二項式定理a 15(x—)(2x―)52，那么該展開式中常【2021新課標全國理，8】 XX的展開式中各項系數的和為數項為()?A.—40 B.—20C .20D.40【答案】D【解析】解法一■令得，(［卻)(2-1『亠解得0=1,第2個因式的通項公式汽環=q(2^環=q(2^(--y=q(-iyx2^^, /x當第1個因式取a第2固式展開式取XBP5-2r=-L解得廠記x去第1個因式?U，第乂因式展開式取即乩解得F也H???常數項為住(―D如丹十命(―應選m辭法二：用組合提取法「把原式看做3個因式相乘，假設第I個括號提出兀從余下的5個括號1 1 <叮1，中選2出無選吿個提出厶假設第■個括號提出5從余F的括號中選2個提出匕選3個ffiffix.故常歎項為遲?2鋁(土『丄尸E品=-40+80=40.【最新考綱解讀】二項式定理能用計數原理證明二項式定理.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.【回歸課本整合】1.二項式定理的展開式(ab)nCnan b…Qa"rbr…C：bn，其中組合數C：叫做第⑷項的二項式系數；展開式共有n+1項.注意：〔1〕項的系數與二項式系數是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數都為 1時，系數就是二項式系數。如在 (axb)"的展開式中，第r+1項的二項式系數為 C；，第

21項的系數為而〔乂顯廣的展開式中的系數就是二項式系數f⑵當口的數值不大時往往借助暢輝三第直接寫出各頊的二項式系軌C3〕審題時裳注意區分所求的是項還是第幾項？求的是條數還是二項式系數〔4護特例"獷=1+C^x+j'-+￡^jZ4-----Kjc?4* 茫 店§ziBitSflifiB 〞*護卅二項展開式中第件I項2；+產?尹0〔>=0丄芥?5〕稱為二項展幵式的通項，二項展開式通項的主旻用途是求指定的項■主妾用于求常數項、有理項和系數最大的項；求常協頃有理項和系數最犬的項時，要根據通項公式討論對尸的限帶仏求有理項時墓注意到指磁項數的整魏性. 嗔卿蹋黔 〞注意；⑴通項公式是表示第嚴+1項，而不是第尸項.⑵展開式中第嚴+1項飾二項式系數□與第廠十1項的系數不同?⑶通項公式中含有紐右衛6五個元事/只要知道其中的呼嚴個元素，就可以求出第五個元蓋在有關二項式定理的問題中'常常遇到這五個元蓋中嚴的假設干個,求另外幾個元素的問題，這糞間題一股是利用通項公式，把阿題歸納甘解方程〔或方程組〕?這里必須注意用是正整數.于是菲負整數且尸黑叭3.項的系數和二項式系數的性質m nm⑴對稱性：與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數相等〔 CnCn〕?〔2〕増減性2最大值：當r^Stl時.二項式系數C：閑值逐漸増尢當r>—值逐斷觀卜.且在中間取Z -得最犬值.當n為偶敵時，中間一項〔第丄十1項〕的二項式系數￡取得最九值.當n肉奇數2時，中間兩項〔第字和乎十:l項〕的二項式系數C亍二Q亍相等井局時取最大值.*〔3〕答二項式系數和：：〔1+jc/=1*CA+-4C><4-卅疋："令需=1，那么⑷用二項式定理進行近〔雄塞關聲是忖當地舍取不彫響稽度的項，一骰地’當同很屮時，有〔1±亂〕“畑1+ndf+一ti[n—【方法技巧提煉】

