學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE31-學必求其心得，業必貴于專精章末復習提升課互斥事件、對立事件的概率某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顧客數（人）x3025y10結算時間（分鐘/人)11.522。53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55％.(1）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結算時間的平均值；（2)求一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率．（將頻率視為概率）【解】（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20。該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結算時間的平均值可用樣本平均數估計，其估計值為eq\f（1×15＋1.5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10，100)＝1。9(分鐘)．（2)記A為事件“一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘”，A1,A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為1。5分鐘”“該顧客一次購物的結算時間為2分鐘”．將頻率視為概率得P（A1)＝eq\f（15,100）＝eq\f（3,20)，P（A2）＝eq\f（30，100）＝eq\f（3,10）,P(A3）＝eq\f(25，100）＝eq\f(1,4）。因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P（A)＝P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P(A3)＝eq\f（3,20)＋eq\f(3,10）＋eq\f(1,4）＝eq\f(7，10)。故一位顧客一次購物的結算時間不超過2分鐘的概率為eq\f（7，10）.eq\a\vs4\al()（1）互斥事件與對立事件的概率計算①若事件A1,A2，…，An彼此互斥，則P(A1∪A2∪…∪An）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An）．②設事件A的對立事件是A，則P（A)＝1－P(A)．(2）求復雜事件的概率常用的兩種方法①將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和．②先求其對立事件的概率，然后再應用公式P（A）＝1－P(A）求解．受轎車在保修期內的維修費等因素的影響,企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關，某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌車保修期為3年,乙品牌車保修期為2年,現從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機抽取50輛，統計出在保修期內首次出現故障的車輛數據如下：品牌甲乙首次出現故障的時間x(年)0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11〈x≤2x>2轎車數量（輛）213442345(1）從該廠生產的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；(2）從該廠生產的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率．(注：將頻率視為概率)解：(1)設A，B,C分別表示甲品牌轎車首次出現故障在第1年，第2年和第3年之內，設D表示甲品牌轎車首次出現故障在保修期內，因為A，B，C是彼此互斥的，其概率分別為P(A)＝eq\f（2,50）＝eq\f（1,25）,P(B）＝eq\f(1，50），P(C)＝eq\f（3,50)，所以P（D)＝P（A∪B∪C）＝P（A)＋P（B)＋P(C)＝eq\f(3,25），即首次出現故障發生在保修期內的概率為eq\f(3，25）。（2)乙品牌轎車首次出現故障發生在保修期內的概率為eq\f（2＋3,50）＝eq\f(1，10).古典概型袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1，2。（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率．【解】(1)將標號為1，2，3的三張紅色卡片分別記為A,B，C，標號為1，2的兩張藍色卡片分別記為D，E。從這五張卡片中任取兩張的所有可能的結果為(A，B）,（A，C），(A，D）,(A，E)，（B,C)，（B，D)，（B，E），(C，D），(C，E)，(D，E），共10種．由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些樣本點的出現是等可能的．從這五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為（A，D），(A，E),（B,D）,共3種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為eq\f(3，10).(2）將標號為0的綠色卡片記為F。