中考數(shù)學重點難點解析（附答案）1、如圖，在方格紙中有四個圖形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面積相等的圖形是（A）A.<1>和<2> B.<2>和<3> C.<2>和<4> D.<1>和<4>2、二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（D）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞03、如圖，把紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內(nèi)部時，則及之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（B）A. B.C. D.4、甲、乙兩同學約定游泳比賽規(guī)則：甲先游自由泳到泳道中點后改為蛙泳，而乙則是先游蛙泳到泳道中點后改為自由泳，兩人同時從泳道起點出發(fā)，最后兩人同時游到泳道終點。又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人離開泳道起點的距離s及所用時間t的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示，則下列選項中正確的是（C）A.甲是圖<1>，乙是圖<2> B.甲是圖<3>，乙是圖<2>C.甲是圖<1>，乙是圖<4> D.甲是圖<3>，乙是圖<4>5、已知：如圖，點A在y軸上，⊙A及x軸交于B、C兩點，及y軸交于點D(0，3)和點E(0，－1)，（1）求經(jīng)過B、E、C三點的二次函數(shù)的解析式；（2）若經(jīng)過第一、二、三象限的一動直線切⊙A于點P（s，t），及x軸交于點M，連結(jié)PA并延長及⊙A交于點Q，設(shè)Q點的縱坐標為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并觀察圖形寫出自變量t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當y＝0時，求切線PM的解析式，并借助函數(shù)圖象，求出（1）中拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍。解：（1）解法一：連結(jié)AC，DE為⊙A的直徑，，∴BO＝CO。又∵D(0，3)，E(0，－1)，∴DE＝｜3－(－1)｜＝4，OE＝1，AO＝1，AC＝DE/2＝2。在直角三角形AOC中，AC2＝AO2＋OC2，∴OC＝，C(，0)，B(－，0)。設(shè)經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式為y＝a(x－)(x＋)，則，解得，∴。解法二：DE為⊙A的直徑，，∴BO＝CO，OC2＝OD·OE，又∵D(0，3)，E(0，－1)，∴DO＝3，OE＝1，∴OC2＝3×1＝3，OC＝，∴C(，0)，B(－，0)。以下同解法一。（2）過點P作軸于F，過點Q作軸于N。∴∠PFA＝∠QNA＝900，F(xiàn)點的縱坐標為t，N點的縱坐標為y。∵∠PAF＝∠QAN，PA＝QA，∴△PFA≌△QNA，F(xiàn)A＝NA。又AO＝1，∴A(0，1)，｜t－1｜＝｜1－y｜。動切線PM經(jīng)過第一、二、三象限，觀察圖形可得，∴t－1＝1－y，即，∴y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為。（3）當時，Q點及C點重合，連結(jié)PB。PC為⊙A的直徑即軸將y＝0代入y＝－t＋2（1＜t＜3＝，得0＝－和＋2，∴t＝2，∴P(－，2)。設(shè)切線PM及y軸交于點I，則在及中。∴△API∽△AOC，∴，即2/1＝AI/2。∴AI=4,OI=5。∴I點坐標為（0，5）。設(shè)切線PM的解析式為y＝kx＋5（k≠0）P點的坐標為（－，2），∴2＝－k＋5，解得切線PM的解析式為設(shè)切線PM及拋物線交于G、H兩點由可得因此，G、H的橫坐標分別為根據(jù)圖象可得拋物線在切線PM下方的點的橫坐標x的取值范圍是6、如果只用正三角形作平面鑲嵌（要求鑲嵌的正三角形的邊及另一正三角形有邊重合），則在它的每一個頂點周圍的正三角形的個數(shù)為（D）A．3B.4C.5D.6OhOhtAOhtBOhtCOhtD8、已知拋物線y＝2x2+bx－2經(jīng)過點A（1，0）。(1)求b的值；(2)設(shè)P為此拋物線的頂點，B（a,0）（a≠1）為拋物線上的一點，Q是坐標平面內(nèi)的點。如果以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，試求線段PQ的長。OQPQxAQYB解：（1）由題意得2OQPQxAQYB(2)由（1）知y=2x2-2∴拋物線的頂點為（0，-2）∵B（a,0）(a≠1)為拋物線上的點，∴2a2-2=0解得a1=-1,a2=1（舍去）∴B(-1,0)符合題意的Q點在坐標平面內(nèi)的位置有下述三種：如圖，eq\o\ac(○,1)當Q在y軸上時,∵四邊形QBPA為平行四邊形，可得QO=OP=2，∴PQ=4eq\o\ac(○,2)當點Q在第四象限時，∵四邊形QBPA為平行四邊形，∴PQ=AB=2eq\o\ac(○,3)當點Q在第三象限時，同理可得PQ=2。OOxyABA1B19、如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB1A1(1)請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點A2、B2（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；(2)連結(jié)A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B(3)設(shè)線段AB兩端點的坐標分別為A（-2，4）、B（-4，2），連結(jié)（1）中A2B2，試問在χ軸上是否存在點C，使△A1B1C及△A2B2解：（1）如圖，A2、B2為所求的點。（2）（證法1）設(shè)A（x1,y1）、B(x2,y2)依題意及（1）可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2)∴A1、、B1關(guān)于x軸的對稱點是A2、B2，∴x軸垂直平分線段A1A2、B1B（3）存在符合題意的C點。由（2）知A1及A2，B1及B2均關(guān)于x軸對稱,∴連結(jié)A2B1交x軸于C，點C為所求的點。∵A（-2，4），B（-4，2），依題意及（1）得B1（4，2），A2（2，-4）。設(shè)直線A2B1的解析式為y=kx+b則有解得∴直線A2B1的解析式為y=3x-10。令y=0,得x=,∴C的坐標為（，0）。綜上所述，點C（，0）能使△A1B1C及△A2B2C的周長之和最小。10、周末某班組織登山活動，同學們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發(fā)。設(shè)甲、乙兩組行進同一段所用的時間之比為2∶3。(1)直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；(2)當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米。試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h？(3)在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句外）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處及乙組相遇。請你先根據(jù)以上情景提出一個相應的問題，再給予解答（要求：eq\o\ac(○,1)問題的提出不得再增添其他條件；eq\o\ac(○,2)問題的解決必須利用上述情景提供的所有已知條件）解：（1）甲、乙兩組行進速度之比為3∶2（2）（法1）設(shè)山腳離山頂?shù)穆烦虨镾千米，依題意可列方程：，解得S=3.6(千米)(3)可提問題：“問B處離山頂?shù)穆烦绦∮诙嗌偾祝俊痹俳獯穑涸O(shè)B處離山頂?shù)穆烦虨閙千米（m>0）甲、乙兩組速度分別為3k千米/時，2k千米/時（k>0）依題意得：，∴解得m<0.72(千米)答：B處離山頂?shù)穆烦绦∮凇?1、如圖，已知矩形ABCD，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（C）（A）線段EF的長逐漸增大（B）線段EF的長逐漸減小（C）線段EF的長不改變（D）線段EF的長不能確定12、如圖，AC＝6，B是AC上的一點，分別以AB、BC、AC為直徑作半圓，過點B作BD⊥AC，交半圓于點D．設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為；以BC為直徑的圓的圓心為，半徑為。