第24頁（共24頁）2021-2022學年遼寧省大連市高新園區名校聯盟八年級（下）月考數學試卷（4月份）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）1．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．（3分）下列各組數中，以它們為邊長的線段能構成直角三角形的是A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．12，15，203．（3分）下列運算正確的是A． B． C． D．4．（3分）如圖，在中，，，，以為邊作正方形，則正方形的面積為A．5 B．9 C．16 D．255．（3分）下列各式中，與能合并的是A． B． C． D．6．（3分）在一個直角三角形中，若斜邊的長是13，一條直角邊的長為5，那么這個直角三角形的面積是A．30 B．40 C．50 D．607．（3分）如圖，每個小正方形的邊長都相等，、、是小正方形的頂點，則的度數為A． B． C． D．8．（3分）已知實數在數軸上的對應點位置如圖，則化簡的結果是A． B． C．1 D．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，以點為圓心，以長為半徑畫弧交軸上點，則點的坐標為A． B． C． D．或10．（3分）下列命題：①全等三角形的對應角相等；②一個正數的絕對值等于本身；③若三角形的三邊長、、滿足，則該三角形是直角三角形；④等邊三角形的三個內角都等于．其中逆命題是真命題的是A．①② B．②③ C．③④ D．①②③二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）若代數式有意義，則實數的取值范圍是．12．（3分）在中，，若，則．13．（3分）已知長方形的面積為12，其中一邊長為，則該長方形的另一邊長為．14．（3分）在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面尺．15．（3分）已知，，則．16．（3分）如圖，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點落在邊上的點處，則折痕的長為．三、解答題（本題共4小題，其中17、18、19題各9分，20題12分，共39分）17．（9分）計算：（1）；（2）．18．（9分）已知，求代數式的值．19．（9分）如圖，在中，于點，，，．求與的長．20．（12分）如圖所示，一架25米長的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時梯子底端到墻的距離為7米．（1）求這個梯子的頂端距地面的高度的長；（2）如果梯子的頂端沿墻下滑4米到點，小明說梯子的底端在水平方向向右也滑動4米．你認為小明說的對嗎？請說明你的理由．四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）21．（9分）如圖，甲乙兩船從港口同時出發，甲船以16海里時的速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行，小時后，甲船到達島，乙船到達島，若兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？22．（10分）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：，，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．于是，二次根式除法可以這樣理解：如，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計算：①．②已知：，，求的值．23．（10分）在中，，是的中點，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點，交于點．（1）求證：；（2）求證：．五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）24．（11分）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中、、、均為正整數），則有，，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）若，且、、均為正整數，求的值；（3）化簡：．25．（11分）如圖，在等腰中，，，動點由點出發，沿邊以的速度運動到點停止，過作交或邊于點，過點作的平行線與過點作的平行線交于點．（1）填空：；（2）當點在邊上時，求的值；（3）與重合部分圖形的面積為，用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍．26．（12分）如圖1，在中，，，點在延長線，，點在邊上，四邊形為正方形．（1）填空：；（2）求的值；（3）連結交于點，如圖2，探究、、三條線段之間的數量關系，并證明．

2021-2022學年遼寧省大連市高新園區名校聯盟八年級（下）月考數學試卷（4月份）參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）1．（3分）下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【解答】解：、，不是最簡二次根式，不符合題意；、是最簡二次根式，符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：．2．（3分）下列各組數中，以它們為邊長的線段能構成直角三角形的是A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．12，15，20【解答】解：、，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構成直角三角形，故本選項符合題意；、，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；、，不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：．3．（3分）下列運算正確的是A． B． C． D．【解答】解：與不是同類二次根式，不能加減，故選項錯誤；，故選項錯誤；，故選項錯誤；，故選項錯誤．故選：．4．（3分）如圖，在中，，，，以為邊作正方形，則正方形的面積為A．5 B．9 C．16 D．25【解答】解：在中，，，，，正方形的面積，故選：．5．（3分）下列各式中，與能合并的是A． B． C． D．【解答】解：選項，原式，故該選項不符合題意；選項，原式，故該選項符合題意；選項，原式，故該選項不符合題意；選項，原式，故該選項不符合題意；故選：．6．（3分）在一個直角三角形中，若斜邊的長是13，一條直角邊的長為5，那么這個直角三角形的面積是A．