l/(13X)6(1J二)10例2 JX l/(13X)6(1J二)10例2 JX 展開式中的常數項為〔 〕A.1B.46C.4245D.4246例1設口N用為整數假設口和除得的余數相同，那么稱a和占胡W冊同余.C200BD.2006那么b的值可以是(丨血2021 8.2021解析；因a=1+ 2+ 21-+C^215那么2ffl=￡^F^2&+C^Llp-21+-Ccf'2^+I=Q+2J*+1=3M+1.(10-1)^+1_[C^l0ID+C^l+--c^[Cf(-l)■]+4402—_<i￡X那么起被血整除的余剛矗被M整隱的余數対L答案IL【點評】此類結構需要回歸沏二項式結構*把復朵的展開式根據通項公式吊緒構逬行合并.注意在合并之前裳需看清是否滿通項公式的結構恃征■評 產記為a=&(modffl)B應=1+(?，,+<?$二2+C爲二2丄+…+點二i1?,b-a(mod10)s⑵(ab)n(cd)m結構：①假設門、m中一個比擬小，可考慮把它展開得到多個；②觀察(ab)(cd)是否可以合并；③分別得到(ab)"、(cd)"的通項公式，綜合考慮.1.如何把握轉化類(艮二頂式SB閔二頊式疋理匚\ii-重耍的江譏展幾于習年喜忑打耍汶農道互刊肓二項式帚憶圧延伸和曠展是一個直點*豐富勢彩的箔構猶如縮UT,迷住了不少同學的叩就如何把15?(1)二項式展開式結構’根據給出的結構特征，通過拼湊使其淸足二項式定理展開式的特點，然后合舟從而到達化簡作用.答案：Dj _r_ 警Jr解析m分別求兩個因式的通頁I；+1=C^,石幀=C^rT\那么必匚瓦二〔^磅戶刁用尹 底- G護'FXoWrtIOWfWIQ那么--—-Oi解Sr=rr=Qlr=3'fir!=4,r=6且F=8.3 ° 左嚴“律* 護轎即常數項育1+C；化+C；%=4246【點評】此類結梅因兩個因式都是高派采用每個固式分別求其通項公式，然后進行合并.應該注盍兩個通項要區別八〞? "<3〕結構;①S+E祠=@+亦呼即把其中兩項看作一匝然后展開求解r②<〔口+治巧"二3+址r艮蘇卿公式把三項變咸二項?例3〔fx 2f的展開式中整理后的常數項為答案：2解析一；耳收=C^2-〔-+丄嚴，其中k滿足0<k<5.kG剋2xC-4-y-1的通項公式為二口^巳嚴其中OWfW比fE時令 芻解得1(=1/=2；k=3fr^l；k=5,r=O當Eg當Eg時，得展開式中項為0農2也=普；當護能 涉'斗 §邸bAXul時，得炭齊式中懸1誌;C期2?H=2炳;C期2?H=2炳;+解析二；〔蘭十一=空 滬丁那么當攝=罷取得常數頊K# 〞留神E時儈展開式中項齒U為綜上的展開式中整理后的常救項対空E ；：6辺 #川2【點■評】解析一采用的患路是〔應■+古〕次一頊，根據二項式走理展開，然后再考慮〔應+即的通項；解析二利用完全平方式逛行合并，把三項轉化育二項.⑷u+tr+仗4廠"+…結構:觀察各項是否組成等比數列，假設是可杲坤求和公式合并然后求解；假設不自缸就分別求解.例4在〔1—即十仕一力丘+〔1—鄧+[1—耳F〔X韭1〕的展開式中，會X3的項朋系數是〔A.74B.121 C.—74 D.—121護 A，答案：D解析*冷+葉卄口―忙A薩QSUPF]_QFl-0-x)口呵呻普的系數淘?二5Hl-嶄中k的系陵鄭?二-126/L2以局嚶.故遺D.【原評】此題采用等比數列求和公式把原式迸行育并，然后扌艮據二項式定理展開式公式進行求解.〔5〕/結構：^=〔〔a-i〕+5〕S然后展開分析求解.例5假設對于任意實數 X,有X’ ao ai〔x 2〕 a2〔x 2〕2 a3〔x 2/，那么a2的值為〔〕

36CAB目卩Cn9D.12答案：B解析：因x‘ ［2〔x 2〕］［那么 C32 r〔x 2〕36CAB目卩Cn9D.12答案：B解析：因x‘ ［2〔x 2〕］［那么 C32 r〔x 2〕［ a? Cl2 6.選b【點評】此題采用轉優思想化歸為二項箔構處理-汪鳶構造技巧-N賦值法的應用由于二項式定理是一6恒等式，對于広占刖一切取值均咸立，因此可將@0設定為一些特殊的值?使用賦值法時，令弧石取多少，應視情況而起常見常見的賦值育①1，-I.應用“賦值法〞可求得二項展開式中各項系數和7〔1〕.“奇數〔厲浚〕項"系數和芮廣分析哪一項滿泉條件.彳呃-/FQL以及“偶數〔奇沏項河系數和為ft/CH/l-切蘆聲 加3.