⑴求證：；⑵以AC所在的直線為x軸，BD所在直線為y軸建立直角坐標系．如果：＝1：2．求經(jīng)過A、D、C三點的拋物線的函數(shù)解析式；⑶如果（2）所確定的拋物線及以AC為直徑的半圓交于另一點E．已知P為弧ADE上的動點（P及A、E點不重合），連結(jié)弦CP交EO2*于F點．設(shè)CF＝x，CP＝y(tǒng)．求y及x的函數(shù)解析式，并確定自變量x的取值范圍．13、學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人（如圖所示）。按照這種規(guī)定填寫下表的空格：2n+214、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB是直徑．（1）請你添加一個條件，使圖中的四邊形ABCD成等腰梯形，這個條件是（只需填一個條件）。（2）如果CD＝AB，請你設(shè)計一種方案，使等腰梯形ABCD分成面積相等的三部分，并給予證明．15、閱讀下列一段話，并解決后面的問題．觀察下面一列數(shù)：1，2，4，8，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第2項起，每一項及它前一項的比都等于2．一般地，如果一列數(shù)從第2項起，每一項及它前一項的比都等于同一個常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比．（1）等比數(shù)列5，－15，45，……的第4項是；（2）如果一列數(shù)，，，，……是等比數(shù)列，且公比為q，那么根據(jù)上述的規(guī)定，有,,,……所以，，，……，＝（用及q的代數(shù)式表示）（3）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項及第4項．16、如圖，以A（O，）為圓心的圓及x軸相切于坐標原點O，及y軸相交于點B，弦BD的延長線交x軸的負半軸于點E，且∠BEO＝60°，AD的延長線交x軸于點C．（1）分別求點E、C的坐標；（2）求經(jīng)過A、C兩點，且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)拋物線的對稱軸及AC的交點為M，試判斷以M點為圓心，ME為半徑的圓及⊙A的位置關(guān)系，并說明理由．17、若正比例函數(shù)y＝（1－2m）x的圖像經(jīng)過點A（，）和點B（，），當＜時＞，則m的取值范圍是（D）（A）m＜0（B）m＞0（C）m＜（D）m＞18、下列各圖是在同一直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)及一次函數(shù)y＝ax＋c的大致圖像，有且只有一個是正確的，正確的是（D）（A）（B）（C）（D）20、已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關(guān)于x的方程的兩個根。（1）當m＝2和m＞2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形？并說明理由．（2）若M、N分別是AD、BC的中點域段MN分別交AC、BD于點P、Q，PQ＝1，且AB＜CD，求AB、CD的長；（3）在（2）的條件下，AD＝BC＝2，求一個一元二次方程，使它的兩個根分別是tan∠BDC和tan∠BCD．21、已知：拋物線經(jīng)過A（1，0）、B（5，0）兩點，最高點的縱坐標為4，及y軸交于點C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若△ABC的外接圓⊙O’交y軸不同于點c的點D’，⊙O’的弦DE平行于x軸，求直線CE的解析式；（3）在x軸上是否存在點F，使△OCF及△CDE相似？若存在，求出所有符合條件的點F的坐標，并判定直線CF及⊙O’的位置關(guān)系（要求寫出判斷根據(jù)）；若不存在，請說明理由．22、如圖是一個正方體包裝盒的表面展開圖，若在其中的三個正方形A、B、C內(nèi)分別填上適當?shù)臄?shù)，使得將這個表面展開圖沿虛線折成正方體后，相對面上的兩數(shù)互為相反數(shù)，則填在A、B、C內(nèi)的三個數(shù)依次是（A）（A）0，－2，1（B）0，1，－2（C）1，0，－2（D）－2，0，123、如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，且弧AC為半圓的．設(shè)扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積分別為S1、S2、S3測下列結(jié)論正確的是（B）（A）S1＜S2＜S3（B）S2＜S1＜S3（C）S2＜S3＜S1（D）S3＜S2＜S124、一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向及原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（A）A、第一次向左拐300，第二次向右拐300B、第一次向右拐500，第二次向左拐1300C、第一次向右拐500，第二次向右拐1300D、第一次向左拐500，第二次向左拐130025、如上圖：這是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為1.2米，桌面距離地面1米，若燈泡距離地面A、平方米B、平方米C、平方米D、平方米26、如圖：向放在水槽底部的燒杯注水（流量一定），注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度及注水時間之間的函數(shù)關(guān)系大致是下列圖象中的（）27、如圖：已知A為∠POQ的邊OQ上一點，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN＝∠POQ＝（為銳角），當∠MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從及AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（∠MAN保持不變）時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平行移動，設(shè)OM＝，ON＝（＞≥0），△AOM的面積為，若、OA是方程的兩個根。（1）當∠MAN旋轉(zhuǎn)300（即∠OAM＝300）時，求點N移動的距離；（2）求證：AN2＝ON·MN（3）求y及x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（4）試寫出S隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍。解：28、平面直角坐標系內(nèi)，點A（，）一定不在（C）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限20、如圖：⊙O的直徑為10cm，弦AB為8cm，P是弦AB上一點，若OP的長為整數(shù)，則滿足條件的點P有（D）A、2個B、3個C、4個D、5個21、為了保護環(huán)境，某企業(yè)決定購買10臺污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表：

A型B型價格（萬元／臺）1210處理污水量（噸／月）240200年消耗費（萬元／臺）11經(jīng)預算，該企業(yè)購買設(shè)備的資金不高于105萬元。（1）請你設(shè)計該企業(yè)有幾種購買方案；（2）若企業(yè)每月產(chǎn)生的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應選擇哪種購買方案；（3）在第（2）問的條件下，若每臺設(shè)備的使用年限為10年，污水廠處理污水費為每噸10元，請你計算，該企業(yè)自己處理污水及將污水排到污水廠處理相比較，10年節(jié)約資金多少萬元？（注：企業(yè)處理污水的費用包括購買設(shè)備的資金和消耗費）解：（1）設(shè)購買污水處理設(shè)備A型臺，則B型臺，由題意知：≤105又∵是非負整數(shù)∴可取0、1、2∴有三種購買方案：①購A型0臺，B型10臺；②購A型1臺，B型9臺；③購A型2臺，B型8臺；（2）由題意得≥，解得≥1∴為1或2當＝1時，購買資金為：12×1＋10×9＝102（萬元）當＝2時，購買資金為：12×2＋10×8＝104（萬元）∴為了節(jié)約資金，應選購A型1臺，B型9臺。（3）10年企業(yè)自己處理污水的總資金為：102＋10×10＝202（萬元）若將污水排到污水廠處理，10年所需費用為：2040×12×10×10＝（元）＝（萬元）∵－202＝（萬元）∴能節(jié)約資金萬元。