從這六張卡片中任取兩張的所有可能的結果為(A,B)，(A，C），(A,D)，(A，E)，（A，F)，（B，C），(B，D），（B，E）,（B，F)，（C，D)，（C，E），(C,F）,(D，E)，（D，F)，(E，F），共15種．由于每一張卡片被取到的機會均等，因此這些樣本點的出現是等可能的．從這六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的結果為（A，D)，（A，E）,(A，F)，（B，D)，（B，F），（C，F)，(D，F），(E，F)，共8種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標號之和小于4的概率為eq\f（8，15).eq\a\vs4\al（)求解古典概型概率“四步”法甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女,乙校1男2女．（1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名,求選出的2名教師性別相同的概率；（2)若從報名的6名教師中任選2名，求選出的2名教師來自同一學校的概率．解:（1)從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，所有可能的結果為（甲男1,乙男）、(甲男2,乙男)、（甲男1，乙女1)、（甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、（甲女，乙男），共9種；選出的2名教師性別相同的結果有(甲男1，乙男)、（甲男2,乙男)、（甲女，乙女1)、（甲女,乙女2)，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為eq\f(4，9).（2）從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結果為（甲男1，乙男）、（甲男2，乙男)、（甲男1，乙女1）、（甲男1，乙女2）、（甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2）、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2）、（甲男1，甲女）、（甲男2，甲女）、（乙男，乙女1）、(乙男,乙女2)、（乙女1，乙女2)，共15種；選出的2名教師來自同一學校的所有可能的結果為（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、(甲男2，甲女)、（乙男，乙女1)、（乙男，乙女2)、（乙女1，乙女2），共6種，所以選出的2名教師來自同一學校的概率為eq\f（6,15)＝eq\f（2，5)。事件的相互獨立性計算機考試分理論考試與實際操作考試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格",兩部分考試都“合格”者,則計算機考試“合格”并頒發“合格證書"．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為eq\f(4，5），eq\f（3,4)，eq\f(2,3)，在實際操作考試中“合格"的概率依次為eq\f（1,2)，eq\f（2，3),eq\f(5,6),所有考試是否合格相互之間沒有影響．（1）若甲、乙、丙三人同時進行理論與實際操作兩項考試，則誰獲得“合格證書”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得“合格證書"的概率．【解】（1)記“甲獲得‘合格證書’"為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B,“丙獲得‘合格證書'”為事件C，則P（A）＝eq\f（4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5），P（B）＝eq\f（3,4）×eq\f（2,3)＝eq\f（1，2)，P（C）＝eq\f（2,3)×eq\f(5，6)＝eq\f(5，9）,從而P（C）〉P（B)>P(A）,所以丙獲得“合格證書”的可能性大．(2）記“甲、乙、丙三人進行理論與實際操作兩項考試后，恰有兩人獲得‘合格證書'”為事件D，則P(D）＝P(ABeq\o(C，\s\up6（－））)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)）C）＋P（eq\o（A，\s\up6(－））BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1，2)×eq\f（4,9）＋eq\f（2,5)×eq\f（1，2)×eq\f（5,9)＋eq\f（3,5）×eq\f(1，2)×eq\f(5，9)＝eq\f（11,30）。eq\a\vs4\al()利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥的簡單事件的和．（2)將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件,轉化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件．（3)代入概率的積、和公式求解．設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0。6，0。5，0.5，0。4，各人是否需使用設備相互獨立，則同一工作日至少3人需使用設備的概率為(）A．0.25 B．0。30C．0.31 D．0.35解析:選C。設甲、乙、丙、丁需使用設備分別為事件A，B，C，D，則P（A)＝0.6,P(B)＝0。5，P(C）＝0。