系頸最大項的求法對于仗十的艮的系數最大項，設第F項的系數4醍大,由不等式組＜；＞J*妒嚴缶/■豈-罷環假設給出的是a—礦的結構，因各項之間正負相闔，園此先轉換光⑺亠礦的最丈項，然后中系數最丈的項.例5Or-呻展開式中前三項的系數成惡蚊列.⑴求打的附II〕求展開式解析：對于第二問求系數最大的項，因其展開式系數正負相間，可考慮轉化為其系數全部為正時系數最大.然后根據其展開式的奇數項系數為正，偶數項系數為負，確定系數最大項〔I〕由題設，得n=8,n=1〔舍去〕.4Cn21 ,即n29n80，解得〔II〕利甲羌系點.If設第卄1的索數最大，那么丿因次］〔兀一可轉換育求〔X-厶〕「展開式中系顫最天的項.2-Jx!j 押聲兵左呂g *￡ ￡ 丄1＞ 1 嘆〔gF2C^-1〕解得得r=2或尸亂那么系數最犬的直次耳■塢超耆」.丄事丄- 工旳齡汕 諮-9-r 念代〞4盤〞的第三項次1正，第四項沏負，那么其系數最大淘W 涉護#Lfe評】此題珂妙的把〔〞掙系數巖大轉化為轉換為求厲+擊F展開式中系敎叢大的項.以而匱免直接求解的麻煩.4.應用匕+刃嗦一甥的關系解題電尹 噴" °「才討尹〞s—礦=g“—僚舟千…4.應用匕+刃嗦一甥的關系解題電尹 噴" °「才討尹〞s—礦=g“—僚舟千…H—罟…戌“円裁如二巧:癖怎尸我得到關系；兩個展開式時奇數項審系數一樣,偶數項審系數互初皈翫(c+￡i)fl+(fl-frr=2(^￥C^V+—++■'-)(me-V*)加畀亦答案：2187trtb因展開式的各項系數正負相同第一個患路可判斷哪些為正，哪些曲負，然后求和-【點評】此題利用關系b采用思路二的解法逬行轉彳柑上匕起思路一巧妙自然?然后利用呱值法，得到各項系數審和. w? &【考場經驗分享】L區別出頂的棗報/與躋二項犬秦戴夠、審趣時證仔鈿.項的系戦與略Qt務評正可幽碎二項式累數只與e有笑，植掬正? 貳7 "切實連斛“常數項〞“有理項"(寫母榕歎為整數)"系飯盍丸的項"等概忿.求屣開式中的扌旨走頊，宴把該頊完整駕出，不能僅侃逛明是第幾頊.1.賦值出求廉開式中的杲就和或局部累妊，常咸的慢為嘰±1.農蘇鎳灣 祚甘嚴$?在化簡求值時*注肅二項式定理的逆囲.昊用整休息想帝待bb.匕命熱盍,T&位置在填空題的前兩道或選擇題的申間位置，弒題唯虔中低穆，故為得全俞護的題貝，試題陌解法比擬團也揀住通壩審式是關應仔編運算是根本，靈港賦值是保證，4 3 _曲衽整理通項必虬的時候，務必認冥仔細，尤算是T的次農.不晏想皆殊，一妣可耒囲將演算過程清楚時呈現，然后再檢查一遍是杏冬略.(A)36(B)-36(C)84 (D)-84例T(1一21于=%+幼兀卡吐X1…H■礙詁，那么血|+也卜?+|弄于"第二個思路可轉化丸(1+2jc)各項系魏的和.因為具各項系數坤為正?正好等于...I#如…+k丄 #嚴甘滲比|十血卜宦卜訐扁悽示(“20展開式中各頊的系數和，令工二1可得 ' -：?詢+W+I咄…+區卜(1+2幻)「=2187.【新題預測演練】1.【唐山市2021—2021學年度高三年級第一次模擬考試】在(JXI)9的展開式中，常數項為x答案］D解析］Tr,C；(仮)9r(-x93r)r c9(1)*丁0,r 3,那么常數項為c；(1)3 84.2.【浙江省2021年高三調研理科數學測試卷】假設口+七)5=厲+曲工+矽2+躊疋+34+應或打J1IJ囲+站+眄+超產(A)122 ?123 (CJ2+3 {D)244歹"管案］BBMfil兩式相減可得；3^兩式相減可得；3^+1=2(fli-Fa：+a5)-/.o)+os=?［恵州市加門屆高三第二次調胡君試數學試題)假設(血-丹的展開式中/的系數是弧那么買數。的值為(乩2-J2D.乩2-J2D.【答案】D【解析】(ax1)5的展開式中含x3的項為c5(ax)(1) 10ax，由題意得伽380,所以a2.選D.