22、已知，直角坐標系中的梯形AOBC中，AC∥OB，AC、OB的長分別是關(guān)于的方程的兩根，并且∶＝1∶5（自畫草圖）（1）求AC、OB的長；（2）當BC⊥OC時，求OC的長及OC所在直線的解析式；（3）在第（2）問的條件下，線段OC上是否存在一點M，過M點作軸的平行線交軸于F，交BC于D，過D點作軸的平行線交軸于E，使＝，若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由。解：（1）∵∶＝1∶5∴AC∶OB＝1∶5不妨設(shè)AC＝，則OB＝由題意得解得或（不符題意；舍去）∴AC＝1，OB＝5（2）∵∠OAC＝∠BCO＝900，∠ACO＝∠BOC∴△OBC∽△COA∴，即∴OC＝或OC＝－（舍去）∵AC＝1，AO＝2∴C（1，2）∴直線OC的解析式為＝（3）存在點M，，23、先閱讀下面一段材料，再完成后面的問題：材料：過拋物線y=ax2（a>0）的的對稱軸上一點（0,eq-\f(1,4a)）作對稱軸的垂線l，則拋物線上任意一點P到點F（0,eq\f(1,4a)）的距離及P到l的距離一定相等，我們將點F及直線l分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x2的焦點為（0,eq\f(1,4)）。問題：若直線y=kx+b交拋物線y=eq\f(1,4)x2于A、B、AC、BD垂直于拋物線的準線l，垂直足分別為C、D（如圖）.①求拋物線y=eq\f(1,4)x2的焦點F的坐標；②求證：直線AB過焦點時，CF⊥DF；③當直線AB過點（-1,0），且以線段AB為直徑的圓及準線l相切時，求這條直線對應的函數(shù)解析式。解：①∵a＝，∴F(0，1)。②∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，又AC∥OF，∴∠ACF＝∠CFO，∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO。而∠AFO＋∠BFO＝1800，∴∠CFO＋∠DFO＝(∠AFO＋∠BFO)/2＝900，∴CF⊥DF。③設(shè)圓心為M切L于N，連結(jié)MN，∴MN＝AB/2。在直角梯形ACDB中，M是AB的中點，∴MN＝(AC＋BD)/2，而AC＝AF，BD＝BF，∴MN＝(AF＋BF)/2，∴AF＋BF＝AB，∴AB過焦點F(0，1)。∴b＝1，－k＋b＝0，所以AB對應的函數(shù)解析式為y＝x＋1。24、如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF分別為AB、CD的弦心距，如果AB＝CD則可得出結(jié)論（至少填寫兩個）。（提示：OE＝OF，∠AOB＝∠COD，其他線段相等，三角形相等，角度相等均可。）25、如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)四個圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個扇形（陰影部分）的面積之和是（B）（A）2л（B）л（C）л（D）26、如圖，已知⊙和⊙相交于A、B兩點，DP是⊙的切線，切點為P，直線PD交⊙于C、Q，交AB的延長線于D．（1）求證：＝DC·DQ；（2）若OA’也是⊙的切線，求證：方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）若點C為PQ的中點，且DP＝r，DC＝x，求y及x的函數(shù)關(guān)系式，并求∶的值．27、已知如圖，拋物線及x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，及y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P及y軸相切于點A，M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交拋物線于N，交⊙P于D．⑴填空：A點坐標是，⊙P半徑的長是，a＝，b＝，c＝；⑵若∶＝15∶2，求N點的坐標；⑶若△AOB及以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB?MD的值．解：·······Q··y圖9－3－2－1O1··2345······123－1－2ABMCNx·28、已知二次函數(shù)的圖象如圖9所示（拋物線及x軸、y軸分別交于點A(－1,0)、B(2,0)、C(0,－2)）．（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標．若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當點N在線段MB上運動時（點N不及點B、點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s及t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（4）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x－2)，∴－2=a×1×(－2)，∴a=1，∴y=x2－x－2；其頂點M的坐標是()．（2）設(shè)線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，點N的坐標為N(t,h),∴解得：k=，b=－3，∴線段BM所在的直線的解析式為y=x－3．∴h=t－3，∵－2<h<0，∴－2<t－3<0，即<t<2，∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=×1×2+（2+∣∣）t=．∴s及t間的函數(shù)關(guān)系式為s=．自變量t的取值范圍為<t<2．(3)存在符合條件的點P，且坐標是P1（），P2（）．設(shè)點P的坐標為P(m,n)，則n=m2－m－2．PA2=(m+1)2+n2,PC2=m2+(n+2)2,AC2=5．分以下幾種情況討論：若∠PAC=90°，則PC2=PA2+AC2．∴解得：m1=,m2=－1（舍去）∴P1()．若∠PCA=90°，則PA2=PC2+AC2．∴解得：m3=,m4=0（舍去）∴P2()由圖像觀察得，當點P在對稱軸右側(cè)時，PA>AC，所以邊AC的對角∠APC不可能為直角．（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖2，此時未知頂點坐標是點D（－1，－2），以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖3，此時未知頂點坐標是E（－），F(xiàn)（）．易證△AEO∽△OFC,∴,又AC=,設(shè)OE=a,則OF=－a,AE=,由勾股定理得：()2+a2=1,∴a=．∴OE=,再設(shè)點E的坐標為(x,y),由射影定理得:x=－,y=,∴此時未知頂點坐標是E（－）；同理可求得點F的坐標為（）．29、如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是cm2．（49。運用勾股定理。）30、如圖①，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm．點P從A出發(fā)，沿A、B、C、D路線運動，到D停止；點Q從D出發(fā)，沿D→C→B→A路線運動，到A停止．若點P、點Q同時出發(fā)，點P的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒2cm，a秒時點P、點Q同時改變速度，點P的速度變?yōu)槊棵隻cm，點Q的速度變?yōu)槊棵雂cm．圖②是點P出發(fā)x秒后上△APD的面積S1（）及x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象；圖③是點Q出發(fā)x秒后△AQD的面積S2（）及x（秒）的函數(shù)關(guān)系圖象．⑴參照圖②，求a、b及圖②中c的值；⑵求d的值；⑶設(shè)點P離開點A的路程為y1（cm），點Q到點A還需走的路程為y2（cm），請分別寫出動點P、Q改變速度后y1、y2及出發(fā)后的運動時間x（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并求出P、Q相遇時x的值．⑷當點Q出發(fā)秒時，點P、點Q在運動路線上相距的路程為25cm．31、用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：⑴第4個圖案中有白色地面磚塊；（18）⑵第n個圖案中有白色地面磚塊．（4n＋2）32、有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點（但不及頂點重合），若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB＝a，AD＝b．BE＝x．⑴求證：AF＝EC；⑵用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE’B’C．①當x∶b為何值時，直線E’E經(jīng)過原矩形的一個頂點？