教學設計單調性與最大(小)值第1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學目標1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．重點難點教學重點：函數單調性的概念、判斷及證明．教學難點：歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性．教學方法教師啟發講授，學生探究學習．教學手段計算機、投影儀．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))創設情境，引入課題課前布置任務：(1)由于某種原因，2022年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況．課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜舉辦大型國際體育賽事．下圖是北京市某年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖．圖1引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考．問題：觀察圖形，能得到什么信息？預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低．在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小．【設計意圖】由生活情境引入新課，激發興趣．歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中時同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義．1．借助圖象，直觀感知問題1：分別作出函數y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝eq\f(1,x)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規律？圖2預案：(1)函數y＝x＋2在整個定義域內y隨x的增大而增大；函數y＝－x＋2在整個定義域內y隨x的增大而減小．(2)函數y＝x2在[0，＋∞)上y隨x的增大而增大，在(－∞，0)上y隨x的增大而減小．(3)函數y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上y隨x的增大而減小，在(－∞，0)上y隨x的增大而減小．引導學生進行分類描述(增函數、減函數)，同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數？預案：如果函數f(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數f(x)在該區間上為增函數；如果函數f(x)在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數f(x)在該區間上為減函數．教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀認識．【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識．2．探究規律，理性認識問題1：下圖是函數y＝x＋eq\f(2,x)(x＞0)的圖象，能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減函數嗎？圖3學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．【設計意圖】使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性．問題2：如何從解析式的角度說明f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數？預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12＜22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數．(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數．(3)任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，因為x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＜0，即x12＜x22，所以f(x)＝x2在[0，＋∞)為增函數．對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量x1，x2.【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好了鋪墊．3．抽象思維，形成概念問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎？師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念判斷題：①已知f(x)＝eq\f(1,x)，因為f(－1)＜f(2)，所以函數f(x)是增函數．②若函數f(x)滿足f(2)＜f(3)，則函數f(x)在區間[2,3]上為增函數．③若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數．④因為函數f(x)＝eq\f(1,x)在區間(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數，所以f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數．通過判斷題，強調三點：①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性．②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．③函數在定義域內的兩個區間A，B上都是增(或減)函數，一般不能認為函數在A∪B上是增(或減)函數．思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數？【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識．掌握證法，適當延展【例】證明函數f(x)＝x＋eq\f(2,x)在(eq\r(2)，＋∞)上是增函數．1．分析解決問題針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．