5，P（D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用設備的概率為P(ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD）＝0.6×0。5×0。5×0。6＋0。6×0。5×0.5×0。4＋0.6×0。5×0。5×0。4＋0。4×0。5×0。5×0。4＋0。6×0。5×0。5×0。4＝0。31.概率與統計的綜合問題某食品有限公司對生產的某種面包按行業標準分成五個不同等級，等級系數X依次為A,B，C，D,E。現從該種面包中隨機抽取20件樣品進行檢驗,對其等級系數進行統計分析，得到頻率分布表如下：XABCDE頻率0。10.20。450.150.1從等級系數為A,D,E的樣品中一次性任取兩件(假定每件樣品被取出的可能性相同）．（1）求取出的兩件樣品是等級系數為A與D的概率；(2)求取出的兩件樣品是不同等級的概率．【解】(1)A級所取的樣品數為20×0.1＝2，D級所取的樣品數為20×0。15＝3，E級所取的樣品數為20×0.1＝2.將等級系數為A的2件樣品分別記為a1，a2；等級系數為D的3件樣品分別記為x1，x2，x3；等級系數為E的2件樣品分別記為y1,y2；現從a1，a2,x1，x2,x3,y1，y2這7件樣品中一次性任取兩件，共有21個不同的結果，分別為(a1，a2)，(a1，x1），(a1，x2)，（a1,x3），（a1，y1），(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3),(a2，y1)，(a2,y2），(x1，x2）,(x1,x3)，（x1,y1），（x1,y2)，(x2,x3)，(x2,y1），(x2,y2），(x3，y1)，(x3，y2），(y1，y2）．記事件M為“取出的兩件樣品是等級系數為A與D”，則事件M所包含的樣本點有6個，分別為（a1，x1)，（a1,x2），(a1，x3），（a2，x1)，（a2,x2），（a2，x3）．所以事件M的概率P（M）＝eq\f（6，21)＝eq\f(2,7）。(2）法一：記事件N為“取出的兩件樣品是等級系數為A與E”，則事件N所包含的樣本點有4個，分別為（a1，y1），（a1，y2），(a2，y1）,(a2，y2)，所以事件N的概率P(N）＝eq\f（4，21)。記事件Q為“取出的兩件樣品是等級系數為D與E”,則事件Q所包含的樣本點有6個,分別為（x1，y1)，（x1，y2），（x2,y1)，（x2,y2），(x3，y1），（x3，y2），所以事件Q的概率P（Q）＝eq\f（6，21）＝eq\f（2,7)。因為事件M，N，Q為互斥事件，所以取出的兩件樣品是不同等級的概率為P(M∪N∪Q）＝P（M)＋P（N)＋P（Q）＝eq\f（16，21）。法二：記事件L為“取出的兩件樣品是不同等級”，則事件eq\o(L，\s\up6(－))為“取出的兩件樣品是同等級”，所以事件eq\o（L，\s\up6(－))所含的樣本點有5種，分別為（a1，a2），（x1，x2），(x1，x3），(x2，x3），(y1,y2)，所以事件eq\o(L，\s\up6(－）)的概率P(eq\o（L,\s\up6(－)))＝eq\f（5,21），所以P（L）＝1－P（eq\o（L,\s\up6(－）)）＝1－eq\f（5,21)＝eq\f（16，21),即取出的兩件樣品是不同等級的概率為eq\f(16,21）。eq\a\vs4\al(）解決概率與統計綜合問題應注意的問題在解決此類綜合問題時，應對圖表進行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息，排除無關數據的干擾，進而抓住問題的實質，達到求解的目的．某險種的基本保費為a(單位：元）,繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況,得到如下統計表：出險次數01234≥5頻數605030302010（1)記A為事件“一續保人本年度的保費不高于基本保費”．求P(A）的估計值；（2）記B為事件“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160％”．求P（B）的估計值；(3）求續保人本年度平均保費的估計值．解：(1)事件A發生當且僅當一年內出險次數小于2。由所給數據知，一年內出險次數小于2的頻率為eq\f(60＋50，200)＝0.55，故P（A）的估計值為0。55。(2)事件B發生當且僅當一年內出險次數大于1且小于4。由所給數據知,一年內出險次數大于1且小于4的頻率為eq\f（30＋30，200)＝0.3，故P（B)的估計值為0.3.(3）由所給數據得保費0.85aa1.25a1。5a1。75a2a頻率0.300。250。150.150。100.05調查的200名續保人的平均保費為0．85a×0。30＋a×0。25＋1.25a×0。15＋1.5a×0。15＋1。75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a。因此，續保人本年度平均保費的估計值為1。1925a.,1．(2019·福建省師大附中期中考試)袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中取出兩個球．設事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一個黑球"，則下列結論正確的是（)A．P與R是互斥事件B．P與Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件,但不是對立事件解析:選C。袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中取出兩個球，取球的方法共有如下幾類:①取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球；③取出的球一黑一白．