②在直線E’E經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連結(jié)BE’，直線BE’及EF是否平行？你若認為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當a及b有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直？33、如圖8，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（及C、D不重合），使三角尺的直角頂點及點P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點B，另一直角邊及正方形的某一邊所在直線交于點E．探究：（1）觀察操作結(jié)果，哪一個三角形及△BPC相似？并證明你的結(jié)論；（2）當點P位于CD的中點時，你找到的三角形及△BPC的周長比是多少？第一個第一個第二個第三個34、右邊是用棋子擺成的“上”字：如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)：（1）第四、第五個“上”字分別需用和枚棋子；（18和22）（2）第n個“上”字需用枚棋子．（4n＋2）35、已知拋物線（k是常數(shù)）（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3分）（2）求證：不論k取任何實數(shù)，拋物線的頂點都在某一次函數(shù)的圖象上．并指出此一次函數(shù)的解析式．（3分）（3）設(shè)此拋物線及y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．解：36、將一張長方形的紙對折，如圖5所示可得到一條折痕（圖中虛線）.繼續(xù)對折，對折時每次折痕及上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到條折痕.如果對折n次，可以得到條折痕。（15，2n－1或1+2+22+23+…+2）37、一條信息可通過如圖7的網(wǎng)絡(luò)線由上（A點）往下向各站點傳送.例如信息到b2點可由經(jīng)a1的站點送達，也可由經(jīng)a2的站點送達，共有兩條途徑傳達.則信息由A點到達d3的不同途徑共有（C）（A）3條（B）4條（C）6條（D）12條38、如圖12所示，已知A、B兩點的坐標分別為（28，0）和（0，28），動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動.動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別及y軸、線段AB交于E、F點.連結(jié)FP，設(shè)動點P及動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒.（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積.t為保值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當梯形OPFE的面積等三角形APF的面積時.求線段PF的長.（3）設(shè)t的值分別取t1、t2時（），所對應的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2.試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷.解：（1）當秒時，EF∥OA（1分）（2分）（3分）（4分）當秒時，梯形OPFE的面積最大，最大面積等于98（5分）（2）△AFP當△AFP時有：（6分）（秒），（舍去）（7分）過點F作FH⊥AO，垂足為H在Rt△FHP中，（8分）（9分）（3）相似（10分）證明：分別過點F1、F2作F1H1⊥AP2，F(xiàn)2H2⊥AP2，垂足分別為H1、H2AH1=F1H1=t1,AH2=F2H2=t2（11分）又，且△∽△（12分）38、如上右圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝4，BD＝3，AD＝5，以AB所在直線為x軸．以B點為原點建立平面直角坐標系．將平行四邊形ABCD繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使C點落在y軸的正半軸上，C、D、A三點旋轉(zhuǎn)后的位置分別是P、Q和T三點．（1）求證：點D在y軸上；（2）若直線y＝kx＋b經(jīng)過P、Q兩點，求直線PQ的解析式；（3）將平行四邊形PQTB沿y軸的正半軸向上平行移動，得平行四邊形P’Q’T’B’Q、T、B依次及點P’、Q’、T’、B’對應）．設(shè)BB’＝m（0＜m≤3．平行四邊形P’Q’T’B’及原平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．解：39、一組線段AB和CD把正方形分成形狀相同、面積相等的四部分．現(xiàn)給出四種分法，如圖所示．請你從中找出線段AB、CD的位置及關(guān)系存在的規(guī)律．符合這種規(guī)律的線段共有多少組？（不要添加輔助線和其它字母）40、如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，F(xiàn)為BC的中點．P是BF上的一點，過點P作BC的垂線交AB于D，交CA的延長線于E．若設(shè)BP＝x，那么，圖中有些量（線段、面積等）可以看作x的函數(shù)，如，PC＝6－x，PF＝3－x等．除以上兩例外，請你再寫出一個關(guān)于x的函數(shù)解析式，并加以證明．（不要添加輔助線和其它字母）41、已知α2＋α－1＝0，β2＋β－1＝0，且α≠β，則αβ＋α＋β的值為（B）（A）2（B）一2（C）一1（D）042、已知：如圖，⊙O及⊙P相交于A、B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P于D、E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F．⑴求證：BC是⊙P的切線；⑵若CD＝2，CB＝，求EF的長；⑶若設(shè)k＝PE：CE，是否存在實數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．解：43、巳知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．⑴求BC、AD的長度；⑵若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm／秒的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm／秒的速度運動，當P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S及運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍（不包含點P在B、C兩點的情況）；⑶在⑵的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．圖（3）A1A100A圖（3）A1A100A9A8A6A5A4A3A2A7答：共能組成24個。以AAAAA為直角頂點有1+1+4+5+1=12個等腰直角三角形，再據(jù)軸對稱性質(zhì)知：在整個圖形內(nèi)共可組成12×2=24個等腰直角三角形（注：若按斜邊的三種長度，2，或其他標準進行分類探究且所寫過程簡捷合理的，亦可加2分）45、如果規(guī)兩數(shù)a、b通過符號“＃”構(gòu)成運算a#b＝，且a＃b≠b＃a．那么方程x＃5＝x＃4＋1的解是．（x＝±1）46、右圖是某同學在沙灘上用石于擺成的小房子．觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了塊石子．（n2＋4n）47、在平面直角坐標系中（單位長度：1cm），A、B兩點的坐標分別為（－4，0）、（2，0）．點P從A點開始以2cm／s的速度沿折線AOy運動，同時點Q從B點開始以1cm/s的速度沿折線BOy運動．（1）在運動開始后的每一時刻一定存在以A、O、P為頂點的三角形和以B、O、Q為頂點的三角形嗎？如果存在，那么以A、O、P為頂點的三角形和以B、O、Q為頂點的三角形相似嗎？以A、O、P為頂點的三角形和以B、O、Q為頂點的三角形會同時成為等腰直角三角形嗎？請分別說明理由．（2）試判斷t＝2＋時，以A為圓心、AP為半徑的圓及以B為圓心、BQ為半徑的圓的位置關(guān)系；除此之外⊙A及⊙B還有其它位置關(guān)系嗎？如果有，請求出t的取值范圍．（3）請你選定某一時刻，求出經(jīng)過三點A、B、P的拋物線的解析式．48、下列每張方格紙上都畫有一個圓，只用不帶刻度的直尺就能確定圓心位置的是（A）．