一、與定積分概念有關的問題的解二、有關定積分計算和證明的方一、與定積分概念有關的問題用定積分概念與性質求用定積分性質與變限積分有關的 xnex例1計算I

0

dx 1解:x[01]時,0

xne11e1

xn00

xnex1ex1

xn

n利 準則

xnex11e1

dx1xnex01x思考例1下列做法對嗎利利用積分中值定原n1 不對，因為依賴于n,且01此類問題放大或縮小時一般應保留含參數的項如 x1xp 1 1xp 1xp

(0xsin sin

sinn 例2求Ilim n " n nn n n1 nn解：將數列適當放大和縮小，以簡化成n

sin

n

n1k1

k nk1

k ， n ，已知 nk

nn

sinxdx

nn

利 準則可

I2sin

sin sin( 思考：Jlim " n n提示:由上

n n n sin

sin

sinn Ilim n n" n n n n n nsin sin(nJIlim nlim nnn200

n

例3求極限n

n2

n222

"

1解：原式

dx ni11

(in

1 2 2求極L

" n n n

ilim

2n

L

2nnn1i

nni左

2i

2xdx1右n1nn1i n1

ln4x2例4估計積分值4x24444x244x2

,x[011

dx

1 dx

1 dx4x24x2412

1 dx4x4x24例424

2ex20

dx2e2 證明fxexx,則fx(2x1)exfx0x12f(0)

1,f 2

1,f(2)44 minf(x)44[0,

,maxf(x)[0,4 24

2ex20

dx2e例5設fx)為在[0,1]上單調遞減連續函數 證明：q[0,1]， f(x)dxq

f(x)d證明：q0q時結論成立，當0q f(x)dxq f(x)d (1q) f(x)dxq f(x)d

(用積分中值定理(1q)qf(1)q(1q)f(2

1[0,2[q,1]q(1q)[f(1)f(2

例6fxx0處連續,f(13由方 1 f(t)dtx1 f(t)dty1 f(t)dy是x的函fx).解：方程兩端對x求導yf(xy)(yxy)1y

f(t)dtxf(y)xy1 f(t)dtyf(xy令x1,得f(y)y1 f(t)dtyf對y求導得f(y)1f(1) f(y)3lny y1,得C3fx)3lnx機 上頁下頁返回結例7求可微函f(x使滿f2(x)f(t)sin dt.x0解等式兩邊x求導

2f(x)f(x)f(

sin2cosf(x)1

sin 2cosf(x)f(x)

sinx dx 2cos1ln(2cosx)2機 上 下 返 結f2(x)

f(t)sin dt 2cosf(x)1ln(2cosx)2f(0)0C1ln2 f(x)1ln(2cosx)1ln 1 2cos例8.求多項f(x使它滿1 xf(xt)dt1 x

f(t1)dtx32x.1x解：令uxt,1x

f(xt)dt

f(u) x代入原方程 x

f(u)dux

f(t1)dtx42求導fx

xf(t1)dtxf(x1)4x340再求fx2fx1xfx1)12x24f(x應為二次多項,fxax2bx代入(1)式比較同次冪系得a3b4cf(x)3x24x二、有關定積分計算和證明的 思考:下列作法是否正確?1x21dx1x113111133211t dt0(令t 注意特殊形式定積分的利用各種積分技巧計算有關定積分命題的證明例9I

ln0

dx1e2解：令exsint,則xlnsintdx1e2sinI

cost

cossin

dt

1sin2t22 sin2(csctsint)6[lncsctcottcost]6ln(2

) 33233例10求I 0

dx

1sin21sin2(sinxcos(sinxcosx)20

sin sinxcosx0

4(cosxsinx)dx0

2(sinxcosx)4[sinxcosx

[cosxsinx]04022( 2例11選擇常數c解txc,

b(xc)cos99(xc)dxab(xc)cos99(xc)dxa

ba

t

t因為被積函數為奇函數,故選擇使ac(bca2可使原式為.1例12fx1

xey22

dy,

1(x

f(x)dx 1x 0

f(x)dx

3

f(x)d(x111 111 (x1)

f(0

3

(x f(x)36

1(x1)3ex2201(x1)2e(x1)20

d(x

(令ux1)2 1ueu

e(u1)eu1 1

1(e6例13fxC[01證0 xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx0解：令tx,0

0

f(sinx)0 xf(sinx)

