證明：拋物線C一定經過A點；2設(2)中的拋物線C的對稱軸PF與x軸交于F點，且與雙曲線交2于E點，當D、0、E、F四點組成的四邊形的面積為時，先求出P點坐標，并在直線y二x上求一點M,使|MD-MP丨的值最大.8、如圖，已知拋物線y=4x2+bx+c經過A(3,0),B(0,4).3求此拋物線解析式；若拋物線與x軸的另一交點為C,求點C關于直線AB的對稱點C'的坐標；若點D是第二象限內點，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E、F、H,問在拋物線的對稱軸上是否存在一點一點P,使得|PH—PA|的值最大若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由。三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊TOC\o"1-5"\h\z動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是()A.2邁2B.2^5Co2沅D.62、已知：在厶ABC中，BC=a,AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:如圖13,當點D與點C位于直線AB的兩側時，a=b=3，且ZACB=60。，則CD=；圖圖1圖2備圖圖圖1圖2備圖如圖14，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6,且ZACB=90。，則CD=；如圖15,當ZACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時,求CD的最大值及相應的ZACB的度數.3、在RtAABC中，ZACB=90°,tanZBAC=1.點D在邊AC上(不與2A，C重合)，連結BD，F為BD中點.若過點D作DE丄AB于E,連結CF、EF、CE，如圖1.設cfkEF，貝Hk=;若將圖1中的△ADE繞點A旋轉，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示.求證：BE-DE=2CF；(1)若BC=6，點D在邊AC的三等分點處，將線段AD繞點A旋轉，點F始終為BD中點,求線段CF長度的最大值.4、如圖，四邊形ABCD是正方形，AABE是等邊三角形，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接EN、AM、CM.⑴求證：△AMB9AENB；⑵①當M點在何處時，AM+CM的值最小;②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由;⑶當AM+BM+CM的最小值為朽1時，求正方形的邊長.5、如圖，二次函數y=-x2+bx+c與x軸交于點B和點A(T,0)，與y軸交于點C,與一次函數y二x+a交于點A和點D.求出a、b、c的值；若直線AD上方的拋物線存在點E,可使得AEAD面積最大，求點E的坐標;

點F為線段AD上的一個動點，點F到(2)中的點E的距離與到y軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點F的坐標.6、如圖，拋物線y=—(x+2)(x-4)(k為常數，且k〉0)與x軸從左到右8依次交于A、B兩點，與y軸交于點C,經過點B的直線y=-3x+b與拋3物線的另一交點為D.若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A,B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；在(1)的條件下，設F為線段BD上一點(不含端點)，連接AF,—動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線