（A）（B）（C）（D）49、2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形及中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（C）（A）13（B）19（C）25（D）16950、在一列數(shù)1，2，3，4，…，1000中，數(shù)字“0”（A）182（B）189（C）192（D）19451、下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出個“樹枝”．（80個。）52、如圖，正三角形ABC的中心O恰好為扇形ODE的圓心，且點B在扇形內(nèi)，要使扇形ODE繞點O無論怎樣轉(zhuǎn)動，△ABC及扇形重疊部分的面積總等于△ABC的面積的，扇形的圓心角應為多少度？說明你的理由．53、圖①是由五個邊長都是1的正方形紙片拼接而成的，過點A1的直線分別及BC1、BE交于點M、N，且圖①被直線MN分成面積相等的上、下兩部分．⑴求的值；⑵求MB、NB的長；⑶圖①沿虛線折成一個無蓋的正方體紙盒（圖②）后，求點M、N間的距離．54、一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（B）（A）（B）（C）4（D）2＋55、在如圖所示的4x4正方形網(wǎng)格中．∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝。（3150）56、細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題。（1）請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．（2）推算出的長．（3）求出S12＋S22＋……＋S102的值．57、如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CD切⊙O于點C．AD⊥CD，垂足為D．（1）求證：＝AB·AD（2）若將直線CD向上平移，交⊙O于、兩點，其它條件不變，可得到圖2所示的圖形，試探索A、A、AB、AD之間的關(guān)系，并說明理由．（3）把直線D繼續(xù)向上平移，使弦及直徑AB相交（交點不及A、B重合），其它條件不變．請你在圖3中畫出變化后的圖形，標好相應字母，并試著寫出及（2）相應的結(jié)論，判斷你的結(jié)論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請給出證明．58、在直角坐標系中，有以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，1）為頂點的正方形．設(shè)正方形在直線y＝x上方及直線y＝－x＋2a上方部分的面積為S．（1）求a＝時，S的值．（2）當a在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．59、在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌）．這顯然及正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)．當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角（360°）時，就拼成了一個平面圖形．⑴請根據(jù)下列圖形，填寫表中空格：⑵如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？⑶從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．60、如圖⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，AD∥OC交BC的延長線于D，AB交OC于E。(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若∠ACD＝60°，求BC∶CD的值。（1）證明：連結(jié)OA∵∠ABC＝45°∴∠AOC＝2∠ABC＝90°∴OA⊥OC又∵AD∥OC，∴OA⊥AD∴AD是⊙O的切線（2）解：連結(jié)OB在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB的外角∠ACD＝60°∴∠CAB＝60°－45°＝15°又△OAC是等腰三角形，∴∠CAO＝45°∴∠BAO＝∠CAO－∠CAB＝30°在Rt△AOE中，∠EAO＝∠BAO＝30°，∴OE＝AE在△AOB中，OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∠AOB＝120°∴∠EOB＝∠AOB－∠AOC＝120°－90°＝∠EBO∴BE＝OE，∴BE＝，即BE∶EA＝1∶2又∵EC∥AD，∴BC∶CD＝BE∶EA＝1∶261、已知拋物線。（1）求拋物線的頂點坐標（用m表示）；（2）設(shè)拋物線及x軸的兩個交點為A（x1，0）、B（x2，0），及y軸交點為C，若∠ABC＝∠BAC，求m的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)Q為拋物線上的一點，它的橫坐標為1，試問在拋物線上能否找到另一點P，使PC⊥QC？若點P存在，求點P的坐標；若點P不存在，請說出理由。（請在直角坐標系中作出大致圖形）解（1）∵∴拋物線的頂點的坐標為（2）在△ABC中，∵∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC∴點C在線段AB的中垂線上∴y軸為拋物線的對稱軸∴m＋3＝0。m＝－3（3）在（2）的條件下，m＝－3∴拋物線為若點P存在，設(shè)P（a，b），過Q作QN⊥y軸于N，過P作PM⊥y軸于M∵QC⊥PC，∴∠PCM＋∠QCN＝90°，∴∠MPC＝∠QCN∴Rt△CPM∽Rt△QCN將x＝0代入得y=4。即C（0，4）；將x＝1代入得，即Q（1，）；將CM＝OC＋OM＝4＋，PM＝，QN＝1ON＝OC－ON＝代入（1）式：∵a＜0，b＜0，∴－b＝－2a－4，b＝2a＋4∴P（a，2a＋4）代入并整理得∵∴a＝－4。b＝2(-4)＋4＝－4∴點P（－4，－4）為所求62、已知：如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF＝4。求：①cos∠F的值；②BE的長。解：（1）連結(jié)OE∵DF切半圓O于E，OE為半徑∴OE⊥EF，即∠OEF＝900∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠DAF＝900∴∠OEF＝∠DAF又∵∠F為公共角∴△OEF∽△DAF∴，即AF＝2EF∵DF切半圓O于E，F(xiàn)BA為半圓O的割線∴由切割線定理有＝FB·FA＝BF·2EF∴EF＝2BF∵BF＝4∴EF＝2×4＝8，AF＝2×8＝16∴AB＝AF－BF＝16－4＝12FO＝AB＋BF＝×12＋4＝10在Rt△OEF中，＝＝＝（2）連結(jié)AE∵DF切半圓O于E∴∠EAF＝∠BEF又∵∠F為公共角∴△BEF∽△EAF設(shè)BE＝，則AE＝2∵AB為半圓O的直徑∴∠AEB＝900在Rt△AEB中，由勾股定理得，即∵＞0∴BE＝63、已知二次函數(shù)的頂點M在直線上，并且圖象經(jīng)過點A（－1，0）。（1）求這個二次函數(shù)的解折式；（2）設(shè)此二次函數(shù)及軸的另一個交點為B，及軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的圓的直徑長。（3）設(shè)圓及軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（－2，0）、N兩點的直線為，則圓心是否在直線上，請就明理由。解：（1）∵二次函數(shù)的頂點在直線上∴可設(shè)此二次函數(shù)為∵二次函數(shù)經(jīng)過點（－1，0）化簡得，解得＝1∴二次函數(shù)的解析式為＝（2）由（1）得M（1，－4）令＝0有＝－1，＝3∴B（3，0）令中的＝0有＝－3∴C（0，－3）從而＝，＝＝，＝＝∵＝2＋18＝20＝∴△MBC為Rt△，且∠BCM＝900∴為⊙的直徑，故直徑長為。（3）設(shè)⊙及軸的另一個交點為Q，連結(jié)MQ，由BM是⊙的直徑知∠BQM＝900，∴Q（1，0）過作軸的垂線，交軸于R，過作軸的垂線，交軸于T，交MQ于S，則＝，＝∴圓心的坐標為（2，－2）又＝－＝1由垂徑定理得＝1∴N的坐標為（0，－1）設(shè)過P、N兩點的直線的方程為，則有解得∴直線的方程為把圓心的坐標（2，－2）代入方程中得：右邊＝＝－2＝左邊即圓心的坐標滿足直線的方程∴圓心在直線上。64、如圖，在正方形網(wǎng)格上有五個三角形，其中及△ABC相似（不包括△ABC本身）有（B）A．1個B．2個C．3個D．4個65、已知：如圖，AB是半圓的直徑，∠C的兩邊分別及半圓相切于A、D兩點，DE⊥AB，垂足為E，AE＝3，BE＝1，則圖中陰影部分的面積為（D）A．B．C．D．