證明：任取x1，x2∈(eq\r(2)，＋∞)，且x1＜x2，設元f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(2,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x2)))求差＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x1)－\f(2,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(2(x2－x1),x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－2,x1x2)，變形∵eq\r(2)＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，斷號∴函數f(x)＝x＋eq\f(2,x)在(eq\r(2)，＋∞)上是增函數．定論2．歸納解題步驟引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．練習：證明函數f(x)＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函數．問題：要證明函數f(x)在區間(a，b)上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2有eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＞0可以嗎？引導學生分析這種敘述與定義的等價性，讓學生嘗試用這種等價形式證明函數f(x)＝eq\r(x)在[0，＋∞)上是增函數．【設計意圖】初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．歸納小結，提高認識學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．1．小結(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等．2．作業書面作業：課本習題A組第1,2,3題．課后探究：(1)證明：函數f(x)在區間(a，b)上是增函數當且僅當對任意的x，x＋h∈(a，b)，且h≠0有eq\f(f(x＋h)－f(x),h)＞0.(2)研究函數y＝x＋eq\f(1,x)(x＞0)的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設計說明))1．教學內容的分析函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其他性質提供了方法依據．對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：(1)要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；(2)單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．2．教學目標的確定根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．3．教學方法和教學手段的選擇本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．4．教學過程的設計為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：(1)在探索概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入．(2)在應用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．(3)可對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．第2課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設計))教學目標1．知識與技能(1)使學生理解函數的最值是在整個定義域上來研究的，它是函數單調性的應用．(2)啟發學生學會分析問題、認識問題和創造性地解決問題．2．過程與方法(1)通過滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育．(2)探究與活動，明白考慮問題要細致，說理要明確．3．情感、態度與價值觀理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等現象．重點難點教學重點：函數最大(小)值的定義和求法．教學難點：如何求一個具體函數的最值．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))導入新課思路1．某工廠為了擴大生產規模，計劃重新建造一個面積為10000m2的矩形新廠址，新廠址的長為xm，則寬為eq\f(10000,x)m，所建圍墻ym，假如你是這個工廠的廠長，你會選擇一個長和寬各為多少米的矩形土地，使得新廠址的圍墻y最短？學生先思考或討論，教師指出此題意在求函數y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，x＞0的最小值．引出本節課題：在生產和生活中，我們非常關心花費最少、用料最省、用時最省等最值問題，這些最值對我們的生產和生活是很有幫助的．那么什么是函數的最值呢？這就是我們今天學習的課題．用函數知識解決實際問題，將實際問題轉化為求函數的最值，這就是函數的思想，用函數解決問題．思路2．畫出下列函數的圖象，指出圖象的最高點或最低點，并說明它能體現函數的什么特征？①f(x)＝－x＋3；②f(x)＝－x＋3，x∈[－1,2]；③f(x)＝x2＋2x＋1；④f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]．學生回答后，教師引出課題：函數的最值．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))(1)如圖4所示是函數y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)、y＝f(x)的圖象．觀察這三個圖象的共同特征．圖4(2)函數圖象上任意點P(x，y)的坐標與函數有什么關系？(3)你是怎樣理解函數圖象最高點的？(4)問題(1)中，在函數y＝f(x)的圖象上任取一點A(x，y)，如圖5所示，設點C的坐標為(x0，y0)，誰能用數學符號解釋：函數y＝f(x)的圖象有最高點C?圖5(5)在數學中，形如問題(1)中函數y＝f(x)的圖象上最高點C的縱坐標就稱為函數y＝f(x)的最大值．誰能給出函數最大值的定義？(6)函數最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，這個不等式反映了函數y＝f(x)的函數值具有什么特點？其圖象又具有什么特征？(7)函數最大值的幾何意義是什么？(8)函數y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)有最大值嗎？為什么？(9)點(－1,3)是不是函數y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高點？(10)由問題(9)你發現了什么值得注意的地方？