內容§1矩陣§2矩陣§3§4分塊§5矩陣§6矩陣1 （如不特別說明，本節所討論的矩陣都是n階方陣2一、逆矩陣的n階單位矩陣E以及同階的方陣AAnEnEnAn從乘法的角度來看，n階單位E在同階方陣中的地用等aa－1=1來刻劃.類似地，我們引入定義：n階方陣A，如果有n階方陣BAB=BA=E (En階單位矩陣)則稱方陣A是可逆的B為A的逆矩陣.3定義：n階方陣A，如果有n階方陣BAB=BA=E (En階單位矩陣)則稱A是可逆B為A的逆矩陣.注：1n階方A可逆，則逆矩陣是唯一的（B,C都為A的逆矩陣則由定義可得B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C2°若方陣A可逆A的逆矩陣記作A－1（AA－1=A－1A=兩個問題：1.方陣A何時可2.A可逆，怎樣求A－14二、方陣可逆的充要AB=BA=A為n階方陣AA*A*A|A|AA*

A|A|0

|A|

|A| 由定義可知，方陣A可逆

A1

1|A

A可逆AA－1A－1A|A||A－1|=|E|=1，5定理|A|

方陣A可逆，且A1

|A

推論1：若|A|≠0，則|A1 |A推論2：A,B均為n階方陣，若AB=E（或BA=E），則A－1=B, B－1=A.證由ABE，有|A||B|=|E|=1|A|≠0,|B|A，B都可逆，存在A－1B－1B=EB=(A－1A)B=A－1(AB)=A－1E=A－1A=AE=A(BB－1)=(AB)B－1=EB－16定理|A|

方陣A可逆，且A1

|A

推論1：若|A|≠0，則|A1 |A推論2：A,B均為n階方陣，若AB=E（或BA=E），則A－1=B, B－1=A.推論3：A,B均為n階方陣，若AB= 則BA=E d例1：求二階矩陣A b d 解：

ad- A*

b

A1 b a

adbc a7 3例2：求3階方陣A 1的逆矩陣 3 解：|A|=2，A11 A12 A13A21 A22 A23A314,A325,A33則

4 1

31

1 5*A1*

|A|

A*2

2

A32

22 33 2注：此公式求方陣的逆：2階方陣，可；3階方陣，尚可4階及以上方陣，不可(太過繁瑣8 3 3例3：已知A 1，C 0,求X,使AXC 3 1 解：由上題，|A|2A可逆，AXC兩邊左乘A－1A－1AX=A－1

4 3XA1C1 2

212 2 212 1 9例4：設A,B,C為n階方陣，ABC=E,則必有（ (A)ACB= (B)CBA=(C)BAC= (D)BCA=分析：ABC= CAB=E，BCA=E例5：設Ak=O(k為正整數)證明：(E-A-1E+A+A2Ak-證明：EEAkE-A)(E+A+A2Ak-(E-A-1EAA2Ak-例6：設A為n階方陣，A*為伴隨矩陣，證明：|A*||A|n-1證明AA*A*A|A|E|AA*|=|A*A|=|A||A*|=|A(i)若|A|≠0|A*||A|n-1(ii)若|A|0，可知|A*|0，（否則，若|A*|≠A*可逆(A*-1,由AA*=|A|E=O,兩邊右乘(A*-1，得AO，故A*O，這與|A*|≠0?。┚C上，有|A*||A|n-例7：判斷已知AX=AY,且A≠O 則X= 已知AX=AY,且|A|≠0 則X= （因|A|0，故A可逆兩邊左乘A-1A-1AXA-1 X三、逆矩陣的若n階方陣A、B可逆，λ(≠0)，（1）A－1可逆，且A1)1AλA可逆，AB可逆，AT可逆

(A)11(AB)1B1A1;(AT)1(A1)T.證：（3）|AB||A||B|0AB可逆(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AA－1=(AB例1：設A22A+EO求：(A+E-1分析：分解因式，構造(A+E…)=λE解： +A-3 -3A(A+E)-3