66、已知，⊙O及直線l相切于點C，直徑AB∥l，P是l上C點左邊（不包括C點）一動點，AP交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE的延長線交l于F．（1）當PC＜AO時，如圖1，線段PF及FC的大小關(guān)系是。結(jié)合圖1，證明你的結(jié)論．（2）當PC＞AO時，AP的反向延長線交⊙O于D，其它條件不變，如圖2，（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？答：。（不證明）（3）如圖2，當tan∠APB＝，tan∠ABE＝，AP＝時，求PF的長．67、已知：如圖，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，對角線BD交y軸于點E，AB＝，AD＝2，AE＝．（1）求點B的坐標；（2）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；（3）（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得＝？若存在，請求出該點坐標；若不存在，請說明理由。68、一次函數(shù)y＝－kx＋4及反比例函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，點（－，）、（－1，）、（，）是函數(shù)圖像上的三個點，則、、的大小關(guān)系是（D）（A）y2＜y3＜y1（B）y1＜y2＜y3（C）y3＜y1＜y2（D）y3＜y2＜y1．69、已知：如圖，在直角坐標系中，⊙經(jīng)過坐標原點，分別及x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B．⑴若點O到直線AB的距離為，且tan∠B＝，求線段AB的長；⑵若點O到直線AB的距離為，過點A的切線及y軸交于點C，過點O的切線交AC于點D，過點B的切線交OD于點E，求的值；⑶如圖，若⊙經(jīng)過點M（2，2），設(shè)△BOA的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d＋AB的值是否會發(fā)生變化，若不變，求出其值；若變化，求其變化的范圍．70、在平面直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0）．將點P0繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點P1，延長OP1到點P2，使OP2＝2OP1；再將點P2繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點P3，延長OP3到點P4，使OP4＝2OP3；……如此繼續(xù)下去．求：⑴點P2的坐標；⑵點P2003的坐標．71、將正方形A的一個頂點及正方形B的對角線交叉點重合，如圖2放置，則陰影部分面積是正方形A的面積的，將正方形A及B按圖3放置，則陰影部分面積是正方形B的面積的_________。（答案為）72、東風汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，如圖4，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車零件成本，變廢為寶，把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機械廠粉碎機上的零件，銷售給紅星農(nóng)業(yè)機械廠，這些零件的形狀都是矩形。現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割的次數(shù)最多兩次（切割的損失可以忽略不計）。（1）請你設(shè)計兩種不同的切割焊接方案，并用簡要的文字加以說明。（2）若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），則該三角形需滿足什么條件？73、ABCD為菱形，∠ABC=β，有一個半徑為r的⊙O，圓心O在菱形的內(nèi)部，且到B點的距離為a，當圓心O在菱形內(nèi)部運動時，⊙O的半徑和圓心到B點的距離a都發(fā)生變化。(1)當滿足什么條件時，圓心O在菱形內(nèi)部運動時⊙O及菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相切？(2)當圓心O在菱形內(nèi)部運動時，請你求出滿足什么條件時⊙O及菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長線）都相交、相離的所有情況。74、如圖，在平行四邊形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，及平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn)。設(shè)BP=x，EF=y，則能反映y及x之間關(guān)系的圖象為（A）75、這些等腰三角形及正三角形的形狀有差異，我們把這及正三角形的接近程度稱為“正度”。在研究“正度”時，應保證相似三角形的“正度”相等。設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β。要求“正度”的值是非負數(shù)。同學甲認為：可用式子|a-b|來表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同學乙認為：可用式子|α-β|來表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他們的方案哪個較合理，為什么？（2）對你認為不夠合理的方案，請加以改進（給出式子即可）；（3）請再給出一種衡量“正度”的表達式解：（1）同學乙的方案較為合理。因為|α-β|的值越小，α及β越接近600，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等。同學甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等。如：邊長為4，4，2和邊長為8，8，4的兩個等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|(zhì)4-8|=4。（2）對同學甲的方案可改為用等（k為正數(shù)）來表示“正度”。（3）還可用等來表示“正度”。（本題只要求學生在保證相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子對“正度”作大致的刻畫，第（2）、（3）小題都是開放性問題，凡符合要求的均可。）76、要將29個數(shù)學競賽的名額分配給10所學校，每所學校至少要分到一個名額。(1)試提出一種分配方案，使得分到相同名額的學校少于4所；(2)證明：不管怎樣分配，至少有3所學校得到的名額相同；(3)證明：如果分到相同名額的學校少于4所，則29名選手至少有5名來自同一學校。解：（1）滿足要求的分配方案有很多，如：學校1 2 3 4 5 6 7 8 9 10名額1 1 1 2 2 2 3 3 7 7（2）假設(shè)沒有3所學校得到相同的名額，而每校至少要有1名，則人數(shù)最少的分配方案是：每兩所學校一組依次各得1，2，3，4，5個名額，總?cè)藬?shù)為2（1+2+3+4+5）=30。但現(xiàn)在只有29個名額，故不管如何分配，都至少有3所學校分得的名額相同。（3）假設(shè)每所學校分得的名額都不超過4，并且每校的名額不少于1，則在分到相同名額的學校少于4所的條件下，10所學校派出的選手數(shù)最多不會超過3×4+3×3+3×2+1×1=28，這及選手總數(shù)是29矛盾，從而至少有一所學校派出的選手數(shù)不小于5。77、如圖，在五邊形A1A2A3A4A5中，B1是A1對邊A3A4的中點，連結(jié)A證明：取A1A5中點B3，連結(jié)A3B3、A1A3、A1A478、如圖：在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF，請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新線段。猜測并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）。（1）連結(jié)；（2）猜測＝；（3）證明：答案一：連結(jié)BF，猜測BF＝DE證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAE＝∠BCF在△BCF和△DAE中，∴△BCF≌△DAE∴BF＝DE答案二：連結(jié)DF，猜測DF＝BE，證明略。79、已知，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B＝∠CAE，F(xiàn)E∶FD＝4∶3。（1）求證：AF＝DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD＝10，求△ABC的面積。