事件R包括①③兩類情況，所以事件P是事件R的子事件，故A不正確;事件Q與事件R互斥且對立，所以選項C正確，選項D不正確；事件P與事件Q互斥,但不是對立事件,所以選項B不正確．故選C.2．甲、乙兩顆衛星同時獨立的監測臺風．在同一時刻，甲、乙兩顆衛星準確預報臺風的概率分別為0。8和0。75，則在同一時刻至少有一顆衛星預報準確的概率為()A．0。95 B．0.6C．0.05 D．0.4解析:選A。法一：在同一時刻至少有一顆衛星預報準確可分為：①甲預報準確，乙預報不準確；②甲預報不準確，乙預報準確;③甲預報準確，乙預報準確．這三個事件彼此互斥，故至少有一顆衛星預報準確的概率為0。8×(1－0。75）＋(1－0。8）×0。75＋0。8×0.75＝0.95.法二：“在同一時刻至少有一顆衛星預報準確”的對立事件是“在同一時刻兩顆衛星預報都不準確"，故至少有一顆衛星預報準確的概率為1－(1－0.8）×（1－0。75）＝0。95.3．（2019·江西省上饒市期末統考)甲、乙兩位同學玩游戲,對于給定的實數a1，按下列方法操作一次產生一個新的實數：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現兩個正面朝上或兩個反面朝上，則把a1乘以2后再減去6；如果出現一個正面朝上，一個反面朝上，則把a1除以2后再加上6，這樣就可得到一個新的實數a2，對實數a2仍按上述方法進行一次操作,又得到一個新的實數a3，當a3>a1時，甲獲勝，否則乙獲勝,若甲勝的概率為eq\f（3，4)，則a1的取值范圍是________．解析:由題意可知，進行兩次操作后，可得如下情況:當a3＝2（2a1－6)－6＝4a1－18,其出現的概率為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））eq\s\up12(2)＝eq\f（1，4），當a3＝eq\f（1，2）(2a1－6）＋6＝a1＋3,其出現的概率為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up12（2）＝eq\f（1，4）,當a3＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1,2）＋6)）－6＝a1＋6,其出現的概率為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))eq\s\up12(2)＝eq\f（1,4），當a3＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a1,2)＋6））＋6＝eq\f（a1,4)＋9,其出現的概率為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)eq\s\up12（2)＝eq\f(1,4），因為甲獲勝的概率為eq\f（3，4），即a3>a1的概率為eq\f(3，4）,則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（4a1－18≤a1，\f（a1,4）＋9〉a1)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（4a1－18〉a1，\f（a1,4)＋9≤a1)），整理得a1≤6或a1≥12。答案：(－∞，6]∪［12,＋∞)4．（2019·廣東省惠州市期末考試）2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，按閱讀時間分組：第一組[0，5),第二組[5，10），第三組［10，15)，第四組[15,20),第五組［20,25］，繪制了頻率分布直方圖如圖所示．已知第三組的頻數是第五組頻數的3倍．(1)求a的值，并根據頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現從第三、四、五這3組中用分層隨機抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”．經過比賽后,從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．解：(1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為1－（0。01＋0。07＋0。04）×5＝0.4，第三組的頻率為0.4×eq\f(3，1＋3)＝0.3，所以a＝eq\f（0.3，5)＝0.06.該樣本數據的平均數x＝2。5×0。01×5＋7。5×0。07×5＋12。5×0。06×5＋17。5×0.04×5＋22。5×0.02×5＝12.25，所以可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值為12。25小時．(2）易得從第三、四、五組抽取的人數分別為3,2，1，設為A，B，C，D,E,F，則從該6人中選拔2人的樣本點有:(A，B），（A，C)，(A,D)，(A，E)，（A，F)，（B,C）,（B，D），(B，E）,（B，F)，(C，D），（C，E)，（C，F)，（D，E），(D，F），(E，F)，共15個，其中來自不同的組別的樣本點有:(A，D）,(A，E），(A，F)，(B，D)，（B，E)，（B，F）,(C，D)，(C，E)，(C，F),（D,F），(E，F)，共11個，所以這2人來自不同組別的概率為eq\f(11，15）。[A基礎達標]1．老師為研究男女同學數學學習的差異情況,對某班50名同學(其中男同學30名，女同學20名）采取分層隨機抽樣的方法，抽取一個容量為10的樣本進行研究,則女同學甲被抽到的概率為（)A.eq\f(1，50) B.eq\f(1,10)C。eq\f(1，5) D。