(t)f(sint) f(sint)dt tf(sint)

xf(sinx)dx

f(sinx)∵ f(sinx)dx f(sinx)dx

f(sinx) 對右端第二個積分t 0

f(sinx)綜上所xf(sinx)dx

f(sinx) 0

f(sinx)sin20

dt

cos20

dt (0xt ttsin2 cos2ttt證明：令f(x) dttt

f(x)2xsinxcosx2xsinxcosxf(x) (0x) tt∵f )2 dt2 dttt t1

1 t t0

d

dt 故所證等式成例15fx),gx在[ab上連續,gx)0證

(ab),

a f(x)dbbb

g(a g(x)d 分析：要證g()a f(x)dxf()a

g(x)dx

g(x)dxa

f(x)dxa

f(x)dxa

g(x)dx

x故作輔助函 F(x)a g(x)dxa f(x)dxa f(x)dxa

g(x)d 證明：令F(x)a g(x)dxa f(x)dxa f(x)dxa

g(x)d∵f(x),g(x)C[a,b],F(x)C[a,b]∩D(a,b)且F(aF(b0,由R定理，(abF(0 g()a f(x)dxf()a g(x)dx∵在[ab]上g(x)連續且非零，故不變號，b ab

g(x)dx故所證等式成如果能樣設輔助函數要證要證baf(x)dbafg( (a,b)g(x)d提示設輔助函xF(x)axxG(x)ax

f(tg(t例16設函f(x在[ab上連續,在(ab內可導fx)0.limf(2xa)存在，證明 x在(abf(x0在(ab內存在

ba f(x)db

f()在(ab內存在相異的點f()(b2a2)

b b

f(x)dx

(考研題證明(1)∵limf(2xa)存在, f(2xa)0xa

x

xaf(x)在[ab]上連續f(a所以f(x)在(ab)內單調增,

fxf(x)f(a) x(a,xFxx2gx)xa

f(x)dx(axgxfx0,Fx),gx滿足柯西中值定理條件bx于是存(ab),bxF(b)F(a)

b2

(x2 aag(b) aa

f(t)dt

f(t)d f(t)dt

xb2 即a f(t)d

f(∵f()f()0f()ff()( (a,代入(2)中結論b2 ba f(t)db

f()(f()(b2a2)

b b

f(x)d 例17

f(x)g(x)dx

f2(x)dx

bg2(x)dbbbb證明：令Aabbb

f2(x)d bB b

f(x)g(x)dx,C

g2(x)dAt2

2BtC

b[f2(x)t22f(x)g(x)tg2(x)]da b[f(x)tg(a

dx0即得例18fx)在[ab]上的導函數連續，f(a)bb

f2(x)dx

1(ba)2

f'2(x)dx證明f(a)0,fx)xa

fxdxx[ab].由柯西不等式xf2(x) f'(x)dxx

x12dxf'2(x)dx(xa)ax

f'2(x)d

(xa)a

f'2(x)dbb f'2xdx為一數bbbbabb bf2(x) b

(xa)dx

f'2(x)d1(ba)2

f'2(x)d例19fxC[ab且fx0證bb bf(x)dx (ba)2 f(xxx證明：設F(x)f(t)dt (xa)2， f(txFxfx)ax

dt xf(t f( x

f(t)dt2(xx f(x)

f(t

2

x[f(x)f(t

f(t f(

f(x)f(t

xa,f(x)F(x單調不,F(bF(a)0即成立例19計算I

sin2441e44

d sin2

sin2解：I

4

1e

dx

1

xd第一式令第一式令x

sin2 ]d 0

1 1sin2xd01(8例20I

4lnsin2xd0解：I

4ln(2sinxcosx)dx0

4[ln2lnsinxlncosx]d0ln24

4lnsinxdx0

xx20 ln2 4lnsinxdx 2lnsintd4ln24

2lnsinxd0 I

4lnsin2xdxt20

2lnsinxd Iln22I,

Iln4一、微積分的微積分學是微分學和積分學的總稱。微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支科學。微積分中的基本概念是函數、極限、實數、導數、積分等，研究函數，從量的方面研究事物運動變化是微積分的本來從廣義上說，數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科，但是現在一般已于把數學分析和微積分等同起來，數學分析成了微積分的同義詞，一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和內容包括微分學微積分的產生和發展被譽為“近代技術文明產生的關鍵事件之一，它引入了若干極其成功的、對以后許多數的發展起決定性作用的思想。” 稱之為“1世紀自然”技術的發