解法一：（1）證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC∴∠B＝∠CAE∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE∵∠ADE＝∠BAD＋∠B∴∠ADE＝∠DAE∴EA＝ED∵DE是半圓C的直徑∴∠DFE＝900∴AF＝DF（2）解；連結(jié)DM∵DE是半圓C的直徑∴∠DME＝900∵FE∶FD＝4∶3可設(shè)FE＝，則FD＝，由勾股定理得DE＝∴AE＝DE＝，AF＝FD＝由切割線定理的推論得∴，解得AM＝∴ME＝AE－AM＝－＝在Rt△DME中，＝＝＝（3）過A點作AN⊥BE于點E，由＝得＝∵AN＝AE＝在△CAE和△ABE中，∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA∴△CAE∽△ABE解得＝2AN＝＝BC＝BD＋DC＝10＋＝15解法二：（1）同解法一（2）解：過A點作AN⊥BE于N在Rt△DFE中，∵FE∶FD＝4∶3∴可設(shè)FE＝，則FD＝，由勾股定理得DE＝∴AE＝DE＝，AF＝FD＝∴AN＝由勾股定理得EN＝（3）解：在△CAE和△ABE中∵∠CAE＝∠B，∠AEC＝∠BEA∴△CAE∽△ABE解得＝2∴AN＝＝BC＝BD＋DC＝10＋＝1580、已知：拋物線及軸的一個交點為A（－1，0）。（1）求拋物線及軸的另一個交點B的坐標；（2）D是拋物線及軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到軸、軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它及點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)。問：在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使△APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。解法一：（1）依題意拋物線的對稱軸為＝－2∵拋物線及軸的一個交點為A（－1，0）∴由拋物線的對稱性可得拋物線及軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）（2）∵拋物線及軸的一個交點為A（－1，0）∴D（0，）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，且點C在拋物線上∴C（－4，）∴AB＝2，CD＝4∵梯形ABCD的面積為9∴＝±1∴所求拋物線的解析式為或（3）設(shè)點E的坐標為（，），依題意得＜0，＞0，且①設(shè)點E在拋物線上解方程組得，∵點E及點A在對稱軸＝－2的同側(cè)∴點E的坐標為（，）設(shè)在拋物線的對稱軸＝－2上存在一點P，使△APE的周長最小∵AE長為定值∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最小∵點A關(guān)于對稱軸＝－2的對稱點是B（－3，0）∴由幾何知識可知P是直線BE及對稱軸＝－2的交點設(shè)過點E、B的直線解析式為∴解得∴直線BE的解析式為把＝－2代入上式得∴點P的坐標為（－2，）②設(shè)點E在拋物線上解方程組消去得∵△＜0∴此方程無實數(shù)根綜上所述：在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，），使△APE的周長最小。解法二：（1）∵拋物線及軸的一個交點為A（－1，0）令＝0，即解得＝－1，＝－3∴拋物線及軸的另一個交點B的坐標為（－3，0）（2）由得D（0，）∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線上∴C（－4，）∴AB＝2，CD＝4∵梯形ABCD的面積為9∴，解得OD＝3∴＝±1∴所求拋物線的解析式為或（3）由解法（1）得：P是直線BE及對稱軸＝－2的交點如圖：過點E作EQ⊥軸于點Q設(shè)對稱軸及軸的交點為F由PF∥EQ可得∴PF＝∴點P的坐標為（－2，）以下同解法一。81、已知：如圖8，等邊三角形ABC中，AB=2，點P是AB邊上的任意一點（點P可以及點A重合，但不及點B重合），過點P作PE⊥BC，垂足為E；過點E作EF⊥AC，垂足為F；過點F作FQ⊥AB，垂足為Q。設(shè)BP=x，AQ=y。（1）寫出y及x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當BP的長等于多少時，點P及點Q重合；（3）當線段PE、FQ相交時，寫出線段PE、EF、FQ所圍成三角形周長的取值范圍(不必寫出解題過程)解：（1）∵△ABC為等邊三解形∴∠A=∠B=∠C=60°AB=BC=CA=2在中∵PE⊥BE∠B=60°∴∠BPE=30°而BP=x∴BE=x∴EC=2-x在△CFE中，∵∠C=60°EF⊥CF∴∠FEC=30°∴FC=1-x同理，在△FAQ中可得AQ=+x而AQ=y，∴y=+x（0<x2）；（2）當點P及點Q重合時，有AQ+BP=AB=2∴x+y=2∴解得x=∴當BP的長為時，點P及點Q重合；（3）設(shè)三角形的周長為C，得xxyODACB82、已知：如圖，二次函數(shù)的圖象及軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），及y軸交于點C。直線=m（m>1）及軸交于點D.（1）求A、B、C三點的坐標；（2）在直線=m（m>1）上有一點P(點P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點的三角形及以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由。解：（1）令y=0，得2x2-2=0，解得，x=1點A為（-1，0）、點B為（1，0）；令x=0，得y=-2，所以點C為（0，-2）；（2）①當△PDB∽△COB時有∵BD=m-1，OC=2，OB=1∴PD=2（m-1）∴P1（m，2m-2）②當△PDB∽△BOC時∵OB=1，BD=m-1，OC=2∴P2（m，）（3）假設(shè)拋物線y=2x2-2上存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形∴PQ=AB=2點Q的橫坐標為m-2當點P1為（m，2m-2）時，點Q1的坐標是（m-2，2m-2）∵點Q1在拋物線y=2x2-2圖象上∴2m-2=2(m-2)2-2m-1=m2-4m+4-1m2-5m+4=0m1=1（舍去）m2=4當點P2為（m，）點Q2的坐標是（m-2，）∵點Q2在拋物線y=2x2-2圖象上∴=2（m-2）2-2m-1=4(m-2)2-4m-1=4m24m2（m-1）（4m-13）=0AS1DCBS2SAS1DCBS2S4S3∴m的值為4、83、一個平形四邊形被分成面積為S1、S2、S3、S4的四個小下平形四邊形（如圖），當CD沿AB自左向右在平形四邊形內(nèi)平形滑動時，S1、S2、S3、S4的大小關(guān)系為（答案：S1·S4＝S2·S3）84、如圖：①表示三經(jīng)路及一緯路的十字路口，②表示一經(jīng)路及三緯路的十字路口，如果用（3，1）（3，2）（3，3）（2，3）（1，3）表示由①到②的一條路徑，用同樣的方式寫出另外一條由①到②的路徑：（3，1）（）（）（）（1，3）。[答案：如：（2，1）（2，2）（2，3）]85、已知下面方格紙中的小方格是邊長為1的正方形，A、B兩點在小方格的頂點上，位置如圖所示，請在小方格的頂點上確定一點C，連結(jié)AB、AC、BC，使△ABC的面積為2個平方單位。86、某班為了從甲、乙兩位同學中選出班長，進行了一次演講答辯及民主測評，A、B、C、D、E五位老師作為評委，對“演講答辯”情況進行評價，全班50位同學參及了民主測評。結(jié)果如下表所示：規(guī)定：演講答辯得分按“去掉一個最高分和一個最低分再算平均分”的方法確定；民主測評得分＝“好”票數(shù)×2分＋“較好”票數(shù)×1分＋“一般”票數(shù)×0分綜合得分＝演講答辯得分×＋民主測評得分×（0.5≤≤0.8）（1）當＝0.6時，甲的綜合得分是多少？（2）在什么范圍內(nèi)，甲的綜合得分高？在什么范圍內(nèi)，乙的綜合得分高？解：（1）甲的演講答辯得分＝＝92（分）民主測評得分＝40×2＋7×1＋3×0＝87（分）當＝0.6時，甲的綜合得分＝＝＝89（分）（2）∵乙的演講答辯得分＝＝89（分）乙的民主測評得分＝42×2＋4×1＋4×0＝88（分）∴甲的綜合得分＝，乙的綜合得分＝當＞時，即有＜，又∵0.5≤≤0.8∴當0.5≤＜0.75時，甲的綜合得分高。同理，當0.75≤≤0.8時，乙的綜合得分高。87、有一長方形餐廳，長10米，寬7米，現(xiàn)只擺放兩套同樣大小的圓桌和椅子，一套圓桌和椅子占據(jù)的地面部分可看成半徑為1.5米的圓形，（如左下圖所示）。在保證通道最狹窄處的寬度不小于0.5說明：1、按要求畫出三個圓的給5分，按要求畫出四個圓的給8分。