eq\f(1,4）解析：選C.因為在分層隨機抽樣中，任何個體被抽到的概率均相等，所以女同學甲被抽到的概率P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故應選C.2．由經驗得知，在人民商場付款處排隊等候付款的人數及其概率如下：排隊人數012345人及以上概率0。110.160。30.290。10。04則至多有2人排隊的概率為(）A．0。3 B．0.43C．0.57 D．0.27解析：選C.記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊"為事件C，A、B、C彼此互斥．記“至多有2人排隊”為事件E，則P(E）＝P(A＋B＋C)＝P（A)＋P(B)＋P(C）＝0。11＋0.16＋0。3＝0.57。3．一個三位數的百位，十位，個位上的數字依次為a，b，c，當且僅當a〉b，b〈c時稱為“凹數"（如213，312等)，若a，b，c∈｛1,2，3，4｝，且a，b，c互不相同，則這個三位數為“凹數”的概率是（)A。eq\f（1，6） B.eq\f(5,24)C.eq\f(1，3) D。eq\f(7，24)解析：選C.由1，2，3組成的三位數有123,132，213，231，312，321,共6個；由1，2，4組成的三位數有124，142，214,241,412，421，共6個；由1，3，4組成的三位數有134，143，314，341，413，431,共6個；由2，3，4組成的三位數有234，243，324，342,432，423，共6個．所以共有6＋6＋6＋6＝24個三位數．當b＝1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數”;當b＝2時，有324，423，共2個“凹數”．所以這個三位數為“凹數”的概率P＝eq\f(6＋2,24）＝eq\f(1，3）.4．四個人圍坐在一張圓桌旁,每個人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有人同時拋出自己的硬幣．若落在圓桌上時硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續坐著．那么，沒有相鄰的兩個人站起來的概率為（)A。eq\f(1，4) B。eq\f(7,16）C.eq\f(1,2) D。eq\f（9，16）解析：選B。拋四枚硬幣，總的結果有16種，“沒有相鄰的兩個人站起來"記為事件A，可分為三類：一是沒有人站起來，只有1種結果:二是1人站起來，有4種結果；三是有2人站起來,可以是AC或BD,有2種結果．所以滿足題意的結果共有1＋4＋2＝7種結果，P(A）＝eq\f(7,16）.故選B.5．某產品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產情況下,出現乙級品和丙級品的概率分別是0.05和0。03，則抽檢一件是甲級品的概率為________．解析：記抽檢的產品是甲級品為事件A,是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個事件彼此互斥,因而所求概率為P（A）＝1－P(B）－P(C）＝0。92。答案：0。926．甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為________．解析：甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍、白紅、白白、白藍、藍紅、藍白、藍藍9種，其中顏色相同的有3種，所以所求概率為eq\f(3，9)＝eq\f(1，3).答案：eq\f（1,3)7．加工某一零件需經過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1，70），eq\f(1,69)，eq\f(1,68),且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為________．解析：依題意得，加工出來的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,70））)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,69)）)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,68)))＝eq\f（67,70)，因此加工出來的零件的次品率是1－eq\f（67,70)＝eq\f（3，70)。答案：eq\f(3,70)8．設甲、乙、丙三個乒乓球協會的運動員人數分別為27,9，18。現采用分層隨機抽樣的方法從三個協會中抽取6名運動員組隊參加比賽．（1）求應從這三個協會中分別抽取的運動員的人數;(2)將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現從這6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽．(ⅰ）用所給編號列出所有可能的結果;（ⅱ）設A為事件“編號A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到”，求事件A發生的概率．解：(1)應從甲、乙、丙三個協會中抽取的運動員人數分別為3，1,2。(2）(ⅰ)從6名運動員中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為（A1，A2）,(A1，A3)，(A1,A4)，（A1,A5)，（A1,A6),（A2，A3）,（A2，A4)，(A2，A5)，（A2，A6），（A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6），(A4，A5），(A4,A6)，(A5，A6），共15種．