02021廠西柳鐵一中第一袂月瘠】在二璇式〔—ixf的展并式稅厲號璇的二頊式磁之和為說MJRff式的中間頃的系散溝〔＞A*POD BLS€O ct1120 D.10SQ【答案】C【祐桁】因為偶皴頊的二頃貳奈教為訂述“_“乙"$艸展開式共有9頊.中1郎項為第$頃，3旳通頂公式jF=c；c“y、c;〔-m「三莖型藝*其系數為莒匕逝旦12?(12x)7aoaj(12x)7aoajXa?x2a?x,另E么玄丄 a? 83 玄4 玄5 a?鄉等于A.2B.—A.2B.—2C.1D.—1【解析】取x=l得〔1-2〕=碼十耳十殆十…寸半二一人又丁礙三hi.絢十碼—+tz^-—2_應選吐&［2021?陜西卷］〔護一2~7仗匸R〕展昇式中的常魏項是?］A.—20E.—15C.15D.20【答案】C 護〞 尹【解析】由坯L3F「可知所求們通項津斥一］=遍呼一q—2予=氓一嘰習才叫要出現常敵項，那么尸￡那么常數項為CK-1〕*=15S配選U7.［2021S淀區高三年級第一學朋期末試題】 3它加捽.〔用魏字作答〕?五+護的展.〔用魏字作答〕【答案】5【解析】耳楓=迢“尸"=C^T^—=i-'.r=L.-.云的系埶歸療2 f.T-fi.【保定市2021-2021學年度第一學盟高三閉末調偶假設試】的展開式中/的系數溝 -【答案］MI解析〔XA的展開式的通項公式為TnC8x8r〔X〕r〔1〕rC8x82r，令82r2，TOC\o"1-5"\h\z得r3，所以x2的系數為〔1〕'C8 569.【山東省館州市2021屆高三上學期期末考試藪學試駅】假設"魚益〞時斗血沁那么二項式〔兀-芻y展開式中的常數項為〔用數字作答〕 “聲￥【答秦】240【解析】嗆=P〔2cosh+4站為〔耘=〔2si■工-4cos菊店=趴由展開式的* 〞 /屛」通項為7；+1=C^〔r=C^通項為7；+1=C^〔r' ■ 隔嘲h通項中得240.10-I：山東省耒羌市ZE2屆高三上學期期末栓測】在〔2x-l〕+〔l+2x〕的展開式中，/項的系馥為.【答案】16【8?析】Cjx2:x2+C|x25k(-L)k1=48-32=16,11.【2021年上海市普通高等學校春季1B生考試】假設〔2工—1〕^=勺+碣x4-門出+碼X3+ +〔3-A?*那么繩+遇+阿+畋+還4礙=【答案】1【解析】〔2-1/=口；,+q廠岡+勺+口#+礙=1.12.【河北省唐山市2021ES三上學闍摸底考試較學】二項式*■護的展開式中，，項的系數為【答棗】15【解析】二項式的展開式的通項為Z；^=C>^y=C；^〔-yx^令6-r--=3#r=2!所以J頂KJ系數対Cf(-1)—15.【福州市2021屆第一學期期末高三質檢】在〔11X〕2〔1°x〕4的展開式中，x的系數等于_—用數字作答〕

【答案】-3【解析】〔1?x〕2展開式中x的系數為1,〔1'x〕4展開式中x的系數為C44，故在〔1仮〕？〔1晞的展開式中，x的系數等于-3.【