+4E==-4

（A與E可交換(A-3E)(A+E)=-4(A+E-1

1(A3E4例2：設A4O求：(A+E-1答案：(A+E)-1 -(A3–A2+A例3：3階方陣A的行|A|2,則|-3A| |(3A)-1|

|2A*| |(-2A)*|,|(A*)*|解： |-3A|=(-3)3|A =(-3)3·2=-54

1

13

1 3

（）3

A3 |2A*|=23|A* =23|A| =A3|(-2A)* =|(-2)2A* =|4A*=43|A*|=|(A*)* =|A* =(|A|2) =

A (A)11(A)n1A=A例4：A為3階方|A|1/3

(1A)13解：原式=|3A-1-15A* =|3A-1-15|A|A-1=|-2A-1

3A=-A 例5：設A、B分別為4,3階方陣,|A|=2,|B|=3,則求 =1

=|A*||(2B)-1=|A|

13 B3（B32 例6：設A 1 且A*XA12X 求X 1 (AA*)X=E+從 |A|X=E+2AX 而|A|=44X=E+ 2(2E-A)X=

1

0X1(2EA)11

1 1 2

4 1

1 四、方陣的多設f(x)=amxm+am-1xm-1a1x+a0,A為nf(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+A的多項式 2例7：設f(x)x22x2,A 0 求f 2 解：fA)A22A2

02 0 0

0 22

2

f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+APBP-1,k為正整數，則AkPBkP-1f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0=P(amBm)P-1+…+P(a1B)P-1+P(a0E)P-=P(amBm+…+a1B+a0E)P-=Pf(B)P-§4分塊一：分塊矩陣的

矩陣 定義：；每一個小塊稱為矩陣的子塊矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分矩陣A

22二：分塊矩陣的1、分塊矩陣的A ,B A22A22A21A12A11AB 1、分塊矩陣的若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的 A1r B1rA ?,B ?

sr

srA11

B1r則有AB

sr是普通矩A

2、分塊矩陣的A

A若λ

A

? 則 sr AA sr3、分塊矩陣的

m1m2msl1l2ltn1n2nr，一般地，設A為ml矩陣，B為ln矩，

m1

A1t l1

B1rm

l A 2

2t,B

2 2r?

? ? m

l

s s

st

t t t

tr

C1rCCtCAB t

2r

Cij

? kCC

s sr

(i1,,s;j1,,r按行分塊以及按列分mnA有mn列，若將i行記作T

, ,, a1j

i 若將第j列記

2jjaa

? a a mjaa

T1 1

T則A

2n

,,,? ??

?

T m

mn

m4、分塊矩陣的 A

AT

AT

1r

s1若A ?

，則AT ? ?

AT sr a14

sr aa

a24a34 T

進行轉置(自轉)． 1T a32 3 3

T 33

T 34 二：分塊矩陣的運分兩步1、把每一子塊看作一個元素，作分塊矩陣運算2、再對每一子塊進行矩陣注：分塊時要保障兩步運算的三、分塊對角1、定義：An階矩陣，A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子 塊都為零矩陣么稱A為分塊對角矩陣．例如5 0

01 01

O

0

O2382385

O

2 2

3 B0OA0 0OA0

3

22、分塊對角矩陣的 A

AAs

A 1°|A|=|A1||A2|…|As|

Ak2°Ak Ak Ak 3°若|Ai|≠0i=1,2,…s|A|≠0，并A A AA A

A1 特別地，若A，B均可逆 O

O

1） B B1

B

O O

OC2）C O

B XB

B11 O X1

2,

2 B X4AX

B X41X11 1AX2CX

X2 CX

0例:設A 1，求|A|，A－1 012 012 解

0

O

A 1

A A A

102 102

5,

AA1

A

1/

0A1 O

A

3 3A(5),A

1；A

1,A1

5

3 例：AmnOmn的充分必要條件是方陣ATAOnn