（ⅱ）編號為A5和A6的兩名運動員中至少有1人被抽到的所有可能結果為（A1,A5），（A1，A6）,（A2，A5），(A2，A6），(A3，A5)，（A3，A6），（A4,A5），(A4，A6),（A5，A6）,共9種．因此，事件A發生的概率P(A）＝eq\f(9,15)＝eq\f（3,5)。9．（2019·江西省臨川第一中學期末考試）某學校為了解其下屬后勤處的服務情況,隨機訪問了50名教職工，根據這50名教職工對后勤處的評分情況,繪制頻率分布直方圖如圖所示,其中樣本數據分組區間為［40，50)，[50，60)，…，[80，90),［90，100］．(1)估計該學校的教職工對后勤處評分的中位數(結果保留到小數點后一位）；（2）從評分在［40,60）的受訪教職工中，隨機抽取2人，求此2人中至少有1人對后勤處評分在[50，60)內的概率．解：（1）由頻率分布直方圖，可知（0。004＋a＋0。018＋0。022×2＋0.028）×10＝1，解得a＝0。006。設該學校的教職工對后勤處評分的中位數為x0，有（0。004＋0。006＋0.022）×10＋0。028·（x0－70)＝0。5,解得x0≈76。4(分）,故該學校的教職工對后勤處評分的中位數約為76.4。(2)由頻率分布直方圖可知，受訪教職工評分在[40，50)內的人數為0。004×10×50＝2(人),受訪教職工評分在［50，60)內的人數為0.006×10×50＝3（人)．設受訪教職工評分在［40，50)內的兩人分別為a1，a2,在[50，60)內的三人分別為b1,b2,b3,則從評分在[40,60）內的受訪教職工中隨機抽取2人,其樣本點有(a1,a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3)，（a2,b1)，(a2，b2），(a2，b3)，(b1，b2），(b1，b3)，（b2，b3），共10個，其中2人評分至少有一人在［50，60）內的樣本點有9個，故2人評分至少有1人在［50，60)內的概率為eq\f(9，10）.[B能力提升］10．(2019·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人獲得一等獎的概率分別為eq\f（2,3）和eq\f（3，4），甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為（)A。eq\f（3，4) B。eq\f（2,3)C.eq\f（5，7) D.eq\f(5,12)解析:選D.根據題意,恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（3，4）)）＋eq\f(3，4)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2，3）））＝eq\f(5，12）.故選D。11．若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為(）A.eq\f（2，3） B。eq\f(2,5)C.eq\f(3，5) D.eq\f（9,10)解析:選D。記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，樣本點有（甲,乙，丙）、(甲,乙，丁)、(甲,乙，戊）、(甲，丙，丁)、(甲，丙,戊）、(甲，丁，戊)、(乙,丙，丁)、（乙，丙,戊)、（乙,丁,戊）、（丙，丁，戊），共10個，而事件A的對立事件eq\o（A，\s\up6(－）)僅有(丙,丁，戊）一種可能,所以事件A的對立事件eq\o（A，\s\up6(－）)的概率為P（eq\o（A,\s\up6(－)))＝eq\f（1，10），所以P（A）＝1－P（eq\o（A，\s\up6(－）)）＝eq\f(9，10)。故選D.12．甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條,則這2條棱互相垂直的概率為（)A.eq\f（22，81) B。eq\f(37，81）C.eq\f（44，81) D.eq\f(59，81）解析：選C。由題意知本題是一個古典概型，試驗發生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條,乙從這9條棱中任選一條，共有9×9＝81（種）結果，滿足條件的事件是這2條棱互相垂直，所有可能情況是當甲選底面上的一條直角邊時，乙有5種選法，共有4條直角邊,則共有20種結果；當甲選底面上的一條斜邊時，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊,則共有6種情況；當甲選一條側棱時,乙有6種選法，共有3條側棱，則共有18種結果．綜上所述，共有20＋6＋18＝44（種）結果，故這2條棱互相垂直的概率是eq\f(44,81).13．（2019·廣東省東莞市調研測試)某電商在雙十一搞促銷活動，顧客購滿5件獲得積分30分（不足5件不積分），每多買2件再積20分（不足2件不積分)，比如某顧客購買了12件，則可積90分．為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機抽取了1000名顧客，統計了當天他們的購物數額,并將樣本數據分為[3，5)，[5，7)，[7，9），[9，11），[11,13)，[13，15)，[15，17），[17，19)，［19,21]九組，整理得到如圖頻率分布直方圖．（1)求直方圖中a的值；(2）從當天購物數額在［13，15），［15，17）的顧客中按分層隨機抽樣的方法抽取6人．那么，從這6人中隨機抽取2人，求這2人積分之和不少于240分的概率．解:(1)各組的頻率分別為0.04,0。06，2a，2a，6a，0。2,2a，0。