2、設(shè)計的示意圖符合比例要求：①每個圓的半徑為；②每個圓的圓心到方格紙外邊框的距離不小于2cm；③任意兩圓的圓心距不小于；3、設(shè)計方案有多種情形，凡符合要求的均按規(guī)定給分。88、拋物線的解析式滿足如下四個條件：；；；＜＜。（1）求這條拋物線的解析式；（2）設(shè)該拋物線及軸的兩個交點分別為A、B（A在B的左邊），及軸的交點為C。①在第一象限內(nèi)，這條拋物線上有一點P，AP交軸于點D，當OD＝1.5時，試比較及的大小；②在軸的上方，這條拋物線上是否存在點，使得＝，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。解（1）：∵≠0，＝0∴＝0①當＝0時，由得解得∴不符題意舍去。∴＝－1，＝0，＝4②當＝0時，由得解得∴及都不符合題意，舍去。∴所求拋物線的解析式為：（2）①在中，∵當＝0時，＝±2；當＝0時，＝4∴A、B、C三點的坐標分別為（－2，0）、（2，0）、（0，4）過P作PG⊥軸于G，設(shè)點P的坐標為（，）∵點P是這條拋物線上第一象限內(nèi)的點∴＞0，＞0，∴PG＝，OA＝2，AG＝∵OD∥PG，OD＝1.5∴，即解得＝，＝－2（不合題意，舍去）OG＝又CD＝OC－OD＝4－1.5＝2.5又∵＝＋，＝＋②分兩種情況討論：在第一象限內(nèi)，設(shè)在拋物線上存在點（，）使得＝過作G⊥軸于點G，則＞0，＞0，OG＝，G＝，OA＝2，AG＝設(shè)A交軸于點，設(shè)O＝∵OD∥G∴，即化簡為即＝，化簡得將代入中有＝整理得解得，∵＞0，∴不合題意，舍去。此時＝＝－＝∴存在點坐標為（，）使得＝在第二象限內(nèi)，這條拋物線上任取一點，連結(jié)A、C，分別過點A作直線⊥軸；過點C作直線⊥軸；及相交于Q點，則四邊形QAOC是矩形，＝，設(shè)點的坐標為（，），則有－2＜＜0∴0＜＜4∴點在矩形QAOC內(nèi)又易知在△AQC內(nèi)∴在第二象限內(nèi)這條拋物線上不存在點，使＝。89、已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則反比例函數(shù)的圖象在（D）票價（元）人數(shù)票價（元）人數(shù)（人）700060005000400030002000100051015200C．第一、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限90、某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀．如果游客過多，對館中的珍貴文物會產(chǎn)生不利影響．但同時考慮到文物的修繕和保存費用問題，還要保證一定的門票收入．因此，博物館采取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數(shù)．在該方法實施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)及票價之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應限定參觀人數(shù)是多少？門票價格應是多少元？解：設(shè)每周參觀人數(shù)及票價之間的一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b 由題意得 解得∴y=-500x+12000 根據(jù)題意，得xy=40000 即x(-500x+12000)=40000 x2-24x+80=0 解得x1=20x2=4 把x1=20，x2=4分別代入y=-500x+12000中 得y1=2000，y2=10000 因為控制參觀人數(shù)，所以取x=20，y=2000 答：每周應限定參觀人數(shù)是2000人，門票價格應是20元． （注：其他方法按相應步驟給分）91、（1）如圖（a），已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不及B重合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且及AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD．BOA圖(b)·圖(a)BOAFDCBOA圖(b)·圖(a)BOAFDCGEl·（2）在問題（1）中，當直線l向上平行移動，及⊙O相切時，其他條件不變．①請你在圖（b）中畫出變化后的圖形，并對照圖（a），標記字母；②問題（1）中的兩個結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．解答：FB（1）證明：FB①連結(jié)BDO·∵AB是⊙O的直徑O·∴∠ADB＝90°lA∴∠AGC＝∠ADB＝90°lADECG 又∵ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形DECG圖(a)∴∠ACG＝∠B圖(a)∴∠BAD＝∠CAG②連結(jié)CF∵∠BAD＝∠CAG∠EAG＝∠FAB∴∠DAE＝∠FAC 又∵∠ADC＝∠F∴△ADE∽△AFC∴AC·AD＝AE·AF （其他方法相應給分）GEC(D)（2）①圖形如圖GEC(D)B②兩個結(jié)論都成立，證明如下：BF①連結(jié)BCFO∵AB是直徑O·∴∠ACB＝90°·A∴∠ACB＝∠AGC＝90°A∵GC切⊙O于C圖(b)∴∠GCA＝∠ABC圖(b)∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）②連結(jié)CF∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE∴∠ACF＝∠E∴△ACF∽△AEC∴AC2＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）92、已知：如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過點C的直線：及y軸交于P．（1）求證：PC是⊙D的切線；yxOD(0,1)APCByxOD(0,1)APCB··QF（3）當直線PC繞點P轉(zhuǎn)動時，及劣弧AC交于點F（不及A、C重合），連結(jié)OF，設(shè)PF＝m，OF＝n，求m、n之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量n的取值范圍．解：（1）直線y=及x軸、y軸分別交于點C、P∴C（，0），P(0,-8)∴cot∠OCD=cot∠OPC=∴∠OCD=∠OPC∵∠OPC+∠PCO=90°∴∠OCD+∠PCO=90°∴PC是⊙D的切線 （2）設(shè)直線PC上存在一點E(x,y)，使S△EOP＝4S△CDO 解得x=± 由可知： 當x=時，y=-12，當x=-時，y=-4∴在直線PC上存在點E（，-12）或（-，-4）使S△EOP＝4S△CDO （注：只求出一個點，扣2分）⌒ （3）解法一：⌒作直線PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連結(jié)DQ 由切割線定理得：PC2＝PF·PQ ① 在△CPD和△OPC中∵∠PCD＝∠POC＝90°∠CPD＝∠OPC∴△CPD∽△OPC∴ 即PC2＝PO·PD ② 由①、②得：PO·PD＝PF·PQ，又∵∠FPO＝∠DPQ∴△FPO∽△DPQ，即∴m=3n （2<n<）yxyxOD(0,1)APCB··FM設(shè)F(x,y)，作FM⊥y軸，M為垂足，連結(jié)DF，∵m2-(8+y)2=x2n2-y2=x2∴m2-64-16y-y2=n2-y2即m2-64-16y=n2①又∵32-(1-y)2=x2∴32-(1-y)2=n2-y2解得y= ②將②代入①，解得：m=3n，m=-3n(舍)∴m=3n(2<n<)93、如圖，由小正方形組成的L形圖中，請你用三種方法分別在下圖中添畫一個小正方形使它成為軸對稱圖形：答案見右圖：94、圖(1)是一個水平擺放的小正方體木塊，圖(2)、(3)是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應是(C)(A)25(B)66(C)91(D)12095、某市對電話費作了調(diào)整，原市話費為每3分鐘0．2元(不足3分鐘按3分鐘計算)．調(diào)整后，前3分鐘為0．2元，以后每分鐘加收0．1元(不足1分鐘按1分鐘計算)．設(shè)通話時間x分鐘時，調(diào)整前的話費為y1元，調(diào)整后的話費為y2元．(1)填寫下表，并指出x取何值時，y1≤y2；x44．25．86．37．111y1y2(2)當x=11時，請你設(shè)計三種通話方案(可以分幾次撥打)，使所需話費y3元，滿足y3<y2解：(1)x44．25．86．37．111y10．40．40．40．60．60．8y20．30．40．50．60．71當0<x≤3或x>4時，y1≤y2(2)方案有無窮多，列舉三例供參考：方案撥打次數(shù)各次通話時間(分鐘)y3(元)一25、60．4+0，5=0．9二32．2、4、4．80．2+0．3+0，4=0．9三43、3、3、20，2×3+0．