討論結果：(1)函數y＝－x2－2x的圖象有最高點A，函數y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的圖象有最高點B，函數y＝f(x)的圖象有最高點C.也就是說，這三個函數的圖象的共同特征是都有最高點．(2)函數圖象上任意點P的坐標(x，y)的意義：橫坐標x是自變量的取值，縱坐標y是自變量為x時對應的函數值的大小．(3)圖象上最高點的縱坐標是所有函數值中的最大值，即函數的最大值．(4)由于點C是函數y＝f(x)圖象上的最高點，則點A在點C的下方，即對定義域內任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是對函數y＝f(x)的定義域內任意x，均有f(x)≤f(x0)成立．(5)一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)的最大值．(6)f(x)≤M反映了函數y＝f(x)的所有函數值不大于實數M；這個函數的特征是圖象有最高點，并且最高點的縱坐標是M.(7)函數圖象上最高點的縱坐標．(8)函數y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)沒有最大值，因為函數y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的圖象沒有最高點．(9)不是，因為該函數的定義域中沒有－1.(10)討論函數的最大值，要堅持定義域優先的原則；函數圖象上有最高點時，這個函數才存在最大值，最高點必須是函數圖象上的點．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))(1)類比函數的最大值，請你給出函數的最小值的定義及其幾何意義.(2)類比上面問題(9)，你認為討論函數最小值應注意什么？活動：讓學生思考函數最大值的定義，利用定義來類比定義．最高點類比最低點，不等號“≤”類比不等號“≥”．函數的最大值和最小值統稱為函數的最值．討論結果：(1)函數最小值的定義是：一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數y＝f(x)的最小值．函數最小值的幾何意義：函數圖象上最低點的縱坐標．(2)討論函數的最小值，也要堅持定義域優先的原則；函數圖象上有最低點時，這個函數才存在最小值，最低點必須是函數圖象上的點．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例))例1求函數y＝eq\f(2,x－1)在區間[2,6]上的最大值和最小值．活動：先思考或討論，再到黑板上書寫．當學生沒有解題思路時，才提示：圖象最高點的縱坐標就是函數的最大值，圖象最低點的縱坐標就是函數的最小值．根據函數的圖象觀察其單調性，再利用函數單調性的定義證明，最后利用函數的單調性求得最大值和最小值．利用變換法畫出函數y＝eq\f(2,x－1)的圖象，只取在區間[2,6]上的部分．觀察可得函數的圖象是上升的．解：設2≤x1＜x2≤6，則有f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2[(x2－1)－(x1－1)],(x1－1)(x2－1))＝eq\f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1)).∵2≤x1＜x2≤6，∴x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0.∴f(x1)＞f(x2)，即函數y＝eq\f(2,x－1)在區間[2,6]上是減函數．∴當x＝2時，函數y＝eq\f(2,x－1)在區間[2,6]上取得最大值f(2)＝2；當x＝6時，函數y＝eq\f(2,x－1)在區間[2,6]上取得最小值f(6)＝eq\f(2,5).變式訓練1．求函數y＝x2－2x(x∈[－3,2])的最大值和最小值．解：最大值是f(－3)＝15，最小值是f(1)＝－1.2．函數f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．解析：(換元法)轉化為求二次函數的最小值．設x2＝t，y＝t2＋2t－1(t≥0)，又當t≥0時，函數y＝t2＋2t－1是增函數，則當t＝0時，函數y＝t2＋2t－1(t≥0)取最小值－1.所以函數f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是－1.答案：－13．畫出函數y＝－x2＋2|x|＋3的圖象，指出函數的單調區間和最大值．分析：函數的圖象關于y軸對稱，先畫出y軸右側的圖象，再對稱到y軸左側合起來得函數的圖象；借助圖象，根據單調性的幾何意義寫出單調區間．解：函數圖象如圖6所示．圖6由圖象得，函數的圖象在區間(－∞，－1)和[0,1]上是上升的，在[－1,0]和(1，＋∞)上是下降的，最高點是(±1,4)，故函數在(－∞，－1)，[0,1]上是增函數；函數在[－1,0]，(1，＋∞)上是減函數，最大值是4.點評：本題主要考查函數的單調性和最值，以及最值的求法．求函數的最值時，先畫函數的圖象，確定函數的單調區間，再用定義法證明，最后借助單調性寫出最值，這種方法適用于做解答題．單調法求函數最值：先判斷函數的單調性，再利用其單調性求最值；常用到下面的結論：①如果函數y＝f(x)在區間(a，b]上單調遞增，在區間[b，c)上單調遞減，則函數y＝f(x)在x＝b處有最大值f(b)；②如果函數y＝f(x)在區間(a，b]上單調遞減，在區間[b，c)上單調遞增，則函數y＝f(x)在x＝b處有最小值f(b).例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關系為h(t)＝－＋＋18，那么煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少？(精確到1m)活動：可以指定一位學生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時幫助做錯的學生改錯．并對學生的板書及時評價．將實際問題最終轉化為求函數的最值，畫出函數的圖象，利用函數的圖象求出最大值．“煙花沖出后什么時候是它爆裂的最佳時刻”就是當t取什么值時函數h(t)＝－＋＋18取得最大值；“這時距地面的高度是多少(精確到1m)”就是函數h(t)＝－＋＋18的最大值；轉化為求函數h(t)＝－＋＋18的最大值及此時自變量t的值．解：作出函數h(t)＝－＋＋18的圖象，如圖7所示，圖7顯然，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度．由二次函數的知識，對于函數h(t)＝－＋＋18，我們有：當t＝－eq\f,2×(－)＝時，函數有最大值h＝eq\f(4×(－×18－,4×(－)≈29.即煙花沖出后s是它爆裂的最佳時刻，這時距地面的高度約是29m.點評：本題主要考查二次函數的最值問題，以及應用二次函數解決實際問題的能力．解應用題的步驟是：①審清題意讀懂題；②將實際問題轉化為數學問題來解決；③歸納結論．注意：要堅持定義域優先的原則；求二次函數的最值要借助于圖象即數形結合．變式訓練1．