30 B．40 C．50 D．60【解答】解：由勾股定理得，另一條直角邊長為：，這個直角三角形的面積為，故選：．7．（3分）如圖，每個小正方形的邊長都相等，、、是小正方形的頂點，則的度數為A． B． C． D．【解答】解：連接，設每個小正方形的邊長都是，根據勾股定理可以得到：，，，，是等腰直角三角形，，故選：．8．（3分）已知實數在數軸上的對應點位置如圖，則化簡的結果是A． B． C．1 D．【解答】解：由圖知：，，，原式．故選：．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點、的坐標分別為、，以點為圓心，以長為半徑畫弧交軸上點，則點的坐標為A． B． C． D．或【解答】解：點、的坐標分別為、，，，，，，點坐標為；點坐標為．故選：．10．（3分）下列命題：①全等三角形的對應角相等；②一個正數的絕對值等于本身；③若三角形的三邊長、、滿足，則該三角形是直角三角形；④等邊三角形的三個內角都等于．其中逆命題是真命題的是A．①② B．②③ C．③④ D．①②③【解答】解：①全等三角形的對應角相等的逆命題是對角線相等的三角形是全等三角形，逆命題是假命題；②一個正數的絕對值等于本身的逆命題是絕對值等于本身的是正數，原命題是假命題；③若三角形的三邊長、、滿足，則該三角形是直角三角形的逆命題是直角三角形的三邊長、、滿足，是真命題；④等邊三角形的三個內角都等于的逆命題是三個內角都等于的三角形是等邊三角形，是真命題；故選：．二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）若代數式有意義，則實數的取值范圍是．【解答】解：，，故答案為：．12．（3分）在中，，若，則18．【解答】解：在中，，，，，．故答案為：18．13．（3分）已知長方形的面積為12，其中一邊長為，則該長方形的另一邊長為．【解答】解：長方形的面積為12，其中一邊長為，該長方形的另一邊長為：．故答案為：．14．（3分）在《九章算術》中有一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？它的意思是：一根竹子原高一丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面4.55尺．【解答】解：設折斷處離地面尺，根據題意可得：，解得：，答：折斷處離地面4.55尺．故答案為：4.55．15．（3分）已知，，則．【解答】解：原式，故答案為：．16．（3分）如圖，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點落在邊上的點處，則折痕的長為．【解答】解：，，，．根據折疊的性質，，，．．在△中，設，則，根據勾股定理得．解得．．．三、解答題（本題共4小題，其中17、18、19題各9分，20題12分，共39分）17．（9分）計算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．18．（9分）已知，求代數式的值．【解答】解：，，代數式的值為．19．（9分）如圖，在中，于點，，，．求與的長．【解答】解：，，，，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，．答：的長為25，的長為15．20．（12分）如圖所示，一架25米長的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時梯子底端到墻的距離為7米．（1）求這個梯子的頂端距地面的高度的長；（2）如果梯子的頂端沿墻下滑4米到點，小明說梯子的底端在水平方向向右也滑動4米．你認為小明說的對嗎？請說明你的理由．【解答】解：（1）在中，由勾股定理得，即，所以，即這個梯子的頂端距地面的高度的長度是；（2）梯子的底端在水平方向滑動了．理由：云梯的頂端下滑了至點，，在△中，由勾股定理得，即．所以，即梯子的底端在水平方向滑動了．四、解答題（本題共3小題，其中21題9分，22、23題各10分，共29分）21．（9分）如圖，甲乙兩船從港口同時出發，甲船以16海里時的速度向北偏東航行，乙船向南偏東航行，小時后，甲船到達島，乙船到達島，若兩島相距17海里，問乙船的航速是多少？【解答】解：依題意可知：．在中，，（海里），海里，（海里），乙船的航速為（海里時）．22．（10分）閱讀材料：黑白雙雄、縱橫江湖；雙劍合璧、天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，取長補短，威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：，，它們的積不含根號，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．于是，二次根式除法可以這樣理解：如，．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去或把根號中的分母化去，叫做分母有理化．解決問題：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得．（2）計算：①．②已知：，，求的值．【解答】解：（1）的有理化因式可以是，分母有理化得：；故答案為：；（2）①原式；②，，．23．（10分）在中，，是的中點，以為腰向外作等腰直角，，連接，交于點，交于點．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），是的中點，，在和中，，，，，是等腰直角三角形，，，；（2），，，，，，，是等腰直角三角形，，，，即．五、解答題（本題共3小題，其中24、25題各11分，26題12分，共34分）24．（11分）閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中、、、均為正整數），則有，，．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當、、、均為正整數時，若，用含、的式子分別表示、，得：，；（2）若，且、、均為正整數，求的值；（3）化簡：．【解答】解：（1），，，．故答案為，；（2），，，，、均為正整數，、或，，或7；（3），則．25．（11分）如圖，在等腰中，，，動點由點出發，沿邊以的速度運動到點停止，過作交或邊于點，過點作的平行線與過點作的平行線交于點．（1）填空：；（2）當點在邊上時，求的值；（3）與重合部分圖形的面積為，用含的代數式表示，并直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）在等腰中，，，，故答案為：；（2）如圖，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，；（3）當時，重合部分的面積為的面積，；當時，如圖所示，設，分別交于點，，，，，，，是等腰直角三角形，，；當時，如圖所示，．綜上所述，