把長為12厘米的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A．eq\f(3,2)eq\r(3)cm2B．4cm2C．3eq\r(2)cm2D．2eq\r(3)cm2解析：設一個三角形的邊長為xcm，則另一個三角形的邊長為(4－x)cm，兩個三角形的面積和為S，則S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)(x－2)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3).當x＝2時，S取最小值2eq\r(3)cm2.故選D.答案：D2．某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗，若將進貨單價為8元的商品按10元一件的價格出售時，每天可銷售60件，現在采用提高銷售價格減少進貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價定為多少時才能賺取最大利潤，并求出最大利潤．分析：設未知數，引進數學符號，建立函數關系式，再研究函數關系式的定義域，并結合問題的實際意義作出回答．利潤＝(售價－進價)×銷售量．解：設商品售價定為x元時，利潤為y元，則y＝(x－8)[60－(x－10)·10]＝－10[(x－12)2－16]＝－10(x－12)2＋160(10＜x＜16)，當且僅當x＝12時，y有最大值160元，即售價定為12元時可獲最大利潤160元.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))課本本節練習5.【補充練習】某廠2022年擬舉行促銷活動，經調查測算，該廠產品的年銷售量(即該廠的年產量)x萬件與去年促銷費m(萬元)(m≥0)滿足x＝3－eq\f(2,m＋1).已知2022年生產的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2022年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費m(萬元)的函數；(2)求2022年該產品利潤的最大值，此時促銷費為多少萬元？分析：(1)年利潤＝銷售價格×年銷售量－固定投入－促銷費－再投入，銷售價格＝×每件產品平均成本；(2)利用單調法求函數的最大值．解：(1)每件產品的成本為eq\f(8＋16x,x)元，故2022年的利潤為y＝×eq\f(8＋16x,x)×x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,m＋1)))－m＝28－eq\f(16,m＋1)－m(萬元)(m≥0)．(2)可以證明當0≤m≤3時，函數y＝28－eq\f(16,m＋1)－m是增函數，當m＞3時，函數y＝28－eq\f(16,m＋1)－m是減函數，所以當m＝3時，函數y＝28－eq\f(16,m＋1)－m取最大值21萬元．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))問題：求函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)的最大值．解：(方法一)利用計算機軟件畫出函數的圖象，如圖8所示，故圖象最高點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3))).圖8則函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)的最大值是eq\f(4,3).(方法二)函數的定義域是R，可以證明當x＜－eq\f(1,2)時，函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)是增函數；當x≥－eq\f(1,2)時，函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)是減函數．則當x＝－eq\f(1,2)時，函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)取最大值eq\f(4,3)，即函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)的最大值是eq\f(4,3).(方法三)函數的定義域是R，由y＝eq\f(1,x2＋x＋1)，得yx2＋yx＋y－1＝0.∵x∈R，∴關于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0必有實數根．當y＝0時，關于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0無實數根，即y＝0不屬于函數的值域．當y≠0時，則關于x的方程yx2＋yx＋y－1＝0是一元二次方程，則有Δ＝(－y)2－4×y(y－1)≥0.∴0＜y≤eq\f(4,3).∴函數y＝eq\f(1,x2＋x＋1)的最大值是eq\f(4,3).點評：方法三稱為判別式法，形如函數y＝eq\f(ax2＋bx＋c,dx2＋ex＋f)(d≠0)，當函數的定義域是R(此時e2－4df＜0)時，常用判別式法求最值，其步驟是：①把y看成常數，將函數解析式整理為關于x的方程的形式mx2＋nx＋k＝0；②分類討論m＝0是否符合題意；③當m≠0時，關于x的方程mx2＋nx＋k＝0中有x∈R，則此一元二次方程必有實數根，得n2－4mk≥0，得關于y的不等式，解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2－4mk≥0，,m≠0.))此不等式組的解集與②中y的值取并集得函數的值域，從而得函數的最大值和最小值．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結))本節課學習了：(1)函數的最值；(2)求函數最值的方法：①圖象法，②單調法，③判別式法；(3)求函數最值時，要注意函數的定義域．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業))課本習題1.3A組5,6.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設計感想))為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下措施：1．在探索概念階段，讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對函數最值定義的三次認識，使得學生對概念的認識不斷深入．2．在應用概念階段，通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用圖象和單調法求函數最值的方法和步驟．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))基本初等函數的最值1．正比例函數：y＝kx(k≠0)在定義域R上不存在最值．在閉區間[a，b]上存在最值，當k＞0時，函數y＝kx的最大值為f(b)＝kb，最小值為f(a)＝ka；當k＜0時，函數y＝kx的最大值為f